考研数学答题技巧及总结.doc

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1、2016考研数学二：高数必考重点及题型分析 章节 知识点 题型 重要度等级 第一章 函数、极限、连续 等价无穷小代换、洛必达法则、泰勒展开式 求函数的极限 函数连续的概念、函数间断点的类型 判断函数连续性与间断点的类型 第二章 一元函数微分学 导数的定义、可导与连续之间的关系 按定义求一点处的导数，可导与连续的关系 函数的单调性、函数的极值 讨论函数的单调性、极值 闭区间上连续函数的性质、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理 微分中值定理及其应用 第三章 一元函数积分学 积分上限的函数及其导数 变限积分求导问题 有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的积分 计算被积函数为有理函数

2、、三角函数有理式、简单无理函数的不定积分和定积分 第四章 多元函数微积分学 隐函数、偏导数、全微分的存在性以及它们之间的因果关系 函数在一点处极限的存在性，连续性，偏导数的存在性，全微分存在性与偏导数的连续性的讨论与它们之间的因果关系 二重积分的概念、性质及计算 二重积分的计算及应用 第五章 常微分方程 一阶线性微分方程、齐次方程，微分方程的简单应用 用微分方程解决一些应用问题 2016考研数学二：线性代数必考重点及题型分析 章节 知识点 题型 重要度等级 第一章 行列式 行列式的运算 计算抽象矩阵的行列式 第二章 矩阵 矩阵的运算 求矩阵高次幂等 矩阵的初等变换、初等矩阵 与初等变换有关的命

3、题 第三章 向量 向量组的线性相关及无关的有关性质及判别法 向量组的线性相关性 线性组合与线性表示 判定向量能否由向量组线性表示 第四章 线性方程组 齐次线性方程组的基础解系和通解的求法 求齐次线性方程组的基础解系、通解 第五章 矩阵的特征值和特征向量 实对称矩阵特征值和特征向量的性质，化为相似对角阵的方法 有关实对称矩阵的问题 相似变换、相似矩阵的概念及性质 相似矩阵的判定及逆问题 第六章 二次型 二次型的概念 求二次型的矩阵和秩 合同变换与合同矩阵的概念 判定合同矩阵 数学高手教你五招考研数学考场答题技巧考研数学备考，基础知识很重要，考生们需要打好基础，才能取得高分，但是，考试中的一些解题

4、技巧往往能够帮助大家提高解题效率及准确率，下面小编就为大家整理一些考研牛人的答题技巧，希望大家认真阅读，灵活运用。一、踩点得分对于同一道题目，有的人理解得深，有的人理解得浅，有的人解答得多，有的人解答得少。为了区分这种情况，阅卷评分办法是懂多少知识就给多少分。也叫踩点给分，即踩上知识点就得分，踩得多就多得分。因此，对于难度较大的题目可以采用这一策略，其基本精神就是会做的题目力求不失分，部分理解的题目力争多得分。因此，会做的题目要特别注意表达准确、逻辑清晰、书写规范、语言严谨，防止被“分段扣点分”。二、大题拿小分有的大题难度比较大，确实啃不动。一个聪明的解题策略是，将它们分解为一系列的步骤，或者

5、是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步。尚未成功不等于失败，特别是那些解题层次明显的题目，或者是已经程序化了的方法，每进行一步得分点的演算都可以得分。最后结论虽然未得出，但分数却已过半。三、以后推前考生在解题过程中卡在某一步是很常见，这时可以换一种思路，也许就会柳暗花明又一村。同学们可以把卡壳处空下来，先承认中间结论，再往后推，看能否得到结论。如果不能，说明这个途径不对，立即改变方向;如果能得出预期结论，就回过头来，集中力量攻克这一“卡壳处”。四、跳步解答由于考试时间的限制，“卡壳处”来不及攻克了，那么可以把前面的写下来，再写出“证实某步之后，继续有”一直

