《高等数学》空间向量与空间解析几何ppt课件.ppt

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1、第7章 向量代数与空间解析几何 知识目标u了解二次曲面的标准方程；u理解空间直角坐标系、向量的概念；u会判断平面与平面、直线与直线以及直线与平面间的关系；u掌握向量的线性运算、向量平行和垂直的条件、几种常见的曲面方程；u熟练掌握两点间的距离公式、平面与直线的各种方程.能力目标 通过几何问题代数化，培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力和空间想象能力.德育目标德育目标借助数形结合的思想，将研究问题的借助数形结合的思想，将研究问题的不同方法进行联结，提高学生的综合不同方法进行联结，提高学生的综合素质与人文素养素质与人文素养.7.1 空间向量及其线性运算 了了解解空空间间向向量量的的概概念念,掌掌握握

2、空空间间向向量量的的基基本本定定理理及及其其意意义义,建建立立空空间间直直角角坐坐标标系系，以以向向量量为为工工具具,利利用用空空间间向向量量的的坐坐标标和和相相关关运运算算解解决决空间中的几何问题空间中的几何问题.7.1.1 空间直角坐标系 通通常常把把x x 轴轴和和y y 轴轴配配置置在在水水平平面面上上,而而z z 轴轴则则是是铅铅垂垂线线.它它们们的的正正向向通通常常符符合合右右手手法法则则,即即以以右右手手握握住住z z 轴轴,当当右右手手的的四四个个手手指指从从正正向向x x 轴轴以以9090度度转转向向正向正向y y 轴时轴时,大拇指的指向就是大拇指的指向就是z z 轴的正方向

3、轴的正方向.过空间一个定点O O,作三条相互垂直的数轴,它们都以O O 为原点且一般具有相同的长度单位,这三条轴分别叫做x 轴(横轴)、y 轴(纵轴)、z 轴(竖轴),统称坐标轴坐标轴.这样的三条坐标轴就构成了一个空间直角坐标系O Oxyz,点O O 叫做坐标原点坐标原点(或原点原点).这这些些坐坐标标面面把把空空间间分分成成八八个个部部分分,每每一一个个部部分分称称为为一一个个卦限.x x、y y、z z 轴轴的的正正半半轴轴的的卦卦限限称称为为第第I I卦卦限限.在在x xOy y面面的的上上方方,从从第第I I卦卦限限开开始始，按按逆逆时时针针方方向向先先后后出出现现的的卦卦限限依依次次

4、称称为为第第、卦卦限限;第第、卦卦限限下下面面的的空空间间部部分分依次称为第依次称为第、卦限卦限.每两个坐标轴确定的平面称为坐标平面,简称为坐标面坐标面.x 轴与y 轴所确定的坐标面称为xO Oy面,类似地,有yO Oz面,zO Ox面.八封限八封限八封限八封限1.1.在在空空间间直直角角坐坐标标系系中中，指指出出下下列列各各点点在在哪哪个个封封限限？A（1 1，-2-2，3 3）B（2 2，3 3，-4-4）C（2 2，-3-3，4 4）D（-2-2，-2-2，1 1）练练练练 习习习习2.在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置.A（3，4，0）B（0，4，3）C（3

5、，0，0）D（0，-1，0）空间中的任意一点P 与唯一一组有序数组x、y、z之间建立起一一对应的关系.点坐标点坐标点坐标点坐标xyOxyzOPABC这组数就叫做点P 的坐标坐标，并依次称x、y、z为点P 的横坐标、纵坐标和竖坐标,记为P(x,y,z).xyz(x,y,z)两点间距离两点间距离两点间距离两点间距离（M1PQ都是直角三角形）是直角三角形）任取空间两点任取空间两点 M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2),它们之间的距离为它们之间的距离为d=|M1M2|.过点过点 M1、M2 各作三个平面分别垂直各作三个平面分别垂直于三个坐标轴于三个坐标轴,形成如图的长方体形成如图的长方体

6、.（M1QM2 是直角三角形）是直角三角形）zOxyx1y1z1M1M2()PQz2y2x2两点间距离公式：两点间距离公式：特别地，点特别地，点 M(x,y,z)与原点与原点O(0,0,0)的距离：的距离：2.2.在在y y轴上找一点，使它与点轴上找一点，使它与点A（3 3，1 1，0 0）和点）和点 B（-2-2，4 4，1 1）的距离相等）的距离相等.练练练练 习习习习1.利用两点间距离公式求下列两点间距离.（1）A（3，4，0）B（0，4，3）（2）C（3，0，0）D（0，-1，0）7.1.2 7.1.2 向量的概念向量的概念定义定义7.1 7.1 既有大小又有方向的量称为向量向量(或矢

