··二重积分的概念与性质PPT课件.ppt

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1、第十章第十章一元函数一元函数积积分学分学多元函数多元函数积积分学分学重重积积分分曲曲线积线积分分曲面曲面积积分分重 积 分 1.三、二重三、二重积积分的性分的性质质 第一第一节节一、引例一、引例 二、二重二、二重积积分的定分的定义义与可与可积积性性 四、曲四、曲顶顶柱体体柱体体积积的的计计算算 二重积分的概念与性质 第十章 2.柱体体柱体体积积=底面底面积积 高高特点：平特点：平顶顶.柱体体柱体体积积=？特点：曲特点：曲顶顶.曲曲顶顶柱体的体柱体的体积积一、一、问题问题的提出的提出3.播放播放 求曲求曲顶顶柱体的体柱体的体积积采用采用“分割、求和、分割、求和、取极限取极限”的方法，如下的方法，

2、如下动动画演示画演示4.步步骤骤如下：如下：用若干个小平用若干个小平顶顶柱体体柱体体积积之之和近似表示曲和近似表示曲顶顶柱体的体柱体的体积积，先分割曲先分割曲顶顶柱体的底，柱体的底，并取典型小区域，并取典型小区域，曲曲顶顶柱体的体柱体的体积积5.求平面薄片的求平面薄片的质质量量将薄片分割成若干小将薄片分割成若干小块块，取典型小取典型小块块，将其近似，将其近似看作均匀薄片，看作均匀薄片，所有小所有小块质块质量之和量之和近似等于薄片近似等于薄片总质总质量量6.二、二重二、二重积积分的概念分的概念7.积积积积分分分分区区区区域域域域积积积积分分分分和和和和被被被被积积积积函函函函数数数数积积积积分分

3、分分变变变变量量量量被被被被积积积积表表表表达达达达式式式式面面面面积积积积元元元元素素素素8.对对二重二重积积分定分定义义的的说说明：明：在直角坐在直角坐标标系下用平系下用平行于坐行于坐标轴标轴的直的直线线网来划网来划分区域分区域D，故二重故二重积积分可写分可写为为D D则则面面积积元素元素为为9.二重二重积积分的几何意分的几何意义义当被当被积积函数大于零函数大于零时时，二重，二重积积分是柱体的体分是柱体的体积积当被当被积积函数小于零函数小于零时时，二重，二重积积分是柱体的体分是柱体的体积积的的负值负值10.性性质质当当 为为常数常数时时，性性质质（二重（二重积积分与定分与定积积分有分有类类

4、似的性似的性质质）三、二重三、二重积积分的性分的性质质11.性性质质对对区域具有可加性区域具有可加性性性质质 若若 为为D的面的面积积，性性质质 若在若在D上上特殊地特殊地则则有有12.性性质质性性质质（二重（二重积积分中分中值值定理）定理）（二重（二重积积分估分估值值不等式）不等式）13.14.15.例.比比较较下列下列积积分的大小分的大小:其中解解:积分域 D 的边界为圆周它与 x 轴交于点(1,0),而域 D 位从而于直线的上方,故在 D 上 16.解解17.解解18.例.估估计计下列下列积积分之分之值值解解:D 的面积为由于积分性质5即:1.96 I 2D19.解解20.例.判断判断积

5、积分分的正负号.解解:分积分域为则原式=猜想结果为负 但不好估计.舍去此项21.解解22.二重二重积积分的定分的定义义二重二重积积分的性分的性质质 二重二重积积分的几何意分的几何意义义（曲（曲顶顶柱体的体柱体的体积积）（和式的极限）（和式的极限）四、小四、小结结23.思考思考题题 将二重将二重积积分定分定义义与定与定积积分定分定义进义进行比行比较较，找出它找出它们们的相同之的相同之处处与不同之与不同之处处.24.定定积积分与二重分与二重积积分都表示某个和式的极限分都表示某个和式的极限值值，且此，且此值值只与被只与被积积函数及函数及积积分区域有关不分区域有关不同的是定同的是定积积分的分的积积分区

6、域分区域为为区区间间，被，被积积函数函数为为定定义义在区在区间间上的一元函数，而二重上的一元函数，而二重积积分的分的积积分分区域区域为为平面区域，被平面区域，被积积函数函数为为定定义义在平面区域在平面区域上的二元函数上的二元函数思考思考题题解答解答25.被积函数相同,且非负,思考与练习解解:由它们的积分域范围可知1.比较下列积分值的大小关系:26.2.设设D 是第二象限的一个有界是第二象限的一个有界闭闭域域,且且 0 y 1,则则的大小顺序为()提示:因 0 y 1,故故在D上有27.3.计计算算解解:28.4.证证明明:其中D 为解解:利用题中 x,y 位置的对称性,有又 D 的面积为 1,故结论成立.29.练练 习习 题题30.31.32.练习题练习题答案答案33.