河北省邯郸市大名县第一中学2022-2023学年高三下学期2月月考试题数学含解析.pdf

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1、第 1页 共 6页第 2页 共 6页高高三三数数学学月月考考题题一一、单单选选题题1已知21,NPx xkx，2log2Qxx，则PQ（）A113,B1,3C0,2,4D2,42定义在 R 上的偶函数 fx满足：在0,)x上单调递减，则满足 211fxf的 x 的取值范围是（）A1,0B(1,)(,0)C(,0)D0,13函数2sin()|2xf xx的部分图象大致为（）ABCD452xx的展开式中，4x的系数是（）A10B40C60D805过抛物线24yx的焦点F且斜率为 1 的直线与该拋物线交于AB两点，则线段AB的中点到准线的距离为（）A3B4C5D66已知数列 na满足11a，1113

2、nnaa，设数列1nna a的前n项和为nT，若33101kTk N，则k的最小值是（）A16B17C18D197四面体 ABCD 的四个顶点都在球 O 的球面上，2ABADCD，2 2BD，BDCD，平面ABD 平面 BCD，则球 O 的体积为（）A4 2 B3 2C4 3 D28已知点M是椭圆C：22143xy上异于顶点的动点，1F，2F分别为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，E为1MF的中点，12FMF的平分线与直线EO交于点P，则四边形12MFPF的面积的最大值为（）A1B2C3D2 2二二、多多选选题题（多多选选漏漏选选不不得得分分）9已知复数3i1 iz，则下列结论中正确的是（）Az

3、 对应的点位于第二象限Bz的虚部为 2C5z D5zz 10已知 m，n 为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A若/m，/n，则/m nB若/m，/m，则/C若m，n，则/m nD若m，m，则/11下列说法正确的是（）A若随机变量21,N，(5)0.75P，则30.25P B若随机变量19,3XB，则215DX C以模型ekxyc去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设lnzy，将其变换后得到线性方程0.51zx，则 c，k 的值分别是e，0.5D从 10 名男生，5 名女生中随机选取 4 人，则其中至少有一名女生的概率为13514415C CC12古希腊数学家阿波罗尼斯与

4、欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点 A，B 的距离之比为定值 m（m1）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系 xOy 中，2,0,4,0AB，点 P 满12PAPB.设点 P 的轨迹为 C，则下河北省邯郸市大名县第一中学2022-2023学年高三下学期2月月考试题第 3页 共 6页第 4页 共 6页列结论正确的是（）AC 的方程为22(4)12xyB当 A，B，P 三点不共线时，射线 PO 是APB 的平分线C在 C 上存在 K 使得2KOKAD在 x 轴上存在异于 A，B 的两个定点 D，E，使得12PDPE三三、填填

5、空空题题13设等比数列 na的公比2q=，前n项和为nS，则42Sa_.14已知O的半径为2，点,A B C为该圆上的三点，且2AB，0BA BCuur uuu r，则OCBOBA 的取值范围是_.15.在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，ABC的面积为S，22tan8abCS，则222sinsinsinABC_16已知函数 e,01ln,1xxxf xxx x的图像与直线1l：21siny交于点11,A x y，22,B xy，其中12xx，与直线2l：212cosy交于两点33,C xy、44,D xy，其中34xx，则1234x xx x的最小值为_.四四、解解答答题题17A

6、BC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且2 coscoscosbAcAaC.(1)求 A；(2)若4a，求ABC面积的最大值.18已知数列na的首项12a，且*121()nnaanN.(1)求证：数列1na 是等比数列；(2)设2log(1)nnba，求使不等式1245nbbb 成立的最小正整数 n.19如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是矩形，PB 底面ABCD，3ABBC，3BP，13CFCP，13DEDA(1)证明：EF P平面ABP；(2)求直线PC与平面ADF所成角的正弦值20抖音（TikTok）是由今日头条推出的一款短视频分享 APP，于 2016 年 9 月上线

7、，是一个专注于年轻人音乐短视频创作分享的社区平台.抖音的出现是一把双刃剑，可以鼓励人们表达、沟通和记录，让每一个人看见并连接更大的世界，但同时也出现部分网民长时间沉迷刷抖音的现象，长时间刷抖音会影响用眼健康.为了解网民刷抖音的情况，某研究小组从抖音用户中随机抽取 100 人，对其平均每天刷抖普的时长进行统计，得到统计表如下：平均每天刷抖音的时长不大于 1 小时大于 1 小时且小于 3 小时不少于 3 小时人数（男）20256人数（女）201514该研究小组按照用户平均每天刷抖音时长将沉迷刷抖音程度分为重度、中度、轻度、若某人平均每天刷抖音的时长不少于 3 小时则称为“重度沉迷”；平均每天刷抖音

