20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题9.5 空间几何体中的垂直（解析版）.docx

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1、9.5空间几多何中垂直征询题【套路秘籍】-始于足下始于足下一直线与破体垂直1.定义：假设直线l与破体内的任意一条直线都垂直，那么直线l与破体互相垂直，记作l，直线l叫做破体的垂线，破体叫做直线l的垂面2.判定定理与性质定理文字语言图形语言标志语言判定定理一条直线与一个破体内的两条订交直线都垂直，那么该直线与此破体垂直l性质定理垂直于一致个破体的两条直线平行ab二破体与破体垂直1.二面角的有关不雅念二面角：从一条直线出发的两个半破体所形成的图形叫做二面角；二面角的破体角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半破体内分不作垂直于棱的两条射线，这两条射线所形成的角叫做二面角的破体角2.破体跟

2、破体垂直的定义两个破体订交，假设它们所成的二面角是直二面角，就说这两个破体互相垂直3.破体与破体垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言标志语言判定定理一个破体过另一个破体的垂线，那么这两个破体垂直性质定理两个破体垂直，那么一个破体内垂直于交线的直线与另一个破体垂直l【修炼套路】-为君聊赋往日诗，努力请从往日始考向一线面垂直【例1】如图,在正方体中,分不为棱的中点.求证:破体;求证:破体.【答案】看法析【分析】证明：分不为棱的中点,在中,为中位线,因而;又由于;因而,破体,破体因而破体.由于正方体,跟为对角线,因而,在正方体中,破体,破体,因而,又由于,因而破体.【套路总结】线面垂直证明一般通

3、过线线垂直。稀有的证明线线垂直的思路如下【举一反三】1.如以下列图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABACAA13，BC2，D是BC的中点，F是CC1上一点当CF2时，证明：B1F破体ADF.【答案】见证明【证明】由于ABAC，D是BC的中点，因而ADBC.在直三棱柱ABCA1B1C1中，由于BB1底面ABC，AD底面ABC，因而ADB1B.由于BCB1BB，BC，B1B破体B1BCC1，因而AD破体B1BCC1.由于B1F破体B1BCC1，因而ADB1F.方法一在矩形B1BCC1中，由于C1FCD1，B1C1CF2，因而RtDCFRtFC1B1，因而CFDC1B1F，因而B1FD90，因而

4、B1FFD.由于ADFDD，AD，FD破体ADF，因而B1F破体ADF.方法二在RtB1BD中，BDCD1，BB13，因而B1D.在RtB1C1F中，B1C12，C1F1，因而B1F.在RtDCF中，CF2，CD1，因而DF.显然DF2B1F2B1D2，因而B1FD90.因而B1FFD.由于ADFDD，AD，FD破体ADF，因而B1F破体ADF.2.如以下列图的多面体中，底面ABCD为正方形，GAD为等边三角形，BF破体ABCD，GDC=90，点E是线段GC上除中间点外的一点，假设点P为线段GD的中点.求证：AP破体GCD；求证：破体ADG/破体FBC.【答案】见证明【分析】证明：由于GAD是

5、等边三角形，点P为线段GD的中点，故APGD.由于ADCD，GDCD，且ADGD=D，AD,GD破体GAD，故CD破体GAD，又AP破体GAD，故CDAP，又CDGD=D，CD,GD破体GCD，故AP破体GCD.证明：BF破体ABCD，BFCD，BCCD，BFBC=B，BF,BC破体FBC，CD破体FBC，由知CD破体GAD，破体ADG/破体FBC.考向二面面垂直【例2】如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上(异于点P，C)，破体ABE与棱PD交于点F.(1)求证：ABEF；(2)假设AFEF，求证：破体PAD破体ABCD.【答案】见证明【证明】(1)由于四边形ABCD

6、是矩形，因而ABCD.又AB破体PDC，CD破体PDC，因而AB破体PDC，又由于AB破体ABE，破体ABE破体PDCEF，因而ABEF.(2)由于四边形ABCD是矩形，因而ABAD.由于AFEF，(1)中已证ABEF，因而ABAF.又ABAD，由点E在棱PC上(异于点C)，因而点F异于点D，因而AFADA，AF，AD破体PAD，因而AB破体PAD，又AB破体ABCD，因而破体PAD破体ABCD.【举一反三】1如图，三棱柱中，破体破体.证明：1破体；2破体破体【答案】1证明看法析；2证明看法析.【分析】1几多何体为三棱柱四边形为平行四边形又破体，破体破体2且四边形为平行四边形四边形为菱形又破体