6、做到底，这就是跳步解答。也许，后来中间步骤又想出来，这时不要乱七八糟插上去，可补在后面，“事实上，某步可证明或演算如下”，以保持卷面的工整。若题目有两问，第一问想不出来，可把第一问作“已知”，“先做第二问”，这也是跳步解答。五、以退求进以退求进是一种重要的解题策略，也是做题的最高境界。如果你不能解决所提出的问题，那么可以从一般退到特殊，从抽象退到具体，从复杂退到简单，从整体退到部分，从较强的结论退到较弱的结论。总之，退到一个能够解决的问题。为了不产生“以偏概全”的误解，应开门见山写上“本题分几种情况”。这样，还会为寻找正确的、一般性的解法提供有意义的启发。这个技巧需要同学们做题做到一定境界来体

7、会，如果可以做到这一步，那么什么难题都不是难题了。作为考研人，唯一的目的就是考出高分考进梦想中的院校。2015考研数学答题技巧填空题在考研数学中，填空题包含6道小题，每小题4分，共24分。填空题考查的知识点也是比较基础的知识，但是主要考察考生的基本运算能力。最常用的技巧是“代入法”，考生可以把一些特殊的数字带入的题目中去运算。填空题只是要最后的结果，不用写出运算步骤，因此我们只要得出结果就行，不管用什么样的方法。因此，在做填空题时，方法和过程不重要，重要的是运算结果，要用最简单、最有效的方法算出结果。考生在日常做题时要经常运用这些技巧，将填空题计算常用的方法技巧烂熟于心，运用起来才更加得心应手

8、。填空题的答案也是唯一的，做题的时候给出最后的结果就行，不需要推导过程，同样也是答对得满分，答错或者不答得0分，不倒扣分。这一部分的题目一般是需要一定技巧的计算，但不会有太复杂的计算题。题目的难度与选择题不相上下，也是适中。填空题总共有6个，一般高数4个，线代和概率各1个，主要考查的是考研数学中的三基本：基本概念、基本原理、基本方法以及一些基本的性质。做这24分的题目时需要认真审题，快速计算，并且需要有融会贯通的知识作为保障。2015考研数学答题技巧选择题1.推演法。提示条件中给出一些条件或者一些数值，你很容易判断，那这样的题就用推演法去做。推演法实际上是一些计算题，简单一点的计算题。那么从提

9、示条件中往后推，推出哪个结果选择哪个。2.赋值法。给一个数值马上可以判断我们这种做法对不对，这个值可以加在给出的条件上，也可以加在被选的4个答案中的其中几个上，我们加上去如果得出和我们题设的条件矛盾，或者是和我们已知的事实相矛盾。比方说2小于1就是明显的错误，所以把这些排除了，排除掉3个最后一个肯定是正确的。3.举反例排除法。这是针对提示中给出的函数是抽象的函数，抽象的对立面是具体，所以我们用具体的例子来核定，这个跟我们刚才的赋值法有某种相似之处。一般来讲举的范例是越简单越好，而且很多考题你只要简单的看就可以看出他的错误点。4.类推法。从最后被选的答案中往前推，推出哪个错误就把哪个否定掉，再换

10、一个。我们推出3个错误最后一个肯定是正确的。后面三种方法有些相似之处，类推法这种方法是费时费力的，一般来讲我们不太用。总结：经常进行自我总结，错题总结能逐渐提高解题能力。大家可以在学完每一章后，自己通过画图的形式回忆这章有哪些知识点，有哪些定理，他们之间有些什么联系，如何应用等;对做错的题分析一下原因：概念不清楚、定理用错了还是计算粗心?数学思维方法是数学的精髓，只有对此进行归纳、领会、应用，才能把数学知识与技能转化为分析问题、解决问题的能力，使解题能力“更上一层楼”。2015考研数学答题技巧证明题1.结合几何意义记住零点存在定理、中值定理、泰勒公式、极限存在的两个准则等基本原理，包括条件及结

11、论。知道基本原理是证明的基础，知道的程度(即就是对定理理解的深入程度)不同会导致不同的推理能力。如2006年数学一真题第16题(1)是证明极限的存在性并求极限。只要证明了极限存在，求值是很容易的，但是如果没有证明第一步，即使求出了极限值也是不能得分的。因为数学推理是环环相扣的，如果第一步未得到结论，那么第二步就是空中楼阁。这个题目非常简单，只用了极限存在的两个准则之一：单调有界数列必有极限。只要知道这个准则，该问题就能轻松解决，因为对于该题中的数列来说，“单调性”与“有界性”都是很好验证的。像这样直接可以利用基本原理的证明题并不是很多，更多的是要用到第二步。2.借助几何意义寻求证明思路一个证明