8、的时长大于 1 小时且小于 3 小时，叫称为“中度沉迷”；平均每天刷抖音的时长不大于 1 小时，则称为“轻度沉迷”.(1)根据调查数据，填写下面列联表，并根据数据判断是否有 95%的把握认为性别与是否为“重度沉迷”刷抖音有关系？第 5页 共 6页第 6页 共 6页非“重度沉迷”“重度沉迷”合计人数（男）人数（女）合计(2)该研究小组为鼓励用户适度刷抖音，从这 100 名研究对象中按分层抽样的方式随机抽取 20 位，分别给与“重度沉迷”“中度沉迷”和“轻度沉迷”的抖音用户 50 元、100 元、150 元的购书券奖励.现从这 20 位抖音用户中随机抽取两人，求这两人所获得购书券总和 X 的分布列

9、和期望.附：22()()()()()n adbcKa b cd a c b d，其中nabcd.20P Kk0.150.100.050.0250.0100.0010k2.0722.7063.8415.0246.63510.82821（本题 12 分）点(4,3)P在双曲线2222:1(0,0)xyCabab上，离心率72e.(1)求双曲线C的方程；(2),A B是双曲线C上的两个动点（异于点P），12,k k分别表示直线,PA PB的斜率，满足1232k k，求证：直线AB恒过一个定点，并求出该定点的坐标.22已知 ln2xf xxx.(1)讨论 fx的单调性；(2)设1x、2x为两个不相等的

10、正数，且 12f xf x，其中12xx.“以直代曲”是微积分的基本思想和重要方法.请你在、两种方法中选择一种（也可以同时选择）来证明：212exx.用直线2xy 代替曲线 yf x在0,e之间的部分；用曲线 yf x在2ex 处的切线代替其在2e,e之间的部分.参参考考答答案案：1B2B3B4D5B6B【分析】根据等差数列定义和通项公式可推导得到na，由此可得1nna a，利用裂项相消法可求得nT，由33101kT 可构造不等式求得k的范围，进而得到最小值.【详解】1113nnaa，111a=，数列1na是以1为首项，3为公差的等差数列，113132nnna，则132nan，11111323

11、13 3231nna annnn，11111111111344771035323231nTnnnn11133131nnn，由33101kT 得：3331101kk，解得：332k，又kN，min17k.故选：B.7C【分析】根据勾股定理和面面垂直的性质定理得到球心位于BC中点，再求出半径，利用球的体积公式得到答案.【详解】四面体ABCD的顶点都在的球O的球面上,且2,2 2ABADCDBD，BDCD，222ABADBD，22222 222 3BCBDCD,平面ABD 平面BCD,平面ABD平面BCDBD，CD 平面BCD，CD平面ABD，又AD 平面ABD，CDAD，2222222 2ACAD

12、CD，222 312BC,222222 212ABAC,222ABACBC,ACAB,取BC中点O,则112 3322OAOBOCODBC,球O的体积34(3)4 33V.故选：C.8B【分析】由题，结合角平分线性质与椭圆的性质，1212122MF PFSMFMFhh，h为P到2MF的距离，又OE是12FMF的中位线，故12212sinhFFMF F，结合余弦定理，设2MFt，即可表示出12MF PFS，即可讨论最值【详解】由图，224,3ab，221cab，故122FF，124MFMF，又MP平分12FMF，则P到1MF、2MF的距离相等，设为h，则1212122MF PFSMFMFhh设2

13、MFt，则14MFt，22221243cos24ttMF Ftt，由OE是12FMF的中位线，易得2122132sin2 12hFFMF Ft，即12232 12MF PFSt，由椭圆性质易知，存在点M为椭圆C上异于顶点的动点，使32t，此时12MF PFS最大，且为 2故选：B9CD10CD11AC【分析】四个选项分别利用正态曲线的性质，二项分布方差的有关性质，非线性回归方程线性化的方法，考虑对立事件即可求概率，即可判断正误.【详解】随机变量21,N，正态曲线关于1x 对称，则35PP,51(5)10.750.25PP ,即30.25P，故A正确；随机变量19,3XB，则11191233D

