河海大学弹性力学徐芝纶版-第六章ppt课件.ppt
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1、第六章 用有限单元法解平面问题在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确第五节第五节 单元的结点力列阵与劲度矩阵单元的结点力列阵与劲度矩阵第四节第四节 单元的应变列阵和应力列阵单元的应变列阵和应力列阵 第三节第三节 单元的位移模式与解答的收敛性单元的位移模式与解答的收敛性第二节第二节 有限单元法的概念有限单元法的概念第一节第一节 基本量及基本方程的矩阵表示基本量及基本方程的矩阵表示概述概述第六节第六节 荷载向结点移置荷载向结点移置 单元的结点荷载列阵单元的结点荷载列阵第六章 用有限单元法解平面问题在整堂课的教学中,刘教师总是让学
2、生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确例题例题第十一节第十一节 应用变分原理导出有限单元法的基本方程应用变分原理导出有限单元法的基本方程第十节第十节 计算实例计算实例第九节第九节 计算成果的整理计算成果的整理第八节第八节 解题的具体步骤解题的具体步骤 单元的划分单元的划分第七节第七节 结构的整体分析结点平衡方程组结构的整体分析结点平衡方程组第六章 用有限单元法解平面问题在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确 对工程问题,力学研究涉及到对工程问题,力学研究涉及到工程简化工程简化、物理模型物
3、理模型和和力学分析力学分析,而解决力学问题的三大支柱为,而解决力学问题的三大支柱为实验手段实验手段,理论理论分析分析和和计算手段计算手段。用计算手段解决力学问题(用计算手段解决力学问题(计算力学)计算力学)是是计算机科学、计算数学和力学学科计算机科学、计算数学和力学学科交叉、交叉、相互渗透的产物。相互渗透的产物。一般认为计算力学始于一般认为计算力学始于有限元方法的出现有限元方法的出现。数值计算方法是计算力学的核心内容数值计算方法是计算力学的核心内容,它是解决工程实,它是解决工程实际力学问题的有效手段,已被学术界和工程界广泛认可作为际力学问题的有效手段,已被学术界和工程界广泛认可作为一种力学状态
4、的分析工具。近几十年来数值方法发展迅速,一种力学状态的分析工具。近几十年来数值方法发展迅速,相继出现了:相继出现了:第六章 用有限单元法解平面问题在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确变分法(变分法(Variational Method)有限差分法(有限差分法(Finite Difference Method,FDM)有限元法(有限元法(Finite Element Method,FEM)边界元法(边界元法(Boundary Element Method,BEM)无限元法(无限元法(Infinite Element Meth
5、od,IEM)刚体弹簧模型或刚性有限元法(刚体弹簧模型或刚性有限元法(Rigid-Spring Model RBSM)界面应力元模型(界面应力元模型(Interface Stress Element Model,ISEM)离散元法(离散元法(Distinct Element Method,DEM)关键块理论(关键块理论(Key Block Theory,KBT)非连续变形分析非连续变形分析(Discontinuous Deformation Analysis,DDA)无单元法(无单元法(Meshless Element Free Method)流形方法(流形方法(Manifold Method
6、,MM)广义有限元法(广义有限元法(Generalized Finite Element Method,GFEM)混合数值方法(混合数值方法(Mixed Numerical Method)现有的数值分析方法现有的数值分析方法第六章 用有限单元法解平面问题在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确第六章第六章 用有限单元法解平面问题用有限单元法解平面问题1.有限元法有限元法(Finite Element Method-FEM)FEM2.FEM的特点的特点 概述概述(1 1)具有)具有通用性和灵活性通用性和灵活性。首先将连续体变换为
7、离散化结构,然后再利用首先将连续体变换为离散化结构,然后再利用分片插值技术分片插值技术与与虚功原理虚功原理或变分方法进行求解。或变分方法进行求解。简称简称FEM,是弹性力学的一种是弹性力学的一种近似解法。近似解法。第六章 用有限单元法解平面问题在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确简史3.FEM简史简史 (2 2)对同一类问题,可以编制出)对同一类问题,可以编制出通用程序通用程序,应用计算机进行计算。应用计算机进行计算。(3 3)只要适当加密网格,就可以达到工程)只要适当加密网格,就可以达到工程要求的精度。要求的精度。194
8、3 1943年柯朗年柯朗(德国著名数学家德国著名数学家)第一次提出第一次提出了了FEMFEM的概念。的概念。FEM FEM是上世纪中期才出现,并得到迅速发展是上世纪中期才出现,并得到迅速发展和广泛应用的一种数值解法。和广泛应用的一种数值解法。第六章 用有限单元法解平面问题在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确 1970 1970年后,年后,FEMFEM被引入我国,并很快地得到应用被引入我国,并很快地得到应用和发展。和发展。简史 1956 1956年,特纳等人提出了年,特纳等人提出了FEMFEM。2020世纪世纪5050年代,
