二次型与二次曲面ppt课件.ppt

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1、资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值 哈尔滨工业大学数学系哈尔滨工业大学数学系第第 八八 章章二次型二次型 与与 二次曲面二次曲面 资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值8.4 空间中的曲面和曲线空间中的曲面和曲线F(F(x x,y y,z z)=)=0 0两个基本问题两个基本问题两个基本问题两个基本问题:(1).(1).给出图形给出图形给出图形给出图形,建立方程建立方程建立方程建立方程 ;(2).(2).已知坐标满足的方

2、程已知坐标满足的方程已知坐标满足的方程已知坐标满足的方程,研究其表示的曲面图形研究其表示的曲面图形研究其表示的曲面图形研究其表示的曲面图形.1.1.球面球面已知球心已知球心已知球心已知球心MM0 0(x x0 0,y y0 0,z z0 0),半径半径半径半径r r,求球面求球面求球面求球面S S方程方程方程方程.M(M(x x,y y,z z)S)S|M|M0 0 M|=M|=r r,即即即即(x-xx-x0 0)2 2+(+(y-yy-y0 0)2 2+(+(z-zz-z0 0)2 2=r r2 2 展开展开展开展开:x x2 2+y y2 2+z z2 2-2 2x x0 0 x-x-2

3、 2y y0 0y-y-2 2z z0 0z z +x x0 02 2+y y0 02 2+z z0 02 2-r r2 2 =0 0 图形图形图形图形方程方程方程方程球面方程球面方程球面方程球面方程特点特点特点特点:(i)(i)三元二次方程三元二次方程三元二次方程三元二次方程;(ii)(ii)二次项二次项二次项二次项x x2 2、y y2 2、z z2 2系数相同系数相同系数相同系数相同;(iii)(iii)无混合二次项无混合二次项无混合二次项无混合二次项xyxy、yzyz、zxzx.反过来反过来反过来反过来,具备这三个条件的方程具备这三个条件的方程具备这三个条件的方程具备这三个条件的方程,

4、其图形是球面其图形是球面其图形是球面其图形是球面:A(A(x x2 2+y y2 2+z z2 2)+B+B x x+C+Cy y+D+Dz z +F+F =0 0(配方法配方法配方法配方法)(x-xx-x0 0)2 2+(+(y-yy-y0 0)2 2+(+(z-zz-z0 0)2 2=k k k k0 0 球面方程球面方程球面方程球面方程k k=0 =0 点点点点球面球面球面球面k k0 0 虚虚虚虚球面球面球面球面2.2.旋转曲面旋转曲面:平面曲线平面曲线平面曲线平面曲线C C(母线母线母线母线)绕同平面定直线绕同平面定直线绕同平面定直线绕同平面定直线L L(准线准线准线准线)旋转一周所

5、成的曲面叫做旋转曲面旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面.曲线曲线曲线曲线 C CCy zo绕绕 z 轴轴旋转一周得旋转一周得旋转曲面旋转曲面 SxCy zo.曲线曲线 C绕绕 z 轴轴旋转一周得旋转一周得旋转曲面旋转曲面 S2.2.旋转曲面旋转曲面:平面曲线平面曲线平面曲线平面曲线C C(母线母线母线母线)绕同平面定直线绕同平面定直线绕同平面定直线绕同平面定直线L L(准线准线准线准线)旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面.曲线曲线 C绕绕 z 轴轴旋转一

6、周得旋转一周得旋转曲面旋转曲面 SCSM(x,y,z)NPy zof(y1,z1)=0.xM(x,y,z)S2.2.旋转曲面旋转曲面:平面曲线平面曲线平面曲线平面曲线C C(母线母线母线母线)绕同平面定直线绕同平面定直线绕同平面定直线绕同平面定直线L L(准线准线准线准线)旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面.旋转曲面旋转曲面特点特点:母线母线 CC中轴坐标中轴坐标(z)不变不变,另一坐标另一坐标(y)变为除轴坐标外变为除轴坐标外两坐标的正负算术平方根两坐标的正负算术平方根.旋转曲面旋转曲面名称名称:与母线名称

7、对应与母线名称对应.绕绕x轴轴绕绕y轴轴(1)-旋转椭球面旋转椭球面反过来反过来,方程中若有两个变量以方程中若有两个变量以平方和形式平方和形式平方和形式平方和形式出现出现,这个方程的图形一般是旋转曲面这个方程的图形一般是旋转曲面.(2-1)双叶旋转双曲面双叶旋转双曲面双叶旋转双曲面双叶旋转双曲面x0y绕绕 x 轴一周轴一周x0zy.绕绕 x 轴一周轴一周(2-1)双叶旋转双曲面双叶旋转双曲面双叶旋转双曲面双叶旋转双曲面x0zy.绕绕 x 轴一周轴一周(2-1)双叶旋转双曲面双叶旋转双曲面双叶旋转双曲面双叶旋转双曲面(2-2)旋转单叶双曲面旋转单叶双曲面旋转单叶双曲面旋转单叶双曲面a双曲线双曲线

