20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题10.9 圆锥曲线轨迹方程求法（解析版）.docx

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1、第九讲 圆锥曲线轨迹方程求法【套路秘籍】-始于足下始于足下求轨迹方程的常用方法：开门见山法：开门见山将条件翻译成等式，拾掇化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法素日叫做开门见山法。定义法：假设可以判定动点的轨迹称心某种已经清楚曲线的定义，那么可运用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。相关点法：用动点M的坐标x，y表示相关点P的坐标Xo、Yo，然后辈入点P的坐标Xo、Yo所称心的曲线方程，拾掇化笨重掉丢掉动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。用未知表示已经清楚，带入已经清楚求未知参数法：当动点坐标x、y之间的开门见山关系难以寻到时，屡屡先寻寻x、y与某一变数t

2、的关系，得再消去参变数t，掉丢掉方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，掉丢掉不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。【修炼套路】-为君聊赋往日诗，努力请从往日始考向一开门见山法求轨迹方程【例1】已经清楚两点M(2，0)，N(2，0)，点P为坐标破体内的动点，称心|MN|MP|+MNNP=0,那么动点P(x，y)的轨迹方程为。【答案】y2=-8x【分析】设Px，y，x0，y0，M2，0，N2，0，|MN|=4那么MP=(x+2，y)，NP=(x-2，y)由|MN|MP|+MNNP=0，那么4(x+2)2+

3、y2+4(x-2)=0，化简拾掇得y28x【套路总结】开门见山法求曲线方程时最关键的确实是把几多何条件或等量关系翻译为代数方程，要留心翻译的等价性素日将步伐简记为建系设点、列式、代换、化简这四个步伐，假设给出了直角坐标系那么可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需留心检验方程。【举一反三】1.已经清楚抛物线C：y22x的中心为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分不交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点假设PQF的面积是ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程【答案】y2x1.【分析】设过AB的直线为l，设l与x轴的交点为D(x1，0)，那么SABF|ba|FD|ba|，SPQF.由题意可得|b

4、a|，因此x11或x10(舍去)设称心条件的AB的中点为E(x，y)当AB与x轴不垂直时，由kABkDE可得(x1)而y，因此y2x1(x1)当AB与x轴垂直时，E与D重合，现在E点坐标为(1,0)，称心方程y2x1.因此所求轨迹方程为y2x1.2已经清楚两点M(-1,0),N(1,0)，点P为坐标破体内的动点，且称心MNMP+MNNP=0，那么动点P的轨迹方程为。【答案】y2=-4x【分析】设Px，y，x0，y0，M(-1,0),N(1,0)，|MN|2那么MP(x+1，y)，NP(x-1，y)由MNMP+MNNP=0，那么2x+12+y2+2x-10，化简拾掇得y2=-4x3.在破体直角坐

5、标系xOy中，点P(a，b)为动点，F1，F2分不为椭圆1(ab0)的左、右中心，已经清楚F1PF2为等腰三角形设直线PF2与椭圆订交于A，B两点，M是直线PF2上的点，称心2，求点M的轨迹方程【答案】18x216xy150(x0)【分析】由(1)知a2c，bc，可得椭圆方程为3x24y212c2，直线PF2的方程为y(xc)A，B两点的坐标称心方程组消去y并拾掇，得5x28cx0.解得x10，x2c，代入直线方程得不妨设A，B(0，c)设点M的坐标为(x，y)，那么，(x，yc)由y(xc)，得cxy.因此，(x，x)，由2，即xx2.化简得18x216xy150.将y代入cxy，得c0.因

6、此x0.因此，点M的轨迹方程是18x216xy150(x0)考向二定义法求轨迹方程【例2】已经清楚圆M：(x1)2y21，圆N：(x1)2y29，动圆P与圆M外切同时与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，求C的方程【答案】为1(x2)【分析】由已经清楚得圆M的圆心为M(1,0)，半径r11；圆N的圆心为N(1,0)，半径r23.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.由于圆P与圆M外切同时与圆N内切，因此PMPN(Rr1)(r2R)r1r242MN.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右中心，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为1(x2)【套路总结】定义法求轨迹方程1.不雅念：