12、题，大多时候是能用其几何意义来正确解释的，当然最为基础的是要正确理解题目文字的含义。如2007年数学一第19题是一个关于中值定理的证明题，可以在直角坐标系中画出满足题设条件的函数草图，再联系结论能够发现：两个函数除两个端点外还有一个函数值相等的点，那就是两个函数分别取最大值的点(正确审题：两个函数取得最大值的点不一定是同一个点)之间的一个点。这样很容易想到辅助函数F(x)=f(x)-g(x)有三个零点，两次应用罗尔中值定理就能得到所证结论。再如2005年数学一第18题(1)是关于零点存在定理的证明题，只要在直角坐标系中结合所给条件作出函数y=f(x)及y=1-x在0，1上的图形就立刻能看到两个

13、函数图形有交点，这就是所证结论，重要的是写出推理过程。从图形也应该看到两函数在两个端点处大小关系恰好相反，也就是差函数在两个端点的值是异号的，零点存在定理保证了区间内有零点，这就证得所需结果。如果第二步实在无法完满解决问题的话，转第三步。3.逆推法从结论出发寻求证明方法。如2004年第15题是不等式证明题，该题只要应用不等式证明的一般步骤就能解决问题：即从结论出发构造函数，利用函数的单调性推出结论。在判定函数的单调性时需借助导数符号与单调性之间的关系，正常情况只需一阶导的符号就可判断函数的单调性，非正常情况却出现的更多(这里所举出的例子就属非正常情况)，这时需先用二阶导数的符号判定一阶导数的单

14、调性，再用一阶导的符号判定原来函数的单调性，从而得所要证的结果。该题中可设F(x)=ln*x-ln*a-4(x-a)/e*，其中eF(a)就是所要证的不等式。对于那些经常使用如上方法的考生来说，利用三步走就能轻松收获数学证明的12分，但对于从心理上就不自信能解决证明题的考生来说，却常常轻易丢失12分，后一部分同学请按“证明三步走”来建立自信心，以阻止考试分数的白白流失。考研数学：单选与证明题经典解题技巧很多同学准备考研买了各种辅导机构的资料，大量练习认为这样的话一是能通过题复习知识点，还有就是期望通过题海战术能做到考试真题。这种盲目的做题方法未必能高效提升成绩。同学们一定要明确，做题不是目的，

15、是为了更好的培养答题的感觉，理清思路，巩固知识点。对于考研数学来说，题海无边但题型有限。我们可以通过对典型题型的练习，掌握相应的解题方法，能迅速提高解题能力，节省考场上的宝贵时间。在此，我们数学教研室李老师为大家整理单选题和证明题经典解题技巧。一、单选题巧解技巧总结为五种方法：第一种：推演法。提示条件中给出一些条件或者一些数值，你很容易判断，那这样的题就用推演法去做。推演法实际上是一些计算题，简单一点的计算题。那么从提示条件中往后推，推出哪个结果选择哪个。第二种：赋值法。给一个数值马上可以判断我们这种做法对不对，这个值可以加在给出的条件上，也可以加在被选的4个答案中的其中几个上，我们加上去如果

16、得出和我们题设的条件矛盾，或者是和我们已知的事实相矛盾。比方说2小于1就是明显的错误，所以把这些排除了，排除掉3个最后一个肯定是正确的。第三种：举反例排除法。这是针对提示中给出的函数是抽象的函数，抽象的对立面是具体，所以我们用具体的例子来核定，这个跟我们刚才的赋值法有某种相似之处。一般来讲举的范例是越简单越好，而且很多考题你只要简单的看就可以看出他的错误点。第五种：类推。从最后被选的答案中往前推，推出哪个错误就把哪个否定掉，再换一个。我们推出3个错误最后一个肯定是正确的。后面三种方法有些相似之处，类推法这种方法是费时费力的，一般来讲我们不太用。总结：经常进行自我总结，错题总结能逐渐提高解题能力

