数字信号处理第三西安科大出.pptx

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1、 1.1学习要点与重要公式本章内容是全书的基础。学生从学习模拟信号分析与处理到学习数字信号处理，要建立许多新的概念。数字信号和数字系统与原来的模拟信号和模拟系统不同，尤其是处理方法上有本质的区别。模拟系统用许多模拟器件实现，数字系统则通过运算方法实现。如果读者对本章关于时域离散信号与系统的若干基本概念不清楚，则学到数字滤波器时，会感到“数字信号处理”这门课不好掌握，总觉得学习的不踏实。因此学好本章是极其重要的。第1页/共533页1.1.1学习要点 （1）信号：模拟信号、时域离散信号、数字信号三者之间的区别；常用的时域离散信号；如何判断信号是周期性的，其周期如何计算等。（2）系统：什么是系统的线

2、性、时不变性以及因果性、稳定性；线性、时不变系统输入和输出之间的关系；求解线性卷积的图解法（列表法）、解析法，以及用MATLAB工具箱函数求解；线性常系数差分方程的递推解法。（3）模拟信号的采样与恢复：采样定理；采样前的模拟信号和采样后得到的采样信号之间的频谱关系；如何由采样信号恢复成原来的模拟信号；实际中如何将时域离散信号恢复成模拟信号。第2页/共533页1.1.2 重要公式 （1）这是一个线性卷积公式，注意公式中是在之间对m求和。如果公式中x(n)和h(n)分别是系统的输入和单位脉冲响应，y(n)是系统输出，则该式说明系统的输入、输出和单位脉冲响应之间服从线性卷积关系。第3页/共533页（

3、2）x(n)=x(n)*(n)该式说明任何序列与(n)的线性卷积等于原序列。x(nn0)=x(n)*(nn0)（3）这是关于采样定理的重要公式，根据该公式要求对信号的采样频率要大于等于该信号的最高频率的两倍以上，才能得到不失真的采样信号。这是由时域离散信号理想恢复模拟信号的插值公式。第4页/共533页1.2解线性卷积的方法解线性卷积是数字信号处理中的重要运算。解线性卷积有三种方法，即图解法（列表法）、解析法和在计算机上用MATLAB语言求解。它们各有特点。图解法（列表法）适合于简单情况，短序列的线性卷积，因此考试中常用，不容易得到封闭解。解析法适合于用公式表示序列的线性卷积，得到的是封闭解，考

4、试中会出现简单情况的解析法求解。解析法求解过程中，关键问题是确定求和限，求和限可以借助于画图确定。第三种方法适合于用计算机求解一些复杂的较难的线性卷积，实验中常用。第5页/共533页解线性卷积也可用Z变换法，以及离散傅里叶变换求解，这是后面几章的内容。下面通过例题说明。设x(n)=R4(n),h(n)=R4(n)，求y(n)=x(n)*h(n)。该题是两个短序列的线性卷积，可以用图解法（列表法）或者解析法求解。表1.2.1给出了图解法（列表法），用公式可表示为y(n)=,0,0,1,2,3,4,3,2,1,0,0,第6页/共533页第7页/共533页下面用解析法求解，写出卷积公式为在该例题中，

5、R4(m)的非零区间为0m3，R4(nm)的非零区间为0nm3，或写成n3mn，这样y(n)的非零区间要求m同时满足下面两个不等式：0m3m3mn上面公式表明m的取值和n的取值有关，需要将n作分段的假设。按照上式，当n变化时，m应该按下式取值：第8页/共533页 max0,n3mmin3,n当0n3时，下限应该是0，上限应该是n；当4n6时，下限应该是n3，上限应该是3；当n6时，上面的不等式不成立，因此y(n)=0；这样将n分成三种情况计算：（1）n6时，y(n)=0 （2）0n3时，第9页/共533页（3）4n6时，将y(n)写成一个表达式，如下式：y(n)=0n34n6其它第10页/共5

6、33页在封闭式求解过程中，有时候决定求和的上下限有些麻烦，可借助于非零值区间的示意图确定求和限。在该例题中，非零值区间的示意图如图1.2.1所示。在图1.2.1(b)中，当n0 时,最后得到例1.3.3设时域离散线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入激励信号x(n)分别为第16页/共533页x(n)=cos(n)u(n)求系统的稳态响应y(n)。解 x(n)=cos(n)u(n)=(1)nu(n)第17页/共533页当n时，稳态解为 例1.3.4假设5项滑动平均滤波器的差分方程为y(n)=x(n)+x(n1)+x(n2)+x(n3)+x(n4)输入信号用图1.3.1表示，画出该滤波器输出的