7、求轨迹方程时，假设动点与定点、定线间的等量关系称心圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，那么可以开门见山按照定义先定轨迹典范，再写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法，其关键是准确运用分析几多何中有关曲线的定义(1)在运用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，假设所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，那么按照曲线的方程，写出所求的轨迹方程(2)运用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是不是残缺的曲线，假设不是残缺的曲线，那么应对其中的变量x或y停顿限制【举一反三】1.在ABC中，BC4，ABC的内切圆切BC于D点，且BDCD2，那么顶点A的轨迹方程为_【答案】1(x)【分析】以BC的中点为原点，中垂线为y轴树破如以

8、下列图的坐标系，E，F分不为两个切点那么BEBD，CDCF，AEAF.因此ABAC2)2设定点F(1,0)，动圆D过点F且与直线x=-1相切.那么动圆圆心D的轨迹方程为。【答案】y2=4x【分析】动圆D过点F且与直线x=-1相切，按照圆的定义可掉丢掉圆心到直线x=-1的距离等于圆心到点F的距离，按照抛物线的定义可掉丢掉圆心的轨迹是中心为F(1,0)的抛物线，即y2=4x.3.如以下列图：在圆C：(x1)2y216内有一点A(1，0)，点Q为圆C上一动点，线段AQ的垂直平分线与直线CQ的连线交于点M，按照椭圆定义可得点M的轨迹方程为x24+y23=1；运用类比推理思想：在圆C：(x3)2y216

9、外有一点A(3，0)，点Q为圆C上一动点，线段AQ的垂直平分线与直线CQ的连线交于点M，按照双曲线定义可得点M的轨迹方程为_【答案】x24-y25=1x-2【分析】贯串衔接MA，C-3,0,A3,0，点M在线段AQ的垂直平分线上，MA=MQMA-MC=MQ-MC=CQ=4因此点M的轨迹为双曲线的左支，2a=4,a=2，c=3，因此b=c2-a2=5因此双曲线的轨迹方程为x24-y25=1x-2考向三相关点法求轨迹方程【例3】如以下列图，抛物线E：y22px(p0)与圆O：x2y28订交于A，B两点，且点A的横坐标为2.过劣弧AB上动点P(x0，y0)作圆O的切线交抛物线E于C，D两点，分不以C

10、，D为切点作抛物线E的切线l1，l2，l1与l2订交于点M.(1)求p的值；(2)求动点M的轨迹方程【答案】112y21，x4，2【分析】(1)由点A的横坐标为2，可得点A的坐标为(2,2)，代入y22px，解得p1.(2)由(1)知抛物线E：y22x.设C，D，y10，y20，切线l1的歪率为k，那么切线l1：yy1k，代入y22x，得ky22y2y1ky0，由0，解得k，l1的方程为yx，同理l2的方程为yx.联破解得易知CD的方程为x0xy0y8，其中x0，y0称心xy8，x02,2，由得x0y22y0y160，y1,2，那么代入可得M(x，y)称心可得代入xy8，并化简，得y21，考虑

11、到x02,2，知x4，2，动点M的轨迹方程为y21，x4，2【套路总结】相关点法的全然步伐(1)设点：设主动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x1，y1)；(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式(3)代换：将上述关系式代入已经清楚曲线方程，便可掉丢掉所求动点的轨迹方程【举一反三】1.如图，动圆C1：x2y2t2,1t3与椭圆C2：y21订交于A，B，C，D四点点A1，A2分不为C2的左、右顶点，求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程【答案】y21(x3，y0)【分析】由椭圆C2：y21，知A1(3,0)，A2(3,0)设点A的坐标为(x0，y0)，由曲线的对称性，得B(x0，y0)，设

