20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题10.1 直线方程及位置关系（解析版）.docx

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1、第一讲 直线方程与位置关系【套路秘籍】-始于足下始于足下一直线的倾歪角与歪率1直线的倾歪角定义当直线l与x轴订交时，我们取x轴作为基准，x轴的正倾向与直线l向上的倾向之间所成的角叫做直线l的倾歪角当直线l与x轴平行或重合时，规那么它的倾歪角为0.范围：倾歪角的范围为2直线的歪率定义一条直线的倾歪角的正切叫做这条直线的歪率，歪率常用小写字母k表示，即，倾歪角是90的直线不歪率当直线与x轴平行或重合时,.过两点的直线的歪率公式通过两点的直线的歪率公式为.3.每一条直线都有唯一的倾歪角，但并不是每一条直线都存在歪率倾歪角为90的直线歪率不存在4.直线的倾歪角、歪率k之间的大小变卦关系：1事前，越大年

2、夜，歪率越大年夜；2事前，越大年夜，歪率越大年夜.二.直线的方程1.直线的点歪式方程：直线通过点，且歪率为，那么直线的方程为：.谁人方程就叫做直线点歪式方程.特不地，直线过点，那么直线的方程为：.谁人方程叫做直线的歪截式方程.2.直线的两点式方程直线过两点其中，那么直线的方程为：.谁人方程叫做直线的两点式方程.事前，直线与轴垂直，因此直线方程为：；事前，直线与轴垂直，直线方程为：.特不地，假设直线过两点，那么直线的方程为：，谁人方程叫做直线的截距式方程.3.直线的一般式方程关于的二元一次方程A，B差异时为0叫做直线的一般式方程.由一般式方程可得，B不为0时，歪率，截距三.两条直线平行与垂直1两

3、直线的平行关系(1)关于两条不重合的直线，其歪率为，有.(2)关于两条直线，有.2两条直线的垂直关系(1)关于两条直线，其歪率为，有.(2)关于两条直线，有.四.距离征询题1两点间的距离公式设两点，那么.2点到直线的距离公式设点，直线，那么点到直线的距离.3两平行线间的距离公式设两条平行直线，那么这两条平行线之间的距离.五.两条直线的交点1.两条直线订交：关于两条直线，假设，那么方程组有唯一解，两条直线就订交，方程组的解的确是交点的坐标.2.两条直线，联破方程组，假设方程组有无数组解，那么重合六.对称征询题1.中点坐标公式2两条直线的垂直关系(1)关于两条直线，其歪率为，有.(2)关于两条直线

4、，有.【修炼套路】-为君聊赋往日诗，努力请从往日始考向一直线的歪率跟倾歪角【例1】1已经清楚点A(1,3)，B(-1,33)，那么直线AB的倾歪角为。（2） 已经清楚直线的倾歪角的余弦值为，那么此直线的歪率是。（3） 已经清楚点、三点共线，那么实数的值是。4已经清楚两点，直线过点且与线段订交，直线的歪率的取值范围是.【答案】112023-34【分析】1由于直线AB的歪率为33-3-1-1=-3，因此倾歪角为1203按照三点共线，可以判定，即，解得4如以以下图，直线的歪率为，直线的歪率为.由图可知直线的歪率的取值范围是.【举一反三】1.假设过点P(1a,1a)跟Q(3,2a)的直线的倾歪角为钝角

5、，那么实数a的取值范围是。【答案】-2,1【分析】过点跟的直线的倾歪角为钝角直线的歪率小于0，即.2.已经清楚直线方程为那么直线的倾歪角为。3.直线的倾歪角的取值范围是_.【答案】考向二直线的方程【例2】1过点P1，2，倾歪角为135的直线方程为。2过点，且在两坐标轴上的截距相当的直线的方程是.（3） 求过点A(1,3)，歪率是直线y=-4x的歪率的13的直线方程；4求通过点A(-5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程。.【答案】1x+y-1=024x3y=0或x+y7=034x+3y-13=0.4x+2y+1=0或2x+5y=0.【分析】1x+y-1=0。由题意，直线的倾