7、前16个序列值的波形，并说明该滤波器对输入信号起什么作用。第18页/共533页图1.3.1第19页/共533页解：已知系统的差分方程和输入信号求系统输出，可以用递推法求解，这里采用MATLAB函数filter 计算。调用MATLAB函数filter计算该系统的系统响应的程exp134.m如下：%程序exp134.m%调用conv实现5项滑动平均滤波xn=0.5*ones(1，15)；xn(4)=1；xn(6)=1；xn(10)=1；hn=ones(1，5)；yn=conv(hn，xn)；第20页/共533页%以下为绘图部分n=0：length(yn)1；subplot(2，1，1)；stem(

8、n，yn，.)xlabel(n)；ylabel(y(n)程序运行结果如图1.3.2所示。由图形可以看出，5项滑动平均滤波器对输入波形起平滑滤波作用，将信号的第4、8、12、16的序列值平滑去掉。第21页/共533页图1.3.2第22页/共533页例1.3.5已知x1(n)=(n)+3(n1)+2(n2)，x2(n)=u(n)u(n3)，试求信号x(n)，它满足x(n)=x1(n)*x2(n),并画出x(n)的波形。解：这是一个简单的计算线性卷积的题目。x(n)=x1(n)*x2(n)=(n)+3(n1)+2(n2)*u(n)u(n3)=(n)+3(n1)+2(n2)*R3(n)=R3(n)+3

9、R3(n1)+2R3(n2)=(n)+4(n1)+6(n2)+5(n3)+2(n4)画出x(n)的波形如图1.3.3所示。第23页/共533页图1.3.3第24页/共533页例1.3.6已知离散信号x(n)如图1.3.4(a)所示，试求y(n)=x(2n)*x(n)，并绘出y(n)的波形。（选自西安交通大学2001年攻读硕士学位研究生入学考试试题）解：这也是一个计算线性卷积的题目，只不过要先求出x(2n)。解该题适合用列表法(图解法)。x(2n)=1,1,1,0.5y(n)=x(2n)*x(n)=1,2,3,3,3,3,2.75,2,1,0.25绘出y(n)的波形如图1.3.4(b)所示。第2

10、5页/共533页图1.3.4第26页/共533页1.4习题与上机题解答1.用单位脉冲序列(n)及其加权和表示题1图所示的序列。题1图第27页/共533页解：x(n)=(n+4)+2(n+2)(n+1)+2(n)+(n1)+2(n2)+4(n3)+0.5(n4)+2(n6)2 给定信号：2n+54n160n40 其它(1)画出x(n)序列的波形，标上各序列值；(2)试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列；(x(n)=第28页/共533页（3）令x1(n)=2x(n2)，试画出x1(n)波形；（4）令x2(n)=2x(n+2)，试画出x2(n)波形；（5）令x3(n)=x(2n)，试画出

11、x3(n)波形。解：(1)x(n)序列的波形如题2解图（一）所示。(2)x(n)=3(n+4)(n+3)+(n+2)+3(n+1)+6(n)+6(n1)+6(n2)+6(n3)+6(n4)第29页/共533页（3）x1(n)的波形是x(n)的波形右移2位，再乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。(4)x2(n)的波形是x(n)的波形左移2位，再乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。(5)画x3(n)时，先画x(n)的波形(即将x(n)的波形以纵轴为中心翻转180)，然后再右移2位，x3(n)波形如题2解图（四）所示。第30页/共533页题2解图（一）第31页/共533页题2解图（二）第32页/

12、共533页题2解图（三）第33页/共533页题2解图（四）第34页/共533页3 判断下面的序列是否是周期的;若是周期的，确定其周期。(1)(2)解：（1）因为=,所以,这是有理数，因此是周期序列，周期T=14。（2）因为=,所以=16,这是无理数，因此是非周期序列。第35页/共533页4 对题1图给出的x(n)要求：(1)画出x(n)的波形；(2)计算xe(n)=x(n)+x(n)，并画出xe(n)波形；(3)计算xo(n)=x(n)x(n)，并画出xo(n)波形;(4)令x1(n)=xe(n)+xo(n),将x1(n)与x(n)进行比较，你能得到什么结论？第36页/共533页解：（1）x(

