最新05 第五节 函数展开成幂级数.doc

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1、第五节函数开展成幂级数后面多少节咱们探讨了幂级数的收敛域以及幂级数在收敛域上的跟函数.如今咱们要思索相反的咨询题，即对给定的函数，要断定它是否在某一区间上“表现成幂级数，或许说，是否寻到如此幂级数，它在某一区间内收敛，且其跟恰恰即是给定的函数.假如能寻到如此的幂级数，咱们就称函数在该区间内能开展成幂级数,而那个幂级数在该区间内就表白了函数散布图示弁言泰勒级数的观点麦克劳林级数函数开展成幂级数直截了当法例1例2例3例4例5常用麦克劳林开展式函数开展成幂级数直接法例6例7例8例9例10例11例12例13内容小结讲堂训练习题125前往内容要点一、泰勒级数的观点：函数的泰勒开展式；函数的麦克劳林开展式

2、；假如函数能在某个区间内开展成幂级数，那么它肯定在那个区间内的每一点处存在恣意阶的导数.即，不恣意阶导数的函数是不能够开展成幂级数的.可证实，假如能开展成的幂级数，那么这种开展式是独一的，它必定即是的麦克劳林级数.二、函数开展成幂级数的办法：直截了当法：直截了当将函数展成泰勒级数；直接法：应用已经知道的函数开展式七个根本函数的麦克劳林开展式，经过线性运算法那么、变量代换、恒等变形、逐项求导或逐项积分等办法直接地求得幂级数的开展式.这种办法咱们称为函数开展成幂级数的直接法.例题选讲应用直截了当法将函数开展成幂级数例1E01将函数开展成幂级数.解由得因而的麦克劳林级数为该级数的收敛半径为关于任何无

3、限的数、(介于0与之间)，有因无限,而是级数的普通项，因而即有因而例2E02将函数展成x的幂级数.解次序轮回地取因而的麦克劳林级数为该级数的收敛半径为关于任何无限的数、介于0与之间)，有有因而例3E03将函数展成x的幂级数.解应用幂级数的运算性子,由的开展式逐项求导得例4E04将函数展成x的幂级数.解因为而在上式两头从0到逐项积分,得上式对也成破.因为上式右真个幂级数事先收敛，而上式左真个函数在处有界说且延续.例5E05将函数开展成x的幂级数.解因而因而的麦克劳林级数为该级数相邻两项的系数之比的相对值因而，该级数的收敛半径收域区间为设级数(1)的跟函数为那么可求得即(2)在区间的端点处，开展式

4、(2)是否成破要看的取值而定.可证实:事先，收敛域为事先，收敛域为事先，收敛域为公式(2)称为二项开展式.特不地,当为正整数时，级数成为的次多项式，它确实是初等代数中的二项式定理.比方，对应、的二项开展式分不为例6将函数开展成的幂级数.解应用直接法将函数开展成幂级数例7E06将函数开展成x的幂级数.解事先，级数收敛;事先，级数收敛.且事先，函数延续，因而例8E07将函数开展成x的幂级数.解因为且因而例9E08将函数开展成x的幂级数.解例10将函数开展成的幂级数.解而因而例11将函数开展成的幂级数.解因为逐项求导,得因而例12E09将函数开展成的幂级数.解而故例13E10将开展成的幂级数,并求解因而故讲堂训练1.将函数开展成x的幂级数.2.将函数开展成x的幂级数.3.设函数,求.