7、破体，破体破体破体又破体破体破体考向三垂直的性质使用【例3】如图，在三棱锥ABCD中，ABAD，BCBD，破体ABD破体BCD，点E，F(E与A，D不重合)分不在棱AD，BD上，且EFAD.求证：(1)EF破体ABC；(2)ADAC.【答案】见证明【证明】1在破体内，由于ABAD，因而.又由于破体ABC，破体ABC，因而EF破体ABC.2由于破体ABD破体BCD，破体破体BCD=BD，破体BCD，因而破体.由于破体，因而.又ABAD，破体ABC，破体ABC，因而AD破体ABC，又由于AC破体ABC，因而ADAC.【举一反三】1.如图，在三棱锥中，破体为AB的中点，E为BC的中点，求证：破体SD

8、E；求证：【答案】见证明【证明】为AB的中点，E为BC的中点，又破体破体SDE，破体SDE贯串连接CD，破体破体ABC，是AB的中点，又破体，破体破体SCD，2、如以下列图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点证明：(1)CDAE；(2)PD破体ABE.【答案】见证明【证明】(1)在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，CD破体ABCD，PACD.又ACCD，PAACA，PA，AC破体PAC，CD破体PAC.而AE破体PAC，CDAE.(2)由PAABBC，ABC60，可得ACPA.E是PC的中点，AEPC.由(1)知AECD，且

9、PCCDC，PC，CD破体PCD，AE破体PCD，而PD破体PCD，AEPD.PA底面ABCD，AB破体ABCD，PAAB.又ABAD，且PAADA，AB破体PAD，而PD破体PAD，ABPD.又ABAEA，AB，AE破体ABE，PD破体ABE.考向四垂直关系中的探求性征询题【例4】如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分不是棱BC，AB的中点，点F在棱CC1上，已经清楚ABAC，AA13，BCCF2.(1)求证：C1E破体ADF；(2)设点M在棱BB1上，当BM为何值时，破体CAM破体ADF.【答案】见证明【分析】(1)证明贯串连接CE交AD于O，贯串连接OF.由于CE，AD为ABC的

10、中线，那么O为ABC的重心，故，故OFC1E，由于OF破体ADF，C1E破体ADF，因而C1E破体ADF.(2)解当BM1时，破体CAM破体ADF.证明如下：由于ABAC，AD破体ABC，故ADBC.在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1破体ABC，BB1破体B1BCC1，故破体B1BCC1破体ABC.又破体B1BCC1破体ABCBC，AD破体ABC，因而AD破体B1BCC1，又CM破体B1BCC1，故ADCM.又BM1，BC2，CD1，FC2，故RtCBMRtFCD.易证CMDF，又DFADD，DF，AD破体ADF，故CM破体ADF.又CM破体CAM，故破体CAM破体ADF.【套路总结】对命

11、题条件的探求的三种路途路途一：先猜后证路途二：先通过命题成破的需要条件探求出命题成破的条件，再证明充分性路途三：将几多何征询题转化为代数征询题【举一反三】1.如以下列图的空间几多何体ABCDEFG中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE破体ABCD，EFAB，EGAD，EFEG1.(1)求证：破体CFG破体ACE；(2)在AC上是否存在一点H，使得EH破体CFG？假设存在，求出CH的长，假设不存在，请说明因由【答案】看法析【分析】(1)证明贯串连接BD交AC于点O，那么BDAC设AB，AD的中点分不为M，N，贯串连接MN，那么MNBD，贯串连接FM，GN，那么FMGN，且FMGN，因而四边形

12、FMNG为平行四边形，因而MNFG，因而BDFG，因而FGAC.由于AE破体ABCD，因而AEBD.因而FGAE，又由于ACAEA，AC，AE破体ACE，因而FG破体ACE.又FG破体CFG，因而破体CFG破体ACE.(2)解存在设破体ACE交FG于Q，那么Q为FG的中点，贯串连接EQ，CQ，取CO的中点H，贯串连接EH，由已经清楚易知，破体EFG破体ABCD，又破体ACE破体EFGEQ，破体ACE破体ABCDAC，因而CHEQ，又CHEQ，因而四边形EQCH为平行四边形，因而EHCQ，又CQ破体CFG，EH破体CFG，因而EH破体CFG，因而在AC上存在一点H，使得EH破体CFG，且CH.考