13、n)的波形如题4解图（一）所示。(2)将x(n)与x(n)的波形对应相加，再除以2，得到xe(n)。毫无疑问，这是一个偶对称序列。xe(n)的波形如题4解图（二）所示。(3)画出xo(n)的波形如题4解图（三）所示。第37页/共533页题4解图（一）第38页/共533页题4解图（二）第39页/共533页题4解图（三）第40页/共533页(4)很容易证明：x(n)=x1(n)=xe(n)+xo(n)上面等式说明实序列可以分解成偶对称序列和奇对称序列。偶对称序列可以用题中(2)的公式计算，奇对称序列可以用题中(3)的公式计算。5 设系统分别用下面的差分方程描述，x(n)与y(n)分别表示系统输入和

14、输出，判断系统是否是线性非时变的。（1）y(n)=x(n)+2x(n1)+3x(n2)（2）y(n)=2x(n)+3 （3）y(n)=x(nn0)n0为整常数 （4）y(n)=x(n)第41页/共533页（5）y(n)=x2(n)（6）y(n)=x(n2)（7）y(n)=（8）y(n)=x(n)sin(n)解：（1）令输入为x(nn0)输出为 y(n)=x(nn0)+2x(nn01)+3x(nn02)y(nn0)=x(nn0)+2x(nn01)+3(nn02)=y(n)第42页/共533页故该系统是非时变系统。因为 y(n)=Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n)+bx2(n)+2ax1(

15、n1)+bx2(n1)+3ax1(n2)+bx2(n2)Tax1(n)=ax1(n)+2ax1(n1)+3ax1(n2)Tbx2(n)=bx2(n)+2bx2(n1)+3bx2(n2)所以 Tax1(n)+bx2(n)=aTx1(n)+bTx2(n)故该系统是线性系统。第43页/共533页（2）令输入为x(nn0)输出为y(n)=2x(nn0)+3y(nn0)=2x(nn0)+3=y(n)故该系统是非时变的。由于Tax1(n)+bx2(n)=2ax1(n)+2bx2(n)+3Tax1(n)=2ax1(n)+3Tbx2(n)=2bx2(n)+3Tax1(n)+bx2(n)aTx1(n)+bTx2

16、(n)故该系统是非线性系统。第44页/共533页(3)这是一个延时器，延时器是线性非时变系统，下面证明。令输入为x(nn1)输出为y(n)=x(nn1n0)y(nn1)=x(nn1n0)=y(n)故延时器是非时变系统。由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(nn0)+bx2(nn0)=aTx1(n)+bTx2(n)故延时器是线性系统。第45页/共533页(4)y(n)=x(n)令输入为x(nn0)输出为y(n)=x(n+n0)y(nn0)=x(n+n0)=y(n)因此系统是线性系统。由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n)+bx2(n)=aTx1(n)+bTx2(n)因此系统是非时变系

17、统。第46页/共533页（5）y(n)=x2(n)令输入为 x(nn0)输出为y(n)=x2(nn0)y(nn0)=x2(nn0)=y(n)故系统是非时变系统。由于 Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n)+bx2(n)2 aTx1(n)+bTx2(n)=ax21(n)+bx22(n)因此系统是非线性系统。第47页/共533页（6）y(n)=x(n2)令输入为x(nn0)输出为y(n)=x(nn0)2)y(nn0)=x(nn0)2)=y(n)故系统是非时变系统。由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n2)+bx2(n2)=aTx1(n)+bTx2(n)故系统是线性系统。第48页/共533

18、页（7）y(n)=x(m)令输入为x(nn0)输出为 y(n)=0DD)x(m-n0)y(nn0)=x(m)y(n)故系统是时变系统。由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(m)+bx2(m)=aTx1(n)+bTx2(n)故系统是线性系统。第49页/共533页（8）y(n)=x(n)sin(n)令输入为x(nn0)输出为y(n)=x(nn0)sin(n)y(nn0)=x(nn0)sin(nn0)y(n)故系统不是非时变系统。由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n)sin(n)+bx2(n)sin(n)=aTx1(n)+bTx2(n)故系统是线性系统。第50页/共533页6 给定下述系

19、统的差分方程，试判定系统是否是因果稳定系统，并说明理由。（1）y(n)=x(nk)（2）y(n)=x(n)+x(n+1)（3）y(n)=x(k)（4）y(n)=x(nn0)（5）y(n)=ex(n)第51页/共533页解：（1）只要N1，该系统就是因果系统，因为输出只与n时刻的和n时刻以前的输入有关。如果|x(n)|M，则|y(n)|M，因此系统是稳定系统。（2）该系统是非因果系统，因为n时间的输出还和n时间以后（n+1）时间）的输入有关。如果|x(n)|M,则|y(n)|x(n)|+|x(n+1)|2M,因此系统是稳定系统。（3）如果|x(n)|M，则|y(n)|x(k)|2n0+1|M，因

