第九讲--差分方程--Matlab语言程序设计-教学课件.ppt

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1、Northeast Dianli CollegeMatlab语言程序设计第九讲第九讲 差分方程差分方程 一阶线性常系数差分方程一阶线性常系数差分方程高阶线性常系数差分方程高阶线性常系数差分方程2线性常系数差分方程组线性常系数差分方程组3 3非线性差分方程非线性差分方程4 41差分方程是在离散时段上描述现实世界中变化过差分方程是在离散时段上描述现实世界中变化过程的数学模型程的数学模型v例例1 1 某种货币某种货币1 1年期存款的年利率是年期存款的年利率是r r，现存入，现存入M M元，问年后的本金与利息之和是多少？元，问年后的本金与利息之和是多少？vX Xk+1k+1=(1+r)(1+r)x x

2、k k ,k=0,1,2 ,k=0,1,2 v以以k=0k=0时时x0=Mx0=M代入，递推代入，递推n n次可得次可得n n年后本息为年后本息为 第九讲第九讲 差分方程差分方程v污水处理厂每天可将处理池的污水浓度降低一污水处理厂每天可将处理池的污水浓度降低一个固定比例个固定比例q，问多长时间才能将污水浓度降，问多长时间才能将污水浓度降低一半？低一半？v记第记第k天的污水浓度为天的污水浓度为ck,则第则第k+1天的污水浓天的污水浓度为度为 ck+1=(1-q)ck,k=0,1,2,从从k=0开始递推开始递推n次得次得 以以cn=c0/2代入即求解。代入即求解。第九讲第九讲 差分方程差分方程一、

3、一阶线性常系数差分方程一、一阶线性常系数差分方程v记第k年沙丘鹤的数量为xk,年均增长率为r，则第k+1年鹤的数量为v xk+1=(1+r)xk k=0,1,2v已知x0=100,在较好，中等和较差的自然环境下 r=0.0194,-0.0324,和-0.0382 我们利用Matlab编程，递推20年后观察沙丘鹤的数量变化情况例例1：濒危物种的自然演化和人工孵化：濒危物种的自然演化和人工孵化模型建立：模型建立：MatlabMatlab实现：实现：v首先建立一个关于变量n，r的函数vfunction x=sqh(n,r)va=1+r;vx=100;vfor k=1:nv x(k+1)=a*x(k)

4、;vend一、一阶线性常系数差分方程一、一阶线性常系数差分方程例例1：濒危物种的自然演化和人工孵化：濒危物种的自然演化和人工孵化sqh一、一阶线性常系数差分方程一、一阶线性常系数差分方程例例1：濒危物种的自然演化和人工孵化：濒危物种的自然演化和人工孵化v在command窗口里调用sqh函数 k=(0:20);y1=sqh(20,0.0194);y2=sqh(20,-0.0324);y3=sqh(20,-0.0382);round(k,y1,y2,y3)exno91一、一阶线性常系数差分方程一、一阶线性常系数差分方程例例1：濒危物种的自然演化和人工孵化：濒危物种的自然演化和人工孵化v plot(

5、k,y1,k,y2,k,y3)在同一坐标系下画图 subplot(2,2,1),plot(k,y1,r:)subplot(2,2,2),plot(k,y2,k-)subplot(2,2,3),plot(k,y3,g*)subplot(2,2,4),plot(k,y1,r:,k,y2,k-,k,y3,g*)用gtext(r=0.0194),gtext(r=-0.0324),gtext(r=-0.0382)在图上做标记。exno92一、一阶线性常系数差分方程一、一阶线性常系数差分方程例例1：濒危物种的自然演化和人工孵化：濒危物种的自然演化和人工孵化v人工孵化是挽救濒危物种的措施之一，如果每年孵化5

6、只鹤放入保护区，观察在中等自然条件下沙丘鹤的数量如何变化Xk+1=aXk+5 ,a=1+r如果我们想考察每年孵化多少只比较合适，可以令Xk+1=aXk+b ,a=1+r一、一阶线性常系数差分方程一、一阶线性常系数差分方程例例1：濒危物种的自然演化和人工孵化：濒危物种的自然演化和人工孵化vk=(0:20);%一个行向量vy1=fhsqh(20,-0.0324,5);%也是一个行向量vround(k,y1)%对k,y1四舍五入，但是不改变变量的值 vplot(k,y1)%k,y1是行向量列向量都可以v也可以观察200年的发展趋势，以及在较差条件下的发展趋势，也可以考察每年孵化数量变化的影响。exn

