知识讲解 合情推理与演绎推（理）（提高）1211--.doc

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1、合情推理与归纳推理编稿：赵雷审稿：李霞【深造目标】1.理解合情推理的含义，能使用归纳跟类比停顿推理，做出猜想。2.理解归纳推理的含义，操纵归纳推理的全然办法，能使用“三段论停顿庞杂的推理.【要点梳理】要点一、推理的不雅观点及分类1. 推理的不雅观点：按照一个或几多个已经清楚理想(或假设)得出一个揣摸，这种思想办法叫做推理从结构上说，推理一般由两部分形成，一部分是已经清楚的理想(或假设)叫做条件，一部分是由已经清楚推出的揣摸，叫做结论要点说明：1任何推理全然上由条件跟结论两部分形成，条件是推理所按照的命题，它告诉我们已经清楚的知识是什么，推理的条件可以是一个，也可以是几多个结论是按照条件推得的命

2、题，它告诉我们推出的知识是什么2推理也可以看做是用贯串衔接词将条件跟结论逻辑的贯串衔接，常用的贯串衔接词有：“由于，因此“按照，可知“假设，那么等2. 推理的分类：（1） 合情推理：按照已有的理想跟精确的结论包括定义、公理、定理等、实验跟实际的结果、集团的阅历跟直觉等，通过不雅观看、分析、比较、遥想、归纳、类比等推测出某些结果的推理过程。其中归纳推理跟类比推理是最稀有的合情推理。归纳推理是由特不到一般的推理；类比推理是由特不到特其他推理合情推理的推理过程要点说明：由合情推理的过程可以看出，合情推理的结论屡屡跨越了条件所包括的范围，带有猜想的因素，因此推理所得的结论未必精确，但是，合情推理存在猜

3、想跟觉察结论、探求跟供应证明的思路跟倾向的感染（2） 归纳推理：从一般性的情理出发，按照严峻的逻辑法那么，推出某个特不状况下的结论的推理，叫做归纳推理.归纳推理是由一般到特其他推理要点二、归纳推理1.定义：由某类事物的部分货色存在某些特色，推出该类事物的全部货色都存在这些特色的推理，或者由个不理想概括出一般结论的推理，称为归纳推理简称归纳。2归纳推理的特征1归纳推理是由部分到全部、由个不到一般的推理；2归纳推理的条件是部分的、个不的理想，因此归纳推理的结论逾越了条件所界定的范围，其条件跟结论之间的联系不是肯定的，而是或然的，因此“条件真而结论假的状况有可以发生的如教科书所述的“费马猜想；3人们

4、在停顿归纳推理的时候，总是先搜集肯定的理想材料，有了个不性的、特不性的理想作为条件，然后才能停顿归纳推理，因此归纳推理要在不雅观看跟实验的基础长停顿；4归纳推理可以觉察新理想、获得新结论，是做出科学觉察的要紧伎俩要点说明：归纳推理的结论可真可假归纳推理一般全然上从不雅观看、实验、分析特不状况开始，提出有法那么性的猜想；一般地，归纳的个不状况越多，就越存在代表性，履行的一般性命题就越可靠.由于归纳推理的条件是部分的、个不的理想，因此归纳推理的结论逾越了条件所界定的范围，其条件跟结论之间的联系不是肯定的，而是或然的，因此归纳推理所得的结论不用定是精确的.3使用归纳推理时的一般步伐1通过不雅观看特例

5、觉察某些类似性特例的特征或一般法那么；2把这种类似性履行动一个清楚表述的一般命题猜想；3对所得出的一般性命题停顿检验在数学上，检验的标准是能否停顿严峻的证明2一般办法：部分全部，个人一般3一般步伐：通过不雅观看个不状况觉察某些一样性质；从已经清楚的一样的性质中猜想出一个清楚表述的一般性命题；检验猜想.4完好归纳法跟不完好归纳法1完好归纳法：通过对某类事物中的每一个货色或每一子类的考察，从中概括出关于此类事物的一般性结论的推理由于完好归纳法考察了某类事物的全部状况，因此由精确的条件肯定能掉掉落精确的结论，因此完好归纳法可以作为数学严峻证明的货色，在数学解题中有着广泛的使用2不完好归纳法：通过对某

6、类事物的一部分货色或一部分子类的考察，从中概括出关于该类事物的一般性结论的推理由于不完好归纳法是对某类事物中的某一部分货色停顿考察，因此，条件跟结论之间未必有肯定的联系，由不完好归纳法掉掉落的结论，结论不用定精确，结论的精确与否，还需要通过严峻的逻辑论证跟实际检验要点三、类比推理1定义：类比推理以下简称类比是在两类差其他事物之间停顿对比，寻出假设干一样或类似点之后，推测在其他方面也可以存在一样或类似之处的一种推理办法2类比推理的几多个特征1类比是从人们已经操纵了的事物的属性之中，推测正在研究中的事物的属性，它以旧有见解作基础，类比出新的结果；2类比是从一种事物的特不属性推测另一种事物的特不属性