17、。大家可以在学完每一章后，自己通过画图的形式回忆这章有哪些知识点，有哪些定理，他们之间有些什么联系，如何应用等;对做错的题分析一下原因：概念不清楚、定理用错了还是计算粗心?数学思维方法是数学的精髓，只有对此进行归纳、领会、应用，才能把数学知识与技能转化为分析问题、解决问题的能力，使解题能力“更上一层楼”。二、证明题总结为三大解题方法：1.结合几何意义记住零点存在定理、中值定理、泰勒公式、极限存在的两个准则等基本原理，包括条件及结论。知道基本原理是证明的基础，知道的程度(即就是对定理理解的深入程度)不同会导致不同的推理能力。如2006年数学一真题第16题(1)是证明极限的 存在性并求极限。只要证

18、明了极限存在，求值是很容易的，但是如果没有证明第一步，即使求出了极限值也是不能得分的。因为数学推理是环环相扣的，如果第一步未得到结论，那么第二步就是空中楼阁。这个题目非常简单，只用了极限存在的两个准则之一：单调有界数列必有极限。只要知道这个准则，该问题就能轻松解决，因为对于该题中的数列来说，“单调性”与“有界性”都是很好验证的。像这样直接可以利用基本原理的证明题并不是很多，更多的是要用到第二步。2.借助几何意义寻求证明思路。一个证明题，大多时候是能用其几何意义来正确解释的，当然最为基础的是要正确理解题目文字的含义。如2007年数学一第19题是一个关于中值定理的证明题，可以在直角坐标系中画出满足

19、题设条件的函数草图，再联系结论能够发现：两个函数除两个端点外还有一个函数值相等的点，那就是两个函数分别取最大值的点(正确审题：两个函数取得最大值的点不一定是同一个点)之间的一个点。这样很容易想到辅助函数F(x)=f(x)-g(x)有三个零点，两次应用罗尔中值定理就能得到所证结论。再如2005年数学一第18题(1)是关于零点存在定理的证明题，只要在直角坐标系中结合所给条件作出函数y=f(x)及 y=1-x在0，1上的图形就立刻能看到两个函数图形有交点，这就是所证结论，重要的是写出推理过程。从图形也应该看到两函数在两个端点处大小关系恰好相反，也就是差函数在两个端点的值是异号的，零点存在定理保证了区

20、间内有零点，这就证得所需结果。如果第二步实在无法完满解决问题的话，转第三步。3.逆推法从结论出发寻求证明方法。如2004年第15题是不等式证明题，该题只要应用不等式证明的一般步骤就能解决问题：即从结论出发构造函数，利用函数的单调性推出结论。在判定函数的单调性时需借助导数符号与单调性之间的关系，正常情况只需一阶导的符号就可判断函数的单调性，非正常情况却出现的更多(这里所 举出的例子就属非正常情况)，这时需先用二阶导数的符号判定一阶导数的单调性，再用一阶导的符号判定原来函数的单调性，从而得所要证的结果。该题中可设 F(x)=ln*x-ln*a-4(x-a)/e*，其中eF(a)就是所要证的不等式。

21、对于那些经常使用如上方法的考生来说，利用三步走就能轻松收获数学证明的12分，但对于从心理上就不自信能解决证明题的考生来说，却常常轻易丢失12分，后一部分同学请按“证明三步走”来建立自信心，以阻止考试分数的白白流失。最后，李老师提醒大家：强化阶段大家应把复习过的知识系统化综合化，注意搞细搞透搞活，也可适当做几套模拟题。数学题目千变万化，有各种延伸或变式，考生们要在考试中取得好成绩，一定要脚踏实地地复习，华而不实靠押题碰运气是行不通的，多思多议，不断地总结经验与教训，做到融会贯通。最权威的考研数学解题技巧用最短的时间取得高分第一部分：单选题的基本解题方法1.推演法：从题设条件出发，按惯常思维运用有