6、歪角为1350，因此k=tan1350=-1，由直线的点歪式方程可得过点P(-1,2)直线方程为y-2=-1(x+1)，即所求直线为x+y-1=0。(2)4x3y=0或x+y7=0当直线过原点时，直线方程为y=x，即4x3y=0；当直线只是原点时，设直线方程为x+y=a那么3+4=a，得a=7直线方程为x+y7=0过点M3，4且在坐标轴上截距相当的直线方程为4x3y=0或x+y7=034x+3y-13=0所设求直线的歪率为k，依题意k=(-4)13=-43直线通过点A(1,3)所求直线方程为y-3=-43(x-1)，即4x+3y-13=0.4x+2y+1=0或2x+5y=0当直线只是原点时，设

7、所求直线方程为x2a+ya=1(a0)将-5,2代入所设方程，解得a=12，所求直线方程为x+2y+1=0；当直线过原点时，设所求直线方程为y=kx，将-5,2代入所设方程，解得k=-25，所求直线方程为y=-25x，即2x+5y=0；综上：所求直线方程为x+2y+1=0或2x+5y=0.【举一反三】1. 将直线绕点按逆时针倾向改变，求所得直线的方程.【答案】【分析】。直线的倾歪角为，点直线上，绕点按逆时针倾向改变，所得直线的倾歪角为，其歪率为，因此由点歪式方程得，.即为所求.2.已经清楚直线l过点1，2且在x，y轴上的截距相当1求直线l的一般方程；2假设直线l在x，y轴上的截距不为0，点在直

8、线上，求的最小值【分析】1或21截距为0时，截距不为0时，综上的一般方程：或由题意得，的最小值时，事前，等号成破考向三直线过定点【例3】直线mx+y-m+2=0恒通过定点。【答案】1，-2【分析】直线mx+ym+2=0，化为：mx1+y+2=0，可知直线通过1，2【举一反三】1直线2kx+y-6k+1=0kR通过定点P，那么点P为。【答案】3，-1【分析】直线2kx+y-6k+1=0kR的方程可化为y+1=-2kx-3当x=3，y=-1时方程恒成破，直线过定点3，-12已经清楚实数m,n称心2m-n=1，那么直线mx-3y+n=0必过定点_.【答案】-2,-13【分析】由已经清楚得n=2m-1

9、，代入直线mx-3y+n=0得mx-3y+2m-1=0，即x+2m+-3y-1=0，由x+2=0-3y-1=0，解得x=-2y=-13，直线必过定点-2,-13，故答案为-2,-13.3.假设k、-1、b三个数成等差数列，那么直线y=kx+b必通过定点。【答案】1，-2【分析】由于三个数成等差数列，因此k+b=2，因此当x=1时，y=k+b=-2，即直线过定点(1,-2)，考向四直线的位置关系【例4】已经清楚直线.假设，那么实数的值是。【答案】0或-3.【分析】，那么即经检验都符合题意【举一反三】1.设，分不是两条直线，的歪率，那么“是“的A.充分不必要条件B.需要不充分条件C.充分需要条件D

10、.既不充分也不必要条件源:学+科+网【答案】C。【分析】由于是两条差异的直线，因此假设，那么，反之，假设，那么.应选择C.2.已经清楚命题：“，命题：“直线与直线互相垂直，那么命题是命题的A.充分不必要条件B.需要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要【答案】A。【分析】命题中，直线的歪率是因此命题是命题成破的充分不必要条件.选A3.“是“直线与直线垂直的A充分需要条件B充分而不必要条件C需要而不充分条件D既不充分也不必要条件【答案】D4.已经清楚直线：，直线：，假设，那么ABCD【答案】D考向五距离【例5】1点到直线的距离是_2已经清楚直线与直线平行，那么它们之间的距离是【答案】1【分析

