2023届数学二轮复习讲练测ab专题04 数列的通项、求和及综合应用（精讲精练）含解析.docx

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1、2023届数学二轮复习讲练测专题04 数列的通项、求和及综合应用【命题规律】数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有其中，小题重点考查等差数列、等比数列基础知识以及数列的递推关系，和其它知识综合考查的趋势明显（特别是与函数、导数的结合问题），浙江卷小题难度加大趋势明显；解答题的难度中等或稍难，随着文理同卷的实施，数列与不等式综合热门难题（压轴题），有所降温，难度趋减，将稳定在中等偏难程度往往在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后往往与不等式、函数、最值等问题综合在考查等差数列、等比数列的求和基础上，进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与不等式结合，“放缩”思想及方法

2、尤为重要数列与数学归纳法的结合问题，也应适度关注【核心考点目录】核心考点一：等差、等比数列的基本量问题核心考点二：证明等差等比数列核心考点三：等差等比数列的交汇问题核心考点四：数列的通项公式核心考点五：数列求和核心考点六：数列性质的综合问题核心考点六：实际应用中的数列问题核心考点七：以数列为载体的情境题【真题回归】1（2022浙江高考真题）已知数列满足，则（）ABCD2（2022全国高考真题（文）记为等差数列的前n项和若，则公差_3（2022全国高考真题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且(1)证明：；(2)求集合中元素个数4（2022全国高考真题（理）记为数列的前n项和已知(1)证明：

3、是等差数列；(2)若成等比数列，求的最小值5（2022天津高考真题）设是等差数列，是等比数列，且(1)求与的通项公式；(2)设的前n项和为，求证：；(3)求6（2022浙江高考真题）已知等差数列的首项，公差记的前n项和为(1)若，求；(2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围【方法技巧与总结】1、利用定义判断数列的类型：注意定义要求的任意性，例如若数列满足（常数）（，）不能判断数列为等差数列，需要补充证明；2、数列满足，则是等差数列；3、数列满足，为非零常数，且，则为等比数列；4、在处理含，的式子时，一般情况下利用公式，消去，进而求出的通项公式；但是有些题目虽然要求的通项公式，但

4、是并不便于运用，这时可以考虑先消去，得到关于的递推公式，求出后再求解5、遇到形如的递推关系式，可利用累加法求的通项公式，遇到形如的递推关系式，可利用累乘法求的通项公式，注意在使用上述方法求通项公式时，要对第一项是否满足进行检验6、遇到下列递推关系式，我们通过构造新数列，将它们转化为熟悉的等差数列、等比数列，从而求解该数列的通项公式：（1）形如（，），可变形为，则是以为首项，以为公比的等比数列，由此可以求出；（2）形如（，），此类问题可两边同时除以，得，设，从而变成，从而将问题转化为第（1）个问题；（3）形如，可以考虑两边同时除以，转化为的形式，设，则有，从而将问题转化为第（1）个问题7、公式法

5、是数列求和的最基本的方法，也是数列求和的基础其他一些数列的求和可以转化为等差或等比数列的求和利用等比数列求和公式，当公比是用字母表示时，应对其是否为进行讨论8、用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如：，裂项后产生可以连续相互抵消的项抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，但是前后所剩项数一定相同常见的裂项公式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）9、用错位相减法求和时的注意点：（1）要善于通过通项公式特征识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；（2）在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；（3）在应用错位相

6、减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解10、分组转化法求和的常见类型：（1）若，且，为等差或等比数列，可采用分组求和法求的前项和；（2）通项公式为，其中数列，是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和；（3）要善于识别一些变形和推广的分组求和问题11、在等差数列中，若（，），则在等比数列中，若（，），则12、前项和与积的性质（1）设等差数列的公差为，前项和为，也成等差数列，公差为也是等差数列，且，公差为若项数为偶数，则，若项数为奇数，则，（2）设等比数列的公比为，前项和为当时，也成等比数列，公比为相邻项积，也成等比数列，公比为若项数为偶数，则，；项数为奇数时，