22、关的概念、性质、定理等，经过直接的推理、演算，得出正确结论。适用对象：对于围绕基本概念设置的，或备选项为数值形式结果的或某种运算律形式或条件为某种运算形式的，常用推演法。个人观点：这种方法应该是最常用的，并且所有的题都能通过这种方法解出来，大家应该注重对基本概念和定理的记忆和运用。2.图示法：是指根据条件作出所研究问题的几何图形，然后借助几何图形的直观性，“看”出正确选项。适用对象：对于条件有明显的几何意义：如五性：对称性，奇偶性，周期性，凹凸性，单调性或平面图形面积，空间立体体积等，常用图示法。个人观点：相信大家一定很喜欢这种解题方法吧，画图直观，简便，但一定要注意图形的准确性，一点细微的概

23、念差错也许会导致图形的错误。3.赋值法：是指用满足条件的“特殊值”，包括数值、矩阵、函数以及几何图形，通过推理演算，得出正确选项。适用对象：对于条件中有对任意，必特征的题目，或选项为抽象的函数形式结果的，可用赋值法。个人观点：赋值法应该说是一种特殊的，而且最快速的方法，可惜适用范围比较狭窄，所以大家在用这种方法时，一定要注意使用条件，不要遇到什么题都赋特殊值。4.排除法：从题设条件出发，或利用推演法排错，或利用赋值法排错，从而得出正确结论。适用对象：理论性较强，选项较抽象，且不易证明的题目。个人观点：根据我的观察有些选择题，尤其是理论性的选择题，有些答案是相互矛盾的，也就是说二者之中必有一对，

24、所以建议大家遇到这种题时“聪明”一下。5.逆推法：将备选项依次代入题设条件的方法。适用对象：备选项为具体数值结果，且题干中含有合适的验证条件。个人观点：这种方法对于有些题还是比较好用的，缺点就是如果正确选项放在A还好，如果放在D，可能要浪费些时间了。第二部分:单选题1：只要遇到向量线性相关性问题，就要想到考查由其所构造的齐次线性方程组有无非零解，只要遇到某向量能否由一向量组线性表示问题，就要想到考查由其构造的非齐次方程组有无解。2：只要遇到无穷小比较或.0型未定式极限问题;或通项中含有“反对三指”函数关系的数项级数的敛散性问题，就要想到利用等价无穷小代换或皮亚诺型余项的泰勒公式求解。注：“反对

25、三指”：反三角函数，对数函数，三角函数，指数函数。个人说明：大家应该熟记基本函数的泰勒公式，一般展开到三阶的就可以了。此外特提供不常见的三个重要展开式：arcsinx=x+x3/3!+o(x3) 注：此公式后项无此规律!tanx=x+x3+o(x3) 注：此公式后项无此规律!arctanx=x-x3+o(x3)例：当x-0时，x-arcsinx是的_无穷小，根据arcsinx的泰勒公式，可以轻松得到为同阶不等价无穷小。求极限十法3：无穷比无穷型未定式极限值取决于分子，分母最高幂次无穷大项之比，0比0型未定式极限值取决于分子，分母最低阶无穷小项之比。4：只要遇到由积分上限函数确定的无穷小的阶的问

26、题，则想到： 积分上限变量与被积函数的无穷小因子可用等价无穷小代换之。 两个由积分上限函数确定的无穷小量，若其积分上限无穷小同阶，则其阶取决于被积函数无穷小的阶;若被积函数无穷小同阶或都不是无穷小，则其阶取决于积分上限无穷小的阶。5：由“你导我不导减去我导你不导”应想到“你我”做商的函数的导数的分子。注：你-f(x)，我-g(x)。“你导我不导减去我导你不导”即f(x)/g(x)的导数的分子!6：只要遇到积分区间关于原点对称的定积分问题，就要想到先考查被积函数或其代数和的每一部分是否具有奇偶性。7：只要遇到类似B=AC形式的条件问题，就要想到考查乘积因子中有无可逆矩阵，以此获得B与A或B与C的