11、】1点到直线的距离是2由题意，因此直线方程为，即，【举一反三】1.点到直线的距离是。【答案】2.【分析】由得，2两条平行线12x-5y+10=0与12x-5y-16=0的距离是。【答案】2【分析】由两条平行线12x-5y+10=0与12x-5y-16=0，由两条平行线之间的距离公式可得d=10-(-16)122+(-5)2=23当点到直线的距离最大年夜时，的值为。【答案】-1.【分析】直线过定点Q(2,1),因此点到直线的距离最大年夜时PQ垂直直线,即考向六对称【例6】1点P2,5关于x+y+1=0的对称点的坐标为。2已经清楚直线假设直线与关于对称,那么的方程是。3直线关于点对称的直线方程为_

12、.【答案】1-6，-32x-2y-1=0(3)【分析】1设关于的对称点为，那么，解得，即关于的对称点坐标为(3)设对称直线为，那么有，解谁人方程得或.结合图形可看出时两直线都在点的同侧，故舍去.因此对称直线的方程中【套路总结】涉及对称征询题，要紧有以下几多种情况：1假设点关于直线对称，设对称点是，那么线段的中点在直线上且直线，由此可得一方程组，解谁人方程组得：的值，从而求得对称点的坐标.2假设直线关于点对称，由于对称直线必与直线平行，故可设对称直线为.由于直线间的距离是点到直线的距离的二倍，那么有，解谁人方程可得的值留心这里求出的有两个，再结合图形可求得对称直线的方程3假设直线关于直线对称，那

13、么在直线上取两点，求出这两点关于直线对称的两点的坐标，再由两点式便可得直线关于直线对称的直线的方程【举一反三】1.点，假设线段跟有一样的垂直平分线，那么点的坐标是。【答案】6,7【分析】AB的中点为0,2，直线AB的歪率为，线段AB的垂直平分线为，设，那么CD中点为在上，且，D点坐标为.2点关于直线的对称点的坐标为。【答案】-2,9【分析】令，设对称点的坐标为，可得的中点在直线上，故可得，又可得的歪率，由垂直关系可得，联破解得，即对称点的坐标为.3假设直线l与直线2x-y-2=0关于直线x+y-4=0对称，那么l的方程是_【答案】x-2y+2=0【分析】设直线l上任意一点为Px,y，那么P关于

14、直线x+y-4=0的对称点Pm,n在直线2x-y-2=0上，由对称性可得y-nx-m-1=-1x+m2+y+n2-4=0，解得m=4-yn=4-x，代入直线l可得24-y-4-x-2=0，化简可得所求直线方程为x-2y+2=0，故答案为x-2y+2=0.【使用套路】-纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行1已经清楚过点A(-2,m)跟B(m,4)的直线与直线2x+y+1=0平行，那么m的值为A-8B0C2D10【答案】A。【分析】由于直线2x+y+1=0的歪率等于-2，且过点A-2,m跟Bm,4的直线与直线2x+y+1=0平行，因此kAB=-2,因此4-mm+2=-2，解得m=-8，应选A2直线x+3

15、y-2=0的倾歪角是A6B3C23D56【答案】D。【分析】由x+3y-2=0，得y=-33x+233，设直线的倾歪角为，那么tan=-33，0,=56，3假设直线l过点(-1,2)且与直线2x-3y+4=0垂直，那么l的方程为A3x+2y-1=0B2x+3y-1=0C3x+2y+1=0D2x-3y-1=0【答案】A。【分析】由于直线2x-3y+4=0的歪率为23，直线l与直线2x-3y+4=0垂直，因此两直线的歪率之积为-1，直线l的歪率为-32，又由于直线l过点(-1,2)，因此直线l方程为y-2=-32x+1，即3x+2y-1=0，应选A。4假设直线(1-a)x+ay-3=0与(2a+3

16、)x+(a-1)y-2=0互相垂直，那么a等于A-3B1C0或-32D1或3【答案】D。【分析】由题意，直线(1-a)x+ay-3=0与(2a+3)x+(a-1)y-2=0互相垂直，因此(1-a)(2a+3)+a(a-1)=0，即a2+2a-3=0，解得a=1或-3，应选D.5“a=1”是“直线(2a+1)x+ay+1=0跟直线ax-3y+3=0垂直的A充分不必要条件B需要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A。【分析】事前a=1，直线(2a+1)x+ay+1=0的歪率为-3，直线ax-3y+3=0的歪率为13，两直线垂直；事前a=0，两直线也垂直，因此“a=1”是“直线(2a+