20、此系统是稳定的；假设n00，系统是非因果的，因为输出还和x(n)的将来值有关。第52页/共533页（4）假设n00，系统是因果系统，因为n时刻输出只和n时刻以后的输入有关。如果|x(n)|M,则|y(n)|M，因此系统是稳定的。（5）系统是因果系统，因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。如果|x(n)|M,则|y(n)|=|ex(n)|e|x(n)|eM，因此系统是稳定的。7 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入序列x(n)如题7图所示，要求画出y(n)输出的波形。解：解法（一）采用列表法。y(n)=x(n)*h(n)=x(m)h(nm)第53页/共533页题7图第54页/共533页

21、y(n)=2,1,0.5,2,1,4.5,2,1;n=2,1,0,1,2,3,4,5第55页/共533页解法（二）采用解析法。按照题7图写出x(n)和h(n)的表达式分别为x(n)=(n+2)+(n1)+2(n3)h(n)=2(n)+(n1)+(n2)由于x(n)*(n)=x(n)x(n)*A(nk)=Ax(nk)故第56页/共533页y(n)=x(n)*h(n)=x(n)*2(n)+(n1)+(n2)=2x(n)+x(n1)+x(n2)将x(n)的表示式代入上式，得到 y(n)=2(n+2)(n+1)0.5(n)+2(n1)+(n2)+4.5(n3)+2(n4)+(n5)第57页/共533页

22、8.设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入x(n)分别有以下三种情况，分别求出输出y(n)。（1）h(n)=R4(n),x(n)=R5(n)（2）h(n)=2R4(n),x(n)=(n)(n2)（3）h(n)=0.5nu(n),xn=R5(n)解：（1）y(n)=x(n)*h(n)=R4(m)R5(nm)先确定求和域。由R4(m)和R5(nm)确定y（n）对于m的非零区间如下:0m34mn第58页/共533页根据非零区间，将n分成四种情况求解：n7时，y(n)=0第59页/共533页最后结果为 0 n7 n+1 0n3 8n4n7y(n)的波形如题8解图（一）所示。(2)y(n)=2R4

23、(n)*(n)(n2)=2R4(n)2R4(n2)=2(n)+(n1)(n+4)(n+5)y(n)的波形如题8解图（二）所示y(n)=第60页/共533页题8解图（一）第61页/共533页题8解图（二）第62页/共533页(3)y(n)=x(n)*h(n)=R5(m)0.5nmu(nm)=0.5nR5(m)0.5mu(nm)y（n）对于m 的非零区间为 0m4,mn n0时，y(n)=0 0n4时，第63页/共533页=(10.5n1)0.5n=20.5n n5时最后写成统一表达式：y(n)=(20.5n)R5(n)+310.5nu(n5)第64页/共533页9 证明线性卷积服从交换律、结合律

24、和分配律，即证明下面等式成立：（1）x(n)*h(n)=h(n)*x(n)（2）x(n)*(h1(n)*h2(n)=(x(n)*h1(n)*h2(n)（3）x(n)*(h1(n)+h2(n)=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)证明：（1）因为令m=nm,则第65页/共533页(2)利用上面已证明的结果，得到第66页/共533页交换求和号的次序，得到第67页/共533页10 设系统的单位脉冲响应h(n)=(3/8)0.5nu(n)，系统的输入x(n)是一些观测数据，设x(n)=x0,x1,x2,xk,，试利用递推法求系统的输出y(n)。递推时设系统初始状态为零状态。第68页/共533页解

25、：n=0时，n0n=1时，第69页/共533页n=2时，最后得到11 设系统由下面差分方程描述：设系统是因果的，利用递推法求系统的单位脉冲响应。第70页/共533页解：令x(n)=(n),则n=0时，n=1时，第71页/共533页n=2时，n=3时，归纳起来，结果为第72页/共533页12.设系统用一阶差分方程y(n)=ay(n1)+x(n)描述，初始条件y(-1)=0，试分析该系统是否是线性非时变系统。解：分析的方法是让系统输入分别为(n)、(n1)、(n)+(n1)时，求它的输出，再检查是否满足线性叠加原理和非时变性。（1）令x(n)=(n),这时系统的输出用y1(n)表示。该情况在教材例

