物理竞赛电磁感应.ppt

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1、 电磁感应电磁感应高中物理竞赛系列讲座高中物理竞赛系列讲座物理竞赛大纲规定的考试内容：法拉第电磁感物理竞赛大纲规定的考试内容：法拉第电磁感应定律，应定律，Lenz定律，感应电场，自感系数和互定律，感应电场，自感系数和互感等。从考点内容看，电磁感应所涉及到的知感等。从考点内容看，电磁感应所涉及到的知识点与常规教学基本相同，但对学生能力的要识点与常规教学基本相同，但对学生能力的要求较高，同时对数学的要求和物理方法的应用求较高，同时对数学的要求和物理方法的应用都很高，希望同学们对于一些经典问题有全面都很高，希望同学们对于一些经典问题有全面的理解。的理解。一、动生电动势一、动生电动势1.1.电磁感应现

2、象电磁感应现象 当回路磁通量发生变化时在回路中产生当回路磁通量发生变化时在回路中产生电流电流电流电流的现象的现象称为电磁感应现象。产生的电流叫感应电流。称为电磁感应现象。产生的电流叫感应电流。磁通量的变化量磁通量的变化量感生电动势感生电动势感生电动势感生电动势动生电动势动生电动势动生电动势动生电动势交流发电机交流发电机交流发电机交流发电机内容：导体回路中的感应电动势的大小与穿过内容：导体回路中的感应电动势的大小与穿过导体回路的磁通量的变化率成正比导体回路的磁通量的变化率成正比.在在SI制中制中k=1确定回路的绕行方向，确定回路的绕行方向，与回路与回路L绕向相反绕向相反;与回路与回路L绕向同向绕

3、向同向;2.2.法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律感应电流和感应电量感应电流和感应电量感应电流的大小与感应电流的大小与 随时间变化率有关随时间变化率有关 感应电量只与回路中磁通量的变化量有关，与磁通量感应电量只与回路中磁通量的变化量有关，与磁通量变化率无关。变化率无关。abcdvB3.3.动生电动势动生电动势（1 1）它既可以表示是瞬时电动势，也可以表示平均电）它既可以表示是瞬时电动势，也可以表示平均电动势；动势；（2 2）若速度）若速度v的方向与磁场的方向与磁场B方向不垂直，则动生电动方向不垂直，则动生电动势势=Blvsin（3 3）若磁场不是匀强磁场，或切割磁感线的导体杆上）若磁场不是匀

4、强磁场，或切割磁感线的导体杆上各点速度不相等，可以用微元法处理，各点速度不相等，可以用微元法处理，（4 4）这里的速度）这里的速度v实际上导体相对于磁场的做切割磁感实际上导体相对于磁场的做切割磁感线的运动速度。线的运动速度。例、长为例、长为l直导体在磁场直导体在磁场B中做匀角速的转动，中做匀角速的转动，已知转轴通过导体的端点，角速度为已知转轴通过导体的端点，角速度为，若磁，若磁场沿径向的变化规律为场沿径向的变化规律为B=kr2，其中，其中k为常数，为常数，求动生电动势求动生电动势。BOl（3）定轴转动的导体杆切割磁感线问题的灵活应用，）定轴转动的导体杆切割磁感线问题的灵活应用，特别是对非匀强磁

5、场问题。尤其是法拉第圆盘发电机特别是对非匀强磁场问题。尤其是法拉第圆盘发电机（或电动机）（或电动机）（2）含源问题，应用基尔霍夫定律）含源问题，应用基尔霍夫定律（1）含电容器问题，应用微元（微积分）叠加处理）含电容器问题，应用微元（微积分）叠加处理 （4）功、功率和能量问题，电路产生的电能等于）功、功率和能量问题，电路产生的电能等于克服安培力做功克服安培力做功（5）数学基础：微元法（微积分）的应用）数学基础：微元法（微积分）的应用4.4.动生电动势的相关应用动生电动势的相关应用1、如图所示，电源的电动势为、如图所示，电源的电动势为U，电容器的电容为，电容器的电容为 C，S 是单刀双掷开关。是单

