知识梳理 (14).doc

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1、等比数列【考大年夜纲求】1理解等比数列的不雅观点，等比数列的通项公式.2能在具体的征询题情境中，识不数列的等比关系，并能用有关知识处置呼应的征询题.3理解等比数列与指数函数的关系.4敏锐运用等比数列的定义、公式跟性质处置数列征询题，见解跟理解数列与不的数学知识之间的外延联系.【知识搜集】等比数列等比中项通项公式及相关性质等比数列与函数的关系【考点梳理】【高清课堂：数列的不雅观点388518知识要点】考点一：等比数列的不雅观点假设一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于一致个常数，那么谁人数列叫做等比数列，谁人常数叫做等比数列的公比.考点二、等比数列的通项公式要点说明：方程不雅观念：知二求

2、一；函数不雅观念：函数的图象上一群孤破的点；事前，假设，等比数列是递增数列；假设，等比数列是递减数列；事前，假设，等比数列是递减数列；假设，等比数列是递增数列；事前，等比数列是摆动数列；事前，等比数列是非零常数列。考点三、等比数列通项公式的要紧性质：1等比中项：成等比数列，那么；2通项公式的履行：；3假设，那么；4等比数列中，假设.要点说明：1方程思想的具体运用；2两式相乘除化简。【模典范题】典范一：等比数列的不雅观点、公式例1.假设数列为等比数列，,求.思路分析：求解等比数列的项，起重要按照已经清楚条件求出数列的通项公式。分析：法一：令数列的首项为,公比为q，那么有即，(2)(1)有,.法二

3、：为等比数列，即,.法三：为等比数列，、,也为等比数列，,又.点评：熟悉等比数列的不雅观点，全然公式及性质，要依条件适当的选择入手公式，性质，从而繁复地处置征询题，添加运算量。举一反三：【变式】已经清楚等比数列，假设，求。法一：，从而解之得，或，事前，；事前，。故或。法二：由等比数列的定义知，代入已经清楚得将代入1得，解得或由2得或，以下同方法一。典范二、等比数列的性质【高清课堂：数列的不雅观点388518模典范题二】例2.1等比数列中，那么()ABCD(2)设为等比数列的前n项跟，已经清楚,那么公比q()A3B4C5D6答案：AB分析：1，因而又因为，那么因而，那么2，两式相减：因而举一反三

4、【变式1】等比数列中，假设,求.分析：是等比数列，例3.(福建高考)假设a，b是函数fx=x2px+qp0，q0的两个差异的零点，且a，b，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，那么p+q的值等于A6B7C8D9【答案】D【分析】由题意可得：a+b=p，ab=q，p0，q0，可得a0，b0，又a，b，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得或解得：；解得：p=a+b=5，q=14=4，那么p+q=9应选D举一反三【变式】天津高考设an的首项为a1，公差为1的等差数列，Sn为其前n项跟，假设S1，S2，S4成等比数列，那么a1=A2B2CD【答案】D

5、【分析】an是首项为a1，公差为1的等差数列，Sn为其前n项跟，S1=a1，S2=2a11，S4=4a16，由S1，S2，S4成等比数列，得：，即，解得：应选D典范三：等比数列的揣摸与证明例4已经清楚数列an的前n项跟Sn称心：log5(Sn+1)=n(nN+),求出数列an的通项公式，并揣摸an是何种数列？分析：log5(Sn+1)=n,Sn+1=5n,Sn=5n-1(nN+),a1=S1=51-1=4,当n2时，an=Sn-Sn-1=(5n-1)-(5n-1-1)=5n-5n-1=5n-1(5-1)=45n-1而n=1时，45n-1=451-1=4=a1,nN+时，an=45n-1由上述通