27、秩的关系，进而讨论B与A或B与C的行(列)向量组的线性相关性的关系，或以B与A或B与C为系数矩阵的齐次线性方程组的解的关系。 越乘秩越小 灵活运用单位矩阵的方法：招之即来，挥之即去。8：只要遇到题干条件或备选项中有f(-x),-f(x),-f(-x)等，就要想到利用图形对称性求解。9：只要遇到对积分上限函数求导问题，就要想到被积函数中是否混杂着求导变量(显含或隐含)若显含时，即被积函数为求导变量函数与积分变量函数乘积(或代数和)若隐含时，则必须作第二类换元法，把求导变量从被积函数中“挖”出来，其出路只有两条：一是显含在被积函数中，二是跑到积分限上。10：只要遇到抽象矩阵求逆问题或矩阵方程问题，

28、就要想到利用AB=E，即若AB=E(A，B为方阵)，则A，B均可逆，且A的逆矩阵=B，B的逆矩阵=A。11：相关组加向量仍相关无关组减向量仍无关无关组加分量仍无关1.求极限请注意自变量趋向什么。我们知道：lim(x趋向0)sinx/x=1，但是当x趋向无穷limsinx/x=0，原因：无穷小量有界函数=无穷小量。这里：|sinx|0或(A0，当x取x0的去心x-x0 邻域时,f(x)0(或f(x)0，然而并不满足f(x)0(在x=0处)。介绍这个定理的作用：解一类题。请看：已知f(x)可导，且当x趋向0，limf(x)/|x|=1，判断f(x)是否存在极值点。 因为f(x)可导，那么f(x)必

29、连续，因为lim(x趋向0)f(x)/|x|=1这个极限存在且为1，那么我们得到结论：lim(x趋向0)f(x)=0，否则不会存在极限的，又因为f(x)连续，那么f(0)=0，令f(x)/|x|=g(x)，根据保号性，因为limg(x)=10，那么：g(x)0，那么由于|x|在x趋向0时0，所以f(x)0，而0=f(0)，所以f(x)f(0)，根据极小值的定义，x=0为f(x)的极小值点。 综上：已知limg(x)=a，a的正负已知，可以使用保号性。3.请注意当题目说：x趋向无穷时，那么题目包含两个意思：x趋向正无穷和x趋向负无穷。在含有ex，arctanx，等等类的题目时，请看清楚x趋向无穷

30、还是趋向正无穷或者是负无穷。补充：在含有绝对值的题目时，这点尤其重要，如果说x趋向无穷，那么在去|时，必须考虑|x|中x是趋向正无穷还是负无穷，当然题目不一定非要以绝对值出现，有些题会以(x2)出现。4.关于和差化积积化和差公式的记忆。8字口诀：同c异s，s异c同。前者用来记住积化和差，后者用来记住和差化积。举例：sinacosb=？因为它们的三角函数名异名，那么使用s，sinacosb=(1/2)(sin(a+b)+sin(a-b)，说明：1，纯粹个人记忆方法，接受不了也正常；2，这个口诀的使用基于你知道=右边的基础轮廓，比如所有的积化和差，右边是1/2()(或者-)()；3，实在不会，死记

31、硬背吧，或者请教别的大神。5.关于极值点的3种判别法：法一：定义法；法二：若f(x)可导，f(xo)=0，且f(x)不为0，则f(x)在xo处取得极值，若二阶导0，极小，反之，极大；若n为奇数，n阶导不等于0，则(xo，f(xo)为拐点，xo不是极值点。证明：略6.参数方程二阶导问题(无数不懂事的孩子搞不清楚)，我们说一般地，y表示对x的二阶导数，不是对参数t的二阶导数。y=d2y/dx2=d(dy/dx)/dx，对于求dy/dx，我们采用求关于t的y(t)，和关于t的x(t)，因为dy/dx=(dy/dt)(dt/dx)=y(t)/x(t)。举例：已知y=cost，x=t2，那么求dy/dx

32、，d2y/dx2。标准解答：1：y(t)=-sint，x(t)=2t，所以dy/dx=-sint/2t；2：d2y/dx2=d(dy/dx)/dx=d(-sint)/2t/dt * (dt/dx)=(-tcost+sint)/(4t3) 综上：二阶导是一个整体记号，不是简单的除法。7.等价无穷小只能使用于乘除(题外：其实它可以使用于加减的，这里不说，以防混淆)。比如：初学者可能会认为这个极限为0，lim(x趋向0)(tanx-sinx)/x3=0计算思路：(x-x)/x3=0，事实上它等于1/2.原因：提取tanx后等价无穷小。等价无穷小必须自己去背的，没有人可以帮你。8.对隐函数求导的问题很

