第9章概率论与数理统计的MATLAB实现讲稿(共75页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上第9章 概率论与数理统计的MATLAB实现 MATLAB总包提供了一些进行数据统计分析的函数，但不完整。利用MATLAB统计工具箱，可以进行概率和数理统计分析，以及进行比较复杂的多元统计分析。9.1随机变量及其分布 利用统计工具箱提供的函数，可以比较方便地计算随机变量的分布列（或密度函数）和分布函数。9.1.1 常见离散型随机变量的分布列的计算如果随机变量全部可能取到的不相同的值是有限个或可列无限多个，则称为离散型随机变量。MATLAB提供的计算常见离散型随机变量分布列的函数及调用格式：函数调用格式(对应的分布) 分布列y=binopdf(x,n,p)(二项分布) y

2、=geopdf(x,p)(几何分布) y=hygepdf(x,M,K,n)(超几何分布) y=poisspdf(x,lambda)(泊松分布) y=unidpdf(x,n)(离散均匀分布) 9.1.2 常见连续型随机变量的密度函数计算对于随机变量的分布函数，如果存在非负函数，使对于任意实数有则称为连续型随机变量，其中函数称为的密度函数。MATLAB提供的计算常见连续型随机变量分布密度函数的函数及调用格式：函数调用格式(对应的分布) 密度函数y=betapdf(x,a,b)(分布) y=chi2pdf(x,v)(卡方分布) y=exppdf(x,mu)(指数分布) y=fpdf(x,v1,v2)

3、(F分布) y=gampdf(x,a,b)(伽马分布) y=normpdf(x,mu,sigma)(正态分布) y=lognpdf(x,mu,sigma)(对数正态分布) y=raylpdf(x,b)(瑞利分布) y=tpdf(x,v)(学生氏t分布) y=unifpdf(x,a,b)(连续均匀分布) y=weibpdf(x,a,b)(威布尔分布) 比如，用normpdf函数计算正态概率密度函数值。该函数的调用格式为：Y=normpdf(X,MU,SIGMA)计算数据X中各值处参数为MU和SIGMA的正态概率密度函数的值。参数SIGMA必须为正。正态概率密度函数的计算公式为：9.1.3 用函数

4、pdf计算随机变量的分布列或概率密度除了用上述的函数计算服从相应分布的随机变量的分布列或概率密度外，还可以用函数pdf计算随机变量的分布列或概率密度。调用格式：Y = pdf(name,X,A1,A2,A3)返回服从参数为A1,A2,A3的name分布的随机变量在X处的分布列或密度函数值。Y与X同型，分布函数名name常见的取值如下：beta或Beta：Beta分布bino或Binomial：二项分布chi2或Chisquare：卡方分布exp或Exponential：指数分布f或F：F分布gam或Gamma：GAMMA分布geo或Geometric：几何分布hyge或Hypergeometr

5、ic：超几何分布logn或Lognormal：对数正态分布nbin或Negative Binomial：负二项分布ncf或Noncentral F：非中心F分布nct或Noncentral t：非中心t分布ncx2或Noncentral Chi-square：非中心卡方分布norm或Normal：正态分布poiss或Poisson：泊松分布rayl或Rayleigh：瑞利分布t或T：T分布unif或Uniform：均匀分布unid或Discrete Uniform：离散均匀分布weib或Weibull：Weibull分布比如，计算自由度为8的卡方分布,在点2.18处的密度函数值的命令为：pdf

6、(chi2,2.18,8)9.1.4分布函数对于离散型随机变量，设为任意实数，的分布函数为：对于连续型随机变量，假设其概率密度函数为，则其分布函数为：对常见分布的随机变量，MATLAB均提供了专门的函数来计算它们各自的分布函数，这些函数是具体如下：函数调用格式 对应的分布F=betacdf(x,a,b) 分布F=binocdf(x,n,p) 二项分布F=chi2cdf(x,v) 卡方分布F=expcdf(x,mu) 指数分布F=fcdf(x,v1,v2) F分布F=gamcdf(x,a,b) 伽马分布F=geocdf(x,p) 几何分布F=hygecdf(x,M,K,n) 超几何分布F=nor