12、点M的坐标为(x，y)，直线AA1的方程为y(x3)直线A2B的方程为y(x3)由相乘得y2(x29)又点A(x0，y0)在椭圆C2上，故y1.将代入得y21(x3，y0)因此点M的轨迹方程为y21(x3，yb0)由题意得解得因此椭圆方程为t2(t21)x2(t21)y2t2.(2)设点P(x，y)，Q(x1，y1)，解方程组得由t跟，得或其中t1.消去t，得点P的轨迹方程为x2y跟x2y.其轨迹为抛物线x2y在直线x右侧的部分跟抛物线x2y在直线x左侧的部分【运用套路】-纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行1已经清楚双数z称心z-1-2i-z+2+i=32i是虚数单位，假设在复破体内双数z对应的点

13、为Z，那么点Z的轨迹为A双曲线的一支B双曲线C一条射线D两条射线【答案】C【分析】双数z称心z-1-2i-z+2+i=32i是虚数单位，在复破体内双数z对应的点为Z，那么点Z到点（1，2）的距离减去到点（2，1）的距离之差等于32，而点（1，2）与点（2，1）之间的距离为32，故点Z的轨迹是以点（1，2）为端点的经过点（2，1）的一条射线应选C2到两定点F1-3,0,F23,0的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹为A椭圆B两条射线C双曲线D线段【答案】B【分析】到两定点F13，0、F23，0的距离之差的绝对值等于6，而|F1F2|6，称心条件的点的轨迹为两条射线应选：B3设P为椭圆C：x27+

14、y23=1上一动点，F1，F2分不为左、右中心，延长F1P至点Q，使得|PQ|=|PF2|，那么动点Q的轨迹方程为()A(x-2)2+y2=28B(x+2)2+y2=7C(x+2)2+y2=28D(x-2)2+y2=7【答案】C【分析】P为椭圆C：x27+y23=1上一动点，F1，F2分不为左、右中心，延长F1P至点Q，使得|PQ|=|PF2|，|PF1|+|PF2|=2a=27，|PQ|=|PF2|，|PF1|+|PQ|=|F1Q|=27，Q的轨迹是以F1(-2,0)为圆心，27为半径的圆，动点Q的轨迹方程为(x+2)2+y2=28应选：C4已经清楚动圆C经过点A2,0，且截y轴所得的弦长为

15、4，那么圆心C的轨迹是A圆B椭圆C双曲线D抛物线【答案】D【分析】设圆心Cx，y，弦为BD，过点C作CEy轴，垂足为E，那么|BE|2，|CA|2|CB|2|CE|2+|BE|2，x22+y222+x2，化为y24x应选D5破体内一点M到两定点F1(0,-5)，F2(0,5)的距离之跟为10，那么M的轨迹是()A椭圆B圆C直线D线段【答案】D【分析】按照题意，两定点F1(0,-5)，F2(0,5)那么|F1F2|=10，而动点M到两定点F1(0,-5)跟F2(0,5)的距离之跟为10，那么M的轨迹为线段F1F2，应选：D6破体上动点Mx,y与定点F0,1的距离跟M到直线l:y=2的距离的比为2

16、2，那么动点M的轨迹的标准方程为Ax24+y22=1By24+x22=1Cx22+y2=1Dy22+x2=1【答案】D【分析】由题意可得：x2+y-12y-2=22，拾掇变形可得：y22+x2=1.此题选择D选项.7过抛物线x2=8y的中心做直线l交抛物线于A,B两点，分只是A,B作抛物线的切线l1,l2，那么l1与l2的交点P的轨迹方程是Ay=-2By=-1Cy=x-1Dy=-x-1【答案】A【分析】由抛物线x28y得其中心坐标为F0，2设Ax1，x128，Bx2，x228，直线l：ykx+2，联破y=kx+2x2=8y，得：x28kx160x1x216又抛物线方程为：y=18x2，求导得y