33、多同学搞不清楚。错误一：把变量当做常量。比如：y=xx，标准解答lny=xlnx，两边对x求导，y/y=1+lnx，所以y=(xx)(1+lnx)。错误做法：y=xx，y=x(x(x-1)=xx。(但愿你们找到了错误在哪)，错误二：搞不清楚对x求导是什么意思。当然：y=x2求导大家都会吧，y=2x，当出现对y2=x2，很多同学就迷茫了，我们说y是x的函数，所以最后必须乘y，对y2=x2求导，得到：2yy=2x.再则：对隐函数求导我们把其中一个看成常量，比如y=yx+x2，那么求导：y=y+yx+2x。综上：对隐函数求导，若是单独y，求导为y，一切关于y的函数(比如y2，lny，ay等)，先对这

34、个函数求导再乘y.9.函数在某点可导的本质仅仅是该点的问题，与它的邻域无关，也就是说点可导，在中心点的去心邻域内的点未必可导。比如函数f(x)=0 当x是有理数。f(x)=x2 当 x是无理数。只在x=0处点连续，并可导。按定义可验证在x=0处导数为0.10.无穷小有界=无穷小，但是：无穷大有界未必等于无穷大。正确结论：无穷大有界=未知，比如：当x趋向正无穷，x，x2始终为无穷大，而1/x，1/x2为有界量。 注意到：x*(1/x2)=1/x就是一个无穷小,而x2*(1/x)=x却是无穷大,而x*(1/x)=1却是有限的。11.可导与连续是完全不一样的。有些同学看到题目说某个分段函数在某点xo

35、连续，特别开心，他说易得：左导=右导=f(xo)，你太天真了。其实：连续是说左极限=右极限=f(xo)，可导是：lim(x-xo)f(x)=f(xo)，且左导=右导。请搞清楚你要处理的问题。不要学了一个学期都是云里雾里，当然一学期没上过一节课的同学，除外。补充：在一元函数微分学中，可导必然连续，连续未必可导(这个显然嘛，y=|x|在x=0处连续但是不可导)。12.很多初学者认为：(a到x)f(t)dt中，变量是t，这是错的，你忽略了变限积分的来历，自己去回顾一下变限积分的来历是大有裨益的。记住：这里x是变量，它求导=f(x)。13.还有人问为什么高等数学中分母可以为0，他说比如0/0不是以0为

36、分母，他的错误在于没有搞清楚我们所说的0不是真正的初等数学中的数字0，它表示极限0，由于极限等于0，我们习惯称为0/0形式。也就是说：若没有lim这个符号，0/0没有意义。事实上：再比如：货真价实的数字1，1无穷 =1，若是(极限1)无穷，则结果待定。高等数学中由于极限的四则运算包括幂指数运算无法解决形如：0/0，1无穷，无穷/无穷，等等7类运算。为此，产生了7种特殊的式子：不定式。由于结果不确定，所以称之为不定式。综上：我们现在学的是高等数学，几乎所有问题都是放在极限这个概念下讨论，但是你不能抛弃原有的初等数学知识理论，并且注意区分。14.求数列极限不可直接使用洛必达，数列是整标函数，每个孤

37、立点不连续，不可导，故不符合洛必达的条件1，为此：正确做法：先令n为x，再使用洛必达，最后换为n.15. 无穷大的倒数是无穷小，无穷小的倒数是无穷大但是请注意：这里的无穷小除去了0。16.x趋向0，limsinx/x=1不可以使用洛必达法则证明，原因：(sinx)=cosx这个公式的证明使用了limsinx/x=1，所以犯了循环论证的错误17.关于洛必达法则的运用条件绝非0/0，无穷/无穷那么简单。洛必达的3个条件： （1）xa时， lim f(x)=0,lim F(x)=0;（2）在点a的某 去心邻域 内f(x）与F(x）都可导，且F(x）的 导数 不等于0;（3） xa时， lim( f(