7、mcdf(x,mu,sigma) 正态分布F=logncdf(x,mu,sigma) 对数正态分布F=poisscdf(x,lambda) 泊松分布F=raylcdf(x,b) 瑞利分布F=tcdf(x,v) 学生氏t分布F=unidcdf(x,n) 离散均匀分布F=unifcdf(x,a,b) 连续均匀分布F=weibcdf(x,a,b) 威布尔分布例如，用normcdf函数计算正态分布的分布函数。该函数的调用格式为：F=normcdf(X,MU,SIGMA)计算参数为MU和SIGMA的正态分布函数在数据X中每个值处的值。参数SIGMA必须为正。正态分布的分布函数为：结果为取自参数为和的正态

8、分布总体的单个观测量落在区间中的概率。另外，还可以用函数cdf计算随机变量的分布函数。调用格式：F= cdf(name,X,A1,A2,A3)返回服从参数为A1,A2,A3的name分布的随机变量在X处的分布函数值。分布函数名name常见的取值同函数pdf中的name。例91某仪器需安装一个电子元件，需要电子元件的使用寿命不低于1000小时即可。现有甲乙两厂的电子元件可供选择，甲厂生产的电子元件的寿命服从正态分布，乙厂生产的电子元件的寿命服从正态分布。问应选哪个工厂的产品呢？解：设，。则有：0.97720.9696因此，应选甲厂生产的产品。注：计算的命令为：1-normcdf(1000,110

9、0,50) 或1-cdf(norm,1000,1100,50) 计算的命令为：1-normcdf(1000,1150,80) 或1-cdf(norm,1000,1150,80)9.1.5 分布函数的逆函数MATLAB中，常见分布的分布函数的逆函数及其调用格式：函数调用格式 对应的分布x=betainv(P,a,b) 分布x=binoinv(P,n,p) 二项分布x=chi2inv(P,v) 卡方分布x=expinv(P,mu) 指数分布x=finv(P,v1,v2) F分布x=gaminv(P,a,b) 伽马分布x=geoinv(P,p) 几何分布x=hygeinv(P,M,K,n) 超几何分

10、布x=norminv(P,mu,sigma) 正态分布x=logninv(P,mu,sigma) 对数正态分布x=poissinv(P,lambda) 泊松分布x=raylinv(P,b) 瑞利分布x=tcdfinv(P,v) 学生氏t分布x=unidinv(P,n) 离散均匀分布x=unifinv(P,a,b) 连续均匀分布x=weibinv(P,a,b) 威布尔分布在MATLAB中，还可以用函数icdf计算随机变量的分布函数的逆函数。调用格式：X=icdf(name,P,A1,A2,A3)服从参数为A1,A2,A3的name分布的随机变量的分布函数在X处值为P。分布函数名name常见的取值

11、同函数pdf中的name。例92有同类设备300台，各台工作状态相互独立。已知每台设备发生故障的概率为0.01，若一台设备发生故障需要1人去处理，问至少需要多少工人，才能保证设备发生故障而不能及时维修的概率小于0.01？解：设表示同一时刻发生故障的设备台数，则有。再设配备位维修人员，则有：即键入命令：x=binoinv(0.99,300,0.01) 或 x=icdf(bino,0.99,300,0.01)运行结果：x =8键入命令：F1=binocdf(8,300,0.01),F2=binocdf(7,300,0.01)运行结果：F1=0.9964，F2=0.9885。因此，至少需要8个工人，