17、=14x，抛物线过点A的切线的歪率为x14，切线方程为y-x128=x14(x-x1)抛物线过点B的切线的歪率为x24，切线方程为y-x228=x24(x-x2)由得：y2l1与l2的交点P的轨迹方程是y2应选：A8设P是破体内的动点，AB是两个定点，那么属于聚拢P|PA=PB的点形成的图形是A等腰三角形B等边三角形C线段AB的垂直平分线D直线AB【答案】C【分析】P是破体内的动点，AB是两个定点，那么属于聚拢P|PA=PB的点形成的图形是线段AB的垂直平分线应选：C9直角坐标系xOy中，已经清楚两点A(2，1)，B(4，5)，点C称心OC=OA+OB，其中、R，且+=1那么点C的轨迹方程为A

18、y=2x-3By=x+1Cx+2y=9D(x-3)2+(y-3)2=5【答案】A【分析】由OC=OA+OB，且+1，得OC=OA+(1-)OB(OA-OB)+OB，OC-OB=BA，即BC=BA，那么C、A、B三点共线设Cx，y，那么C在AB所在的直线上，A2，1、B4，5，AB所在直线方程为y-1x-2=y-5x-4，拾掇得：y=2x-3故P的轨迹方程为：y=2x-3应选：A.10已经清楚P是椭圆x24+y28=1上一动点，O为坐标原点，那么线段OP中点Q的轨迹方程为_【答案】x2+y22=1【分析】设Qx,y，由因其中QOP点，故P2x,2y，代入椭圆方程得2x24+2y28=1，化简得x

19、2+y22=1.即Q点的轨迹方程为x2+y22=1.11动圆x2y2(4m2)x2my4m24m10的圆心的轨迹方程是_【答案】x2y10(x1)【分析】把圆的方程化为标准方程得：x-(2m+1)2(y-m)2=m2(m0)，那么圆心坐标为x=2m+1y=m，由于m0，掉丢掉x1，消去m可得x2y10，故答案为x2y10(x1)12设O为坐标原点，动点M在圆C：x2+y2=4上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P称心NPPM，那么点P的轨迹方程为_；【答案】x24+y2=1【分析】设Mx0，y0，由题意可得Nx0，0，设Px，y，由点P称心NPPM,可知P为MN的中点，可得x=x0，y12y0，

20、即有x0x，y02y，代入圆C：x2+y24，可得x2+4y2=4即x24+y2=1，故答案为x24+y2=113已经清楚破体上一动点P到定点F(3,0)的距离与它到直线x=433的距离之比为32，记动点P的轨迹为曲线C求曲线C的方程；设直线l:y=kx+m与曲线C交于M,N两点，O为坐标原点，假设kOMkON=54，求MON面积的最大年夜值【答案】x24+y2=1；1.【分析】设P(x,y)，那么(x-3)2+y2|x-433|=32，化简得x24+y2=1，曲线C的方程为x24+y2=1；设M(x1,y1)，N(x2,y2)，联破y=kx+mx24+y2=1，得(1+4k2)x2+8kmx

21、+4m2-4=0。依题意，=(8km)2-4(4k2+1)(4m2-4)0，化简得：m24k2+1，x1+x2=-8km4k2+1，x1x2=4m2-44k2+1y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2，假设kOMkON=54，那么y1y2x1x2=54，即4y1y2=5x1x2，(4k2-5)4(m2-1)4k2+1+4km(-8km4k2+1)+4m2=0即(4k2-5)(m2-1)-8k2m2+m2(4k2+1)=0，化简得：m2+k2=54，|MN|=1+k2|x1-x2|=1+k264k2m2(4k2+1)2-44m2-44k2+1=1+k2-1

22、6m2+64k2+16(4k2+1)2=1+k24(20k2-1)(4k2+1)2原点O到直线l的距离d=|m|1+k2，SMON=12|MN|d=12(5-4k2)(20k2-1)(4k2+1)2，设4k2+1=t，由得，0m265，120k254，65t6，161t0，设D(x1,y1),E(x2,y2)，y1+y2=-6m3m2+4，x1+x2=my1+y2+2=83m2+4，因此DE的中点R(43m2+4,-3m3m2+4)，同理FG的中点S(4m24m2+3,3m4m2+3)，因此直线RS的歪率为kRS=-3m3m2+4-3m4m2+343m2+4-4m24m2+3=7m4m2-1，