7、没有较好性质13、衍生数列（1）设数列和均是等差数列，且等差数列的公差为，为常数的等距子数列也是等差数列，公差为数列，也是等差数列，而是等比数列（2）设数列和均是等比数列，且等比数列的公比为，为常数的等距子数列也是等比数列，公比为数列，也是等比数列，而是等差数列14、判断数列单调性的方法（1）比较法（作差或作商）；（2）函数化（要注意扩展定义域）15、求数列最值的方法（以最大值项为例，最小值项同理）方法：利用数列的单调性；方法2：设最大值项为，解方程组，再与首项比较大小【核心考点】核心考点一：等差、等比数列的基本量问题【规律方法】利用等差数列中的基本量（首项，公差，项数），等比数列的基本量（首

8、项，公比，项数）翻译条件，将问题转换成含基本量的方程或不等式问题求解【典型例题】例1（2022全国模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，则（）A4B3C2D1例2（2022江西临川一中高三阶段练习（文）已知数列满足，则=（）A80B100C120D143例3（2022新疆高三期中（理）已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前4项之积为64，则（）A1BC2D1或例4（2022全国高三阶段练习（文）已知公差不为零的等差数列中，且，成等比数列，则数列的前9项的和为（）A1B2C81D80例5（2022重庆八中高三阶段练习）已知数列满足，则（）ABCD例6（2022湖北高三

9、阶段练习）在公差不为零的等差数列中，且，成等比数列，设数列的前项和为，则（）ABCD例7（2022江苏无锡高三期中）已知两个等差数列2，6，10，198及2，8，14，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为（）A1460B1472C1666D1678核心考点二：证明等差等比数列【规律方法】判断或证明数列是等差、等比数列常见的方法如下（1）定义法：对于的任意正整数：若为一常数，则为等差数列；若为常数，则为等比数列（2）通项公式法：若，则为等差数列；（2）若，则为等比数列（3）中项公式法：若，则为等差数列；若，则为等比数列（4）前项和法：若的前项和

10、满足：，则为等差数列，则为等比数列【典型例题】例8（2022吉林长春模拟预测）已知数列满足：，(1)证明：数列是等差数列；(2)设，求数列的前n项和例9（2022河南高三期中（理）已知数列的前项和为，.(1)证明：数列为等差数列；(2)求数列的前项和.例10（2022全国高三专题练习）在数列中，.(1)求，；(2)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；例11（2022四川宜宾市叙州区第二中学校模拟预测（理）现有甲、乙、丙三个人相互传接球，第一次从甲开始传球，甲随机地把球传给乙、丙中的一人，接球后视为完成第一次传接球；接球者进行第二次传球，随机地传给另外两人中的一人，接球后视为完成第二次传接

11、球；依次类推，假设传接球无失误(1)设乙接到球的次数为，通过三次传球，求的分布列与期望；(2)设第次传球后，甲接到球的概率为，（i）试证明数列为等比数列；（ii）解释随着传球次数的增多，甲接到球的概率趋近于一个常数例12（2022湖南宁乡一中高三期中）已知数列满足：，(1)求，；(2)设，证明数列是等比数列，并求其通项公式；(3)求数列前10项中所有奇数项的和例13（2022河南高三期中（理）已知数列的各项均不为0，其前项的乘积.(1)若为常数列，求这个常数；(2)若，设，求数列的通项公式.例14（2022全国高三专题练习）已知数列满足，.求数列的通项公式;例15（2022全国高三专题练习）问

12、题：已知，数列的前n项和为，是否存在数列，满足，_若存在求通项公式若不存在，说明理由在；这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分核心考点三：等差等比数列的交汇问题【规律方法】在解决等差、等比数列综合问题时，要充分利用基本公式、性质以及它们之间的转化关系，在求解过程中要树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，并适时地采用“巧用性质，整体考虑”的方法可以达到减少运算量的目的【典型例题】例16（2022河南一模（理）已知等比数列的前项和为，(1)求数列的通项公式；(2)在和之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在项（其中是公

13、差不为的等差数列）成等比数列？若存在，求出这项；若不存在，请说明理由例17（2022全国高三专题练习）已知数列的前n项和为，(1)求数列的通项公式；(2)判断数列中是否存在成等差数列的三项，并证明你的结论例18（2022福建省福州华侨中学高三阶段练习）已知在正项等比数列中成等差数列，则_例19（2022湖北高三期中）已知是等差数列，是等比数列，是数列的前n项和，则=_例20（2022河南省淮阳中学模拟预测（理）已知等差数列的前项利为，若，1成等比数列，且，则的公差的取值范围为_例21（2022上海华东师范大学第一附属中学高三阶段练习）已知等差数列的公差不为零，等比数列的公比是小于1的正有理数若