12、才能保证设备发生故障而不能及时维修的概率小于0.01。例93服从卡方分布的随机变量的分布函数的逆函数的应用程序代码：n=5; a=0.05;%n为自由度x_a=chi2inv(1-a,n);%x_a 为临界值x=linspace(0,20,1000);y_pdf=chi2pdf(x,n);%计算的概率密度函数值,供绘图用.plot(x,y_pdf,b)%绘密度函数图形hold onxx=linspace(0,x_a,800);yy_pdf=chi2pdf(xx,n); %计算0,x_a上的密度函数值,供填色用fill(xx,x_a, yy_pdf,0, g) %填色,其中:点(x_a, 0)使

13、得填色区域封闭.text(x_a+0.01,0.005, num2str(x_a) %标注临界值点text(10,0.10, fontsize16Xchi2(5)%图中标注text(1.5,0.03,fontsize161-alpha=0.95 )%图中标注运行结果见图91。图919.2多维随机变量及其分布9.2.1 二维随机变量用mvnpdf和mvncdf函数可以计算二维正态分布随机变量在指定位置处的密度函数值和分布函数值。例94计算服从二维正态分布的随机变量在指定范围内的概率密度值并绘图。程序代码：%二维正态分布的随机变量在指定范围内的概率密度函数图形mu=0 0;sigma=0.25 0

14、.3;0.3 1;%协方差阵x=-3:0.1:3;y=-3:0.15:3;x1,y1=meshgrid(x,y);%将平面区域网格化取值f=mvnpdf(x1(:) y1(:),mu,sigma);%计算二维正态分布概率密度函数值F=reshape(f,numel(y),numel(x);%矩阵重塑surf(x,y,F);%绘刻面图caxis(min(F(:)-0.5*range(F(:),max(F(:);%设置颜色的范围%range(x)表示最大值与最小值的差，即极差。axis(-4 4 -4 4 0 max(F(:)+0.1);%设置坐标轴范围xlabel(x)ylabel(y)zlab

15、el(Probability Density)运行结果见图92。图92二维正态分布的随机变量的密度函数图形9.2.2 边缘分布若连续型随机变量的密度函数为，则关于和的边缘概率密度和分别为：例95设具有概率密度确定常数；求边缘概率密度和。解：由可得；计算程序代码：clear;clc;syms x y Cfxy=C*x2*y;g=int(int(fxy,y,x*x,1),x,-1,1);C=double(solve(g-1)程序代码：clear;clc;syms x yfxy=5.25*x*x*y;fx=int(fxy,y,x*x,1)fy=int(fxy,x,-sqrt(y),sqrt(y)运行

16、结果：fx =21/8*x2*(1-x4)fy =7/2*y(5/2)因此，9.3随机变量的数字特征在解决实际问题过程中，往往并不需要全面了解随机变量的分布情况，而只需要知道它们的某些特征，这些特征通常称为随机变量的数字特征。常见的有数学期望、方差、相关系数和矩等。9.3.1 数学期望 离散型随机变量的数学期望设离散型随机变量的分布律为：，如果绝对收敛，则称的和为随机变量的数学期望。例96设表示一张彩票的奖金额，的分布列如下：500005000500501000.0.0.000090.00090.0090.090.9试求。求解程序代码：%离散型随机变量的数学期望clear;clc;x= 500

17、00 5000 500 50 10 0;p=0. 0. 0.00009 0.0009 0.009 0.09 0.9;Ex=x*p运行结果：Ex=3.2000例97设，求。求解程序：%离散型随机变量的数学期望clear;clc;syms p kEx=symsum(k*p*(1-p)(k-1),k,1,inf)运行结果：Ex=1/p 连续型随机变量的数学期望设连续型随机变量的概率密度为，若积分绝对收敛，则称该积分的值为随机变量的数学期望。例98设的概率密度为：，求。求解程序代码：%连续型随机变量的数学期望clear;clc;syms xf1=x/15002;f2=(3000-x)/15002;Ex

