高考数学(理)一轮复习讲义9.8　曲线与方程.docx

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1、9.8曲线与方程最新考纲考情考向分析1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系2.了解分析几多何的全然思想，使用坐标法研究曲线的庞杂性质3.可以按照所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.以调查曲线的轨迹、轨迹方程为主题型要紧以解答题的方法出现，题目为中档题，偶尔也会在选择、填空题中出现.1曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，假设某曲线C(看作点的聚拢或适宜某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解树破如下的对应关系：那么，谁人方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线2求动点的轨迹方程的全然步伐不雅念方法微考虑1f(x0，y0)0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)0

2、上的充要条件吗？提示是假设曲线C的方程是f(x，y)0，那么曲线C上的点的坐标称心f(x，y)0，以f(x，y)0的解为坐标的点也都在曲线C上，故f(x0，y0)0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)0上的充要条件2方程y与xy2表示一致曲线吗？提示不是一致曲线3假设点P到直线x1的距离比它到点(2,0)的距离小1，那么点P的轨迹是什么图形？提示依题意知，点P到直线x2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线4曲线的交点与方程组的关系是如何样的？提示曲线的交点与方程组的关系(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的大年夜众解，即两个曲线方程形成的方程组的实数解；(2)方程组有几多

3、组解，两条曲线就有几多个交点；方程组无解，两条曲线就不交点题组一考虑辨析1揣摸以下结论是否精确(请在括号中打“或“)(1)方程x2xyx的曲线是一个点跟一条直线()(2)到两条互相垂直的直线距离相当的点的轨迹方程是x2y2.()(3)ykx与xy表示同不时线()(4)动点的轨迹方程跟动点的轨迹是一样的()题组二讲义改编2已经清楚点F，直线l：x，点B是l上的动点，假设过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，那么点M的轨迹是()A双曲线B椭圆C圆D抛物线答案D分析由已经清楚|MF|MB|，按照抛物线的定义知，点M的轨迹是以点F为中心，直线l为准线的抛物线3曲线C：xy2上任一点到两

4、坐标轴的距离之积为_答案2分析在曲线xy2上任取一点(x0，y0)，那么x0y02，该点到两坐标轴的距离之积为|x0|y0|x0y0|2.4假设过点P(1,1)且互相垂直的两条直线l1，l2分不与x轴，y轴交于A，B两点，那么AB中点M的轨迹方程为_答案xy10分析设M的坐标为(x，y)，那么A，B两点的坐标分不是(2x,0)，(0,2y)，连接PM，l1l2.|PM|OM|，而|PM|，|OM|.，化简，得xy10，即为所求的轨迹方程题组三易错自纠5方程(2x3y1)(1)0表示的曲线是()A两条直线B两条射线C两条线段D一条直线跟一条射线答案D分析原方程可化为或10，即2x3y10(x3)

5、或x4，故原方程表示的曲线是一条射线跟一条直线6已经清楚M(1,0)，N(1,0)，|PM|PN|2，那么动点P的轨迹是()A双曲线B双曲线左支C一条射线D双曲线右支答案C分析由于|PM|PN|MN|，因此D不精确，应为以N为端点，沿x轴正向的一条射线7已经清楚M(2,0)，N(2,0)，那么以MN为歪边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是_答案x2y24(x2)分析连接OP，那么|OP|2，P点的轨迹是去丢掉M，N两点的圆，方程为x2y24(x2)题型一定义法求轨迹方程例1已经清楚圆M：(x1)2y21，圆N：(x1)2y29，动圆P与圆M外切同时与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，求C的方程

6、解由已经清楚得圆M的圆心为M(1,0)，半径r11；圆N的圆心为N(1,0)，半径r23.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.由于圆P与圆M外切同时与圆N内切，因此|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r242|MN|.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右中心，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为1(x2)思想升华定义法求轨迹方程(1)在使用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，假设所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，那么按照曲线的方程，写出所求的轨迹方程(2)使用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是不是残缺的曲线，假设不是残缺的曲线，那么应对其中的变量x或y停顿限制跟踪训练1在AB