7、；3类比的结果是猜想性的，不用定可靠，但它却存在觉察的功能3使用类比推理的一般步伐1寻出两类事物之间的类似性或不合性2用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个清楚的命题猜想3检验猜想.要点说明：1假设类比的两类事物的类似性越多，类似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠2事物之间的各特征子之间，并不是孤破存在的，而是互相联系的，互相制约的，假设两个事物在性质上一样或类似，那么它们在另一些性质上也可以一样或类似因此类比的结论可以是的确，类比也可以存在肯定性3类比的结论存在偶然性，即可以真，也可以假要点四、归纳推理1定义：从一般性的情理出发，按照严峻的逻辑法那么，推出某个特

8、不状况下的结论的推理，叫做归纳推理.简言之，归纳推理是由一般到特其他推理2一般办法：“三段论是归纳推理的一般办法，常用的一种格式：大年夜条件已经清楚的一般情理；小条件所研究的特不状况；结论按照一般情理，对特不状况作出的结论.要点说明：假设一个推理规那么能用标志表示为“假设ab，bc，那么ac，那么这种推理规那么叫做三段论推理三段论推理包括了三个命题，第一个命题称为大年夜条件，它供应了一个一般性的情理；第二个命题称为小条件，它指出了一个特不货色，两者结合起来，提示了一般情理与特不货色的外延联系，从而掉掉落第三个命题结论3用聚拢的不雅观念理解“三段论假设聚拢的所有元素都存在性质，是的子集，那么中所

9、有元素都存在性质.要点说明：归纳推理的结论肯定精确归纳推理是一个肯定性的推理，因此只要大年夜条件、小前提及推理办法精确，那么结论肯定是精确的，它是完好可靠的推理。要点五、合情推理与归纳推理的区不与联系1从推理办法看：归纳推理是由特不到一般的推理类比推理是由特不到特其他推理归纳推理是由一般到特其他推理2从推理的结论看：合情推理所得的结论不用定精确，有待证明。归纳推理所得的结论肯定精确。3总体来说，从推理的办法跟推理的精确性上讲，二者有差异；从二者在见解事物的过程中所发挥的感染的角度考虑，它们又是紧密联系，相反相成的。合情推理的结论需要归纳推理的验证，而归纳推理的内容一般是通过合情推理获得的；归纳

10、推理可以验证合情推理的精确性，合情推理可以为归纳推理供应倾向跟思路.要点说明：留心：在数学中，证明命题的精确性，全然上用归纳推理，合情推理不克不迭用作证明【模典范题】典范一、归纳推理例1.用推理的办法表示数列的前项跟的归纳过程.【思路点拨】依题意，表示数列的前项跟，即.为此，我们先按照该公式，算出数列的前几多项，通过不雅观看进一步归纳得出与的对应关系式.【分析】对数列的前项跟分不停顿打算：，.不雅观看可得，数列Sn的前五项都等于1到呼应序号的自然数之跟的平方，由此猜想数列的前项跟.【总结升华】此题是由部分到全部的推理，先把部分的状况都写出来，然后寻寻法那么，概括出全部的状况，是模范的归纳推理.

11、归纳常常从不雅观看开始，不雅观看、实验、对有限的材料作归纳拾掇，提出带有法那么性的猜想，是数学研究的全然办法之一.归纳猜想是一种要紧的思想办法，但结果的精确性还需进一步证明.在归纳猜想数列的前项跟公式时，要细心不雅观看数列中各项数字间的法那么，分析每一项与对应的项数之间的关系.虽然由归纳推理所掉掉落的结论未必是精确的，但它所存在的由特不到一般，由详细到抽象的认知功能，关于数学的觉察却是特不无效的.举一反三：【变式1】秋台州期末在数列an中，称心an+1=anan1n2，a1=a，a2=b，设Sn=a1+a2+an，那么合情推理推出a100=_，S100=_。【答案】由an+1=anan1n2，

12、得an+6=an+5an+4=an+4an+3an+4=an+3=(an+2an+1)=(an+1anan+1)=an，因此6为数列an的周期，又a3=a2a1=ba，a4=a3a2=a，a5=a4a3=b，a5=a5a4=ab，因此a100=a96+4=a4=a，S100=16(a1+a2+a3+a4+a5+a6)+a1+a2+a3+a4=160+a+b+baa=2ba，故答案为：a，2ba。【变式2】用推理的办法表示等差数列1，3，5，21，的前项跟的归纳过程.【答案】对等差数列1，3，5，21，的前1，2，3，4，5，6项的跟分不停顿打算：；不雅观看可得，前项跟等于序号的平方，由此可猜想

