1.3.3球的体积和表面积.ppt

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1、问题：某街心花园有许多钢球，(钢的密度是7.9g/)，每个钢球重145kg,并且外径是50cm，试根据以上数据，判断钢球是实心的还是空心的。如果是空心的，请计算出它的内径。(取3.14，结果精确到1cm)成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！R高等于底面半径的旋转体体积对比高等于底面半径的旋转体体积对比球的体积球的体积 学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来所以学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来所以我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法球的体积球的体积 我们把一个半径为我们把一个半径为R的圆分成若干等分，然后

2、如上图重新的圆分成若干等分，然后如上图重新拼接起来，把一个圆近似的看成是边长分别是拼接起来，把一个圆近似的看成是边长分别是当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当份数无穷大时，就得到了圆的面积公式份数无穷大时，就得到了圆的面积公式即先把半球分割成即先把半球分割成n部分，再求出每一部分的近似体积，部分，再求出每一部分的近似体积，并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑n变变为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积球的体积球的体积分割分割求近似和求

3、近似和化为准确和化为准确和问题问题:已知球的半径为已知球的半径为R,R,用用R R表示球的体积表示球的体积.AOB2C2球的体积球的体积AOOROA球的体积球的体积球的体积球的体积球的体积球的体积2)2)若每小块表面看作一个平面若每小块表面看作一个平面,将每小块平面作为底面将每小块平面作为底面,球心作为球心作为顶点便得到顶点便得到n n个棱锥个棱锥,这些棱锥体积之和近似为球的体积这些棱锥体积之和近似为球的体积.当当n n越大越大,越接近于球的体积越接近于球的体积,当当n n趋近于无穷大时就精确到等于球的体积趋近于无穷大时就精确到等于球的体积.1)1)球的表面是曲面球的表面是曲面,不是平面不是平

4、面,但如果将表面平均分割成但如果将表面平均分割成n n个小块个小块,每小块表面可近似看作一个平面每小块表面可近似看作一个平面,这这n n小块平面面积之和可近似小块平面面积之和可近似看作球的表面积看作球的表面积.当当n n趋近于无穷大时趋近于无穷大时,这这n n小块平面面积之和接近小块平面面积之和接近于甚至等于球的表面积于甚至等于球的表面积.球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图求出，如何求球的表面积公式呢求出，如何求球的表面积公式呢?回忆球的体积公式的推导方法回忆球的体积公式的推导方法,是否也可借助于这种是否也可借助于这种极限极

5、限思想方法来推导球的表面积公式呢思想方法来推导球的表面积公式呢?下面，我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式下面，我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式球的表面积球的表面积球的表面积球的表面积第第一一步：步：分分割割球面被分割成球面被分割成n n个网格，表面积分别为：个网格，表面积分别为：则球的表面积：则球的表面积：则球的体积为：则球的体积为：O OO O球的表面积球的表面积第第二二步：步：求求近近似似和和由第一步得：由第一步得：O OO O球的表面积球的表面积第第三三步步：化化为为准准确确和和 如果网格分的越细如果网格分的越细,则则:“:“小小锥体锥体”就越接近小棱锥就越接近小棱锥O O

6、球的表面积球的表面积例例1.1.钢球直径是钢球直径是5cm,5cm,求它的体积求它的体积.(变式变式1 1)一种空心钢球的质量是一种空心钢球的质量是142g,142g,外径是外径是5cm,5cm,求它求它的内径的内径.(.(钢的密度是钢的密度是7.9g/cm7.9g/cm2 2)例题讲解例题讲解(变式变式1 1)一种空心钢球的质量是一种空心钢球的质量是142g,142g,外径是外径是5cm,5cm,求它求它的内径的内径.(.(钢的密度是钢的密度是7.9g/cm7.9g/cm2 2)解解:设空心钢球的内径为设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是则钢球的质量是答答:空心钢球的内径约为空心钢球的

7、内径约为4.5cm.由计算器算得由计算器算得:例题讲解例题讲解(变式变式2)2)把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中,至少要用多少纸至少要用多少纸?用料最省时用料最省时,球与正方体有什么位置关系球与正方体有什么位置关系?球内切于正方体球内切于正方体侧棱长为侧棱长为5cm例题讲解例题讲解例例2.2.如图，正方体如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为的棱长为a,它的它的各个顶点都在球各个顶点都在球O的球面上，问球的球面上，问球O的表面积。的表面积。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O分析：正方体内接于球，则由球和正方分析

8、：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。合，则正方体对角线与球的直径相等。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O例题讲解例题讲解OABC例已知过球面上三点例已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的截面到球心O的距的距离等于球半径的一半，且离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的，求球的体积，表面积体积，表面积解：如解：如图图，设设球球O半径半径为为R，截面截面 O的半径的半径为为r，例题讲解例题讲解OABC例例.已知过球面上三点已知过球面上三点A、B、

9、C的截面到球心的截面到球心O的距离的距离等于球半径的一半，且等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的体积，求球的体积，表面积表面积例题讲解例题讲解2.一个正方体的顶点都在球面上一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是它的棱长是4cm,这个球的体积为这个球的体积为cm3.83.有三个球有三个球,一球切于正方体的各面一球切于正方体的各面,一球切于正一球切于正方体的各侧棱方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点一球过正方体的各顶点,求这三求这三个球的体积之比个球的体积之比_.1.球的直径伸长为原来的球的直径伸长为原来的2倍倍,体积变为原来的倍体积变为原来的倍.练习一练习一课堂练习课堂练习4.4.若

10、两球体积之比是若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是，则其表面积之比是_.练习二练习二1.若球的表面积变为原来的若球的表面积变为原来的2倍倍,则半径变为原来的则半径变为原来的_倍倍.2.若球半径变为原来的若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的倍，则表面积变为原来的_倍倍.3.若两球表面积之比为若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是，则其体积之比是_.课堂练习课堂练习7.7.将半径为将半径为1 1和和2 2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么的两个铅球，熔成一个大铅球，那么 这个大铅球的表面积是这个大铅球的表面积是_.5.5.长方体的共顶点的三个侧面积分别为长方体的共顶点的三个侧面积分别为 ，则它的外接球的表面积为则它的外接球的表面积为_.6.6.若两球表面积之差为若两球表面积之差为4848,它们大圆周长之和为它们大圆周长之和为1212,则两球的直径之差为则两球的直径之差为_.练习二练习二课堂练习课堂练习l了解球的体积、表面积推导的基本思路：了解球的体积、表面积推导的基本思路：分割分割求近似和求近似和化为标准和的方法，是化为标准和的方法，是一种重要的数学思想方法一种重要的数学思想方法极限思想，它极限思想，它是今后要学习的微积分部分是今后要学习的微积分部分“定积分定积分”内内容的一个应用；容的一个应用；l熟练掌握球的体积、表面积公式：熟练掌握球的体积、表面积公式：课堂小结课堂小结