6、刀双掷开关。MN、PQ是两根位于同一水平面的平行是两根位于同一水平面的平行光滑长导轨，它们的电阻可以忽略不计。两导轨间距为光滑长导轨，它们的电阻可以忽略不计。两导轨间距为l，导轨处磁感应强度为，导轨处磁感应强度为B的均匀磁场中，磁场方向垂直于的均匀磁场中，磁场方向垂直于两导轨所在的平面并指向图中纸面向里的方向。两导轨所在的平面并指向图中纸面向里的方向。l1和和l2是是两根横放在导轨上的导体小棒，它们在导轨上滑动时与导两根横放在导轨上的导体小棒，它们在导轨上滑动时与导轨保持垂直并接触良好，不计摩擦。两小棒的电阻相同，轨保持垂直并接触良好，不计摩擦。两小棒的电阻相同，质量分别为质量分别为m1和和m

7、2，且，且m1m2，开始时两根小棒均静止，开始时两根小棒均静止在导轨上，现将开关在导轨上，现将开关S先接通先接通1，然后接通，然后接通2。求：。求：（1）两根小棒最终速度大小；）两根小棒最终速度大小；USCMNPQBl1l2l12（1）当电键）当电键S由由1扳向扳向2后，电容器对闭合回路放电，后，电容器对闭合回路放电，使两个小棒向右作加速运动。初始时分两小棒的安培使两个小棒向右作加速运动。初始时分两小棒的安培力相同，但由于质量不等，故速度不等，最终会导致力相同，但由于质量不等，故速度不等，最终会导致两小棒以相同速度运动，并使两端电压等于电容器两两小棒以相同速度运动，并使两端电压等于电容器两端电

8、压，此时电流等于零，两小棒作匀速运动。端电压，此时电流等于零，两小棒作匀速运动。对于中间过程的任一时刻，设对于中间过程的任一时刻，设l1电流为电流为i1，l2电流为电流为i2，安培力分别为安培力分别为F1=Bli1和和F2=Bli2，由动量定理，得，由动量定理，得由于两棒开始时刻静止，而最终速度又等于由于两棒开始时刻静止，而最终速度又等于v，则，则两式相加等于两式相加等于任何时刻，通过任何时刻，通过l1和和l2的电流的代数和等于电容器的的电流的代数和等于电容器的放电电流放电电流i，即有，即有其中其中Q为初始时刻电容器所带电量，为初始时刻电容器所带电量，q为最终速度时电容器所带为最终速度时电容器

9、所带电量电量由于由于最终有最终有（2 2）在整个过程中的焦耳热损耗。）在整个过程中的焦耳热损耗。USCMNPQBl1l2l12由能量关系，得由能量关系，得2、如图所示，水平放置的金属细圆环半径为、如图所示，水平放置的金属细圆环半径为a，竖直放，竖直放置的金属细圆柱（其半径比置的金属细圆柱（其半径比a小得多）的端面与金属圆环小得多）的端面与金属圆环的上表面在同一平面内，圆柱的细轴通过圆环的中心的上表面在同一平面内，圆柱的细轴通过圆环的中心O一质量为一质量为m，电阻为，电阻为R的均匀导体细棒被圆环和细圆柱的均匀导体细棒被圆环和细圆柱端面支撑，棒的一端有一小孔套在细轴端面支撑，棒的一端有一小孔套在细

10、轴O上，另一端上，另一端A可可绕轴线沿圆环作圆周运动，棒与圆环的摩擦系数为绕轴线沿圆环作圆周运动，棒与圆环的摩擦系数为圆圆环处于磁感应强度大小为环处于磁感应强度大小为B=kr、方向竖直向上的恒定磁、方向竖直向上的恒定磁场中，式中场中，式中k为大于零的常量，为大于零的常量，r为场点到轴线的距离为场点到轴线的距离金属细圆柱与圆环用导线金属细圆柱与圆环用导线ed连接不计棒与轴及与细圆连接不计棒与轴及与细圆柱端面的摩擦，也不计细圆柱、圆环及导线的电阻和感柱端面的摩擦，也不计细圆柱、圆环及导线的电阻和感应电流产生的磁场问沿垂直于棒的方向以多大的水平应电流产生的磁场问沿垂直于棒的方向以多大的水平外力作用于

11、棒的外力作用于棒的A端才能使棒以角速度端才能使棒以角速度匀速转动匀速转动分析：哪些是常量？哪些是变量？分析：哪些是常量？哪些是变量？BAOaBed对于在匀强磁场中，做对于在匀强磁场中，做定轴转动的导体杆切割定轴转动的导体杆切割磁感线，可以简单地用磁感线，可以简单地用平均速度求解，现在还平均速度求解，现在还可以吗？可以吗？xx x+dxdxO下面用积分方法求做下面用积分方法求做长度微元长度微元dx的动生电动势的动生电动势d =Bvdx=k x2dx故总电动势大小为故总电动势大小为求安培力矩再次用到积分方法求安培力矩再次用到积分方法利用外力力矩等于安培力利用外力力矩等于安培力矩与摩擦力矩之和即得矩

