2023届安徽省“江南十校”高三3月联考数学试题含答案.pdf

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1、“江南十校”数学答案 第 1 页 共 12 页 2023 届安徽省“江南十校”联考 数学试题评分参考 一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）题号题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案答案 C D C A B C B D 1.C 【命题立意】本题考查不等式的解法、集合的交集、补集运算，体现了数学运算的核心素养。【试题难度】易【试题解析】31xxA，2,12,RRBx xABxx（）故选 C 2.D 【命题立意】本题考查复数的运算，体现了数学运算的核心素养。【试题难度】易【试题解析】i23212i 31)i1(i1)i

2、1)(i2(i1i2）（z，故选 D 3.C【命题立意】本题考查向量的运算，体现了数学运算的核心素养。【试题难度】易【试题解析】2622324362222）（baba，故选 C 4.A【命题立意】本题以数学文化中的中国古代建筑为背景考查异面直线所成角的求解问题，体现了直观想象的核心素养。【试题难度】中【试题解析】如图所示，过1D,E,F三点的平面与平面ABCD的交线GHAC，而AC与1AD所成的角为3，故选 A 5.B【命题立意】本题考查利用排列组合知识解决相邻问题和插空问题，体现了逻辑推理和数学运算的核心素养。GHFECDC1B1A1AD1B“江南十校”数学答案 第 2 页 共 12 页【试

3、题难度】中【试题解析】由题意得，不同的排法共有24232222AAA种，故选 B 6.C【命题立意】本题考查三角变换的相关公式和三角函数的性质，体现了数学运算的核心素养。【试题难度】中【试题解析】由题意得42)42sin(21)(xxf，由,28 42kxkx得则)(xf的对称中心为）（42,28k）（Zk，所以 A，B 错误.由,28 242kxkx得则)(xf的对称轴方程为28kx）（Zk，C 正确，D 错误，故选 C 7.B【命题立意】本题考查三棱锥外接球的综合问题，体现了直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养。【试题难度】中【试题解析】如图所示，由2CBCA，32ACB得ABC的外接圆

4、半径为2，又PA底面ABC，取PA的中点D,由21ODPD，得5R,即三棱锥ABCP外接球半径为5，所以2042RS,故选 B 8.D【命题立意】本题考查利用函数的单调性比较大小问题，体现了数学抽象、数学运算等核心素养。【试题难度】难 【试题解析】构造函数3ln,2,1321xyxyeyx，令1)(21xeyyxfx，1ln)(32xxyyxg，则xxgexfx11)(,1)(，所以)(xf在)1,0(单增，所 以0)0()9.0(ff，所以,9.19.0e所以ba.同理cb，所以选 D.二、选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

5、选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.）题题 号号 9 10 11 12 答答 案案 AB AC BCD ABC 9.AB ODABCPO1“江南十校”数学答案 第 3 页 共 12 页【命题立意】本题考查三次函数的性质，体现了数学运算的核心素养。【试题难度】易【试题解析】A 正确:因为3,()(),xfxxxf x R对所以()f x是R上的奇函数；B 正确:由233()310 33fxxxx 得 或；C 错误:因为(),xf x时，所以()f x无最大值；D 错误:由23()310,3fxxx 得经检验33x 是函数()f x的极大值点，33x 是函数()f x的极小

6、值点.10.AC【命题立意】本题考查空间角、空间距离的计算，体现了数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养。【试题难度】中【试题解析】设1,ABa ADb AAc，则1abc，且 12a bb cc a A 正确:1ACabc，BDba，221()()0AC BDabcbabaa cb c ；B 错误:因为22222122ACabcabcb c，所以12AC；C 正确:因为211()0AC BBabcca cb cc ，所以11BBAC；D 错误:因为BD平面1AAC，所以平面1AAC 平面ABCD，则1AC与平面ABCD所成的角为1ACA.在1Rt AAC中，11AA，3AC，所以13sin3

7、ACA.11.BCD【命题立意】本题考查抛物线及其切线性质，体现了数学运算、数学抽象、逻辑推理等核心素养。【试题难度】中【试题解析】A 错误:将AB中点2(2,)Ma a代入2:2C xpy得2p，所以抛物线2:4C xy的准线方程为1y；B 正确:将直线OB的方程yax代入2:4C xy得2(4,4)Naa，所以B为ON中点；C 正确:抛物线C在点N处的切线方程为：242(4)axay，令0y 得2xa，所以直线AN为C的切线；D 正确:抛物线2:4C xy在2(2,)Ma a处的切线方程为：222()axay，其斜率ka与直线OB的斜率相等，所以C在点M处的切线与直线ON平行.C1D1B1