18、=double(int(x*f1,0,1500)+int(x*f2,1500,3000)运行结果：Ex =1500随机变量的函数的数学期望计算公式：例99设圆的直径，求圆的面积的数学期望。求解程序代码：%连续型随机变量的函数的数学期望clear;clc;syms x a bf=1/(b-a);g=pi*x2/4;Ey=simplify(int(f*g,x,a,b)运行结果：Ey =1/12*(a2+b*a+b2)*pi 所以，圆的面积的数学期望为。 二维随机变量的函数的数学期望计算公式：例910设二维随机变量的概率密度为，求。求解程序代码：%二维连续型随机变量的函数的数学期望clear;clc

19、;syms x yf=x+y;Ex=double(int(int(x*y*f,y,0,1),0,1)运行结果：Ex =0.33339.3.2 方差设是一个随机变量，若存在，则称为的方差，记为。即 因此，随机变量的方差实际上是随机变量的函数的数学期望。这里不再举例说明。9.3.3 常见分布的数学期望和方差MATLAB提供了常见分布的均值和方差的计算函数，其调用格式如下：函数调用格式 对应的分布M,V=betastat(a,b) 分布M,V=binostat (n,p) 二项分布M,V=chi2stat(v) 卡方分布M,V=expstat(mu) 指数分布M,V=fstat(v1,v2) F分布

20、M,V=gamstat(a,b) 伽马分布M,V=geostat(p) 几何分布M,V=hygestat(M,K,n) 超几何分布M,V=normstat(mu,sigma) 正态分布M,V=lognstat(mu,sigma) 对数正态分布M,V=poisstat(lambda) 泊松分布M,V=raylstat(b) 瑞利分布M,V=tstat(v) 学生氏t分布M,V=unidstat(n) 离散均匀分布M,V=unifstat(a,b) 连续均匀分布M,V=weibstat(a,b) 威布尔分布9.3.4 协方差矩阵及相关系数矩阵随机变量与的协方差：。随机变量与的相关系数：。设与是容量

21、均为的二个样本，则有：这两个样本的样本均值为和；这两个样本的协方差为；这两个样本的相关系数为。相关系数常常用来衡量两个随机变量之间的线性相关性，相关系数的绝对值越接近1，表示相关性越强，反之越弱。随机向量的数学期望：随机向量的协方差矩阵：设随机变量的观测值均有个，构成二维数组：记，(表示样本均值向量)，其中。则其样本的协方差矩阵为：。用cov函数计算样本协方差矩阵。其简单调用格式为：C=cov(X) ：X只能是一维数组(向量)或二维数组(矩阵)。C=cov(X,Y)=cov(X(:),Y(:)：仅要求X与Y的元素个数相同，即仅要求X(:)与Y(:)长度相等。若X是一个向量，则cov(X)返回样

22、本X的方差。若X是矩阵(每一列为一个随机变量的观测值)，则cov(X)返回样本协方差矩阵。cov函数的算法为：n,p=size(X);Y=X-ones(n,1)*mean(X);C=Y*Y./(n-1)用corrcoef函数计算样本数据的相关系数矩阵。其简单调用格式为：R=corrcoef(X)R = corrcoef(x,y)例911 程序代码：%协方差阵的计算x=1050 1038;1100 1089;1120 1118;1250 1256;1280 1300;a=cov(x)运行结果：a = 1.0e+004 * 0.9950 1.1200 1.1200 1.26269.3.5 矩MAT

23、LAB中可以利用moment函数计算样本的中心矩。该函数的调用格式为：m=moment(X,order)：若X是向量，则moment(X,order)返回X数据的指定阶次中心矩；若X是矩阵，则moment(X,order)返回X数据的每一列的指定阶次中心矩。注：一阶中心矩为0，二阶中心矩为用除数n（而非n-1）得到的方差，其中n为向量X的长度或是矩阵X的行数。9.4样本描述采集到大量的样本数据以后，常常需要用一些统计量来描述数据的集中程度和离散程度，并通过这些指标来对数据的总体特征进行归纳。9.4.1 集中趋势描述样本数据集中趋势的统计量有算术平均、中位数、众数、几何均值、调和均值和截尾均值等