23、因此直线RS的方程为y+3m3m2+4=7m4m2-1x-43m2+4，拾掇得y=7m4m2-1x-47，因此直线RS恒过定点47,0，即过两弦DE,FG中点的直线恒过定点47,0.151已经清楚点A，B的坐标分不为3，0，-3，0，直线AP，BP订交于点P，且它们的歪率之积是-2，求动点P的轨迹方程2设Px，y，直线l1：x+2y=0，l2：x-2y=0假设点P到l1的距离与点P到l2的距离之积为2，求动点P的轨迹方程【答案】1x29+y218=1，x32x26-y23=1或y23-x26=1【分析】1设Px，y，由于A3，0，B-3，0由已经清楚，可得yx-3yx+3=-2x3化简拾掇可得

24、x29+y218=1，x3因此动点P的轨迹方程x29+y218=1，x3；2点Px，y到直线l1：x+2y=0的距离为|x+2y|3，点Px，y到直线l2：x+2y=0的距离为|x-2y|3，由|x+2y|3|x-2y|3=2，可得|x2-2y2|=6，即动点的轨迹方程为x26-y23=1或y23-x26=116已经清楚椭圆C：x218+y29=1的短轴端点为B1，B2，点M是椭圆C上的动点，且不与B1，B2重合，点N称心NB1MB1，NB2MB2.求动点N的轨迹方程；求四边形MB2NB1面积的最大年夜值.【答案】y29+x292=1x0；2722.【分析】法一：设Nx,y，Mx0,y0x00

25、，MB1NB1,MB2NB2直线NB1:y+3=-x0y0+3x直线NB2:y-3=-x0y0-3x得y2-9=x02y02-9x2又x0218+y029=1，y2-9=181-y029yo2-9x2=-2x2，拾掇得点N的轨迹方程为y29+x292=1x0法二：设Nx,y，Mx0,y0x00，MB1NB1,MB2NB2直线NB1:y+3=-x0y0+3x直线NB2:y-3=-x0y0-3x由,解得：x1=y02-9x0y1=-y0，又x0218+y029=1，x1=-x02故x0=-2x1y0=-y1，代入x0218+y029=1得y129+x1292=1.点N的轨迹方程为y29+x292=

26、1x0法三：设直线MB1:y=kx-3k0，那么直线NB1:y=-1kx-3直线MB1与椭圆C:x218+y29=1的交点M的坐标为12k2k2+1，6k2-32k2+1.那么直线MB2的歪率为kMB2=6k2-32k2+1-312k2k2+1=-12k.直线NB2:y=2kx+3由解得:点N的轨迹方程为：y29+x292=1x0法一：设Nx1,y1，Mx0,y0x00由法二得：x1=-x02四边形MB2NB1的面积S=12B1B2x1+x2=332x0，0b0)，因此a=2，c=1，即b2=a2-c2=3，所求点M轨迹方程为x24+y23=1.2设M(x,y)(x1)，那么kAM=yx+1，

27、kBM=yx-1，因此kAM+kBM=yx+1+yx-1=2xyx2-1=2，即y=x-1x，所求点M轨迹方程为y=x-1x(x1).21从原点O向圆M:(x-x0)2+(y-y0)2=2作两条切线，切点分不为P,Q，记切线OP，OQ的歪率分不为k1，k2假设圆心M(0,3)，求两切线OP，OQ的方程；假设k1k2=-12，求圆心M的轨迹方程【答案】两切线OP，OQ分不为y=22x，y=-22xx26+y23=1【分析】圆M:x2+(y-3)2=2，设切线为y=kx，由相切得31+k2=2，解得k=22，因此两切线OP，OQ分不为y=22x，y=-22x由于直线OP：y=k1x，OQ：y=k2