13、.【变式3】各项均为正数的数列an，a1=a，a2=b，且对称心m+n=p+q的正整数m，n，p，q都有。当，时，求通项公式an。【分析】由得。将，代入化简得当n=3时，。当n=4时，。由此归纳出。nN*归纳猜想出的结论应予以严峻证明才可，此处证明略例2春高要市校级月考蜜蜂被以为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图。其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此法那么，以fn表示第n个图的蜂巢总数。1试给出f4，f5的值；2使用合情推理的“归纳推理思想归纳出fn+1与fn之间的关系式，并按照你掉掉落的关系式求出fn的表达

14、式；3证明：。【答案】1612fn=3n23n+13略【思路点拨】1按照图象的法那么可得f4跟f5的值。2按拍照邻两项的差的法那么可分析出fn+1fn=6n，进而按照吞并求跟的办法求得fn的表达式；3按照2中求得的fn可得的表达式，进而使用裂项的办法证明原式。【分析】1f4=37，f5=61。2由于f2f1=71=6，f3f2=197=26，f4f3=3719=36，f5f4=6137=46，因此，有fn+1fn=6n，因此fn=fnfn1+fn1fn2+f2f1+f1=6n1+n2+2+1+1=3n23n+1。又f1=1=31231+1，因此fn=3n23n+1。3证明：当k2时，因此。【总

15、结升华】此题要紧考察了数列的求跟征询题，数列的求跟是数列的要紧内容之一，除等差数列跟等比数列外，大年夜部分的数列求跟都需要肯定的技艺，如裂项法、倒序相加，错位相减，分组求跟解。举一反三：【高清课堂：401470例题2】【变式1】按照给出的数塔猜想1234569+7等于19+2=11129+3=1111239+4=111112349+5=11111【答案】1111111。按照数塔中的位数法那么可得。【高清课堂：401470例题1】【变式2】按照图中5个图形及呼应点的个数的变卦法那么,试猜想第n个图中有个点.()A.B.C.n+1D.【答案】D第(2)个图形,中间有1个点,其他的点指向两个倾向,每

16、个倾向一个点,共有个点;第(3)个图形,中间有1个点,其他的点指向三个倾向,每个倾向两个点,共有个点;第(4)个图形,中间有1个点,其他的点指向四个倾向,每个倾向三个点,共有个点;第(5)个图形,中间有1个点,其他的点指向五个倾向,每个倾向四个点,共有个点;由上面的变卦法那么,可猜想,第n个图形中心有1个点,其他的点指向n个倾向,每个倾向n-1个点,共有n(n-1)个点.【变式3】将正ABC联系成n2n2，nN个全等的小正三角形如图2-1-1-1，图2-1-1-2分不给出了n=2，3的状况，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于ABC的三边及平行于某边的任不时线上的数当数的个数非常多于3时都分

17、不成等差数列，假设顶点A，B，C处的三个数互不一样且跟为1，记所有顶点上的数之跟为fn，那么有f2=2，f3=_，fn=_。【答案】当n=3时，如图2-1-13所示分不设各顶点的数用小写字母表示，即由条件知a+b+c=1，x1+x2=a+b，y1+y2=b+c，z1+z2=c+a。x1+x2+y1+y2+z1+z2=2(a+b+c)=2，2g=x1+y2=x2+z1=y1+z2。6g=x1+x2+y1+y2+z1+z2=2(a+b+c)=2。即而。进一步可求得f4=5。，。，。由此归纳出，因此。典范二、类比推理例3.在中,假设,那么,用类比的办法,猜想三棱锥的类似性质,并证明你的猜想。【思路点

18、拨】从办法的类比入手。【分析】由破体类比到空间,有如下猜想:“在三棱锥中，三个正面两两垂直，且与底面所成的角分不为，那么证明：设在破体的射影为，延长交于，记由得，从而，又，即【总结升华】要紧考虑两条直角边互相垂直怎么样类比到空间以及两条直角边与歪边所成的角怎么样类比到空间。1寻两类货色的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积，破体上的角对应空间角等等；2寻对应元素的对应关系，如：两条边直线垂直对应线面垂直或面面垂直，边相当对应面积相当举一反三：【变式】在ABC中，假设BCAC，AC=b，BC=a，那么ABC的外接圆半径.将此结论拓展到空间，可得出的精确结论是：在周围体SABC中

19、，假设SA、SB、SC两两垂直，SA=a，SB=b，SC=c，那么周围体SABC的外接球半径R=_.【答案】例4.已经清楚等差数列的公差为，前项跟有如下性质：假设，那么假设，那么.类比上述性质，在等比数列中，写出相类似的性质.【分析】在等比数列中，公比为，前项跟为假设，那么假设，那么【总结升华】此题考察等差数列与等比数列的类比.一种较本质的见解是：等差数列用减法定义性质用加法表述假设且那么；等比数列用除法定义性质用乘法表述假设且那么.举一反三：【变式1】已经清楚等差数列的定义为:在一个数列中，从第二项起,假设每一项与它的前一项的差都为一致个常数，那么谁人数叫做等差数列，谁人常数叫做该数列的公差