8、CABDA1“江南十校”数学答案 第 4 页 共 12 页 12.ABC【命题立意】本题考查抽象函数的对称性、周期性以及导函数的相关性质，体现了数学抽象、数学运算等核心素养。【试题难度】难【试题解析】A 正确:由(21)gx为偶函数得(21)(21)gxgx，则g()x关于直线1x 对称，即(1)(1)gxgx，两边同时求导得(1)(1)gxgx，令0 x 得(1)0g；B正 确:由g()x关 于 直 线1x 对 称 得()(2)gxg x，由(3)()4f xgx得(1)(2)4fxg x，所以(3)(1)f xfx，即()f x关于直线2x 对称；C 正确：对(3)()4f xgx两边同时

9、求导得(3)()f xgx，由()(1)0f xgx得(1)()0fxgx，则(3)(1)f xfx，所以()f x关于直线1x 对称；D 错误:由(3)(1)f xfx得(3)(1)f xfx，所以函数()f x的图像关于(2,0)对称，结合 C 选项可知，4 是函数()f x的一个周期，由()(1)0f xgx得，4 也是函数()g x的一个周期，由(1)0g得(2)(3)(4)0fgf，所以20231()()0kf k g k.三、填空题（本题共三、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.）13.60 【命题立意】本题考查二项式定理，体现了数学运算的核

10、心素养。【试题难度】易【试题解析】6661113=+3xxxx xxxx，6)1(xx展开式的通项为：66 21661CCrrrrrrTxxx，当620r即3r 时，363C=60，所以613xxx的展开式中，常数项为60.14.4 5 【命题立意】本题考查直线和圆的相关性质，体现了数学运算、直观想象核心素养。【试题难度】中【试题解析】易 知l过 定 点(1,1)P,|5PC，当PCl时，弦 长|AB取 得 最 小 值.此 时|2 25 54 5AB 15.32 【命题立意】本题考查直线和椭圆的位置关系，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养。“江南十校”数学答案 第 5 页 共 12 页 【试题

11、难度】中【试题解析】设11(,)M x y，22(,)N xy，00(,)P xy，其中01x ，记坐标原点为O，直线l，OP，PQ的斜率分别为MNk,OPk,PQk,又22112222222211xyabxyab，两式相减整理可得2012122121202()()()()2MNyyyyybkxxxxxa,即22MNOPbkka.又1MNPQkk，所以两式相比可得22OPPQkbka，即02020034yxbyax，代入01x ，整理可得2214ba，所以离心率22312cbeaa.16.250em 【命题立意】本题考查导数的几何意义，曲线的切线方程，体现了数形结合思想和数学运算的核心素养。【

12、试题难度】难【试题解析】设切点坐标为00,x y，则切线斜率001 exkx，所以切线方程为00000ee1xxyxxxx，将1,Pm代入得02001 exmxx.存在三条切线,即方程21 exmxx 有三个不等实数根.设2()1 exg xxx，又 12 exg xxx，易得在2,1上，0gx，g x单调递增；在,2 和1,上，0gx，g x单调递减，当251x或251x时，0)(xg，画出图象可得20gm，即250em 四、解答题四、解答题:本题共本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.【命题立意】本

13、题考查三角函数和解三角形相关知识.以三角函数的定义为载体，考查学生和差角公式的应用，同时结合正余弦定理考查解三角形能力。本题以基础知识和基本技能立意，重点考查学生对基本概念和基本公式的掌握，同时考查了学生的计算能力。体现了数学运算、逻辑推理等核心素养。【试题难度】易【试题解析】(1)由题意P，Q在单位圆上，且在第一象限可得)734,71(P，)1433,1413(Q，1 分 “江南十校”数学答案 第 6 页 共 12 页 由三角函数定义知1413cos,1433sin,71cos,734sin .3 分 故211433734141371sinsincoscos)cos(.5 分 (2)（选）方