26、1.4.1 中已求出，系统的输出为y1(n)=anu(n)第73页/共533页(2)令x(n)=(n1)，这时系统的输出用y2(n)表示。n=0时，n=1时，n=2时，任意 n 时，第74页/共533页最后得到(3)令x(n)=(n)+(n1),系统的输出用y3(n)表示。n=0时，n=1时，n=2时，第75页/共533页n=3时，任意 n 时，最后得到第76页/共533页由（1）和（2）得到y1(n)=T(n),y2(n)=T(n1)y1(n)=y2(n1)因此可断言这是一个时不变系统。情况（3）的输入信号是情况（1）和情况（2）输入信号的相加信号，因此y3(n)=T(n)+(n1)。观察y

27、1(n)、y2(n)、y3(n)，得到y3(n)=y1(n)+y2(n)，因此该系统是线性系统。最后得到结论：用差分方程y(n)=ay(n1)+x(n),0a|a|，由X(z)很容易得到x(n)=anu(n)。（2）ZT的逆变换为第118页/共533页求Z变换可以用部分分式法和围线积分法求解。用围线积分法求逆Z变换有两个关键。一个关键是知道收敛域以及收敛域和序列特性之间的关系，可以总结成几句话：收敛域包含点，序列是因果序列；收敛域在某圆以内，是左序列；收敛域在某圆以外，是右序列；收敛域在整个z面，是有限长序列；以上、均未考虑0与两点，这两点可以结合问题具体考虑。另一个关键是会求极点留数。第11

28、9页/共533页2.3分析信号和系统的频率特性分析信号和系统的频率特性求信号与系统的频域特性要用傅里叶变换。但分析频率特性使用Z变换却更方便。我们已经知道系统函数的极、零点分布完全决定了系统的频率特性，因此可以用分析极、零点分布的方法分析系统的频率特性，包括定性地画幅频特性，估计峰值频率或者谷值频率，判定滤波器是高通、低通等滤波特性，以及设计简单的滤波器（内容在教材第5章）等。第120页/共533页根据零、极点分布可定性画幅频特性。当频率由0到2变化时，观察零点矢量长度和极点矢量长度的变化，在极点附近会形成峰。极点愈靠进单位圆，峰值愈高；零点附近形成谷，零点愈靠进单位圆，谷值愈低，零点在单位圆

29、上则形成幅频特性的零点。当然，峰值频率就在最靠近单位圆的极点附近，谷值频率就在最靠近单位圆的零点附近。滤波器是高通还是低通等滤波特性，也可以通过分析极、零点分布确定，不必等画出幅度特性再确定。一般在最靠近单位圆的极点附近是滤波器的通带；阻带在最靠近单位圆的零点附近，如果没有零点，则离极点最远的地方是阻带。参见下节例2.4.1。第121页/共533页2.4例题例题例例2.4.1已知IIR数字滤波器的系统函数试判断滤波器的类型（低通、高通、带通、带阻）。（某校硕士研究生入学考试题中的一个简单的填空题）解解：将系统函数写成下式:第122页/共533页系统的零点为z=0，极点为z=0.9，零点在z平面

30、的原点，不影响频率特性，而惟一的极点在实轴的0.9处，因此滤波器的通带中心在=0处。毫无疑问，这是一个低通滤波器。例例2.4.2假设x(n)=xr(n)+jxi(n)，xr(n)和xj(n)为实序列，X(z)=ZTx(n)在单位圆的下半部分为零。已知求X（ej）=FTx(n)。第123页/共533页解：Xe(ej)=FTxr(n)因为X(ej)=02所以X(e-j)=X(ej(2-)=00第124页/共533页当0时，故当2时，X(ej)=0，故02第125页/共533页因此ReX(ej)=X(ej)ImX(ej)=0例例2.4.3已知0nNN+1n2Nn0,2Nn求x(n)的Z变换。第126

31、页/共533页解解：题中x(n)是一个三角序列，可以看做两个相同的矩形序列的卷积。设y(n)=RN(n)*RN(n),则 n00nN1Nn2N12Nn将y(n)和x(n)进行比较，得到y(n1)=x(n)。因此 Y（z）z1=X(z)Y(z)=ZTRN(n)ZTRN(n)第127页/共533页故例2.4.4时域离散线性非移变系统的系统函数H(z)为第128页/共533页（1）要求系统稳定，确定a和b的取值域。（2）要求系统因果稳定，重复（1）。解：（1）H(z)的极点为a、b，系统稳定的条件是收敛域包含单位圆，即单位圆上不能有极点。因此，只要满足|a|1,|b|1即可使系统稳定，或者说a和b的

