两角和与差的正弦、余弦和正切公式（一）课件-高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册.pptx

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1、三角恒等变换环节一 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（一）整体整体感知感知问题问题1 1 回顾诱导公式，它们都是终边落在坐标轴上的特殊角与任意角的和（或差）的三角函数与这个任意角的三角函数的恒等关系现在，如果要将它们一般化，你认为该如何进行？答案：答案：将其中的特殊角换为任意角，研究任意角与的和（或差）的三角函数与，的三角函数会有什么关系整体整体感知感知问题问题2 2 之前我们利用圆的对称性探究了诱导公式，你能梳理探究诱导公式的思路和步骤吗？答案：答案：第一步，从“形”的角度出发，找到终边相互对称的两个角的关系；第三步，“数形”融合，利用三角函数定义，将前两步的结果整合，得出结论第二步，从“数

2、”的角度考虑，写出单位圆上相互对称的点的坐标；新知探究新知探究1 1探究公式探究公式问题问题3 3 下面我们继续借助单位圆，试着采用同样的思路，探究任意角与的和（或差）的三角函数与，的三角函数的关系我们首先来探究cos()的公式，即如果已知任意角，的正弦、余弦，那么cos()与它们有什么关系？不失一般性，我们先考虑两个任意角终边不重合时的情形，即2k+，kZ1 1探究公式探究公式追问追问1 1 首先从“形”的角度出发，你认为该问题中涉及到的角有哪些？设单位圆与x轴正半轴交于点A以坐标原点为顶点，以x轴非负半轴为始边，请你将涉及到的角画在坐标系中，观察图形，你能发现哪些等量关系？新知探究新知探究

3、答案：答案：涉及的角有，如图所示，记这三个角的终边与单位圆的交点依次为P1，A1，P，则等量关系有OP1=OA1=OP=OA=1，A1P1=AP 追问追问2 2 你能利用圆的旋转对称性证明这些等量关系吗？新知探究新知探究1 1探究公式探究公式答案：答案：因为圆O是单位圆，显然OP1=OA1=OP=OA=1若把扇形OAP绕着点O旋转角，则点A，P分别与点A1，P1重合根据圆的旋转对称性可知 与 重合，从而 ，所以A1P1=AP；也可以根据圆的旋转对称性证明三角形OAP与三角形OA1P1全等，进而得到A1P1=AP追问追问3 接下来，我们从“数”的角度考虑，依据三角函数定义，你能写出角，的终边与单

4、位圆的交点坐标吗？新知探究新知探究1 1探究公式探究公式答案：答案：P1(cos，sin)，A1(cos，sin)，P(cos()，sin()，A(1，0)追问追问4 4 已知平面直角坐标系任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何求出点P1，P2之间的距离|P1P2|？新知探究新知探究1 1探究公式探究公式答案答案：如图，从点P1，P2分别向y轴和x轴作垂线P1N1与P2M2，垂足分别为N1(0，y1)和M2(x2，0)，直线P1N1与P2M2相交于点Q根据勾股定理可知，在RtP1QP2中，|P1P2|2=|P1Q|2+|QP2|2新知探究新知探究过点P1向x轴作垂线，垂足为M1(

5、x1，0)；过点P2向y轴作垂线，垂足为N2(0，y2)于是有|P1Q|=|M1M2|=|x2x1|，|QP2|=|N1N2|=|y2y1|所以|P1P2|=这个公式称为两点间距离公式1 1探究公式探究公式 追问追问5 5 请你借助两点间的距离公式，用坐标表示“追问2”中证明的等量关系，你能得到什么新的结论？新知探究新知探究1 1探究公式探究公式答案：答案：根据两点间距离公式，结合A1P1=AP，有：整理得cos()=coscos+sinsin (*)问题问题4 4 如果两个任意角终边重合，上述结论成立吗？新知探究新知探究1 1探究公式探究公式答案：答案：当，终边重合时，cos=cos，sin

6、=sin，此时等式(*)左侧等于cos2k=1，右侧等于sin2+cos2=1，因此上述结论仍然成立2 2应用公式应用公式新知探究新知探究新知探究新知探究2 2应用公式应用公式新知探究新知探究2 2应用公式应用公式()cos(2k+)=cos=2k，kZcos(+)=coscos()=coscos()=cos=0 =新知探究新知探究2 2应用公式应用公式两角差的余弦公式反映了圆的更一般的对称性旋转对称性，即单位圆上任意一点，旋转任意一个角度后仍然在单位圆上这种特殊与一般的关系，蕴含着诱导公式与两角差公式之间的特殊与一般的关系新知探究新知探究2 2应用公式应用公式追问追问 本题求解的依据是什么？新知探究新知探究2 2应用公式应用公式新知探究新知探究2 2应用公式应用公式解解：（1）（解法1），（解法2）（2）因为 ，故 ，因为是第三象限角，故 ，因此 归纳小结归纳小结归纳总结归纳总结答案：答案：归纳小结归纳小结归纳总结归纳总结答案：答案：