14、法方法 1：由(1)中结论可得21cosC，又(0,)C，3C.6 分 由余弦定理可得,cos2222Cabbac即abbaabba34222.7 分，222241434 2babababaab 4ba,当2ba时等号成立.9 分 6cba.即当ABC为等边三角形时，周长最大，最大值为 6.10 分 方法方法 2：由(1)中结论可得角3C 且AB32.6 分 又由正弦定理334sinsinsinCcBbAa，可得3sin34,3sin34BbAa.7 分 故ABC周长 2)32sin(334sin33423sin343sin34AABAcba 2)6sin(42cos2sin32AAA.9 分

15、 25 0 33666CAA 26A即3A时，ABC周长取最大值 6.10 分 （选）由(1)可知1413cos,1433sin,71cos,734sinBBAA 则98355)sin(sinBAC.7 分 由正弦定理3598sinsinsinCcBbAa，可得521,556ba.9 分 则53669835552155621sin21CabSABC.10 分 18.【命题立意】本题考查了函数的零点、等差数列的定义、数列的通项.体现了数学运算、逻辑推理等核心素养。“江南十校”数学答案 第 7 页 共 12 页【试题难度】易【试题解析】解：（1）由na递增及()0f x 得123,8aa，则215

16、aa,1 分 即1nnaa是以5为首项，2为公差的等差数列.所以123nnaan.2 分 11232212121 .(2)75nnnnaanaannaaaa 相加得 15721357212nnaanann n .5 分 经检验13a 也满足上式，所以2nan n.6 分（2）由（1）得：)211(21)2(11nnnnan.8 分 1111111111123243511211113111 =122124212nSnnnnnnnn.11 分 由于11012nn，所以34nS.12 分 19.【命题立意】通过实际生活情境，考查频率分布直方图相关计算、全概率、分布列、期望，体现了数据分析、数学运算等

17、核心素养。【试题难度】中【试题解析】（1）解：记这天浪级是“微浪”为事件1A，浪级是“小浪”为事件2A，浪级是“中浪”为事件3A，浪级是“大浪”为事件4A.该渔船当天出海作业为事件B，则由题意可知：10.2P A，20.3P A，30.3P A，40.2P A.2 分 123()()P BP BAP BAP BA 112233()()P B A P AP B A P AP B AP A .3 分 0.9 0.20.8 0.3 0.6 0.3 .4 分 0.180.240.18 0.6 .5 分（2）依题意可知，X的所有可能取值为 0，1，2，3 .6 分 “江南十校”数学答案 第 8 页 共

18、12 页 228(0)()327P X，.7 分 11221122110(1)32333233327P X ，.8 分 1111112111(2)3223233324P X，.9 分 1111(3)32212P X，.10 分 则X的分布列为 .11 分 数学期望81011121()01232727412108E X .12 分 20.【命题立意】本题考查线面垂直、面面垂直的判定与性质、平面与平面夹角余弦值的求解，体现了直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养。【试题难度】中【试题解析】（1）取AD的中点O，连接,OP OC，PAPD，POAD，2,ADBCOABC，/AOBC，四边形ABCO为

19、平行四边形，2 分 又90DAB，COAD，又POOCO，AD平面POC，又/ADBC，BC平面POC，又PC 平面POC，BCPC.5 分（2）,ABAD ABAP，且ADAPA，AB平面PAD，又/ABOC，则OC 平面PAD，.6 分 分别以,OC OP OD所在的直线为,x y z轴建立空间直角坐标系Oxyz，又8AD，则4OD，8OCABAD，又5PD，则3OP，则(0,0,4),(8,0,4),(8,0,0)ABC，(0,0,4),(0,3,0)DP，则有(8,3,4),(8,0,4)PBDC，184(,1,)333PMPB，816(,2,)33DMDPPM，.8 分 X 0 1

20、2 3 P 827 1027 14 112 ODPABCxyzM“江南十校”数学答案 第 9 页 共 12 页 设平面DMC的法向量为(,)mx y z，则816020,330840DM mxyzDC mxz即，令1x，则平面DMC的一个法向量为(1,4,2)m，.10 分 又平面PAD的一个法向量为(1,0,0)n，则|121|cos,|21211|n mn mn m，平面DMC与平面PAD夹角的余弦值为2121.12 分 21.【命题立意】（1）本题是一道新定义问题，考查学生探究能力和创新能力；（2）本题考查了椭圆和双曲线的标准方程与离心率、双曲线的简单性质、直线与双曲线的位置关系、渐近线