32、取值域为除单位圆以的整个z平面。（2）系统因果稳定的条件是所有极点全在单位圆内，所以a和b的取值域为0|a|1,0|b|1第129页/共533页例例2.4.5,f1=10 Hz，f2=25 Hz，用理想采样频率Fs=40 Hz对其进行采样得到。（1）写出的表达式;（2）对进行频谱分析，写出其傅里叶变换表达式，并画出其幅度谱；（3）如要用理想低通滤波器将cos(2f1t)滤出来，理想滤波器的截止频率应该取多少？解：第130页/共533页（2）按照采样定理,的频谱是x(t)频谱的周期延拓，延拓周期为Fs=40 Hz，x(t)的频谱为画出幅度谱如图2.4.1所示。第131页/共533页图2.4.1第

33、132页/共533页（3）观察图2.4.1，要把cos(2f1t)滤出来，理想低通滤波器的截止频率fc应选在10 Hz和20 Hz之间，可选fc15 Hz。如果直接对模拟信号x(t)=cos(2f1t)+cos(2f2t)进行滤波，模拟理想低通滤波器的截止频率选在10 Hz和25 Hz之间，可以把10 Hz的信号滤出来，但采样信号由于把模拟频谱按照采样频率周期性地延拓，使频谱发生变化，因此对理想低通滤波器的截止频率要求不同。第133页/共533页例例2.4.6对x(t)=cos(2t)+cos(5t)进行理想采样，采样间隔T=0.25 s，得到，再让通过理想低通滤波器G(j)，G(j)用下式表

34、示:(1)写出的表达式;(2)求出理想低通滤波器的输出信号y(t)。第134页/共533页解解：(1)第135页/共533页（2）为了求理想低通滤波器的输出，要分析的频谱。中的两个余弦信号频谱分别为在0.5和1.25的位置，并且以2为周期进行周期性延拓，画出采样信号的频谱示意图如图2.4.2（a）所示，图2.4.2（b）是理想低通滤波器的幅频特性。显然，理想低通滤波器的输出信号有两个，一个的数字频率为0.5，另一个的数字频率为0.75，相应的模拟频率为2和3，这样理想低通滤波器的输出为y(t)=0.25cos(2t)+cos(3t)第136页/共533页图2.4.2第137页/共533页2.5

35、习题与上机题解答习题与上机题解答1 设X(ej)和Y(ej)分别是x(n)和y(n)的傅里叶变换，试求下面序列的傅里叶变换：(1)x(nn0)(2)x*(n)(3)x(n)(4)x(n)*y(n)(5)x(n)y(n)(6)nx(n)(7)x(2n)(8)x2(n)(9)第138页/共533页解：（1）令n=nn0,即n=n+n0，则（2）第139页/共533页（3）令n=n，则（4）FTx(n)*y(n)=X(ej)Y(ej)下面证明上式成立：第140页/共533页令k=nm,则第141页/共533页（5）第142页/共533页或者（6）因为对该式两边求导，得到第143页/共533页因此（7

36、）令n=2n，则第144页/共533页第145页/共533页或者（8）利用（5）题结果，令x(n)=y(n),则第146页/共533页（9）令n=n/2，则2 已知求X(ej)的傅里叶反变换x(n)。第147页/共533页解：3.线性时不变系统的频率响应（频率响应函数）H(ej)=|H(ej)|ej()，如果单位脉冲响应h(n)为实序列，试证明输入x(n)=A cos(0n+j)的稳态响应为第148页/共533页解解：假设输入信号x(n)=ej0n，系统单位脉冲响应为h(n)，则系统输出为上式说明当输入信号为复指数序列时，输出序列仍是复指数序列，且频率相同，但幅度和相位取决于网络传输函数。利用

37、该性质解此题：第149页/共533页第150页/共533页上式中|H(ej)|是的偶函数，相位函数是的奇函数，|H(ej)|=|H(e-j)|，()=(),故4设第151页/共533页将x(n)以4为周期进行周期延拓，形成周期序列，画出x(n)和的波形，求出的离散傅里叶级数和傅里叶变换。解：画出x(n)和的波形如题4解图所示。第152页/共533页题4解图第153页/共533页或者 第154页/共533页第155页/共533页5.设题5图所示的序列x(n)的FT用X(ej)表示，不直接求出X(ej)，完成下列运算或工作：题5图第156页/共533页(1)(2)(3)(4)确定并画出傅里叶变换实