12、与摩擦力矩之和即得本题也可以由本题也可以由能量关系计算，能量关系计算，外力的功率等外力的功率等于电功率与克于电功率与克服摩擦力功率服摩擦力功率之和之和3、如图所示，、如图所示，OO 为一固定不动的半径为为一固定不动的半径为a1的圆柱形的圆柱形金属轴，其电阻可忽略不计。一个内半径为金属轴，其电阻可忽略不计。一个内半径为a1、外半径、外半径为为a2、厚度为、厚度为h（h0).求任意时刻小环对大求任意时刻小环对大圆环的作用力的表达式。圆环的作用力的表达式。Bm4.4.4.4.电子感应加速器电子感应加速器电子感应加速器电子感应加速器（1）原理：）原理：电子感应加速器电子感应加速器（betatron）是

13、应用感生电场）是应用感生电场加速电子的装置。加速电子的装置。在电磁铁的两极之间安置一在电磁铁的两极之间安置一个环形真空室，当用交变电个环形真空室，当用交变电流激励电磁铁时，在环形室流激励电磁铁时，在环形室内就会感生出很强的、同心内就会感生出很强的、同心环状的感生电场。用电子枪环状的感生电场。用电子枪将电子注入环形室，电子在将电子注入环形室，电子在有旋电场的作用下被加速，有旋电场的作用下被加速，并在并在Lorentz力的作用下，沿力的作用下，沿圆形轨道运动。圆形轨道运动。（2）两个基本磁场：加速）两个基本磁场：加速B1、旋转、旋转B2r0B1B2练习、一个电子感应加速器练习、一个电子感应加速器的

14、简化模型如图所示，在半的简化模型如图所示，在半径为径为r0的区域内有磁场的区域内有磁场B1，在在rr0的外环型区域内有磁的外环型区域内有磁场场B2，欲使带正电荷，欲使带正电荷q的粒的粒子能在环形区域内沿半径为子能在环形区域内沿半径为r=r0的圆形轨道上不断被加的圆形轨道上不断被加速，试分析速，试分析B1、B2的时间变的时间变化率满足什么关系？化率满足什么关系？（3）交变励磁场的四分之一加速）交变励磁场的四分之一加速BtOBevE实际上，若交流电的周期为实际上，若交流电的周期为50Hz，则在磁场变化的，则在磁场变化的第一个四分之一周期（约第一个四分之一周期（约5ms的时间）内，电子就能的时间）内

15、，电子就能在感生电场的作用下，在圆形轨道上经历回旋数十在感生电场的作用下，在圆形轨道上经历回旋数十万圈的持续加速，从而获得足够高的能量，并在第万圈的持续加速，从而获得足够高的能量，并在第一个四分之一周期结束时被引出加速器至靶室。一个四分之一周期结束时被引出加速器至靶室。6.6.6.6.综合问题例解综合问题例解综合问题例解综合问题例解例、有一个匀质细导线圆环，总电阻为例、有一个匀质细导线圆环，总电阻为R，半，半径为径为a，圆环内充满方向垂直于环面的匀强磁，圆环内充满方向垂直于环面的匀强磁场，磁场随时间线性变化，其变化率为场，磁场随时间线性变化，其变化率为k，圆，圆环上对称分布环上对称分布A、D、

16、C三点，电流表与三点，电流表与A、C相相连接，如图所示，若电流表的内阻为连接，如图所示，若电流表的内阻为r，求通过，求通过电流表的电流强度。电流表的电流强度。CDAAEAECACEADCEAC2R/3R/3rCDAA总电动势总电动势1、电荷、电荷Q均匀分布在均匀电介质的圆盘上，圆均匀分布在均匀电介质的圆盘上，圆盘放入均匀的外磁场中，磁感应强度为盘放入均匀的外磁场中，磁感应强度为B，方向，方向垂直于盘面。圆盘质量为垂直于盘面。圆盘质量为m，它可以绕过圆盘中，它可以绕过圆盘中心垂直于盘面的固定轴的自由转动。如果切断外心垂直于盘面的固定轴的自由转动。如果切断外磁场，原来静止的圆盘将以多大的角速度开始