7、量矢量););向量的大小称为向量的模模.代数法代数法表表达达方方式式几何法几何法用始点为A 终点为B 的有向线段 表示AB图示图示用带有箭头的小写字母 表示或用黑体字母 表示.(或 )记作向量向量的模向量的模(或 )(注：注：模长是标量)两个基本向量两个基本向量两个基本向量两个基本向量模长为零的向量.模长为1的向量.(方向是任意的)零向量零向量单位向量单位向量记作记作(方向未做规定)向量的三种关系向量的三种关系向量的三种关系向量的三种关系模长相等,方向相反的向量.相反向量相反向量记作模长相等,方向相同的两个向量.相等向量相等向量记作向量可以在空间中任意平移.注注与始点、终点位置无关；图示图示图

8、示图示注注卡盟排行榜卡盟 Microsoft Office PowerPoint，是微软公司的演示文稿软件。用户可以在投影仪或者计算机上进行演示，也可以将演示文稿打印出来，制作成胶片，以便应用到更广泛的领域中。利用Microsoft Office PowerPoint不仅可以创建演示文稿，还可以在互联网上召开面对面会议、远程会议或在网上给观众展示演示文稿。Microsoft Office PowerPoint做出来的东西叫演示文稿，其格式后缀名为：ppt、pptx；或者也可以保存为：pdf、图片格式等方向相同或相反的非零向量.平行向量平行向量记作平行向量又可称作共线向量.注注零向量与任何向量都

9、平行.图示图示7.1.3 7.1.3 向量的线性运算向量的线性运算向向量量的的加加法法运运算算向向量量的的减减法法运运算算向向量量的的数数乘乘运运算算向量的线性运算向量的线性运算三角形法则三角形法则运运算算法法则则平等四边行法则平等四边行法则AB图示图示图示图示加法运算加法运算加法运算加法运算CDABACC CA三角形法则三角形法则运运算算法法则则平等四边行法则平等四边行法则AB图示图示图示图示减法运算减法运算减法运算减法运算CDABCCBDB数乘运算数乘运算数乘运算数乘运算注 数乘运算后的结果仍是一个向量.记作一个向量 与一个实数 的乘积.定理定理 向量 与向量 平行(或共线)的充要条件是：

10、存在不全为零的实数 和 ,使得 .若有 成立,则称向量 为原向量 同方向的单位向量单位向量.例例例例 题题题题已知求：.解：解：向量的坐标向量的坐标向量的坐标向量的坐标在空间直角坐标系Oxyz中，取与Ox轴、Oy轴、Oz轴同向的单位向量 .则称为向量向量 的分解式的分解式；称为向量的坐向量的坐标式标式.向量线性运算规律向量线性运算规律向量线性运算规律向量线性运算规律坐标式坐标式分解式分解式(为常数)(为常数)练练练练 习习习习1.已知两点M1(0，1，2)和M2(1，-1，0),试用坐标式来表示向量 与 .2.已知 与 ,求向量 与 的坐标.7.2 向量的数量积与向量积 掌掌握握向向量量的的数

11、数量量积积和和向向量量积积的的定定义义，能能够够灵灵活活运运用用运运算算规规律律，并并熟熟训训练练使使用用判判断断向向量量平平行行或或垂垂直直的条件的条件.7.2.1 向量的数量积引例引例 设一物体在常力F 作用下沿直线从点M1移动 到点M2,以S 表示位移 ,则力F 所做的功 为 ,其中 为F 与S 的夹角.M1M2FM1M2S特别地，特别地，时,称 与 垂直；垂直；记作：或时,称 与 平行平行或共线；共线；记作：定义定义 任意两个向量 ,的数量积数量积(或内积内积)是一个数量,记作 ,即 .定义定义 两个非零向量 与 ,它们的夹角 称为向向量量 与与 的夹角的夹角,记作 .定义法定义法坐标

12、法坐标法数量积的运算方法数量积的运算方法数量积的运算方法数量积的运算方法数量积的性质数量积的性质数量积的运算律数量积的运算律例例例例 题题题题解：解：向量夹角余弦公式向量夹角余弦公式向量夹角余弦公式向量夹角余弦公式7.2.2 向量的向量积FPOLQ向量积向量积向量积向量积右手系规则图示右手系规则图示向量积模的几何意义向量积模的几何意义分解式法分解式法坐标法坐标法向量积的运算方法向量积的运算方法向量积的运算方法向量积的运算方法例例例例 题题题题解：解：向量积的性质向量积的性质向量积的运算律向量积的运算律向量的混合积向量的混合积向量的混合积向量的混合积想一想想一想想一想想一想7.3 平面与直线 平