38、部ReX(ej)的时间序列xa(n)；(5)(6)第157页/共533页解(1)(2)(3)（4）因为傅里叶变换的实部对应序列的共轭对称部分，即第158页/共533页按照上式画出xe(n)的波形如题5解图所示。题5解图第159页/共533页(5)(6)因为因此第160页/共533页6 试求如下序列的傅里叶变换：(1)x1(n)=(n3)(2)(3)x3(n)=anu(n)0a1(4)x4(n)=u(n+3)u(n4)解解(1)第161页/共533页(2)(3)第162页/共533页(4)第163页/共533页或者:第164页/共533页7 设：（1）x(n)是实偶函数，（2）x(n)是实奇函数

39、，分别分析推导以上两种假设下，其x(n)的傅里叶变换性质。解解：令(1)因为x(n)是实偶函数，对上式两边取共轭，得到第165页/共533页因此 X(ej)=X*（ej）上式说明x(n)是实序列，X(ej)具有共轭对称性质。由于x(n)是偶函数，x(n)sin是奇函数，那么因此第166页/共533页该式说明X(ej)是实函数，且是的偶函数。总结以上,x(n)是实偶函数时，对应的傅里叶变换X(ej)是实函数，是的偶函数。（2）x(n)是实奇函数。上面已推出，由于x(n)是实序列，X(ej)具有共轭对称性质，即 X(ej)=X*(ej)第167页/共533页由于x(n)是奇函数，上式中x(n)co

40、s是奇函数，那么因此 这说明X(ej)是纯虚数，且是的奇函数。8 设x(n)=R4(n)，试求x(n)的共轭对称序列xe(n)和共轭反对称序列xo(n)，并分别用图表示。第168页/共533页解解：xe(n)和xo(n)的波形如题8解图所示。题8解图第169页/共533页9已知x(n)=anu(n),0a1，分别求出其偶函数xe(n)和奇函数xo(n)的傅里叶变换。解解：因为xe(n)的傅里叶变换对应X(ej)的实部，xo(n)的傅里叶变换对应X(ej)的虚部乘以j，因此第170页/共533页第171页/共533页10 若序列h(n)是实因果序列，其傅里叶变换的实部如下式：HR(ej)=1+c

41、os求序列h(n)及其傅里叶变换H(ej)。解解：第172页/共533页第173页/共533页11 若序列h(n)是实因果序列，h(0)=1，其傅里叶变换的虚部为HI(ej)=sin求序列h(n)及其傅里叶变换H(ej)。解解：第174页/共533页第175页/共533页12 设系统的单位脉冲响应h(n)=anu(n),0a1，输入序列为x(n)=(n)+2(n2)完成下面各题：(1)求出系统输出序列y(n)；(2)分别求出x(n)、h(n)和y(n)的傅里叶变换。解解(1)第176页/共533页(2)第177页/共533页13 已知xa(t)=2 cos(2f0t)，式中f0=100 Hz，

42、以采样频率fs=400 Hz对xa(t)进行采样，得到采样信号和时域离散信号x(n)，试完成下面各题：（1）写出的傅里叶变换表示式Xa(j)；（2）写出和x(n)的表达式；（3）分别求出的傅里叶变换和x(n)序列的傅里叶变换。解：第178页/共533页上式中指数函数的傅里叶变换不存在，引入奇异函数函数，它的傅里叶变换可以表示成：（2）第179页/共533页（3）式中第180页/共533页式中0=0T=0.5 rad上式推导过程中，指数序列的傅里叶变换仍然不存在，只有引入奇异函数函数才能写出它的傅里叶变换表示式。14 求出以下序列的Z变换及收敛域:(1)2nu(n)(2)2nu(n1)(3)2n

43、u(n)(4)(n)(5)(n1)(6)2nu(n)u(n10)第181页/共533页解(1)(2)第182页/共533页(3)(4)ZT(n)=10|z|(5)ZT(n1)=z10|z|(6)第183页/共533页15 求以下序列的Z变换及其收敛域，并在z平面上画出极零点分布图。(1)x(n)=RN(n)N=4(2)x(n)=Arn cos(0n+j)u(n)r=0.9,0=0.5 rad,j=0.25 rad(3)式中，N=4。第184页/共533页解(1)由z41=0，得零点为由z3(z1)=0，得极点为 z1,2=0,1零极点图和收敛域如题15解图(a)所示，图中,z=1处的零极点相互

44、对消。第185页/共533页题15解图第186页/共533页(2)第187页/共533页零点为极点为极零点分布图如题15解图(b)所示。(3)令y(n)=R4(n),则x(n+1)=y(n)*y(n)zX(z)=Y(z)2,X(z)=z1Y(z)2第188页/共533页因为因此极点为z1=0,z2=1零点为在z=1处的极零点相互对消，收敛域为0|z|，极零点分布图如题15解图(c)所示。第189页/共533页16 已知求出对应X(z)的各种可能的序列表达式。解解：X(z)有两个极点：z1=0.5,z2=2，因为收敛域总是以极点为界，因此收敛域有三种情况：|z|0.5，0.5|z|2，2|z|。