14、，且是正整数，则的值可以是_例22（2022贵州顶效开发区顶兴学校高三期中（理）对于集合A，定义集合. 己知等差数列和正项等比数列满足，设数列和中的所有项分别构成集合A，将集合的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，则数列的前30项和_.例23（2022全国模拟预测（文）设数列，满足，则它们的公共项由小到大排列后组成新数列在和中插入个数构成一个新数列：，1，3，5，7，9，11，插入的所有数构成首项为1，公差为2的等差数列，则数列的前20项和_核心考点四：数列的通项公式【规律方法】常见求解数列通项公式的方法有如下六种：（1）观察法：根据所给的一列数、式、图形等，通过观察法猜想其通项公式（2

15、）累加法：形如的解析式（3）累乘法：形如（4）公式法（5）取倒数法：形如的关系式（6）构造辅助数列法：通过变换递推关系，将非等差（比）数列构造为等差（比）数列来求通项公式【典型例题】例24（2022上海市南洋模范中学高三期中）在数列中.，是其前n项和，当时，恒有、成等比数列，则_例25（2022黑龙江肇州县第二中学高三阶段练习）已知数列的前项和为，则数列_例26（2022福建高三阶段练习）设等差数列的前项和为，若，则_.例27（2022全国高三专题练习）已知数列满足，且，则数列的通项公式为_例28（2022全国高三专题练习）已知在数列中，则_例29（2022全国高三专题练习）已知在数列中，则_

16、例30（2022全国高三专题练习）设是首项为1的正项数列且，且，求数列的通项公式_例31（2022全国高三专题练习）已知数列的前项和为，且，（），则_例32（2022全国高三专题练习）数列满足：，则的通项公式为_.例33（2022全国高三专题练习）甲、乙两人各拿两颗骰子做抛掷游戏，规则如下：若掷出的点数之和为3的倍数，原掷骰子的人再继续掷；若掷出的点数之和不是3的倍数，就由对方接着掷第一次由甲开始掷，则第n次由甲掷的概率_（用含n的式子表示）核心考点五：数列求和【规律方法】求数列前项和的常见方法有以下四种（1）公式法：利用等差、等比数列的前项和公式求数列的前项和（2）裂项相消法：将数列恒等变形

17、为连续两项或相隔若干项之差的形式，进行消项其方法核心有两点：一是裂项，将一个式子分裂成两个式子差的形式；二是要能相消常见的裂项相消变换有以下形式分式裂项：；根式裂项：；对数式裂项；指数式裂项（3）错位相减法（4）分组转化法【典型例题】例34（2022全国高三专题练习）已知函数，数列的前n项和为，点均在函数的图象上，函数.(1)求数列的通项公式；(2)求的值；(3)令，求数列的前2020项和.例35（2022陕西渭南一模（理）已知各项均为正数的数列的前项和为，且，.各项均为正数的等比数列满足，.(1)求数列和的通项公式；(2)若，求数列的前项和.例36（2022陕西渭南一模（文）已知等差数列的前

18、项和为，不等式的解集为.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.例37（2022全国模拟预测）在数列中，(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前项和例38（2022黑龙江哈尔滨市第六中学校高三期中）已知数列的各项均为正数的等比数列，(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和例39（2022四川省蓬溪县蓬南中学高三阶段练习）给定数列，若满足，对于任意的，都有，则称为“指数型数列”.若数列满足：；(1)判断是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；(2)若，求数列的前项和.例40（2022广西南宁市第十九中学模拟预测（文）数列满足，（为正常数），且，.(1)求数列的

19、通项公式；(2)求数列的前项和.例41（2022全国高三专题练习）为等差数列的前项和，且，记，其中表示不超过的最大整数，如.(1)求；(2)求数列的前2022项和.例42（2022云南昆明一中高三阶段练习）已知数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.核心考点六：数列性质的综合问题【典型例题】例43（2022全国模拟预测）已知数列满足，且，则的最小值是（）A-15B-14C-11D-6例44（2022福建三明高三期中）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，则下列结论正确的是（）AB是数列中的最大值CD数列无最大值例45（2022广西南宁市第十九中学模拟预测（文）数

