椭圆内接四边形面积的计算.doc

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1、椭圆内接四边形面积的计算 椭圆内接四边形面积的计算及应用 昭通市巧家县第一中学 侯成顺 云南师范大学数学学院 朱维宗（教授）摘要:本文通过类比圆锥曲线内接焦点三角形面积的计算,利用代数方法来探讨椭圆内接四边形面积的计算，主要讨论了两种椭圆内接四边形的面积计算，一种是椭圆内接焦点四边形，另外一种是椭圆内接以焦点为顶点的四边形.关键词： 椭圆；焦点； 面积 1.椭圆内接焦点四边形（过一个焦点,以右焦点为例）1.1定义：在椭圆中,AB，CD为过椭圆一个焦点的两条弦,故四边形ACBD为椭圆内接焦点四边形.1.2性质:（1)四边形ACBD的面积（其中, ）.证明：如右图所示，有,并且设AB,CD的斜率分

2、别为,，故有：AB: CD：联立方程：及 同理有：故 （为AB与CD的夹角),令 就有： .（2）推论A: 当时，.B：当时,，并且有，。推论证明A：当时，说明AB， CD相互垂直,有,，代入面积公式就有，再利用均值不等式有 .B : 当时， 有,代入就有成立。以下证明,。证明：不妨把椭圆的方程化为（与不同是为零），已知有AB,CD与x轴的夹角相等,设A、B、C、D四个点的坐标为,，.直线AB、DC、AC、BD的斜率分别为,，,。又点A、C在曲线C上,（1）及（2)，用（2）带入（1）有,同理可得。已知有AB,CD与x轴的夹角相等，,（3）及(4）由这两个式子得： (5） （6）由(5)及（6

3、)得到:=0 (7) =0（8）同理有： 将（8）代入有: (9）又 再将（8)代入得到： （10)用（9）-（10）得到:若=0 故有： 结合平行截割线定理有:AB与DC平行,并且都平行于x轴,它与AB，AC,DC,DB的斜率不为零矛盾, 说明直线AB，DC与x轴的夹角相等.同理可证明AD，BC与x轴的夹角也相等，有,。1。3实例应用 已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线L与曲线相交于A、B两点。当L的斜率为1时，C（0,b)到AB的距离为,延长CF交椭圆于点B,求ACBD的面积.解：由于e= 并且 、F（c，0)故AB的方程为： 又C（0,b)所以C到AB 的距离为d= 故椭圆的标准方程为

4、： 又， 即AB与CD垂直,代入公式有：=2椭圆内接焦点四边形（过两个焦点)2。1定义：在椭圆中，AB,CD为过椭圆右左两焦点的弦，并且交椭圆于四点A、B、C、D。则有四边形ACBD为过椭圆两个焦点的内接焦点四边形。2。2性质(1）面积:四边形面积 ,证明: 如右图所示,有(-c，0),并且设AB,CD的斜率分别为,故有AB: CD： . 联立方程：及 同理有： （为AB与CD的夹角）,.(2)推论A: 当时，。B: 当时,，并且有,.2.3实例应用设椭圆的左右焦点分别为(-1,0)，。右准线交x轴于点A,.过，分别作两条直线与椭圆相交于四个点D、E、M、N.并且DE与x轴的夹角为.MN与直线

5、L交于点G,并且有。求：（1）椭圆的标准方程.(2）四边形DMEN的面积.解：（1)由于(-1，0）,。又有A，故有： 同理, 所以椭圆的标准方程为：(2）由于已知了DE与x轴的夹角为,故有，又， 所以有设AN与DE的夹角为, 代入公式有:3椭圆内接以焦点为顶点的四边形3。1定义在椭圆 中，,为其左右焦点,A、B为椭圆上任意的两点。则四边形称为双曲线以焦点为顶点的内接四边形.3。2性质（1)面积： 四边形的面积为证明：由椭圆的定义可知道:（1）由余弦定理有： (2)由（1）与(2)同理有： （为与的夹角; 为BF1与BF2的夹角）.（2）推论：当与互为补角时,有：.证明：当与互为补角时，,所以

6、有： 将其代入面积公式中就有;，(当时取到“=”).3.3实例应用已知，为椭圆的两个焦点,A、B为椭圆上任意的两个焦点，并且与为补角，求：(1)当时，求的值。（2)当取得最小值时，与的度数分别为多少？此时面积的最小值为多少？解:（1）由已知a=8，b=5,又，并且与为补角,故有：所以有：(2）由推论可以知道: 参考资料：1董正洪圆锥曲线内接四边形面积的最值M数理化学习（高三），2009，(3)。2陈宇对椭圆焦点弦四边形面积最值探究J中学数学研究，2009，（4）.3邱继勇圆锥曲线内接四边形的一个性质J中学数学研究，2005,(6）.4王伯龙圆锥曲线中一类内接四边形性质的探究J中学数学月刊,2010,(11）.5 舒金根圆锥曲线内接四边形的一个有趣新性质的简证及类似J中学数学研究，2011,(5)。6马跃进、康宇圆锥曲线内接四边形的一个统一性质J中学数学研究，2011,(4）.5