7、o93,exno94一、一阶线性常系数差分方程一、一阶线性常系数差分方程例例1：濒危物种的自然演化和人工孵化：濒危物种的自然演化和人工孵化一、一阶线性常系数差分方程一、一阶线性常系数差分方程例例1：濒危物种的自然演化和人工孵化：濒危物种的自然演化和人工孵化二、高阶线性常系数差分方程二、高阶线性常系数差分方程二、高阶线性常系数差分方程二、高阶线性常系数差分方程例例2：一年生植物的繁殖：一年生植物的繁殖记一棵植物春季产种的平均数为记一棵植物春季产种的平均数为c,种子能活过一个冬天的种子能活过一个冬天的(1岁岁种子种子)比例为比例为b,活过一个冬天没有发芽又活过一个冬天的（活过一个冬天没有发芽又活过

8、一个冬天的（2岁岁种子）比例仍为种子）比例仍为b,1岁种子发芽率岁种子发芽率a1，2岁种子发芽率岁种子发芽率a2。设设c,a1,a2固定，固定，b是变量，考察能一直繁殖的条件是变量，考察能一直繁殖的条件记第记第k年植物数量为年植物数量为Xk，显然，显然Xk与与Xk-1,Xk-2有关，由有关，由 Xk-1决定决定的部分是的部分是 a1bcXk-1,由由Xk-2决定的部分是决定的部分是 a2b(1-a1)bcXk-2Xk=a1bcXk-1+a2b(1-a1)bcXk-2二、高阶线性常系数差分方程二、高阶线性常系数差分方程例例2：一年生植物的繁殖：一年生植物的繁殖Xk=a1bcXk-1 +a2b(1

9、-a1)bcXk-2实际上，就是实际上，就是Xk=pXk-1+qXk-2 我们需要知道我们需要知道x0,a1,a2,c,考考察察b不同时，种子繁殖的情况。在这里假设不同时，种子繁殖的情况。在这里假设X0=100,a1=0.5,a2=0.25,c=10,b=0.18、0.19、0.20这样可以用这样可以用matlab计算了计算了二、高阶线性常系数差分方程二、高阶线性常系数差分方程Xk=a1bcXk-1+a2b(1-a1)bcXk-2vFunction x=zwfz(x0,n,b)vC=10;a1=0.5;a2=0.25;vp=a1*b*c;q=a2*b*(1-a1)*b*c;vX(1)=x0;v

10、X(2)=p*(x(1);vfor k=3:nvX(k)=p*(x(k-1)+q*(x(k-2);vendzwfz例例2：一年生植物的繁殖：一年生植物的繁殖二、高阶线性常系数差分方程二、高阶线性常系数差分方程vK=(0:20)K=(0:20);vY1=zwfz(100,21,0.18);Y1=zwfz(100,21,0.18);vY2=zwfz(100,21,0.19);Y2=zwfz(100,21,0.19);vY3=zwfz(100,21,0.20);Y3=zwfz(100,21,0.20);vRound(k,y1Round(k,y1,y2,y2,y3,y3)vPlot(k,y1,k,y2

11、,Plot(k,y1,k,y2,:,k,y3,k,y3,o o),),vGtext(Gtext(b=0.18b=0.18),gtext(),gtext(b=0.19b=0.19),gtext(),gtext(b=0.20b=0.20)exno95二、高阶线性常系数差分方程二、高阶线性常系数差分方程例例2：一年生植物的繁殖：一年生植物的繁殖本例中，用待定系数的方法可以求出本例中，用待定系数的方法可以求出b=0.18时时,c1=95.64,c2=4.36 ，这样这样实际上，实际上，植物能一直繁殖下去的条件是植物能一直繁殖下去的条件是b0.191三、线性常系数差分方程组三、线性常系数差分方程组三、线

12、性常系数差分方程组三、线性常系数差分方程组0.60.3vA B CvA B CvA B C0.10.70.20.10.60.30.1假设在每个租赁期开始能把汽车都租出去，并都在租赁期末归还三、线性常系数差分方程组三、线性常系数差分方程组v用矩阵表示v用matlab编程，计算x(k),观察n年以后的3个城市的汽车数量变化情况例3：汽车租赁公司的运营三、线性常系数差分方程组三、线性常系数差分方程组vfunction x=czqc(n)vA=0.6,0.2,0.1;0.3,0.7,0.3;0.1,0.1,0.6;vx(:,1)=200,200,200;vfor k=1:nv x(:,k+1)=A*x