20、列的前项和，则数列中的最大项为（）ABCD例46（2022全国安阳市第二中学模拟预测（文）已知数列的前n项和为，且，若恒成立，则实数的最大值为（）AB1CD例47（2022山西运城高三期中）已知数列满足，若，数列的前项和为，且对于任意的都有，则实数的取值范围是（）ABCD例48（2022山东聊城高三期中）若函数使得数列，为递增数列，则称函数为“数列保增函数”已知函数为“数列保增函数”，则a的取值范围为（）ABCD例49（2022广东执信中学高三阶段练习）已知等比数列的前5项积为32，则的取值范围为（）ABCD例50（2022北京八中高三阶段练习）已知数列是递增数列，且，则的取值范围是（）ABC

21、D例51（2022江西高三阶段练习（理）已知数列，的前项和分别为，当时，若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）ABCD核心考点六：实际应用中的数列问题【规律方法】解数列应用题的一般步骤（1）阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系（2）根据题意数列问题模型（3）应用数列知识求解（4）将数列问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等【典型例题】例52（2022黑龙江哈尔滨市剑桥第三高级中学有限公司高三阶段练习）某单位用分期付款方式为职工购买40套住房，总房价1150万元.约定：2021年7月1日先付款150万元，以后每月1日都交付5

22、0万元，并加付此前欠款利息，月利率，当付清全部房款时，各次付款的总和为（）A1205万元B1255万元C1305万元D1360万元例53（2022全国高三专题练习）在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开设的土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每月获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元.余款作为资金全部用于再进货，如此继续.设第n月月底小王手中有现款为，则下列结论正确的是（）（参考数据：，）2020年小王的年利润约为40000元两年后，小王手中现款约达41万ABCD例5

23、4（2022全国高三专题练习）为了更好地解决就业问题，国家在2020年提出了“地摊经济”为响应国家号召，有不少地区出台了相关政策去鼓励“地摊经济”老王2020年6月1日向银行借了免息贷款10000元，用于进货.因质优价廉，供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底扣除生活费1000元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2021年5月底该摊主的年所得收入为（）（取，）A32500元B40000元C42500元D50000元例55（2022云南昭通高三阶段练习（文）某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费

24、，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，已知第五实验室比第二实验室的改建费用高28万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高112万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1100万元.则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要（）A2806万元B2906万元C3106万元D3206万元例56（2022全国高三专题练习）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定对于，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径

25、假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天（初始感染者传染个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：，）（）A35B42C49D56核心考点七：以数列为载体的情境题【规律方法】1、应用数列知识解决此类问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型等差、等比数列模型2、需要读懂题目所表达的具体含义，观察给定数列的特征，进而判断出该数列的通项与求和公式3、求解时要明确目标，认清是求和、求通项、还是解递推关系问题，然后通过数学推理与计算得出结果，并回归实际问题中，进行检验，最终得出结论【典型例题】例57（

26、2022上海市行知中学高三期中）定义：对于各项均为整数的数列，如果(=1，2，3，)为完全平方数，则称数列具有“性质”；不论数列是否具有“性质”，如果存在数列与不是同一数列，且满足下面两个条件：（1）是的一个排列；（2）数列具有“性质”，则称数列具有“变换性质”.给出下面三个数列：数列的前项和；数列：1，2，3，4，5；数列：1，2，3，4，5，6.具有“性质”的为_；具有“变换性质”的为_.例58（2022江苏沭阳县建陵高级中学高三阶段练习）在数列的每相邻两项之间插入这两项的和，组成一个新的数列，这样的操作叫做这个数列的一次“拓展”.先将数列1，2进行拓展，第一次拓展得到；第二次拓展得到数列

27、；第次拓展得到数列.设，其中_，_.例59（2022河北唐山三模）角谷猜想又称冰雹猜想，是指任取一个正整数，如果它是奇数，就将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈如取正整数，根据上述运算法则得出，共需要经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”），已知数列满足：（m为正整数），若，则使得至少需要_步雹程；若；则m所有可能取值的和为_例60（2022全国华中师大一附中模拟预测）已知数列为1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此规律类推若其前n项和，则称k为的一个理想数将

28、的理想数从小到大依次排成一列，则第二个理想数是_；当的项数时，其所有理想数的和为_例61（2022吉林吉林模拟预测（文）如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称这个数列为“数列”.已知数列满足：，则数列的通项公式_；若，且数列是“数列”，则t的取值范围是_.例62（2022全国模拟预测）将一条线段三等分后，以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生成1级Koch曲线“”，将1级Koch曲线上每一线段重复上述步骤得到2级Koch曲线，同理可得3级Koch曲线（如图1），Koch曲线是几何中最简单的分形若一个图形由N个与它的上一级图形相似，相似比为r的部分组成，称为该图形分形维数，则