9、平面问题的年代,平面问题的FEMFEM建立,并应用建立,并应用于工程问题。于工程问题。1960 1960年提出了年提出了FEMFEM的名称。的名称。20 20世纪世纪6060年代后,年代后,FEMFEM应用于各种力学问题和应用于各种力学问题和非线性问题,并得到迅速发展。非线性问题,并得到迅速发展。第六章 用有限单元法解平面问题在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确导出方法5.5.本章介绍平面问题的本章介绍平面问题的FEMFEM4.FEMFEM的主要导出方法的主要导出方法 应用应用静力方法静力方法或变分方法导出。或变分方法导出
10、。仅叙述按位移求解的方法。仅叙述按位移求解的方法。且一般都以平面应力问题来表示。且一般都以平面应力问题来表示。第六章 用有限单元法解平面问题在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确6-1 基本量和基本方程的基本量和基本方程的 矩阵表示矩阵表示 本章无特别指明,均表示为本章无特别指明,均表示为平面应力平面应力问题问题的公式。的公式。采用采用矩阵表示矩阵表示,可使公式统一、简洁,可使公式统一、简洁,且便于编制程序。且便于编制程序。第六章 用有限单元法解平面问题在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的
11、梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确基本物理量基本物理量:体力体力:基本物理量位移函数位移函数:应变应变:应力应力:结点位移列阵结点位移列阵:结点力列阵结点力列阵:面力面力:第六章 用有限单元法解平面问题在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确 物理方程物理方程:FEM中应用的方程:中应用的方程:几何方程几何方程:应用的方程其中其中D D为弹性矩阵,对于平面应力问题是为弹性矩阵,对于平面应力问题是:第六章 用有限单元法解平面问题在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题
12、也很明确 -结点虚位移结点虚位移;-对应的虚应变。对应的虚应变。应用的方程ij虚功方程虚功方程:其中其中:在在FEMFEM中,用结点的平衡方程代替平衡中,用结点的平衡方程代替平衡微分方程,后者不再列出。微分方程,后者不再列出。第六章 用有限单元法解平面问题在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确 3 3.整体分析整体分析。6-2 6-2 有限单元法的概念有限单元法的概念 FEMFEM的概念,可以简述为:的概念,可以简述为:采用有限自由度采用有限自由度的离散单元组合体模型去描述实际具有无限自由的离散单元组合体模型去描述实际具有无
13、限自由度的考察体,是一种在力学模型上进行近似的数度的考察体,是一种在力学模型上进行近似的数值计算方法。值计算方法。其理论基础是其理论基础是分片插值技术分片插值技术与与虚功原理虚功原理或变分原理。或变分原理。FEM的概念1.1.将连续体变换为离散化结构;将连续体变换为离散化结构;2.2.单元分析;单元分析;FEMFEM的分析过程:的分析过程:第六章 用有限单元法解平面问题在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确 结构力学研究的对象结构力学研究的对象是是离散化结构离散化结构。如桁架,。如桁架,各单元(杆件)之间除结点铰结外,没有其
14、他联各单元(杆件)之间除结点铰结外,没有其他联系(图(系(图(a a)。)。结构离散化1.结构离散化结构离散化将连续体变换为离散化结构将连续体变换为离散化结构第六章 用有限单元法解平面问题在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确 将连续体变换为离散化结构将连续体变换为离散化结构:即将连续体划分即将连续体划分为有限多个、有限大小的单元,并使这些单元仅为有限多个、有限大小的单元,并使这些单元仅在一些结点处用绞连结起来,构成所谓在一些结点处用绞连结起来,构成所谓离散化离散化结构结构。结构离散化弹力研究的对象弹力研究的对象,是,是连续
15、体连续体(图(图(b b))。第六章 用有限单元法解平面问题在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确 图图(c)与图与图(a)相比,两者都是离散化结构;相比,两者都是离散化结构;区别是,桁架的单元是杆件,而图区别是,桁架的单元是杆件,而图(c)的单元的单元是三角形块体(注意:是三角形块体(注意:三角形单元内部仍是连续三角形单元内部仍是连续体体)。)。结构离散化例如例如:将深梁划分为许多三角形单元,这些单元将深梁划分为许多三角形单元,这些单元仅在角点用仅在角点用铰铰连接起来。连接起来。第六章 用有限单元法解平面问题在整堂课的教学
16、中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确2.2.单元分析单元分析 求解方法 每个三角形单元仍然假定为每个三角形单元仍然假定为连续的、均匀的、连续的、均匀的、各向同性的完全弹性体各向同性的完全弹性体。因单元内。因单元内部仍是连续体,部仍是连续体,应按弹性力学方法进行分析。应按弹性力学方法进行分析。取各结点位移取各结点位移 为基本未为基本未知量知量。然后对每个单元。然后对每个单元,分别求出各物理量分别求出各物理量,并均用并均用 来表示。来表示。第六章 用有限单元法解平面问题在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的
17、梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确(1)应用插值公式应用插值公式,由单元结点位移由单元结点位移 ,求单元的位移函数,求单元的位移函数求解方法这个插值公式称为单元的这个插值公式称为单元的位移模式位移模式,为:,为:单元分析的主要内容:单元分析的主要内容:第六章 用有限单元法解平面问题在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确(4 4)应用虚功方程,由单元的应力)应用虚功方程,由单元的应力 ,求出求出单元的结点力单元的结点力,表示为,表示为(3 3)应用物理方程,由单元的应变)应用物理方程,由单元的应变 ,求出求出单元的应力单元的