13、向五定义定理的使用【例5-1】设l，m表示直线，m是破体内的一条直线，那么“lm是“l成破的_条件(填“充分不必要“需要不充分“充要“既不充分又不必要)【答案】需要不充分【分析】由线面垂直的定义知，直线垂直于破体内至少两条订交直线，那么直线与破体垂直，只平行于破体内一条直线说明充分性不成破，反之，直线垂直于破体，那么直线垂直于破体内任意一条直线，说明是需要条件，那么“lm是“l成破的需要不充分条件【例5-2】已经清楚破体，直线m，n.给出以下命题：假设，n，mn，那么m；假设n，n，m，那么m；假设m，n，mn，那么；假设，m，n，那么mn.其中，真命题是_(填序号)【答案】【分析】对于，当m

14、时，才能保证m，差错；对于，由m，n，得mn，又n，因而m，对；都对【举一反三】1设m，n是两条差异的直线，是三个不重合的破体，给出以下四个命题：假设，m，那么m；假设，m，那么m；假设m，m，那么；假设mn，n，那么m.其中精确的命题是_(填序号)【答案】【分析】易知精确；可以有m，m，m与订交等情况，故不精确；精确；可以有m或m，故不精确2设，是空间两个差异的破体，m，n是破体及外的两条差异直线从“mn；n；m中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为精确的一个命题：_.(用序号表示)【答案】(或)【分析】逐一揣摸假设成破，那么m与的位置关系不判定，故差错；同理也差错；与均精确【使用

15、套路】-纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行1如图，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，且破体ABCD破体BCE，破体ABCD，(I)求证：破体ABCD；(II)求证：破体ACF破体BDF【答案】看法析;看法析.【分析】证明：如图，过点作于，连接，破体破体，破体，破体破体，破体，又破体，.四边形为平行四边形.破体，破体，破体证明：面，又四边形是菱形，又，面，又面，从而面面2如图，在三棱锥中，破体已经清楚，点分不为的中点1求证：破体；2求证：破体【答案】1证明看法析；2证明看法析.【分析】1E，F分不为AB，BC的中点，又破体SAC，破体SAC，破体SAC；2破体SAC，破体SAC，点H分不为S

16、C的中点，又，破体SBC3如图，在三棱柱中，底面，是线段的中点，是线段上任意一点，.1证明：破体；2证明：破体.【答案】1证明看法析；2证明看法析.【分析】1由于，是线段的中点，因而，又底面，因而，又，因而破体.2易知四边形为平行四边形，那么为的中点，又是线段的中点，因而，而破体，破体，因而破体.4如图，在四棱锥中，底面是正方形，与交于点，底面，为上一点，为中点.1假设破体，求证：为的中点；2假设，求证：破体.【答案】1详看法析；2详看法析.【分析】1连接，由四边形是正方形知，为中点破体，面，面面为中点为的中点2在四棱锥中，四边形是正方形为中点又底面，底面而四边形是正方形破体，破体又破体破体，

17、破体5如图，在直三棱柱中，是棱的中点1求证：；2求证：【答案】(1)见详解；2见详解.【分析】1连接AC1，设AC1A1CO，连接OD，在直三棱柱ABCA1B1C1中，正面ACC1A1是平行四边形，因而：O为AC1的中点，又由于：D是棱AB的中点，因而：ODBC1，又由于：BC1破体A1CD，OD破体A1CD，因而：BC1破体A1CD2由1可知：正面ACC1A1是平行四边形，由于：ACAA1，因而：平行四边形ACC1A1是菱形，因而：AC1A1C，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1破体ABC，由于：AB破体ABC，因而：ABAA1，又由于：ABAC，ACAA1A，AC破体ACC1A1，AA

18、1破体ACC1A1，因而：AB破体ACC1A1，由于：A1C破体ACC1A1，因而：ABA1C，又由于：AC1A1C，ABAC1A，AB破体ABC1，AC1破体ABC1，因而：A1C破体ABC1，由于：BC1破体ABC1，因而：BC1A1C6.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，AP破体PCD，E，F分不为PC，AB的中点(1)求证：破体PAD破体ABCD；(2)求证：EF破体PAD.【答案】看法析【分析】证明(1)由于AP破体PCD，CD破体PCD，因而APCD.又四边形ABCD为矩形，因而ADCD，又由于APADA，AP破体PAD，AD破体PAD，因而CD破体PAD.又由于CD

19、破体ABCD，因而破体PAD破体ABCD.(2)贯串连接AC，BD交于点O，贯串连接OE，OF.由于四边形ABCD为矩形，因而O为AC的中点由于E为PC的中点，因而OEPA.由于OE破体PAD，PA破体PAD，因而OE破体PAD.同理可证OF破体PAD.由于OEOFO，OB，OF破体OEF，因而破体OEF破体PAD.由于EF破体OEF，因而EF破体PAD.7.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCAC，D，E分不是AB，AC的中点(1)求证：B1C1破体A1DE；(2)求证：破体A1DE破体ACC1A1.【答案】看法析【分析】证明(1)由于D，E分不是AB，AC的中点，因而DEBC.又由于