24、。 几何均值样本数据的几何均值：。用geomean函数计算样本数据的几何均值。m=geomean(X)：若X是向量，则geomean(X)返回数据X中元素的几何均值；若X是矩阵，则geomean(X)返回一个行向量，包含每列数据的几何均值。 调和均值样本数据的调和平均值。用harmmean函数计算样本数据的调和平均值。m=harmmean(X)：若X是向量，则harmmean(X)返回数据X的调和平均值；若X是矩阵，则harmmean(X)返回包含每列元素调和平均值的行向量。 算术平均值样本数据的算术平均值。用mean函数计算样本数据的算术平均值。m=mean(X)：若X是向量，则mean(X

25、)返回X的算术平均值；若X是矩阵，则mean(X)返回包含X中每列元素算术平均值的行向量。 中值中值是样本数据中心趋势的稳健估计，因为异常值的影响较小。用median函数计算样本数据中值。m=median(X)：若X是向量，则median(X)返回X的中值；若X是矩阵，则median(X)返回包含X中每列元素中值的行向量。 截尾均值对样本数据进行排序以后，去掉两端的部分极值，然后对剩下的数据求算术平均值，得到截尾均值。截尾均值为样本位置参数的稳健性估计。若数据中异常值，截尾均值为数据中心的一个更有代表性的估计。用函数trimmean计算截尾均值m=trimmean(X,percent)：若样本

26、数据X是向量，则剔除X中最大的和最小的各0.5*percent%以后，再计算算术平均值；若样本数据X是矩阵，则X的每列均剔除其最大的和最小的各0.5*percent%以后，再分别计算算术平均值，构成一个行向量。例912 程序代码：%描述样本的集中趋势clear;clc;x=0 1 2 3 4 5 6 7 8 8 9 9 10 11 12 12 13 14 15 16 17 18 1000 2000;xbar=mean(x)m1=median(x)m2=trimmean(x,20)运行结果：xbar=133.3333m1=9.5000m2=9.95009.4.2 离中趋势描述样本数据离散趋势的统

27、计量包括极差、平均差、平均绝对差、方差和标准差等。 均值绝对差用mad函数计算数据样本的均值或中值绝对差（MAD）。y=mad(X)：若X为向量，则y用mean(abs(X-mean(X)计算；如果X为矩阵，则y为包含X中每列数据均值绝对差的行向量。y=mad(X,0)：与y=mad(X)相同，使用均值。y=mad(X,1)：y=median(abs(X-median(X)。 极差极差指的是样本中最小值与最大值之间的差值。y=range(X)：若X是向量，则range(X)返回X中元素的极差；若X是矩阵，则range(X)返回包含X中列元素极差的行向量。 方差y=var(X)：若X是向量，则v

28、ar(X)返回样本X的方差；若X是矩阵，var(X)返回包含X中每一列元素构成的样本的方差的行向量。y=var(X,1)：除以n(n是样本大小)，是样本数据的二阶矩。y=var(X,w)：使用权重向量w计算方差。w中元素的个数必须等于矩阵X的行数。对于向量X，w和X必须在长度上匹配。w的每一个元素必须为正。注：令SS为向量X中元素与其均值之间的偏差的平方和，则var(X)SS/(n-1)为的最小方差无偏估计量，var(X,1)SS/n为的最大似然估计量。例913 程序代码：%说明方差的算法clear;clc;x=-2 1;-1 5;1 3;2 7;w=1;2;3;4;ss0=var(x)ss1