14、Xnpp，故2148DXD X，故B错误；ekxyc，两边取对数得lnlnelnkxycckx，令lnzy，可得lnzckx，0.51zx，ln1c，0.5k，ec，故C正确；从 10 名男生，5 名女生中随机选取 4 人，则其中至少有一名女生的对立事件为选取的 4 人中没有一名女生，其概率为541041CC,则其中至少有一名女生的概率为41541310514415CC C1CC，故D不正确；故选:AC12BD【分析】设点,P x y，根据题意可求出C的方程可判断 A，根据三角形内角平分线的性质可判断 B，求出点 K 的轨迹方程与C的方程联立可判断 C，设,D E.的坐标结合C的方程可判断 D

15、.【详解】设点,P x y，则由12PAPB可得22222124xyxy，化简可得22416xy，故 A 错误；当A，B，P三点不共线时，因为12PAPB，2,4OAOB，所以12OAOB，所以PAOAPBOB，射线PO是APB的平分线，故 B 正确；设存在00,K xy，则2200416xy，即2200080 xxy，因为2KOKA，所以2222000022xyxy，所以2222000042xyxy，所以220001616033xxy，又因为2200080 xxy，所以02x，又因为02x不满足22:416Cxy，所以不存在K满足条件，故 C 错误；假设x轴上存在异于,A B的两定点,D E

16、，使得12PDPE，可设(,0),(,0)D mE n，可得2222()2()xnyxmy，由 P 的轨迹方程为2280 xyx，可得228224,40mnmn，解得6,12mn 或2,4mn（舍去），即存在(6,0),(12,0)DE，故 D 正确.故选：BD.【点睛】本题考查阿波罗尼斯圆的定义及应用，属于新定义问题；证明角平分线除了可以通过线段的长度比来证明，还可以通过点到线段两边的距离相等来证明；和圆有关的线段长度问题，可以利用坐标法来解决问题.13152146,4 3【分析】先以OA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，得到(2,0)A，(1,3)B，2cos,2sinC，0,2，根据向

17、量数量积的坐标表示，得到0,23，进而可得出结果.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则(2,0)A，(1,3)B，2cos,2sinC，0,2，又0BA BCuur uuu r所以3sincos1，即1sin62，所以0,23，又0,2 3BOBA ，所以6,4 3OCBOBA .故答案为：6,4 3.【点睛】本题主要考查求平面向量数量积的取值范围，可用建系的方法处理，属于常考题型.15.【答案】2【解析】由题意可知22sin18sincos2CababCC，224cosababC，由余弦定理：222cos2abcCab，可得2222abc，又由正弦定理可得222222sinsin2sin

18、abABcC。答案：216322【分析】根据 fx的单调性，易得112221elnsinxxxx，12ln12elnexxxx，即12lnxx，从而得到112121esinxx xx，同理得到34212cosx x，再利用基本不等式求解.【详解】解：当01x时，exf xx，则 10exfxx，所以 fx在0,1上递增，且 0,efx；当1x时，lnfxxx，则 1 ln0fxx，所以 fx在1,上递增，若要使 0,efx，则1,ex，所以24,1,exx，24ln,ln0,1xx 因为函数 e,01ln,1xxxf xxx x的图像与直线1l：21siny交于点11,A x y，22,B x

19、y，所以112221elnsinxxxx，12ln12elnexxxx，所以12lnxx，即12exx，所以112121esinxx xx，同理34212cosx x，所以1234222211112sin2cossincosx xx x，2222222211sin13cos322sincos2sincos2sincos2，当且仅当22221sincos2sincos，即2tan2，等号成立，所以1234x xx x的最小值为322.故答案为：322【点睛】思路点睛：首先确定函数每段的单调性，从而得到交点横坐标的关系，建立模型，再利用基本不等式求解.17(1)3A(2)4 3【分析】（1）由正弦

20、定理将边化为角，结合三角函数的两角和的正弦公式，可求得答案;（2）由余弦定理结合基本不等式可求得16bc，再利用三角形面积公式求得答案.【详解】（1）根据正弦定理及2 coscoscosbAcAaC，得2sincossincossincossin()sinBACAACACB.sin0B，1cos2A.0A，3A.（2）由（1）知3A，又4a，由余弦定理得22162cos3bcbc，即2216bcbc，222bcbc，216bcbc，即16bc，当且仅当4bc时取等号.1133sin164 32224ABCSbcAbc.ABCS的最大值为4 3.18(1)证明见解析(2)11【分析】（1）根据递