21、与双曲线的位置关系等。体现了数学运算、逻辑推理、直观形象等核心素养。【试题难度】难【试题解析】（1）由题意可设双曲线222214xyCb：.1 分 则221 24415224bbee,2 分 解得21b.所以双曲线2C的方程为2214xy.3 分（2）（i）（仅写出定值13给 1 分）设11(,)A x y，22(,)B xy，直线AB的方程为4xty,由22414xtyxy消元得 22(4)8120tyty.则20t ，,且12212284124tyyty yt 5 分 1112121211212221221122122222222222222(2)22()22(6)662121642214

22、44 121236644AMBNykxyxy tyty yyty yyyyykxyy tyty yyty yyxtttyytttttyytt “江南十校”数学答案 第 10 页 共 12 页 或 由韦达定理可得121223yyty y，即12123()2ty yyy.11211121212112212211221212223()222(2)231232(6)6393()622AMBNyyyykxyxy tyty yyyyykxyy tyty yyyyyyyx 即AMk与BNk的比值定值13.8 分（ii）方法 1：设直线:AM(2)yk x，代入双曲线方程并整理得2222(1 4)161640

23、kxk xk)0412 k（.由于点M为双曲线的左顶点，所以此方程有一根为2.由韦达定理得：2216421 4Akxk，解得222(41)14Akxk.因为点A在双曲线的右支上，所以222(41)014Akxk，解得1 1(,)2 2k,即1 1(,)2 2AMk.9 分 同理可得11(,)(,)22BNk .10 分 由（i）中结论可知113(,)(,)22BNAMkk ，得11(,)(,)66AMk .所以111 1(,)(,)266 2AMk.11 分 故2222231113 5(3)2(,)(,)3343636 4AMBNAMAMAMAMwkkkkkk.12 分 方法 2：由于双曲线2

24、214xy的渐近线方程为12yx，如图2，过点M作两渐近线的平行线1l与2l，由于点A在双曲线2214xy的右支上，所以直线AM介于直线1l与2l之间（含x轴，不含直线1l与2l），所以1 1(,)2 2AMk.9 分 同理，如图 3，过点N作两渐近线的平行线3l与4l，由于点B在双曲线2214xy的右支上，所以直线BN介于直线3l与4l之间（不含x轴，不含直线3l与4l），所以 11(,)(,)22BNk .10 分 “江南十校”数学答案 第 11 页 共 12 页 由（i）中结论可知113(,)(,)22BNAMkk ，得11(,)(,)66AMk ,所以111 1(,)(,)266 2A

25、Mk.11 分 故2222231113 5(3)2(,)(,)3343636 4AMBNAMAMAMAMwkkkkkk.12 分 22.【命题立意】本题考查导函数的应用和不等式的证明，突出了创新能力和函数同构思想。体现了逻辑推理、数学抽象、数学运算等核心素养。【试题难度】难【试题解析】（1）由题意得 )(xf的定义域为(0,)222)1()1()1(1)(xxkxxxkxxf.1 分 若)(xf在定义域上单调递增，则0)(xf恒成立，即21xxk在，0上恒成立，又421221xxxx，4k.3 分 若)(xf在定义域上单调递减，则0)(xf恒成立，即21xxk在，0上恒成立，而这样的k不存在.

26、综上所述：)(xf在定义域上单调递增，且4k.5 分（2）方法一：方法一：要证02)2(2)1(2xxexxx成立，只需证 xxxexx222)1(2，只需证 xxxxx22ln)1(22，.6 分 只需证 1212ln)1(2xxxx，只需证 xxxx2)12ln(2)12ln(，.8 分 当4k时，14ln)(xxxf，原不等式即证 )12()12(xfxf，.10 分 由（1）知)(xf在），（0上单调递增，)2,1(x ,012,012xx 又1212xx，则)12()12(xfxf，原不等式成立.12 分 方法二：方法二：要证02)2(2)1(2xxexxx成立，只需证 xxxexx222)1(2，只需证 xxxxx22ln)1(22，.6 分 “江南十校”数学答案 第 12 页 共 12 页 只需证 xxxxx22)2ln()2ln(2，令xxxxxxg22)2ln()2ln()(2，则222221214)(xxxxxxg .7 分 0)2)(12()1()1(4222xxxxxx.10 分)(xg在)2,1(x上单调递增，0)1()(gxg，022)2ln()2ln(2xxxxx，原不等式成立.12 分 以上各解答题如有不同解法并且正确以上各解答题如有不同解法并且正确,请按相应步骤给分请按相应步骤给分。