45、三种收敛域对应三种不同的原序列。（1）收敛域|z|0.5：第190页/共533页令n0时，因为c内无极点，x(n)=0;n1时，c内有极点 0，但z=0是一个n阶极点，改为求圆外极点留数，圆外极点有z1=0.5,z2=2，那么第191页/共533页(2)收敛域0.5|z|2:第192页/共533页n0时，c内有极点0.5，n0时，c内有极点 0.5、0，但 0 是一个n阶极点，改成求c外极点留数，c外极点只有一个，即2，x(n)=ResF(z),2=2 2nu(n1)最后得到第193页/共533页（3）收敛域|z|2:n0时，c内有极点 0.5、2，n0时，由收敛域判断，这是一个因果序列，因此

46、x(n)=0；或者这样分析，c内有极点0.5、2、0，但0是一个n阶极点，改求c外极点留数，c外无极点，所以x(n)=0。第194页/共533页最后得到17 已知x(n)=anu(n),0a1。分别求：(1)x(n)的Z变换；(2)nx(n)的Z变换；(3)anu(n)的Z变换。解解：(1)第195页/共533页(2)(3)18 已知分别求：（1）收敛域0.5|z|2对应的原序列x(n)。第196页/共533页解：（1）收敛域0.5|z|2:n0时，c内有极点0.5，x(n)=ResF(z),0.5=0.5n=2nn0时，c内有极点0.5、0，但0是一个n阶极点，改求c外极点留数，c外极点只有

47、2，x(n)=ResF(z),2=2n第197页/共533页最后得到 x(n)=2nu(n)+2nu(n1)=2|n|n2:n0时，c内有极点0.5、2，第198页/共533页n0时，c内有极点0.5、2、0，但极点0是一个n阶极点，改成求c外极点留数，可是c外没有极点，因此x(n)=0最后得到 x(n)=(0.5n2n)u(n)19 用部分分式法求以下X(z)的反变换：(1)第199页/共533页(2)解：(1)第200页/共533页第201页/共533页(2)第202页/共533页20 设确定性序列x(n)的自相关函数用下式表示：试用x(n)的Z变换X(z)和x(n)的傅里叶变换X(ej)

48、分别表示自相关函数的Z变换Rxx(z)和傅里叶变换Rxx(ej)。第203页/共533页解：解法一令m=n+m,则第204页/共533页解法二因为x(n)是实序列，X(ej)=X*(ej)，因此第205页/共533页21 用Z变换法解下列差分方程：(1)y(n)0.9y(n1)=0.05u(n)，y(n)=0 n1(2)y(n)0.9y(n1)=0.05u(n)，y(1)=1，y(n)=0n1(3)y(n)0.8y(n1)0.15y(n2)=(n)y(1)=0.2,y(2)=0.5,y(n)=0,当n3时。解：(1)y(n)0.9y(n1)=0.05u(n)，y(n)=0n1第206页/共53

49、3页n0时，n0时，y(n)=0最后得到 y(n)=0.5 (0.9)n+1+0.5u(n)第207页/共533页(2)y(n)0.9y(n1)=0.05u(n),y(1)=1,y(n)=0 n1第208页/共533页n0时，n0时，y(n)=0最后得到 y(n)=0.45(0.9)n+0.5u(n)第209页/共533页(3)y(n)0.8y(n1)0.15y(n2)=(n)y(1)=0.2,y(2)=0.5,y(n)=0,当n2时Y(z)0.8z1Y(z)+y(1)z0.15z2Y(z)+y(1)z+y(2)z2=1第210页/共533页n0时，y(n)=4.365 0.3n+6.375

50、0.5nn0时,y(n)=0最后得到 y(n)=(4.365 0.3n+6.375 0.5n)u(n)第211页/共533页22 设线性时不变系统的系统函数H(z)为（1）在z平面上用几何法证明该系统是全通网络，即|H(ej)|=常数；（2）参数 a 如何取值，才能使系统因果稳定？画出其极零点分布及收敛域。解解：(1)第212页/共533页极点为a,零点为a1。设a=0.6，极零点分布图如题22解图(a)所示。我们知道|H(ej)|等于极点矢量的长度除以零点矢量的长度，按照题22解图(a)，得到因为角公用，且AOBAOC，故，即第213页/共533页故H(z)是一个全通网络。或者按照余弦定理证