29、=var(x,1)ssw=var(x,w)m,n=size(x);xbarw=zeros(1,n);for j=1:n xbarw(j)=x(:,j)*w./sum(w);endssw1=zeros(1,n);for j=1:n ssw1(j)=(x(:,j)-xbarw(j).2)*w./sum(w);endssw1运行结果：ss0 = 3.3333 6.6667ss1 = 2.5000 5.0000ssw = 2.0100 4.3600ssw1 = 2.0100 4.3600 标准差y=std(X)：若X是向量，则std(X)返回X的标准差；若X是矩阵，则std(X)返回包含X中每一列标准

30、差的行向量。9.4.3 抽样分布统计量的分布称为抽样分布。正态总体的几个常用统计量的分布包括分布、分布和分布。下面给出用MATLAB进行这三大分布有关的计算表。表91用MATLAB进行分布有关的计算表函数名类别调用格式chi2pdf密度函数chi2pdf(x,n)chi2cdf分布函数chi2cdf(x,n)chi2inv分布函数的逆函数chi2inv(P,n)chi2stat数学期望与方差M,V=chi2stat(n)表92用MATLAB进行分布有关的计算表函数名类别调用格式tpdf密度函数tpdf(x,n)tcdf分布函数tcdf(x,n)tinv分布函数的逆函数tinv(P,n)tsta

31、t数学期望与方差M,V=tstat(n)表93用MATLAB进行分布有关的计算表函数名类别调用格式fpdf密度函数fpdf(x,n1,n2)fcdf分布函数fcdf(x,n1,n2)finv分布函数的逆函数finv(P,n1,n2)fstat数学期望与方差M,V=fstat(n1,n2)9.5参数估计 参数估计的内容包括点估计和区间估计。MATLAB统计工具箱提供了进行最大似然估计的函数，可以计算待估参数及其置信区间。利用专门的参数估计函数，可以估计服从不同分布的函数的参数。9.5.1 点估计点估计是用单个数值作为参数的估计，常用的方法有矩法和最大似然法。 矩法某些情况下，待估参数往往是总体原

32、点矩或原点矩的函数，此时可以用取自该总体的样本的原点矩或样本原点矩的函数值作为待估参数的估计，这种方法称为矩法。例如，样本均值总是总体均值的矩估计量，样本方差总是总体方差的矩估计量，样本标准差总是总体标准差的矩估计量。用计算矩的函数moment(X,order)进行估计。例914对某型号的20辆汽车记录其5L汽油的行驶里程（公里），观测数据如下：29.827.628.327.930.128.729.928.027.928.728.427.229.528.528.030.029.129.829.626.9试求总体的均值和方差的矩法估计。求解程序代码：%矩法估计clear;clc;x1=29.8

33、27.6 28.3 27.9 30.1 28.7 29.9 28.0 27.9 28.7;x2=28.4 27.2 29.5 28.5 28.0 30.0 29.1 29.8 29.6 26.9;x=x1 x2;muhat=mean(x)sigma2hat=moment(x,2)%样本二阶中心矩,也可用var(x,1)。运行结果：muhat=28.6950sigma2hat=0.9185 最大似然法最大似然法是在待估参数的可能取值范围内进行挑选，使似然函数值（即样本取固定观察值邻域内的概率）最大的那个参数值即为最大似然估计量。由于最大似然估计法得到的估计量通常不仅仅满足无偏性、有效性等基本条件

34、，还能保证其为充分统计量，所以，在点估计和区间估计中，一般推荐使用最大似然法。用函数mle进行最大似然估计。该函数的常见调用格式为：phat=mle(dist,data)使用向量data中的样本数据，返回dist指定的分布的最大似然估计(MLE)。dist常见取值：beta(Beta分布)，bernoulli(0-1分布)，binomial(二项分布)，exponential(指数分布)，gamma(GAMMA分布)，geometric(几何分布)，lognormal(对数正态分布)，normal(正态分布)，negative binomial(负二项分布)，poisson(泊松分布)，ray