29、Koch曲线的分形维数是_（精确到0.01，）在第24届北京冬奥会开幕式上，一朵朵六角雪花（如图2）飘拂在国家体育场上空，畅想着“一起向未来”的美好愿景六角雪花曲线是由正三角形的三边生成的三条1级Koch曲线组成，再将六角雪花曲线每一边生成一条1级Koch曲线得到2级十八角雪花曲线（如图3），依次得到n级Kn（）角雪花曲线若正三角形边长为1，则n级Kn角雪花曲线的周长_【新题速递】一、单选题1（2022全国模拟预测）已知数列的前n项和为，数列的前n项和为，则（）A0B50C100D25252（2022黑龙江哈尔滨市第六中学校高三期中）一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的实心塔群

30、，共分十二阶梯式平台，自上而下一共12层，每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108座已知其中10层的塔数成公差不为零的等差数列，剩下两层的塔数之和为8，则第11层的塔数为（）A17B18C19D203（2022江苏常熟市中学高三阶段练习）等差数列各项均为正数，首项与公差相等，则的值为（）A9069B9079C9089D90994（2022浙江绍兴市越州中学高三阶段练习）记表示不超过实数的最大整数，如，设，则（）ABCD5（2022上海市洋泾中学高三阶段练习）设等比数列，首项，实系数一元二次方程的两根为若存在唯一的，使得，则公比的取值可能为（）ABCD6（2022全国高三阶段练习）已知等差数列

31、，的前n项和分别为，且，则（）ABCD7（2022广西南宁市第十九中学模拟预测（文）数列满足，则满足的的最小值为（）A16B15C14D138（2022福建省福州第十一中学高三期中）已知定义在上的函数满足，当时，设在上的最大值为（），且的前项和为，则（）ABCD二、多选题9（2022江苏盐城模拟预测）设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，并满足条件，下列结论正确的是（）ABC是数列中的最大值D若，则n最大为403810（2022江苏南京模拟预测）已知数列满足，则（）ABCD11（2022山西临汾高三阶段练习）已知数列的前项和为，则（）A若，则是等差数列B若，则是等比数列C若是等差数列

32、，则D若是等比数列，且，则12（2022山东微山县第二中学高三期中）设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，且满足条件，则下列选项正确的是（）A为递减数列BC是数列中的最大项D三、填空题13（2022全国模拟预测）已知正实数b是实数a和实数c的等差中项，且，若，成等比数列，则_14（2022全国模拟预测）若定义在上的函数满足，且恰有（）个根（，2，），则数列的前项和_.15（2022全国模拟预测）已知等比数列的通项公式为，记的前n项和为，前n项积为，则使不等式成立的n的最大值为_.16（2022河北高三期中）定义n个正数的“均倒数”为，若各项均为正数的数列的前n项的“均倒数”为，则的值

33、为_四、解答题17（2022全国模拟预测）已知等比数列的首项，公比为q，是公差为的等差数列，是与的等比中项(1)求数列的通项公式；(2)设的前n项和为，数列满足，求数列的前n项和18（2022全国模拟预测）已知数列的各项均不为零，前n项和满足.(1)求证：数列是等差数列；(2)记，求数列的前n项和.19（2022全国模拟预测）已知数列满足，且，.(1)求证：数列是等差数列；(2)若数列满足，求的前n项和.20（2022全国模拟预测）在，数列为等比数列这三个条件中选出两个，补充在下面的横线上，并解答这个问题.问题：已知等比数列的前项和为，_.(1)求数列的通项公式；(2)若的前项和为，且，求的值

34、.注：如果选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.21（2022安徽蒙城第一中学高三阶段练习）已知数列的前项和为(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前项和22（2022上海市洋泾中学高三阶段练习）已知各项均为正数的数列的前项和为，向量，向量，且(1)求数列的通项公式；(2)若对任意正整数都有成立，求23（2022江苏盐城模拟预测）已知数列满足，()，且()(1)求数列的通项公式；(2)若()，求数列的前n项和专题04 数列的通项、求和及综合应用【命题规律】数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有其中，小题重点考查等差数列、等比数列基础知识以及数列的递推关系，和其它知识

