函数的极值与最值(第二课时)课件-高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册.pptx

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1、5.3.2 函数的极值与最值(第二课时)1 1借助函数图象，直观地理解函数的最大值和最小值的概念借助函数图象，直观地理解函数的最大值和最小值的概念2 2弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉函数必有最大值和最小值的充分条件函数必有最大值和最小值的充分条件3 3会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值 我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质在整个定义域内的性质.也就是

2、说，如果也就是说，如果 x0 是函数是函数 的极大的极大(小小)值值点，那么在点，那么在 附近找不到比附近找不到比 更大更大(小小)的值的值.但是，如果我们想要但是，如果我们想要找到函数在整个定义域内，哪个值最大，哪个值最小，这样的值要满足什找到函数在整个定义域内，哪个值最大，哪个值最小，这样的值要满足什么条件呢？么条件呢？思考思考1 1：如图是函数如图是函数 ，的图象，你能找出它的极大值、极的图象，你能找出它的极大值、极小值吗？进一步地，你能找出函数小值吗？进一步地，你能找出函数 在区间在区间 上的最大值、最小上的最大值、最小值吗？值吗？a x1x2x3x4x5x6bxyO函数的最值函数的最

3、值观察图象，我们发现，观察图象，我们发现，是函是函数的极小值，数的极小值，是函数的极大值是函数的极大值.进一步地，函数进一步地，函数 在区间在区间 上的最小值是上的最小值是 ，最大值是，最大值是 .思考思考2.2.如图，观察如图，观察 上的函数上的函数 和和 的图象，它们在的图象，它们在 上上有最大值和最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？有最大值和最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？abxyOabxyOx1x2x3x4x5函数函数 在区间在区间 上的最小值是上的最小值是 ，最大值是，最大值是 ；函数函数 在区间在区间 上的最小值是上的最小值是 ，最大值是，最大值是 .一般地，如

4、果在区间一般地，如果在区间a，b上函数上函数yf(x)的图象是的图象是一条连续不断的曲一条连续不断的曲线线，那么它必有最大值与最小值，那么它必有最大值与最小值函数最值的理解函数最值的理解(1)(1)函数的最值是一个函数的最值是一个整体性整体性的概念函数极值是在局部上对函数值的比较，的概念函数极值是在局部上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函数在整个定义域上的情况，是对整具有相对性；而函数的最值则是表示函数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较个区间上的函数值的比较(2)(2)函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最

5、小值只能各最大值或最小值只能各有一个，具有唯一性有一个，具有唯一性，而极大值和极小值可能多于一个，也可能没有，例，而极大值和极小值可能多于一个，也可能没有，例如：常数函数就既没有极大值也没有极小值如：常数函数就既没有极大值也没有极小值求函数在闭区间上的最值求函数在闭区间上的最值 求函数求函数 f(x)在闭区间在闭区间 a，b 上的最值的步骤：上的最值的步骤：1 1求函数求函数 在在(a，b)内的内的极值极值；2 2将函数将函数 的的各极值各极值与与端点端点处的函数值处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大比较，其中最大的一个就是的一个就是最大值最大值，最小的一个就是，最小的一个就是最小值最小

6、值例例1.1.求函数求函数 在在 上的最大值与最小值上的最大值与最小值.解：由解：由在在 上，当上，当 时，时，有极小值，有极小值，且极小值为且极小值为 ，又由于又由于 ，所以，函数所以，函数 在在 上的最大值是上的最大值是4，最小值是最小值是 .导数法求函数最值要注意的问题：导数法求函数最值要注意的问题：(1)(1)求求 f(x)，令，令 f(x)0，求出在，求出在(a，b)内使导数为内使导数为 0的点的点(2)(2)比较两类点处的函数值：比较两类点处的函数值：导数为导数为 0 的点与区间端点的函数值的点与区间端点的函数值，其中最大，其中最大者便是者便是 f(x)在在a，b上的最大值，最小者

7、便是上的最大值，最小者便是 f(x)在在a，b上的最小值上的最小值注：注：比较极值与端点函数值的大小时，可以作差、作商或分类讨论比较极值与端点函数值的大小时，可以作差、作商或分类讨论1.1.求下列函数在给定区间上的最大值与最小值求下列函数在给定区间上的最大值与最小值(1)(1)，；(2)(2)，.解：解：(1)(1)因为因为所以在所以在 上有上有 ，单调递增；单调递增；在在 上有上有 ，单调递减单调递减.所以所以 在在 上有极大值上有极大值又由于又由于 ，所以所以 在在 上的最大值为上的最大值为 3，最小值为，最小值为-17.-17.(2)(2)因为因为所以所以 在在 单调递增，单调递增，所以

8、所以 在在 上的最大值为上的最大值为 ，最小值为，最小值为 .利用最值证明不等式利用最值证明不等式例例2.2.证明：当证明：当 时，时，.证明：证明：令令 ，则，则所以在所以在 上有上有 ，单调递减；单调递减；在在 上有上有 ，单调递增单调递增.所以所以 在在 上有最小值上有最小值所以所以即即 ，则原不等式，则原不等式 成立成立.证证不不等等式式恒恒成成立立，用用导导数数的的方方法法求求出出函函数数的的最最值值，进进而而可可求求出出结结果果；有有时时也也可可根根据据不不等等式式直直接接构构成成函函数数，利利用用导导数数的的方方法法，通通过过分分类类讨讨论论研研究究函函数数的最值，即可得到结果的

9、最值，即可得到结果.2.(1)2.(1)证明：对任意证明：对任意 ，都有，都有 .(2)(2)已知函数已知函数 ，若，若 在在 上恒成立，求上恒成立，求 a 的取值的取值范围范围.证明：证明：(1)(1)令令 ，则，则所以在所以在 上有上有 ，单调递减；单调递减；在在 上有上有 ，单调递增单调递增.所以所以 在在 上有最小值上有最小值所以所以即即 ，则原不等式，则原不等式 成立成立.(2)(2)因为因为 在在 上恒成立，即上恒成立，即 在在 上恒成立，上恒成立，也等价于也等价于 在在 上恒成立，上恒成立，令令 ，则，则所以在所以在 上有上有 ，单调递增；单调递增；在在 上有上有 ，单调递减单调递减.所以所以 在在 上的最大值为上的最大值为 ，故，故 .