35、leigh(瑞利分布)，discrete uniform(离散均匀分布)，uniform(均匀分布)，weibull(Weibull分布)。dist取normal时可省略。例915对某型号的20辆汽车记录其5L汽油的行驶里程（公里），观测数据如下：29.827.628.327.930.128.729.928.027.928.728.427.229.528.528.030.029.129.829.626.9设行驶里程服从正态分布，试用最大似然估计法估计总体的均值和方差。求解程序代码：%最大似然估计clear;clc;x1=29.8 27.6 28.3 27.9 30.1 28.7 29.9 28

36、.0 27.9 28.7;x2=28.4 27.2 29.5 28.5 28.0 30.0 29.1 29.8 29.6 26.9;x=x1 x2;p=mle(norm,x);muhatmle=p(1)sigma2hatmle=p(2)2运行结果：muhatmle =28.6950sigma2hatmle =0.91859.5.2 区间估计求参数的区间估计，首先要求出该参数的点估计，然后构造一个含有该参数的随机变量，并根据一定的置信水平求该估计值的范围。函数mle除了可以用于求指定分布的参数的最大似然估计外，还可以用于求指定分布的参数的区间估计。其简单的调用格式为：phat,pci=mle(d

37、ist,data)：返回dist分布的参数的最大似然估计和置信度为95%的置信区间。phat,pci=mle(dist,data,alpha)：返回dist分布的参数的最大似然估计和置信度为100(1- alpha)%的置信区间。例916对某型号的20辆汽车记录其5L汽油的行驶里程（公里），观测数据如下：29.827.628.327.930.128.729.928.027.928.728.427.229.528.528.030.029.129.829.626.9设行驶里程服从正态分布，求平均行驶里程的95%置信区间。求解程序代码：%正态总体参数的区间估计clear;clc;x1=29.8 27

38、.6 28.3 27.9 30.1 28.7 29.9 28.0 27.9 28.7;x2=28.4 27.2 29.5 28.5 28.0 30.0 29.1 29.8 29.6 26.9;x=x1 x2;p,ci=mle(norm,x,0.05)运行结果：p = 28.6950 0.9584ci = 28.2348 0.7478 29.1552 1.4361即平均行驶里程的95%置信区间为（28.2348，）。另外，0.9584，的95%置信区间(0.7478，1.4361)。9.5.3 常见分布的参数估计除了使用mle函数求指定分布的参数估计量外，MATLAB统计工具箱还提供了求常见分布

39、的参数的估计函数，如表94所示。表94常见分布的参数估计函数及其简单调用格式分 布调 用 格 式贝塔分布phat=betafit(x)phat,pci=betafit(x,alpha)二项分布phat=binofit(x,n)phat,pci=binofit(x,n)phat,pci=binofit(x,n,alpha)指数分布muhat=expfit(x)muhat,muci=expfit(x)muhat,muci=expfit(x,alpha)伽马分布phat=gamfit(x)phat,pci=gamfit(x)phat,pci=gamfit(x,alpha)正态分布muhat,sigm

40、ahat,muci,sigmaci=normfit(x)muhat,sigmahat,muci,sigmaci=normfit(x, alpha)泊松分布lambdahat=poissfit(x)lambdahat,lambdaci=poissfit(x)lambdahat,lambdaci=poissfit(x, alpha)均匀分布ahat,bhat=unifit(x)ahat,bhat,aci,bci=unifit(x)ahat,bhat,aci,bci=unifit(x, alpha)威布尔分布phat=weibfit(x)phat,pci=weibfit(x)phat,pci=weibfit(x, alpha)例如，用normfit函数对正态分布总体进行参数估计。muhat,sigmahat,muci,sigmaci=normfit(x)：对于给定的正态分布的数据x，返回参数的估计值muhat、的估计值sigmahat、的95%置信区间muci和的95%置信区间sigmaci。muhat,sigmahat,muci,sigmaci=normfit(x, alpha)：进行参数估计并计算100(1- alpha)%置信区间。例917用normfit函数求解例916。解：由可得的置信区间：由可得的置信区间：求解程序代码：%normf