7、C中，|BC|4，ABC的内切圆切BC于D点，且|BD|CD|2，那么顶点A的轨迹方程为_答案1(x)分析以BC的中点为原点，中垂线为y轴树破如以下列图的坐标系，E，F分不为两个切点那么|BE|BD|，|CD|CF|，|AE|AF|.因此|AB|AC|2)题型二开门见山法求轨迹方程例2(2016世界)已经清楚抛物线C：y22x的中心为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分不交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点(1)假设F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：ARFQ；(2)假设PQF的面积是ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程(1)证明由题意知，F，设l1：ya，l2：yb，那么ab0，且

8、A，B，P，Q，R.记过A，B两点的直线为l，那么l的方程为2x(ab)yab0.由于F在线段AB上，故1ab0.记AR的歪率为k1，FQ的歪率为k2，那么k1bk2.因此ARFQ.(2)解设过AB的直线为l，设l与x轴的交点为D(x1,0)，那么SABF|ba|FD|ba|，SPQF.由题意可得|ba|，因此x11或x10(舍去)设称心条件的AB的中点为E(x，y)当AB与x轴不垂直时，由kABkDE可得(x1)而y，因此y2x1(x1)当AB与x轴垂直时，E与D重合，现在E点坐标为(1,0)，称心方程y2x1.因此所求轨迹方程为y2x1.思想升华开门见山法求曲线方程时最关键的确实是把几多何

9、条件或等量关系翻译为代数方程，要留心翻译的等价性素日将步伐简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步伐，但最后的证明可以省略，假设给出了直角坐标系那么可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需留心检验方程的隧道性跟完备性跟踪训练2(2018沈阳模拟)在破体直角坐标系xOy中，点P(a，b)为动点，F1，F2分不为椭圆1(ab0)的左、右中心，已经清楚F1PF2为等腰三角形(1)求椭圆的离心率e；(2)设直线PF2与椭圆订交于A，B两点，M是直线PF2上的点，称心2，求点M的轨迹方程解(1)设F1(c,0)，F2(c,0)(c0)由题意，可得|PF2|F1F2|，即2c，拾掇得2210，得1(舍

10、去)或，因此e.(2)由(1)知a2c，bc，可得椭圆方程为3x24y212c2，直线PF2的方程为y(xc)A，B两点的坐标称心方程组消去y并拾掇，得5x28cx0.解得x10，x2c，代入直线方程得不妨设A，B(0，c)设点M的坐标为(x，y)，那么，(x，yc)由y(xc)，得cxy.因此，(x，x)，由2，即xx2.化简得18x216xy150.将y代入cxy，得c0.因此x0.因此，点M的轨迹方程是18x216xy150(x0)题型三相关点法求轨迹方程例3如以下列图，抛物线E：y22px(p0)与圆O：x2y28订交于A，B两点，且点A的横坐标为2.过劣弧AB上动点P(x0，y0)作

11、圆O的切线交抛物线E于C，D两点，分不以C，D为切点作抛物线E的切线l1，l2，l1与l2订交于点M.(1)求p的值；(2)求动点M的轨迹方程解(1)由点A的横坐标为2，可得点A的坐标为(2,2)，代入y22px，解得p1.(2)由(1)知抛物线E：y22x.设C，D，y10，y20，切线l1的歪率为k，那么切线l1：yy1k，代入y22x，得ky22y2y1ky0，由0，解得k，l1的方程为yx，同理l2的方程为yx.联破解得易知CD的方程为x0xy0y8，其中x0，y0称心xy8，x02,2，由得x0y22y0y160，那么代入可得M(x，y)称心可得代入xy8，并化简，得y21，考虑到x