38、x)/F(x) ）存在或为 无穷大则 xa时，lim( f(x) / F(x)=lim( f(x)/F(x) ) ，请注意：1，第三点很容易被忽略，一般地：含有lim(x趋向无穷)sinx，或者cosx，是不会采用洛必达的；2，在解含有抽象函数f(x)时尤其注意第二点，在求最后一步导时我们使用的是导数定义，也就是你不能不停地洛必达直到把它洛出来，因为你不确定它最后一步时是否满足第二个条件，所以每次做含有抽象函数的题使用洛必达最后一步使用导数定义！3，单侧极限对于第二点的要求只是去心邻域内单侧可导。(如果你不注意以上这些，虽然在平常考试时有些老师不在意，但是如果你考研的话是会扣一半分以上的)18

39、.一般地：我们有以下结论：lim(x趋向xo)f(x)=a，则必然有lim(x趋向xo)|f(x)|=|a|。注意：若a不为0，上述结论的逆命题未必成立大多是不成立的，若a=0，上述结论逆命题仍然成立！19.并不是所有二元函数极限都可以使用极坐标求解尽管极坐标是一个好方法。在使用极坐标时，应该同时注意到：和的任意性。比如：(x，y)趋向(0，0)，求lim(xy)/(x y)，容易证明该极限不存在(一条路径：y=x，另一条：y=x2-x)，倘若使用极坐标，则得：lim(cossin)/(cossin)，此时有分母出现0的可能(取=45度)，因此不确定该极限是否存在，本法失效，或者说：你无法证明

40、(cossin)/(cossin)有界。综上：倘若使用极坐标，须同时考虑，的任意性，不可盲目使用。20. 注意仅当y=f(x)时有：y=f(x)。若y=f()，不等于x时，y不等于f()。比如：y=f(x2)，y=f(x2)2x，而不是等于f(x2)。下面说明f()和f()的区别：f()表示已知f(x)的表达式，并且把当做x代入，这个过程是代值过程；而f()的意思是求导，至于对谁求导，则根据确定。注意：仅当=x时，f()=f()，即：f(x)=f(x)，其他情况没有这个式子。综上：f()=f()。21.一元函数中说f(x)连续可导不是指f(x)既连续又可导，“连续可导”意思是说f(x)的导函数

41、连续。ps：f(x)的导函数连续当然有f(x)既可导又连续，反之不然。22.还有多少人不会三角函数中辅助角的两个公式：asinx+bcosx=(a2+b2)sin(x+u)，其中u=arctan(b/a)，强制要求a0；asinx+bcosx=(a2+b2)cos(x+u)，其中u=arctan(-a/b)，强制要求b0。 ps：为什么要强制要求？以第一个为例，第二个同理原因在于：我们既然采用了用u=arctanb/a来确定u的值，好处在于u在-派/2，派/2上是一一对应的(因为y=tanx在该范围内单调)，事实上，u的范围就是-派/2，派/2，由此我们再来看给出的公式：asinx+bcosx

42、=(a2+b2)sin(x+u)，将右边展开得：(a2+b2)cosusinx+(a2+b2)sinucosx，根据待定系数原则可得：cosu=a/(a2+b2)，倘若我们不控制a0，比如取a0的话，那么cosu下限。 解答问题1：首先为了满足单值，不可以取一个形如派，5派/2的区间去对应原来的0，a尽管相对于x尽管相对x=asint来说不存在任何问题，但是你忽略了定积分换元的条件单值，在此区间派，5派/2内x=asint不是单值的意思是：令x=k，解得t不唯一。所以不能取一个区间不满足单值的。比如：你取一个0，派/2这样的就是合适的，当然你取派，派/2这个也是对的，为什么请看证明？我们无疑地知道I=0，aa2-x2dx=派a2/4用面积显然，下面通过计算来说明为什么取t属于派，派/2也是正确的。I=0，aa2-x2dx=派到(派/2)a|cost|costdt。说明：这里开根号注意是绝对值，由于此t的范围是派，派/2，所以cost0，去绝对值时请注意这点，下面再用降幂公式易证答案正确。 ps：你取任何一个单值区间满足题意都是正确的 。只不过计算过程的问题。 解答问题2：事实问题1证明在换元时可以上限025.收敛级数加括号仍然收敛