13、(:,k);vendv如果直接看10年或者20年发展趋势，可以直接在命令窗v口（commond window）作，而不是必须编一个函数czqc三、线性常系数差分方程组三、线性常系数差分方程组例3：汽车租赁公司的运营作图观察数量变化趋势v k=0:10;v plot(k,x)，gridvgtext(x1(k),vgtext(x2(k),vgtext(x3(k)exno97三、线性常系数差分方程组三、线性常系数差分方程组例3：汽车租赁公司的运营v可以看到时间充分长以后3个城市汽车数量趋于180，300，120v可以考察这个结果与初始条件是否有关v若最开始600辆汽车都在A市，可以看到变化时间充分长

14、以后，各城市汽车数量趋于稳定，与初始值无关三、线性常系数差分方程组三、线性常系数差分方程组例3：汽车租赁公司的运营直接输入x（:,1）的值即可vx(:,1)=600,0,0;v round(x);vplot(k,x),gridexno98三、线性常系数差分方程组三、线性常系数差分方程组例4：按年龄分组的种群增长模型及其求解模型及其求解v设种群按年龄等间隔的分成设种群按年龄等间隔的分成n个年龄组，记个年龄组，记i=1,2,，n,时段记作时段记作k=0,1,2,且年龄组区间与时段长度相等且年龄组区间与时段长度相等(若若5岁为一个年龄组，则岁为一个年龄组，则5年为一个时段年为一个时段)。以雌性个。以

15、雌性个体为研究对象体为研究对象v记在时段记在时段k第第i年龄组的数量为年龄组的数量为xi(k);第第i年龄组的繁殖率年龄组的繁殖率为为bi，表示每个个体在一个时段内繁殖的数量；第，表示每个个体在一个时段内繁殖的数量；第i年年龄组死亡率为龄组死亡率为di，表示一个时段内死亡数与总数的比，表示一个时段内死亡数与总数的比，si=1-di是存活率。是存活率。例4：按年龄分组的种群增长模型及其求解例4：按年龄分组的种群增长注意：第注意：第k时段的第时段的第i年龄组活过来的，是第年龄组活过来的，是第k+1时段的第时段的第i+1年龄组年龄组Xi+1(k+1)=sixi(k)i=1，2,n-1,k=0,1,各

16、年龄组在第各年龄组在第k时段繁殖的数量和是第时段繁殖的数量和是第k+1时段的第时段的第1年龄组年龄组X1(k+1)=k=0,1,记在时段记在时段k种群各年龄组的数量为种群各年龄组的数量为X(k)=x1(k),x2(k),xn(k)三、线性常系数差分方程组三、线性常系数差分方程组例4：按年龄分组的种群增长v这样，有x(k+1)=Lx(k),k=0,1,v给定在0时段，各年龄组的初始数量x(0)v就可以预测任意时段k,各年龄组的数量v设一种群分成5个年龄组，v繁殖率b1=0,b2=0.2,b3=1.8,b4=0.8,b5=0.2v存活率s1=0.5,s2=0.8,s3=0.8,s4=0.1v各年龄

17、组现有数量都是100只，v用matlab计算x(k)三、线性常系数差分方程组三、线性常系数差分方程组例4：按年龄分组的种群增长vb=0,0.2,1.8,0.8,0.2;b=0,0.2,1.8,0.8,0.2;vs=diag(0.5,0.8,0.8,0.1);s=diag(0.5,0.8,0.8,0.1);v L=b;s,zeros(4,1);L=b;s,zeros(4,1);vx(:,1)=100*ones(5,1);x(:,1)=100*ones(5,1);v n=30;n=30;v for k=1:n for k=1:nvx(:,k+1)=L*x(:,k);x(:,k+1)=L*x(:,k

18、);vendendv round(x)round(x)vk=0:30;k=0:30;v subplot(1,2,1),plot(k,x),grid subplot(1,2,1),plot(k,x),gridexno99三、线性常系数差分方程组三、线性常系数差分方程组例4：按年龄分组的种群增长v将将x(k)归一化后的向量记做归一化后的向量记做x(k),称为种群按年称为种群按年龄组的分布向量，即各年龄组在龄组的分布向量，即各年龄组在k时段在数量时段在数量上占总数的百分比。上占总数的百分比。vy=diag(1./sum(x);%sum(x)对列求和对列求和vZ=x*y vSubplot(1,2,2),plot(k,z),gridv结果分析：时间充分长以后，种群按年龄组的结果分析：时间充分长以后，种群按年龄组的分布分布x(k)趋向稳定。趋向稳定。exno910四、非线性差分方程四、非线性差分方程四、非线性差分方程四、非线性差分方程四、非线性差分方程四、非线性差分方程四、非线性差分方程四、非线性差分方程例5：离散型的阻滞增长模型四、非线性差分方程四、非线性差分方程例5：离散型的阻滞增长模型四、非线性差分方程四、非线性差分方程例5：离散型的阻滞增长模型