20、在三棱柱ABCA1B1C1中，B1C1BC，因而B1C1DE.又B1C1破体A1DE，DE破体A1DE，因而B1C1破体A1DE.(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1底面ABC，又DE底面ABC，因而CC1DE.又BCAC，DEBC，因而DEAC.又CC1，AC破体ACC1A1，且CC1ACC，因而DE破体ACC1A1，又由于DE破体A1DE，因而破体A1DE破体ACC1A1.8.如图，已经清楚四边形ABCD是正方形，PD破体ABCD，CD=PD=2EA，PD/EA，F，G，H分不为PB，BE，PC的中点.求证：GH/破体PDAE；求证：破体FGH破体PCD.【答案】看法析【分析】分不

21、取PD的中点M，EA的中点N.贯串连接MH，NG，MN.由于G，H分不为BE，PC的中点，因而MH/12CD，NG/12AB，由于AB与CD平行且相当，因而MH平行且等于NG，故四边形GHMN是平行四边形.因而GH/MN.又由于GH破体PDAE，MN破体PDAE，因而GH/破体PDAE.证明：由于PD破体ABCD，BC破体ABCD，因而PDBC.由于BCCD，PDCD=D，因而BC破体PCD.由于F，H分不为PB、PC的中点，因而FH/BC.因而FH破体PCD.由于FH破体FGH，因而破体FGH破体PCD.9如图：C、D是以AB为直径的圆上两点，在线段上，且，将圆沿直径AB折起，使点C在破体A

22、BD的射影E在BD上.I求证破体ACD破体BCD；II求证：AD/破体CEF.【答案】看法析【分析】I证明：依题意：3分又4分证明：，结合，在跟中6分设，那么，在，即，解得10分/在破体外/破体10、如以下列图，M，N，K分不是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点求证：(1)AN破体A1MK；(2)破体A1B1C破体A1MK.【答案】看法析【分析】(1)如以下列图，连接NK.在正方体ABCDA1B1C1D1中，四边形AA1D1D，DD1C1C都为正方形，AA1DD1，AA1DD1，C1D1CD，C1D1CD.N，K分不为CD，C1D1的中点，DND1K，DND1K，四边

23、形DD1KN为平行四边形，KNDD1，KNDD1，AA1KN，AA1KN，四边形AA1KN为平行四边形，ANA1K.又A1K破体A1MK，AN破体A1MK，AN破体A1MK.(2)如以下列图，连接BC1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，ABC1D1，ABC1D1.M，K分不为AB，C1D1的中点，BMC1K，BMC1K，四边形BC1KM为平行四边形，MKBC1在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1B1破体BB1C1C，BC1破体BB1C1C，A1B1BC1.MKBC1，A1B1MK.四边形BB1C1C为正方形，BC1B1CMKB1C.A1B1破体A1B1C，B1C破体A1B1C，A1B1

24、B1CB1，MK破体A1B1C.又MK破体A1MK，破体A1B1C破体A1MK.11、如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，M为棱AC的中点ABBC，AC2，AA1.(1)求证：B1C破体A1BM；(2)求证：AC1破体A1BM；(3)在棱BB1上是否存在点N，使得破体AC1N破体AA1C1C？假设存在，求现在的值；假设不存在，请说明因由【答案】看法析【分析】(1)证明连接AB1与A1B，两线交于点O，连接OM.在B1AC中，M，O分不为AC，AB1的中点，OMB1C，又OM破体A1BM，B1C破体A1BM，B1C破体A1BM.(2)证明侧棱AA1底面ABC，BM破体ABC

25、，AA1BM，又M为棱AC的中点，ABBC，BMAC.AA1ACA，AA1，AC破体ACC1A1，BM破体ACC1A1，BMAC1.AC2，AM1.又AA1，在RtACC1跟RtA1AM中，tanAC1CtanA1MA，AC1CA1MA，即AC1CC1ACA1MAC1AC90，A1MAC1.BMA1MM，BM，A1M破体A1BM，AC1破体A1BM.(3)解当点N为BB1的中点，即时，破体AC1N破体AA1C1C.证明如下：设AC1的中点为D，连接DM，DN.D，M分不为AC1，AC的中点，DMCC1，且DMCC1.又N为BB1的中点，DMBN，且DMBN，四边形BNDM为平行四边形，BMDN，BM破体ACC1A1，DN破体AA1C1C.又DN破体AC1N，破体AC1N破体AA1C1C.