21、推公式变换可知数列1na 是以11 1a 为首项，公比为12的等比数列；（2）根据2log(1)1nnban，然后利用等差数列求和公式求解.【详解】（1）解：由题意得：根据121nnaa，得：111(1)2nnaa 可知数列1na 是以11 1a 为首项，公比为12的等比数列.111()2nnanN.（2）2log(1)1nnban 21231 23(1)2nnnbbbbn 290nn.解得9n 或10n，又nN使不等式成立的最小正整数 n 为 11.19(1)证明见解析(2)3 510【分析】(1)建立空间直角坐标系，证明EF与平面ABP的法向量垂直即可；(2)利用空间向量求线面角即可.【详

22、解】（1）由题意知，BC，BA，BP两两互相垂直，以B为原点，BC，BA，BP所在直线分别为,x y z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，则0,0,0B，3,0,0C，2,3,0E，2,0,1F，所以3,0,0BC ，0,3,1EF PB 底面ABCD，BC底面ABCD，PBBC又BCBA，PBBAB，且,PB BA平面ABP,BC平面ABP，所以3,0,0BC 是平面ABP的一个法向量因为 3,0,00,3,10BC EF ，所以BCEF 又EF 平面ABP，所以EF P平面ABP（2）因为0,3,0A，3,0,0C，3,3,0D，0,0,3P，2,0,1F，所以3,0,0AD，2,

23、3,1AF ，3,0,3PC ，设平面ADF的法向量为,nx y z，则由30230n ADxn AFxyz，解得03xzy，令1y，得平面ADF的一个法向量为0,1,3n 设直线PC与平面ADF所成的角为，则 3,0,30,1,33 5sincos、0fx可得出函数 fx的增区间和减区间；（2）分析可知10,ex，22e,ex，选，证明出 2xf x，0,ex，令2xy 与 1yf x的交点为M，点M的横坐标m，则12mfx，可得出12222xxfxx，构造函数 2g xf xx，2e,ex，可得出 22eeg xg，即可得出212exx；选，求出 yf x在2ex 处的切线为21e2yx，

24、证明出 212xef x，2e,ex，令21e2yx 与2yf x的交点为N，点N的横坐标n，可得出22e2nf x，构造函数 2e2h xxfx，0,ex，可得出 2eh x，即可证得结论成立；选，证明出则 2xf x，0,ex，21e2xf x，2e,ex，令2xy 与 1yf x的交点为M，点M的横坐标m，则 12mf x，令21e2yx 与2yf x的交点为N，点N的横坐标n，则221e2nf x，可得22e2nf x，数形结合可证得结论成立.(1)解：函数 ln2xf xxx的定义域为0,，1ln1 ln122xxfx.由()0fx可得0ex，由 0fx可得ex.所以，函数 fx的增

25、区间为0,e，减区间为e,.(2)证明：由（1）可知，maxee02fxf，由 2ln02xf xx可得20ex，因为函数 fx的增区间为0,e，减区间为e,，由12xx可知10,ex，22e,ex，若选，当0,ex时，ln1x，则 1 ln022xxf xx，则 2xf x，0,ex，令2xy 与 1yf x的交点为M，点M的横坐标m，则12mfx，由10,ex 可得 122122222xxmxf xxf xx，22e,ex，令 2g xf xx，2e,ex，即 3lng xxxx，2e,ex，当2e,ex时，2ln0gxx，g x在2e,e上单调递增，所以 22eeg xg，212exx；

26、选，21e2f ，2e0f，所以，yf x在2ex 处的切线为21e2yx.令 2213lnee22xxxp xfxx，其中2e,ex，2ln02xpx，所以，函数 p x在2e,e上单调递增，则 2e0p xp，所以，21e2xf x，2e,ex，令21e2yx 与2yf x的交点为N，点N的横坐标n，则221e2nf x，可得22e2nf x，所以，221211211e2e2xxxnxfxxfx，10,ex，2e2h xxfx，0,ex，即 2lneh xxxx，0,ex，由0,ex知ln1x，22lneeh xxxx，所以212exx；若选，当0,ex时，ln1x，则 1 ln022xx

27、f xx，则 2xf x，0,ex，21e2f ，2e0f，所以，yf x在2ex 处的切线为21e2yx.令 2213lnee22xxxp xfxx，其中2e,ex，2ln02xpx，所以，函数 p x在2e,e上单调递增，则 2e0p xp，所以，21e2xf x，2e,ex，令2xy 与 1yf x的交点为M，点M的横坐标m，则 12mf x，令21e2yx 与2yf x的交点为N，点N的横坐标n，则221e2nf x，可得22e2nfx，则212122e2xxmnfxfx，由 12f xf x可得212exx.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式 f xg x（或 f xg x）转化为证明 0f xg x（或 0f xg x），进而构造辅助函数 h xf xg x；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.