6、项公式，可知an为首项为4，公比为5的等比数列.举一反三：【变式1】已经清楚数列Cn，其中Cn=2n+3n，且数列Cn+1-pCn为等比数列，求常数p。分析：p=2或p=3；Cn+1-pCn是等比数列，对任意nN且n2，有(Cn+1-pCn)2=(Cn+2-pCn+1)(Cn-pCn-1)Cn=2n+3n,(2n+1+3n+1)-p(2n+3n)2=(2n+2+3n+2)-p(2n+1+3n+1)(2n+3n)-p(2n-1+3n-1)即(2-p)2n+(3-p)3n2=(2-p)2n+1+(3-p)3n+1(2-p)2n-1+(3-p)3n-1拾掇得：,解得：p=2或p=3,显然Cn+1-p

7、Cn0，故p=2或p=3为所求.【变式2】设an、bn是公比不相当的两个等比数列，Cn=an+bn,证明数列Cn不是等比数列.证明：设数列an、bn的公比分不为p,q，且pq为证Cn不是等比数列，只需证.,又pq,a10,b10,即数列Cn不是等比数列.【变式3】揣摸正误：(1)an为等比数列a7=a3a4；(2)假设b2=ac，那么a，b，c为等比数列；(3)an，bn均为等比数列，那么anbn为等比数列；(4)an是公比为q的等比数列，那么、仍为等比数列；(5)假设a，b，c成等比，那么logma，logmb，logmc成等差.答案：(1)错；a7=a1q6，a3a4=a1q2a1q3=a

8、12q5，等比数列的下标跟性质恳求项数一样；(2)错；反例：02=00，不克不迭说0，0，0成等比；(3)对；anbn首项为a1b1，公比为q1q2；(4)对；(5)错；反例：-2，-4，-8成等比，但logm(-2)有意思.典范四：等比数列的其他典范例5已经清楚三个数成等比数列，假设前两项波动，第三项减去32，那么成等差数列.假设再将此等差数列的第二项减去4，那么又成等比数列.求原本的三个数.思路分析：结合数列的性质设未知数。分析：法一：设成等差数列的三数为a-d,a,a+d.那么a-d,a,a+d+32成等比数列，a-d,a-4,a+d成等比数列.由(2)得a=.(3)由(1)得32a=d

9、2+32d.(4)(3)代(4)消a，解得或d=8.事前,；当d=8时,a=10原本三个数为,或2,10,50.法二：设原本三个数为a,aq,aq2，那么a,aq,aq2-32成等差数列，a,aq-4,aq2-32成等比数列由(2)得，代入(1)解得q=5或q=13当q=5时a=2；当q=13时.原本三个数为2，10，50或，,.总结升华：选择适当的办法可使方程庞杂易解。一般地，三数成等差数列，可设此三数为a-d,a,a+d；假设三数成等比数列，可设此三数为，x,xy。但还要就征询题而言，这里解法二中采用首项a，公比q来处置征询题反而笨重。举一反三：【变式1】一个等比数列有三项，假设把第二项加

10、上4，那么所得的三项就成为等差数列，假设再把谁人等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原本的等比数列.分析：设所求的等比数列为a，aq，aq2；那么2(aq+4)=a+aq2，且(aq+4)2=a(aq2+32)；解得a=2，q=3或，q=-5；故所求的等比数列为2，6，18或.例6已经清楚三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方跟为91，求这三个数。思路分析：假设充分考虑到等比数列的性质来设未知数，会使求解过程庞杂些。分析：设这三个数分不为，由已经清楚得得，因而或，即或故所求三个数为：1、3、9或1、3、9或9、3、1或9、3、1。总结升华：方程的思想在处置数列征询题

11、中的运用。举一反三：【变式】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，同时第一个数与第四个数的跟是16，第二个数与第三个数的跟为12，求这四个数.分析：设四个数分不是x,y,12-y,16-x由(1)得x=3y-12，代入(2)得144-24y+y2=y(16-3y+12)144-24y+y2=-3y2+28y,4y2-52y+144=0,y2-13y+36=0,y=4或9，x=0或15，四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.例7.设等比数列称心a1+a3=10，a2+a4=5，那么a1a2an的最大年夜值为.【答案】64【分析】设等比数列的公比为q(q0)，由a1+a3=10，a2+a4=5得，a11+q2=10，a1q1+q2=5，解得a1=8，。因而a1a2an=，因而当n=3或n=4时，a1a2an取得最大年夜值26=64.