20、类比等差数列的定义给出“等跟数列的定义：；已经清楚数列是等跟数列，且，公跟为，那么的值为_谁人数列的前项跟的打算公式为_【答案】在一个数列中，假设每一项与它的后一项的跟都为一致个常数，那么谁人数叫做等跟数列，谁人常数叫做该数列的公跟；【变式2】通过打算可得以上等式：2212=21+1，3222=22+14232=23+1，(n+1)2n2=2n+1。将以上各等式单方分不相加得：(n+1)212=2(1+2+n)+n，即。1类比上述求法，请你求出12+22+32+n2的值。2按照上述结论试求12+32+52+992的值。【答案】12313=312+31+1，3323=322+32+1，4333=

21、332+33+1，(n+1)3n3=3n2+3n+1。将以上各式单方分不相加得(n+1)313=3(12+22+n2)+3(1+2+n)+n，。212+32+52+992=12+22+32+1002(22+42+62+1002)=12+22+32+10024(12+22+32+502)=10010120145051101=166650。典范三：归纳推理例5.用三段论的办法写出以下归纳推理1菱形的对角线互相垂直，正方形是菱形，因此正方形的对角线互相垂直2假设两个角是对顶角，那么此两角相当，因此假设1跟2不相当，那么1跟2不是对顶角3是有理数【分析】1菱形的对角线互相垂直大年夜条件正方形是菱形小条

22、件正方形的对角线互相垂直结论2两个角是对顶角那么两角相当大年夜条件1跟2不相当小条件1跟2不是对顶角结论3所有的循环小数全然上有理数大年夜条件是循环小数小条件是有理数结论【总结升华】在三段论中，“大年夜条件供应了一般的情理，“小条件指出了一个特其他状况，“结论在大年夜条件跟小条件的基础上，说明一般情理跟特不状况间的联系我们早已能自发地使用三段论来停顿推理，深造了三段论后我们要主动地理解跟操纵这一推理办法举一反三：【变式】把以下归纳推理写成三段论的办法在一个标准大年夜气压下，水的沸点是100，因此在一个标准大年夜气压下把水加热到100时，水会沸腾【答案】大年夜条件：在一个标准大年夜气压下，水的沸

23、点是100；小条件：在一个标准大年夜气压下把水加热到100；结论：水会沸腾例6已经清楚：在梯形ABCD中如右图所示，AB=DC=ADAC跟BD是它的对角线求证：1.AC平分BCD，2.DB平分CBA【分析】1.1等腰三角形两底角相当，大年夜条件DAC是等腰三角形，DA、DC是两腰，小条件1=2结论2两条平行线被第三条直线截出的内错角相当，大年夜条件1跟3是平行线AD、BC被AC截出的内错角，小条件1=3结论3等于一致个量的两个量相当，大年夜条件2跟3都等于1，小条件2=3结论即AC平分BCD2.同理可证DB平分CBA【总结升华】谁人证明中假设把2.也详细地写出，那么一共停顿六次三段论推理因此一

24、个命题的证明办法，的确地叫复合三段论的办法，或说命题的推证办法是复合三段论办法但是理想上，每一次三段论推理的大年夜条件并不写出，某一次三段论推理的小条件假设是它前面某次三段论推理的结论，也就不再写出了如上的证明可写成：DA=DC，省略了大年夜条件1=2ADBC，且被AC截得内错角为1跟3，省略大年夜条件1=3，2=3，即AC平分BCD省略大年夜条件，小条件同理可证DB平分ABC如斯，一般在推证命题时所采用的这种办法，就叫做简化的复合三段论法举一反三：【变式1】如以下列图，D，E，F分不是BC，CA，AB上的点，BFD=A，DEBA，求证：ED=AF.【答案】1同位角相当，两条直线平行，大年夜条件BFD与A是同位角，且BFD=A，小条件因此，DFEA.结论2两组对边分不平行的四边形是平行四边形，大年夜条件DEBA且DFEA，小条件因此，四边形AFDE为平行四边形.结论3平行四边形的对边相当大年夜条件ED跟AF为平行四边形的对边，小条件因此，ED=AF.结论上面的证明素日庞杂地表述为：四边形AFDE是平行四边形ED=AF.【变式2】用三段论证明函数在，+上是增函数.【答案】法一：设，那么，由于，因此，即.因此按照“三段论，得在上是增函数.法二：.事前，有恒成破，即在，+上恒成破.因此在，+上是增函数