17、1)x+ay+1=0跟直线ax-3y+3=0垂直的充分不必要的条件，应选A.6已经清楚直线3x-y+1=0的倾歪角为，那么12sin2+cos2=A25B-15C14D-120【答案】A。【分析】详解：由题设有tan=3，12sin2+cos2=sincos+cos2cos2+sin2=tan+11+tan2=410=25.应选A.7过点2，1，且平行于向量v=2，1的直线方程为Ax-2y+4=0Bx+2y-4=0Cx-2y-4=0Dx+2y+4=0【答案】A。【分析】由所求直线平行于向量v=(2,1)掉掉落直线的歪率为k=12，又直线过点(-2,1)，由直线的点歪式方程可得直线方程为y-1=

18、12(x+2)，即x-2y+4=0，应选A8已经清楚直线通过两条直线l1：x+y=2，l2：2x-y=1的交点，且直线l的一个倾向向量v=(-3,2)，那么直线l的方程是A-3x+2y+1=0B3x-2y+1=0C2x+3y-5=0D2x-3y+1=0【答案】C。【分析】解方程组x+y=22x-y=1得x=1,y=1,因此两直线的交点为1,1.由于直线l的一个倾向向量v=(-3,2)，因此k=-23.因此直线的方程为y-1=-23(x-1)即2x+3y-5=0.故答案为：C9假设，那么直线不通过A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】C。【分析】把直线化为歪截式：，又，即歪率为负值，纵

19、截距为正值，直线不通过第三象限应选：C10设x,yR，那么3-4y-cosx2+4+3y+sinx2的最小值为A4B16C5D25【答案】B。【分析】3-4y-cosx2+4+3y+sinx2表示点P(3-4y，4+3y)、Q(cosx，-sinx)两点距离的平方，由x=3-4yy=4+3y得点P的机迹方程为3x+4y-25=0，由x=cosxy=-sinx得点Q的轨迹方程为x2+y2=1，那么PQmin=2532+42-1=4，PQmin2=16，即3-4y-cosx2+4+3y+sinx2的最小值为16.11点到直线的距离是A1B2CD6【答案】B。【分析】由得，应选B.12线2cosxy

20、1=0，6，23的倾歪角的取值范围是_【答案】0，334，)【分析】直线2cosxy1=0，6，23的歪率k=2cos1，3，1tan3，0，334，)故答案为：0，334，)13已经清楚直线ax+y+a+1=0，不论a取何值，该直线恒过的定点是_【答案】1，1【分析】由题意，直线ax+y+a+1=0变形为a(x+1)+y+1=0，令x+1=0y+1=0，解得x=-1,y=-1，即该直线过定点(-1,-1).14设直线2x-y+4=0的倾歪角为，那么tan(+4)的值为_【答案】3【分析】由题得tan=2,因此tan(+4)=tan+11-tan=2+11-2=-3，故答案为：-3.15平行线

21、5x+12y-10=0跟mx+6y+2=0的距离是_【答案】【分析】由题意，两直线5x+12y-10=0跟mx+6y+2=0平行，可得5m=126，解得m=52，即5x+12y+4=0，由两平行直线之间的距离公式，可得d=-10-452+122=1413.16已经清楚点P(-1,2)及圆(x-3)2+(y-4)2=4，一光辉从点P出发，经x轴上一点Q反射后与圆相切于点T，那么|PQ|+|QT|的值为_【答案】43.【分析】43点P关于x轴的对称点为P(-1，-2)，由反射的对称性可知，PQ与圆相切，PQ+QT=PT圆(x-3)2+(y-4)2=4的圆心坐标为A(3，4)，半径r=2；AP2=(