17、转磁场，原来静止的圆盘将以多大的角速度开始转动？动？2、如图所示，均匀磁场的方向垂直纸面向里，、如图所示，均匀磁场的方向垂直纸面向里，磁感应强度随时间变化，磁感应强度随时间变化，B=B0 kt（k为大于为大于0的的常数）。现有两个完全相同的均匀金属圆环相互常数）。现有两个完全相同的均匀金属圆环相互交叠并固定在图中所示位置，环面处于图中纸面交叠并固定在图中所示位置，环面处于图中纸面内。圆环的半径为内。圆环的半径为R，电阻为，电阻为r，相交点的电接触，相交点的电接触良好。两个环的接触点与间的劣弧对圆心的张角良好。两个环的接触点与间的劣弧对圆心的张角为为60 求求t=t0时，每个环所受的均匀磁场的作

18、时，每个环所受的均匀磁场的作用力，不考虑感应电流之间的作用。用力，不考虑感应电流之间的作用。60OACB60OACB提示提示1：在任意时刻：在任意时刻t两环中的感应电流的两环中的感应电流的分布如何？分布如何？I1I1I2I2提示提示2：此题关键自：此题关键自然是要求两个感应电然是要求两个感应电流的大小，如何求？流的大小，如何求？提示提示3：求两个感应：求两个感应电流的大小自然要用电流的大小自然要用基尔霍夫定律，方程基尔霍夫定律，方程如何列？电动势如何如何列？电动势如何求？求？提示提示4：电流终于求出来了，如何求作用力呢：电流终于求出来了，如何求作用力呢？先对其中一环，例如左环做受力分析吧，可？

19、先对其中一环，例如左环做受力分析吧，可是这是圆环而不是直导线啊，安培力如何求呢是这是圆环而不是直导线啊，安培力如何求呢？想一想？想一想F2F1I1I23、一个用绝缘材料制成的扁平薄圆环，其内、一个用绝缘材料制成的扁平薄圆环，其内、外半径分别为外半径分别为a1、a2，厚度可以忽略两个表面，厚度可以忽略两个表面都带有电荷，电荷面密度都带有电荷，电荷面密度 随离开环心距离随离开环心距离r变化变化的规律均为的规律均为 =0/r2，0为已知常量。薄圆环绕为已知常量。薄圆环绕通过环心垂直环面的轴沿逆时针方向以大小不变通过环心垂直环面的轴沿逆时针方向以大小不变的角加速度的角加速度 减速转动，减速转动，t=0

20、时刻的角速度为时刻的角速度为 0将一半径为将一半径为a0(a00的一侧，存在匀强磁场的一侧，存在匀强磁场B，磁场方向垂直，磁场方向垂直于于oxy平面向里。在平面向里。在x 以速以速度度v（19）做匀速直线运动）做匀速直线运动说明：此题也可以用广义势能来处理计算谐说明：此题也可以用广义势能来处理计算谐振子的振幅，由振子的振幅，由（1）（2）（3）得得3、一个细的超导圆环质量、一个细的超导圆环质量m、半径、半径r、电感、电感L，放，放在竖直的圆柱形磁棒上面，如图所示圆环与棒在竖直的圆柱形磁棒上面，如图所示圆环与棒有同一对称轴在圆环周围的圆柱形磁棒的磁场有同一对称轴在圆环周围的圆柱形磁棒的磁场在以圆

21、环中心为坐标原点的在以圆环中心为坐标原点的Oxy坐标中可近似地坐标中可近似地表示为表示为By=B0（1 y）和）和Bx=B0 x，其中，其中B0、为常量初始时，圆环中没有电流，当它被放为常量初始时，圆环中没有电流，当它被放开后开始向下运动且保持它的轴仍为竖直，试确开后开始向下运动且保持它的轴仍为竖直，试确定圆环的运动并求圆环中的电流定圆环的运动并求圆环中的电流 yx0初始时，圆环中没有电流，环中磁通量初始时，圆环中没有电流，环中磁通量初始时，圆环中没有电流，环中磁通量初始时，圆环中没有电流，环中磁通量 :圆环开始向下运动时圆环开始向下运动时,变化变化,感应电流感应电流I I的磁通量的磁通量环中