12、02,2，知x4，2，动点M的轨迹方程为y21，x4，2思想升华“相关点法的全然步伐(1)设点：设主动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x1，y1)；(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式(3)代换：将上述关系式代入已经清楚曲线方程，便可掉丢掉所求动点的轨迹方程(4)检验：留心检验方程是否符合题意跟踪训练3(2018包头调研)如图，动圆C1：x2y2t2,1t3与椭圆C2：y21订交于A，B，C，D四点点A1，A2分不为C2的左、右顶点，求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程解由椭圆C2：y21，知A1(3,0)，A2(3,0)设点A的坐标为(x0，y0)，由曲线的对称性，得B(x0，

13、y0)，设点M的坐标为(x，y)，直线AA1的方程为y(x3)直线A2B的方程为y(x3)由相乘得y2(x29)又点A(x0，y0)在椭圆C2上，故y1.将代入得y21(x3，y0)因此点M的轨迹方程为y21(x3，y0，y0)B.x23y21(x0，y0)C3x2y21(x0，y0)D3x2y21(x0，y0)答案A分析设A(a,0)，B(0，b)，a0，b0.由2，得(x，yb)2(ax，y)，因此即ax0，b3y0.由题意得，点Q(x，y)，故由1，得(x，y)(a，b)1，即axby1.将a，b代入axby1得所求的轨迹方程为x23y21(x0，y0)应选A.5在ABC中，B(2,0)

14、，C(2,0)，A(x，y)，给出ABC称心的条件，就能掉丢掉动点A的轨迹方程下表给出了一些条件及方程：条件方程ABC周长为10C1：y225ABC面积为10C2：x2y24(y0)ABC中，A90C3：1(y0)那么称心条件，的轨迹方程依次为()AC3，C1，C2BC1，C2，C3CC3，C2，C1DC1，C3，C2答案A分析ABC的周长为10，即|AB|AC|BC|10，又|BC|4，因此|AB|AC|6|BC|，现在动点A的轨迹为椭圆，与C3对应；ABC的面积为10，因此|BC|y|10，即|y|5，与C1对应；由于A90，因此(2x，y)(2x，y)x2y240，与C2对应应选A.6(

15、2018抚顺模拟)如图，歪线段AB与破体所成的角为60，B为歪足，破体上的动点P称心PAB30，那么点P的轨迹是()A直线B抛物线C椭圆D双曲线的一支答案C分析可构造如以下列图的圆锥母线与中轴线夹角为30，然后用破体去截，使直线AB与破体的夹角为60，那么截口为P的轨迹图形，由圆锥曲线的定义可知，P的轨迹为椭圆应选C.7已经清楚两定点A(2,0)，B(1,0)，假设动点P称心|PA|2|PB|，那么点P的轨迹所包围的图形的面积为_答案4分析设P(x，y)，由|PA|2|PB|，得2，3x23y212x0，即x2y24x0.P的轨迹为以(2,0)为圆心，2为半径的圆即轨迹所包围的图形的面积等于4

16、.8直线1与x，y轴交点的中点的轨迹方程是_答案xy1(x0且x1)分析直线1与x，y轴的交点为A(a,0)，B(0，2a)，设AB的中点为M(x，y)，那么x，y1，消去a，得xy1.由于a0且a2，因此x0且x1.9已经清楚圆的方程为x2y24，假设抛物线过点A(1,0)，B(1,0)且以圆的切线为准线，那么抛物线的中心的轨迹方程是_答案1(y0)分析设抛物线中心为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，那么|AA1|BB1|2|OO1|4，由抛物线定义得|AA1|BB1|FA|FB|，因此|FA|FB|42，故F点的轨迹是以A，B为中心，长轴长为4的椭圆(去丢掉长轴中间点)1

17、0.如图，P是椭圆1(ab0)上的任意一点，F1，F2是它的两个中心，O为坐标原点，且，那么动点Q的轨迹方程是_答案1分析由于，又22，设Q(x，y)，那么，即P点坐标为，又P在椭圆上，那么有1，即1.11已经清楚定圆M：(x3)2y216跟圆M所在破体内肯定点A，点P是圆M上一动点，线段PA的垂直平分线l交直线PM于点Q.(1)讨论Q点的轨迹可以是下面的状况中的哪几多种：椭圆；双曲线；抛物线；圆；直线；一个点(2)假设定点A(5,0)，试求QMA的面积的最大年夜值解(1)由题意知|QP|QA|，当A在圆M外时，|MA|4，且|QA|QM|PM|4|MA|，因此Q点的轨迹是以M，A为中心的双曲