35、综合考查的趋势明显（特别是与函数、导数的结合问题），浙江卷小题难度加大趋势明显；解答题的难度中等或稍难，随着文理同卷的实施，数列与不等式综合热门难题（压轴题），有所降温，难度趋减，将稳定在中等偏难程度往往在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后往往与不等式、函数、最值等问题综合在考查等差数列、等比数列的求和基础上，进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与不等式结合，“放缩”思想及方法尤为重要数列与数学归纳法的结合问题，也应适度关注【核心考点目录】核心考点一：等差、等比数列的基本量问题核心考点二：证明等差等比数列核心考点三：等差等比数列的交汇问题核心考点四：数列的通项公式核心考点五：数列

36、求和核心考点六：数列性质的综合问题核心考点六：实际应用中的数列问题核心考点七：以数列为载体的情境题【真题回归】1（2022浙江高考真题）已知数列满足，则（）ABCD【答案】B【解析】，易得，依次类推可得由题意，即，即，累加可得，即，即，,又，累加可得，即，即；综上：故选：B2（2022全国高考真题（文）记为等差数列的前n项和若，则公差_【答案】2【解析】由可得，化简得，即，解得.故答案为：2.3（2022全国高考真题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且(1)证明：；(2)求集合中元素个数【解析】（1）设数列的公差为，所以，即可解得，所以原命题得证（2）由（1）知，所以，即，亦即，解得，所

37、以满足等式的解，故集合中的元素个数为4（2022全国高考真题（理）记为数列的前n项和已知(1)证明：是等差数列；(2)若成等比数列，求的最小值【解析】（1）因为，即，当时，得，即，即，所以，且，所以是以为公差的等差数列（2）方法一：二次函数的性质由（1）可得，又，成等比数列，所以，即，解得，所以，所以，所以，当或时，方法二：【最优解】邻项变号法由（1）可得，又，成等比数列，所以，即，解得，所以，即有.则当或时，【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出的最小值，适用于可以求出的表达式；法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解5（2022天津高考真题）设是等差数列，是等比数列，且

38、(1)求与的通项公式；(2)设的前n项和为，求证：；(3)求【解析】（1）设公差为d，公比为，则，由可得（舍去），所以；（2）证明：因为所以要证，即证，即证，即证，而显然成立，所以；（3）因为，所以，设所以，则，作差得，所以，所以.6（2022浙江高考真题）已知等差数列的首项，公差记的前n项和为(1)若，求；(2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围【解析】（1）因为，所以，所以，又，所以，所以，所以，（2）因为，成等比数列，所以，由已知方程的判别式大于等于0，所以，所以对于任意的恒成立，所以对于任意的恒成立，当时，当时，由，可得当时，又所以【方法技巧与总结】1、利用定义判断数列

39、的类型：注意定义要求的任意性，例如若数列满足（常数）（，）不能判断数列为等差数列，需要补充证明；2、数列满足，则是等差数列；3、数列满足，为非零常数，且，则为等比数列；4、在处理含，的式子时，一般情况下利用公式，消去，进而求出的通项公式；但是有些题目虽然要求的通项公式，但是并不便于运用，这时可以考虑先消去，得到关于的递推公式，求出后再求解5、遇到形如的递推关系式，可利用累加法求的通项公式，遇到形如的递推关系式，可利用累乘法求的通项公式，注意在使用上述方法求通项公式时，要对第一项是否满足进行检验6、遇到下列递推关系式，我们通过构造新数列，将它们转化为熟悉的等差数列、等比数列，从而求解该数列的通项

40、公式：（1）形如（，），可变形为，则是以为首项，以为公比的等比数列，由此可以求出；（2）形如（，），此类问题可两边同时除以，得，设，从而变成，从而将问题转化为第（1）个问题；（3）形如，可以考虑两边同时除以，转化为的形式，设，则有，从而将问题转化为第（1）个问题7、公式法是数列求和的最基本的方法，也是数列求和的基础其他一些数列的求和可以转化为等差或等比数列的求和利用等比数列求和公式，当公比是用字母表示时，应对其是否为进行讨论8、用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如：，裂项后产生可以连续相互抵消的项抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，但是前后所剩项数一定相同常见的裂项公式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）9、用错位相减法求和时的注意点：（1）要善于通过通项公式特征识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；（2）在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应