13、平面面和和直直线线是是几几何何学学中中最最基基本本的的研研究究对对象象,是是一一些些向向量量空空间间和和几几何何空空间间中中某某些些对对象象的的最最基基本本原原型型,同同时时它它们们也也是是几几何何分分析析中中“以以直直代代曲曲”的的最最基基本本元元素素.本本章章中中要要求求掌掌握握平平面面和和直直线线的的代代数数表表达达形形式式以以及及点点、线线、面面间间的的位位置关系置关系.7.3.1 平面的方程平面的法向量平面的法向量平面的点法式方程平面的点法式方程平面方程的表达式平面方程的表达式平面方程的表达式平面方程的表达式平面的一般式方程平面的一般式方程解：解：求过两点M1(2，-1，1)和M2(

14、3，-2，1),且平行于z轴的平面方程。例例例例 题题题题解：解：求过点M(1，-1，2),且与平面2x-y+3z+7=0平行的平面的一般方程。例例例例 题题题题7.3.2 7.3.2 直线方程直线方程直直线线的的点点向向式式和和参参数数方方程程直直线线方方程程的的一一般般式式直直线线方方程程的的两两点点式式三种表达形式三种表达形式M(x，y，z)LM0(x0，y0，z0)s=l，m，nM(x，y，z)M0(x0，y0，z0)直线的对称式方程直线的对称式方程（或向式方程）：（或向式方程）：直线的参数方程：直线的参数方程：直线的一般式方程直线的一般式方程 例题例题解：解：（两个相交平面的交线来表

15、示）直线的两点式方程直线的两点式方程 7.3.3 7.3.3 直线与平面的相互位置关系直线与平面的相互位置关系两两平平面面的的位位置置关关系系两两直直线线间间的的位位置置关关系系直直线线与与平平面面的的位位置置关关系系三三 种种 关关 系系两平面的位置关系两平面的位置关系两平面的位置关系两平面的位置关系三种位置关系相交、平行、重合两直线间的位置关系两直线间的位置关系两直线间的位置关系两直线间的位置关系两种位置关系异面、共面平行重合相交直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系三种位置关系相交、平行、直线在平面上例例 题题解：解：解：解：点到平面距离公式点到

16、平面距离公式直线与平面的夹角直线与平面的夹角例例 题题解：解：注注：上结论可作为公式应用上结论可作为公式应用.两个平面间夹角两个平面间夹角注注：可类似地定义两条直线之间的夹角可类似地定义两条直线之间的夹角.7.4 常见空间曲面 本本章章建建立立了了作作为为点点的的轨轨迹迹的的曲曲线线与与其其方方程程之之间间的的联联系系，把把研研究究曲曲线线与与曲曲面面的的几几何何问问题题，归归结结为为研研究究其其方方程程的的代代数数问问题题，从从而而用用代代数数的的方方法法对对一一些些曲曲线线与与曲曲面面进进行行研研究究创创造造了了条条件件.通通过过本本章章节节的的学学习习，将将逐逐步步培培养养学学生生的的空

17、空间间感感，加加强强运运用用代代数数与与几几何何相相结结合合的的方法分析问题和解决问题的能力方法分析问题和解决问题的能力.7.4.1 曲面的方程任何曲面都可看成是点的几何轨迹任何曲面都可看成是点的几何轨迹.注：注：一般地，三元方程 的图象都是空 间曲面.7.4.2 常见的二次曲面及其标准方程柱面柱面柱面柱面xzyoxzyoxzyo椭球面椭球面椭球面椭球面zxoy双曲面双曲面双曲面双曲面zxoy单叶双曲面单叶双曲面双曲面双曲面双曲面双曲面zxoy双叶双曲面双叶双曲面抛物面抛物面抛物面抛物面椭圆抛物面椭圆抛物面zxoy抛物面抛物面抛物面抛物面zxoy双曲抛物面双曲抛物面本章小结 本章主要从空间向量

18、入手，给出空间直角坐标系、向本章主要从空间向量入手，给出空间直角坐标系、向 量的概念、表示方法、线性运算及其数量积与向量积量的概念、表示方法、线性运算及其数量积与向量积 的运算的运算.进一步建立作为点的轨迹的曲线与其方程之间进一步建立作为点的轨迹的曲线与其方程之间 的联系，把研究曲线与曲面的几何问题，归结为研究的联系，把研究曲线与曲面的几何问题，归结为研究 其方程的代数问题，从而，用代数的方法对一些曲线其方程的代数问题，从而，用代数的方法对一些曲线 与曲面进行研究创造了条件与曲面进行研究创造了条件.本章重点是：本章重点是：1.1.运用坐标运用坐标 求向量的数量积、向量积、夹角、距离等线性运算；求向量的数量积、向量积、夹角、距离等线性运算；2.2.求平面与直线方程；求平面与直线方程；3.3.判断平面与平面、直线与平判断平面与平面、直线与平 面、直线与直线间的位置关系；面、直线与直线间的位置关系；4.4.判断空间各种曲面判断空间各种曲面 的形状的形状.本章难点是：本章难点是：1.1.求异面直线间的距离；求异面直线间的距离；2.2.常用常用 空间曲面的求法空间曲面的求法.