全解举例-信号与线性系统分析(4版)电子教案课件.ppt

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1、第第第第 1 1 页页页页例例 描述某系统的微分方程为描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y(t)+6y(t)=f(t)求（求（1）当）当f(t)=2e-t，t0；y(0)=2，y(0)=-1时的全解；时的全解；（2）当）当f(t)=e-2t，t0；y(0)=1，y(0)=0时的全解。时的全解。解解:(1)特征方程为特征方程为2+5+6=0 其特征根其特征根1=2，2=3。为。为 yh(t)=C1e 2t+C2e 3t当当f(t)=2e t时，其特解可设为时，其特解可设为 yp(t)=Pe t将其代入微分方程得将其代入微分方程得 Pe t+5(Pe t)+6Pe t=2e t 解得解得 P=

2、1特解特解为为 yp(t)=e t第第第第 2 2 页页页页全解全解为：为：y(t)=yh(t)+yp(t)=C1e 2t+C2e 3t+e t其中其中 待定常数待定常数C1,C2由初始条件确定。由初始条件确定。y(0)=C1+C2+1=2，y(0)=2C1 3C2 1=1 解得解得 C1=3，C2=2 最后得全解最后得全解 y(t)=3e 2t 2e 3t+e t ,t0 (2)齐齐次次解解同同上上。当当激激励励f(t)=e2t时时，其其指指数数与与特特征征根根之一相重。故其之一相重。故其特解特解为为 yp(t)=(P1t+P0)e2t 代入微分方程可得代入微分方程可得 P1e-2t=e2t

3、 所以所以 P1=1 但但P0不能求得。不能求得。特解为特解为 yp(t)=(t+P0)e2t 第第第第 3 3 页页页页全解全解全解全解为为 y(t)=C1e2t+C2e3t+te2t+P0e2t =(C1+P0)e2t+C2e3t+te2t将初始条件代入，得将初始条件代入，得 y(0)=(C1+P0)+C2=1，y(0)=2(C1+P0)3C2+1=0解得解得 C1+P0=2 ,C2=1 最后得微分方程的全解为最后得微分方程的全解为 y(t)=2e2t e3t+te2t ,t0上式第一项的系数上式第一项的系数C1+P0=2，不能区分，不能区分C1和和P0，因而也，因而也不能区分自由响应和强迫响应。不能区分自由响应和强迫响应。