22、磁通总量环中磁通总量 :环受安培力为环受安培力为环受安培力为环受安培力为 :其中其中,环面过平衡位置时环面过平衡位置时 :环所在处磁场环所在处磁场xyxyFmFmmg环面在平衡位置下环面在平衡位置下环面在平衡位置下环面在平衡位置下y y时时时时 :y续解续解圆环在圆环在y 轴上做简谐运动轴上做简谐运动,周期为周期为:圆环中最大电流为圆环中最大电流为:圆环中电流随时间变化规律为圆环中电流随时间变化规律为:xyxy4、如图所示，有二平行金属导轨，相距、如图所示，有二平行金属导轨，相距l，位于同一水平面内（图中纸面），处在磁感位于同一水平面内（图中纸面），处在磁感应强度为应强度为B的匀强磁场中，磁场

23、方向竖直向的匀强磁场中，磁场方向竖直向下（垂直纸面向里）质量均为下（垂直纸面向里）质量均为m的两金属的两金属杆杆ab和和cd放在导轨上，与导轨垂直初始时放在导轨上，与导轨垂直初始时刻，刻，金属杆金属杆ab和和cd分别位于分别位于x=x0和和x=0处处假设导轨及金属杆的电阻都为零，由两金假设导轨及金属杆的电阻都为零，由两金属杆与导轨构成的回路的自感系数为属杆与导轨构成的回路的自感系数为Lx xO O y yv v0 0c ca ab bd d今对金属杆今对金属杆ab施以沿导轨向右的瞬时冲量，使它获施以沿导轨向右的瞬时冲量，使它获得初速得初速v0设导轨足够长，设导轨足够长，x0也足够大，在运动过也

24、足够大，在运动过程中，两金属杆之间距离的变化远小于两金属杆的程中，两金属杆之间距离的变化远小于两金属杆的初始间距，因而可以认为在杆运动过程中由两金属初始间距，因而可以认为在杆运动过程中由两金属杆与导轨构成的回路的自感系数杆与导轨构成的回路的自感系数L是恒定不变的。是恒定不变的。杆与导轨之间摩擦可不计求任意时刻两杆的位置杆与导轨之间摩擦可不计求任意时刻两杆的位置xab和和xcd以及由两杆和导轨构成的回路中的电流以及由两杆和导轨构成的回路中的电流i三三者各自随时间者各自随时间t的变化关系。的变化关系。x xO O y yv v0 0c ca ab bd d解：设在任意时刻解：设在任意时刻t，ab杆

25、和杆和cd杆的速度分别为杆的速度分别为v1和和v2（相对地面参考系（相对地面参考系S），当），当v1、v2为正时，为正时，表示速度沿表示速度沿x轴正方向；若规定逆时针方向为回轴正方向；若规定逆时针方向为回路中电流和电动势的正方向，则因两杆作切割磁路中电流和电动势的正方向，则因两杆作切割磁力线的运动而产生的感应电动势力线的运动而产生的感应电动势（1）当回路中的电流当回路中的电流i随时间的变化率为随时间的变化率为 i/t时，回路时，回路中的自感电动势中的自感电动势（2）由于回路没有电阻，有由于回路没有电阻，有E+EL=0金属杆在导轨上运动过程中，两杆构成的系统受金属杆在导轨上运动过程中，两杆构成的

26、系统受到的水平方向的合外力为零，系统的质心作匀速到的水平方向的合外力为零，系统的质心作匀速直线运动设系统质心的速度为直线运动设系统质心的速度为VC，有，有（3）（4）现取一新的参考系现取一新的参考系S，它与质心固连在一起，它与质心固连在一起，并把质心作为坐标原点并把质心作为坐标原点O，取坐标轴，取坐标轴O x 与与Ox轴平行设相对轴平行设相对S 系，金属杆系，金属杆ab的速度为的速度为u1，cd杆的速度为杆的速度为u2，则有，则有（5）（6）因相对因相对S 系，两杆的总动量为零，即有系，两杆的总动量为零，即有（7）（8）在在S 系中，系中，ab杆的速度杆的速度为为（9）（10）于是于是（11）所以所以由于初始条件，由于初始条件，（12）即即（13）ab杆受到的安培力杆受到的安培力做变量代换做变量代换（14）（15）ab杆做杆做 的简谐运动，其运动的简谐运动，其运动方程为方程为（16）（17）初始条件：初始条件：t=0（18）（19）因此，因此，ab杆运动方程的特解杆运动方程的特解（20）（21）在在S 系中，系中，cd杆的运动方程显然为杆的运动方程显然为（22）回到回到S系中，系中，ab、cd杆的运动方程为杆的运动方程为（23）（24）回路中的电流为回路中的电流为（25）