18、应力,表示为,表示为(2 2)应用几何方程,由单元的位移函数)应用几何方程,由单元的位移函数d d,求出求出单元的应变单元的应变,表示为,表示为求解方法第六章 用有限单元法解平面问题在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确单元对结点的单元对结点的作用力,与作用力,与 数数值相同值相同,方向相反,方向相反,作用于结点。作用于结点。-结点对单元的作用力,作用结点对单元的作用力,作用 于单元,称为于单元,称为结点力结点力,以,以正标向为正正标向为正。求解方法第六章 用有限单元法解平面问题在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学
19、习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确(5 5)将每一单元中的各种外荷载,按)将每一单元中的各种外荷载,按虚功虚功 等效原则等效原则移置到结点上,化为移置到结点上,化为结点荷结点荷 载载,表示为,表示为 求解方法第六章 用有限单元法解平面问题在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确 为已知值为已知值,是用结点位移表示的值。是用结点位移表示的值。通过求解联立方程,得出各结点位移值,从而求通过求解联立方程,得出各结点位移值,从而求出各单元的应变和应力。出各单元的应变和应力。各单元移置到各单元移置到i i 结
20、点上的结点荷载结点上的结点荷载 其中其中 表示对围绕表示对围绕i i 结点的单元求和;结点的单元求和;求解方法3.3.整体分析整体分析各单元对各单元对i i 结点的结点力结点的结点力作用于结点作用于结点i i上的力有:上的力有:第六章 用有限单元法解平面问题在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确求解方法 3.3.整体分析整体分析 2.2.对单元进行分析对单元进行分析 1.1.将连续体变换为离散化结构将连续体变换为离散化结构归纳起来,归纳起来,FEMFEM分析的主要步骤分析的主要步骤:(1 1)单元的位移模式)单元的位移模式(
21、2 2)单元的应变列阵)单元的应变列阵(4 4)单元的结点力列阵单元的结点力列阵(5 5)单元的等效结点荷载列阵)单元的等效结点荷载列阵建立结点平衡方程组,求解各结点的位移。建立结点平衡方程组,求解各结点的位移。(3 3)单元的应力列阵)单元的应力列阵第六章 用有限单元法解平面问题在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确思考题 1.1.桁架的单元为杆件,而平面体的单元为三角形桁架的单元为杆件,而平面体的单元为三角形块体,在三角形内仍是作为连续体来分析的。块体,在三角形内仍是作为连续体来分析的。前者可用结构力学方法求解,后者只能
22、用弹性前者可用结构力学方法求解,后者只能用弹性力学方法求解,为什么?力学方法求解,为什么?2.2.在平面问题中,是否也可以考虑其它的单在平面问题中,是否也可以考虑其它的单 元形状,如四边形单元?元形状,如四边形单元?第六章 用有限单元法解平面问题在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确应用插值公式,可由应用插值公式,可由 求出位移求出位移 。首先必须解决:首先必须解决:由由单元的结点位移单元的结点位移来求出单元的位移函数来求出单元的位移函数 FEMFEM是取结点位移是取结点位移 为基本未知数。为基本未知数。这个插值公式表示了单
23、元中位移的分布形式,这个插值公式表示了单元中位移的分布形式,因此称为因此称为位移模式位移模式。6-3 单元的位移模式与单元的位移模式与 解答的收敛性解答的收敛性 位移模式第六章 用有限单元法解平面问题在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确 插值公式(插值公式(a a)在结点在结点 应等于结应等于结点位移值点位移值 。由此可求出。由此可求出 泰勒级数展开式中,低次幂项是最重要的。所泰勒级数展开式中,低次幂项是最重要的。所以以三角形单元的位移模式三角形单元的位移模式,可取为:,可取为:三角形单元(a a)第六章 用有限单元法解平
24、面问题在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确将式(将式(a a)按未知数按未知数 归纳为归纳为:其中其中 包含包含 三角形单元或用矩阵表示为或用矩阵表示为:(b b)第六章 用有限单元法解平面问题在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确N 称为形(态)函数矩阵。称为形(态)函数矩阵。三角形单元(c c)第六章 用有限单元法解平面问题在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确 A A为三角形为三
25、角形 的面积(图示坐标系中,的面积(图示坐标系中,按逆时针编号),有:按逆时针编号),有:其中其中:三角形单元第六章 用有限单元法解平面问题在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确 三结点三角形单元的位移模式,略去了三结点三角形单元的位移模式,略去了2 2次以次以上的项,因而其上的项,因而其误差量级是误差量级是 且其中只包含且其中只包含了了 的的1 1次项,所以在单元中次项,所以在单元中 的分布如图的分布如图(a a)所示,所示,的分布如图(的分布如图(b b)、()、(c c)所示。所示。三角形单元(a)(b)(c)1第六章
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