22、-1-3)2+(-2-4)2=52，AT=r=2PQ+QT=PT=AP2-AT2=43故答案为43.17分不在曲线y=lnx与直线y=2x+6上各取一点M与N，那么MN的最小值为_【答案】7+ln255【分析】由y=lnxx0，得y=1x，令1x=2，即x=12，y=ln12=-ln2，那么曲线y=lnx上与直线y=2x+6平行的切线的切点坐标为12，-ln2，由点到直线的距离公式得d=212+ln2+65=7+ln255，即MN=7+ln255.18已经清楚直线l1:ax+y-6=0与l2:x+(a-2)y+a-1=0订交于点P，假设l1l2，那么a=_，现在点P的坐标为_【答案】1(3,3

23、)【分析】直线l1:ax+y-6=0与l2:x+(a-2)y+a-1=0订交于点P，且l1l2，a1+1a2=0，即a=1，联破方程x+y-6=0x-y=0，易得x=3，y=3，P3，3故答案为：1，3，319已经清楚点A(-1,1),B(1,3)，l：x+2y+3=01求线段AB的中点P的坐标；2假设直线l1过点B，且与直线l平行，求直线l1的方程【答案】(1)P(0,2);(2)x+2y-7=0.【分析】1线段AB的中点P(0,2)；2直线l的歪率为-12，因直线l1与直线l平行，那么直线l1的歪率为-12，直线l1的方程y-3=-12(x-1)，即x+2y-7=0201求通过点且在轴上截

24、距等于轴上截距的直线方程；2求过直线与的交点，且与直线垂直的直线方程.【答案】(1)或(2)【分析】(1)当直线过原点时，直线方程为；当直线只是原点时，由横纵截距相当可设横纵截距，直线方程为直线通过，即直线方程为综上所述：直线方程为或(2)由得，交点为.又由于所求直线与垂直，因此所求直线歪率故所求直线方程为21已经清楚直线及点.1证明直线过某定点，并求该定点的坐标；2当点到直线的距离最大年夜时，求直线的方程.【答案】(1)证明看法析，定点坐标为；(2)15x24y20.【分析】试题分析：1直线l的方程可化为a(2xy1)b(xy1)0，由，即可解得定点；2证明：直线l的方程可化为a(2xy1)

25、b(xy1)0，由，得，因此直线l恒过定点2由1知直线l恒过定点A，当直线l垂直于直线PA时，点P到直线l的距离最大年夜又直线PA的歪率，因此直线l的歪率kl故直线l的方程为，即15x24y2022在破体直角坐标系中，已经清楚的顶点.1假设为的直角顶点，且顶点在轴上，求边所在直线方程；2假设等腰的底边为，且为直线上一点，求点的坐标.【答案】1.2或.【分析】试题分析：1设，那么，使用两点式可求边所在直线方程，留心化为一般式的直线方程；2由于为直线上一点，因此可设，使用两点间距离公式列方程，即可求出点的坐标.试题分析：1设，那么，边所在直线方程，即.2设，那么等腰的底边为，或，或.23如图：已经

26、清楚A,B是圆x2+y2=4与x轴的交点，P为直线l:x=4上的动点，PA,PB与圆的另一个交点分不为M,N.1假设P点坐标为(4,6)，求直线MN的方程；2求证：直线MN过定点.【分析】(1)y=-2x+2(2)(1,0)(1)直线PA方程为y=x+2,由y=x+2x2+y2=4解得M(0,2),直线PB的方程y=3x-6,由y=3x-6x2+y2=4解得N(85,-65),因此MN的方程y=-2x+2(2)设p(4,t),那么直线PA的方程为y=t6(x+2),直线PB的方程为y=t2(x-2)x2+y2=4y=t6(x+2)得M(72-2t236+t2,24t36+t2),同理N(2t2-84+t2,-8t4+t2)直线MN的歪率k=24t36+t2-8t4+t272-2t236+t2-2t2-84+t2=8t12-t2直线MN的方程为y=8t12-t2(x-2t2-84+t2)-8t4+t2,化简得:y=8t12-t2x-8t12-t2因此直线MN过定点(1,0)24已经清楚直线，直线1求直线与直线的交点的坐标；2过点的直线与轴的非负半轴交于点，与轴交于点，且为坐标原点，求直线的歪率.【答案】1；2或【分析】1联破两条直线方程：，解得，因此直线与直线的交点的坐标为2设直线方程为：.令得，因此；令得，因此，解得或