18、线，见图(1)当A在圆M内，且与M不重合时，|MA|MA|，因此Q点的轨迹是以M，A为中心的椭圆，见图(2)当A在圆M上时，l过定点M，l与PM的交点Q的确是点M，因此点Q的轨迹的确是一个点，见图(3)当A与M重合时，l与PM的交点Q的确是PM的中点，因此点Q的轨迹的确是圆，见图(4)综上所述，Q点的轨迹可以是四种(2)由于A(5,0)在圆M内，由(1)知，点Q的轨迹是以M，A为中心的椭圆，且|MA|22c，|MP|42a，因此b，由椭圆的几多何性质可知，Q为短轴端点时，SMQA最大年夜，因此SMQA的最大年夜值为2cb.12.如图，P是圆x2y24上的动点，点P在x轴上的射影是点D，点M称心

19、.(1)求动点M的轨迹C的方程，并说明轨迹是什么图形；(2)过点N(3,0)的直线l与动点M的轨迹C交于差异的两点A，B，求以OA，OB为邻边的平行四边形OAEB的顶点E的轨迹方程解(1)设M(x，y)，那么D(x,0)，由知，P(x,2y)，点P在圆x2y24上，x24y24，故动点M的轨迹C的方程为y21，且轨迹C为椭圆(2)设E(x，y)，由题意知l的歪率存在，设l：yk(x3)，代入y21，得(14k2)x224k2x36k240，(*)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x1x2，y1y2k(x13)k(x23)k(x1x2)6k6k.四边形OAEB为平行四边形，(x1x2，y

20、1y2)，又(x，y)，消去k，得x24y26x0，由(*)中(24k2)24(14k2)(36k24)0，得k2，0x0，称心题意14设点P(x，y)是曲线a|x|b|y|1(a0，b0)上的动点，且称心2，那么ab的取值范围为()A2，)B1,2C1，)D(0,2答案A分析设F1(0，1)，F2(0,1)，那么称心2的点P的轨迹是以F1(0，1)，F2(0,1)为中心的椭圆，其方程为1.曲线a|x|b|y|1(a0，b0)为如以下列图的菱形ABCD，C，D.由于2，因此菱形ABCD在椭圆上或其内部，因此1，即a1，b.因此ab12.应选A.15已经清楚过点A(3,0)的直线与x3订交于点C

21、，过点B(3，0)的直线与x3订交于点D，假设直线CD与圆x2y29相切，那么直线AC与BD的交点M的轨迹方程为_答案1(y0)分析设点M(x，y)，C(3，m)，D(3，n)，那么直线CD的方程为(mn)x6y3(mn)0，由于直线CD与圆x2y29相切，因此3，因此mn9，又直线AC与BD的交点为M，因此解得因此9，因此点M的轨迹方程为1(y0)16曲线C是破体内与两个定点F1(2,0)跟F2(2,0)的距离的积等于常数a2(a24)的点的轨迹给出以下三个结论：曲线C过坐标原点；曲线C关于坐标原点对称；假设点P在曲线C上，那么F1PF2的面积不大年夜于a2.其中，所有精确结论的序号是_答案分析由于原点O到两个定点F1(2,0)，F2(2,0)的距离的积是4，又a24，因此曲线C只是原点，即差错；设动点P在曲线C上，由于F1(2,0)，F2(2,0)关于原点对称，因此|PF1|PF2|a2对应的轨迹关于原点对称，即精确；由于|PF1|PF2|sinF1PF2|PF1|PF2|a2，即F1PF2的面积不大年夜于a2，即精确