28、x，与圆M相切，由直线跟圆相切得k1x0-y01+k12=k2x0-y01+k22=2，拾掇得k12(2-x02)+2k1x0y0+2-y02=0，k22(2-x02)+2k2x0y0+2-y02=0，当2-x020时，k1，k2是方程k2(2-x02)+2kx0y0+2-y02=0的两个不相当的实数根，k1k2=2-y022-x02，因k1k2=-12，那么x026+y023=1当2-x02=0时，y02=2，也称心x026+y023=1因此圆心M的轨迹方程为x26+y23=122已经清楚点E(-2,0)，F(2,0)，P(x,y)，是破体内一动点，P可以与点E,F重合.当P不与E,F重合时

29、，直线PE与PF的歪率之积为-14.1求动点P的轨迹方程；2一个矩形的四条边与动点P的轨迹均相切，求该矩形面积的取值范围.【答案】1x24+y2=1；28,10.【分析】1当P与点E,F不重合时，kPEkPF=-14，得yx+2yx-2=-14，即x24+y2=1y0，当P与点E,F重合时，P-2,0或P2,0.综上，动点P的轨迹方程为x24+y2=1.2记矩形面积为S，当矩形一边与坐标轴平行时，易知S=8.当矩形各边均不与坐标轴平行时，按照对称性，设其中一边所在直线方程为y=kx+m，那么对边方程为y=kx-m另一边所在的直线为y=-1kx+n，那么对边方程为y=-1kx-n，联破：x2+4

30、y2=4y=kx+m，得1+4k2x2+8kmx+4m2-1=0，那么=0，即4k2+1=m2.矩形的一边长为d1=2mk2+1，同理：4k2+1=n2，矩形的另一边长为d2=2n1k2+1，S=d1d2=2mk2+12n1k2+1=4mnkk2+1=44k2+1k2+4k2+12=44k4+17k2+4k2+12=44+9k2k2+12=44k2+1k2+4k2+12=44k4+17k2+4k2+12=44+9k2k2+12=44+9k2+1k2+28,10，综上：S8,10.23已经清楚动直l1：x+my-2m=0与动直线l2：mx-y-4m+2=0订交于点M，记动点M的轨迹为曲线C1求曲

31、线C的方程；2过点P-1，0作曲线C的两条切线，切点分不为A，B，求直线AB的方程【答案】1x-22+y-22=4x4；23x+2y-6=0【分析】1动直线l1：x+my-2m=0过定点E0，2，动直线l2：mx-y-4m+2=0过定点F4，2又l1l2，点M在以EF为直径的圆上不包含点F，圆心为C2，2，半径r=2，因此动点M的轨迹方程为：（x-2）2+（y-2）2=4（x4）2由题可知：PA2=PB2=PC2-r2=9，因此点A与点B均在圆心为P，半径为3的圆（x+1）2+y2=9上，将两圆方程相减可得直线AB的方程为：3x+2y-6=024已经清楚圆A：x2+y2+2x-15=0跟定点B

32、1，0，M是圆A上任意一点，线段MB的垂直平分线交MA于点N，设点N的轨迹为C求C的方程；假设直线y=kx-1与曲线C订交于P，Q两点，试征询：在x轴上是否存在定点R，使当k变卦时，总有ORP=ORQ？假设存在，求出点R的坐标；假设不存在，请说明因由【答案】x24+y23=1；存在定点R4，0称心题设.【分析】圆A：x+12+y2=16，圆心A-1，0，由已经清楚得|NM|=|NB|，又|NM|+|NB|=4，因此|NA|+|NB|=4|AB|=2，因此由椭圆的定义知点N的轨迹是以A，B为中心的椭圆，设其标准方程C：x2a2+y2b2=1，那么2a=4，2c=2，因此a2=4，b2=3，因此曲线C：x24+y23=1；设存在点Rt，0称心题设，联破直线y=kx-1与椭圆方程x24+y23=1，消去y，得4k2+3x2-8k2x+4k2-12=0，