8、绕绕 y 轴一周轴一周xyo(2-2)旋转单叶双曲面旋转单叶双曲面旋转单叶双曲面旋转单叶双曲面az.绕绕 y 轴一周轴一周xyo双曲线双曲线(2-2)旋转单叶双曲面旋转单叶双曲面旋转单叶双曲面旋转单叶双曲面a.z.双曲线双曲线绕绕 y 轴一周轴一周xyo(3)旋转抛物面旋转抛物面旋转抛物面旋转抛物面yo抛物线抛物线绕绕 z 轴一周轴一周zyox.抛物线抛物线绕绕 z 轴一周轴一周z(3)旋转抛物面旋转抛物面旋转抛物面旋转抛物面y.oxz生活中见过这个曲面吗？生活中见过这个曲面吗？.抛物线抛物线绕绕 z 轴一周轴一周得旋转抛物面得旋转抛物面(3)旋转抛物面旋转抛物面旋转抛物面旋转抛物面绕y轴旋转

9、一周又如何?卫星接收装置卫星接收装置卫星接收装置卫星接收装置.(4)圆锥面圆锥面圆锥面圆锥面直线直线绕绕 x 轴一周轴一周x yo.直线直线绕绕 x 轴一周轴一周x yoz(4)圆锥面圆锥面圆锥面圆锥面x yoz.直线直线绕绕 x 轴一周轴一周得旋转锥面得旋转锥面.(4)圆锥面圆锥面圆锥面圆锥面3.3.柱面柱面:沿一条定曲线沿一条定曲线C(准线准线)平行移动的直线平行移动的直线L(母线母线)扫过的曲面叫做柱面扫过的曲面叫做柱面.xzy0母线母线f(x,y)=0z=0准线准线M(x,y,z)N(x,y,0)Sf(x,y)=0M(x,y,z)S(母线母线 z轴轴)柱面柱面特点特点:柱面柱面名称名称

10、:与母线名称对应与母线名称对应.含有两个变量的方程在空间表示柱面含有两个变量的方程在空间表示柱面.S:f(x,y)=0f(x,y)=0z=0C:(1)(1).椭圆柱面椭圆柱面椭圆柱面椭圆柱面zxyo当当 a=b 时时,为为圆柱面圆柱面圆柱面圆柱面:(z为母线为母线)(2)(2).双曲柱面双曲柱面双曲柱面双曲柱面zxy=0yo(3).(3).抛物柱面抛物柱面抛物柱面抛物柱面zxyo球面、旋转曲面、柱面球面、旋转曲面、柱面A(A(x x2 2+y y2 2+z z2 2)+B+B x x+C+Cy y+D+Dz z +F+F =0 0 x x2 2a a2 2y y2 2b b2 2z z2 2b

11、 b2 2+=1 1 1 1x x2 2a a2 2y y2 2a a2 2z z2 2b b2 2+-=1 1 1 1x x2 2a a2 2y y2 2b b2 2z z2 2b b2 2-=1 1 1 1x x2 2+y y2 2=2 2pzpzx x2 2+y y2 2=k k2 2 z z2 2x x2 2a a2 2y y2 2b b2 2+=1 1 1 1x x2 2a a2 2y y2 2b b2 2-=1 1 1 1y y2 2=2 2pxpx二二.空间曲线空间曲线:一般式方程一般式方程一般式方程一般式方程:F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0 参数式方程参数式方程参数式

12、方程参数式方程:x=x(t)y=y(t)z=z(t)t T如如:x2 +y2=1x+y+z=31.1.方程方程方程方程:P 同时同时,又在平行于又在平行于 z轴的方向轴的方向 等速地上升。等速地上升。其轨迹就是其轨迹就是 圆柱螺线。圆柱螺线。圆柱面圆柱面yz0 xa x=y=z=acos tbtM(x,y,z)asin ttM螺线从点螺线从点P Q当当 t 从从 0 2，叫螺距叫螺距N.Q（移动及转动都是（移动及转动都是 等速进行，所以等速进行，所以 z与与t t成正比。成正比。)点点P在圆柱面在圆柱面上等速地上等速地 绕绕z轴旋转；轴旋转；螺旋线螺旋线螺旋线螺旋线2.2.空间曲线空间曲线空间

13、曲线空间曲线C C在平面在平面在平面在平面 上的上的上的上的投影投影投影投影:以空间曲线以空间曲线以空间曲线以空间曲线C C为准线为准线为准线为准线,母线垂直于母线垂直于母线垂直于母线垂直于 的的的的柱面柱面柱面柱面与与与与 的的的的交线交线交线交线.F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0在在在在xO Oy面上的投影面上的投影面上的投影面上的投影:(1).(1).求求求求F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0(消去消去消去消去z)f(x,y)=0(柱面柱面)f(x,y)=0z=0(2).(2).x=x(t)y=y(t)z=z(t)在在在在xO Oy面上的投影为面上的投影为面上的投影为面上的

14、投影为x=x(t)y=y(t)z=0例例1 1:x2 +y2+z2=1x2 +y2-x=0求曲线求曲线求曲线求曲线C:C:在在在在xO Oy,zO Ox 坐标坐标面上的投影面上的投影面上的投影面上的投影.(z0),x2 +y2+z2=1x2 +y2-x=0解解:往往往往zO Ox 面上投影面上投影面上投影面上投影:(消去消去消去消去y)x2 +y2-x=0 在在在在xO Oy面上的投影为面上的投影为面上的投影为面上的投影为x2 +y2+z2=1x2 +y2-x=0z2 +x=1z=0y=0 1.解解yxzo得得交线交线L：由由图例图例z=0.1yxzo解解L.得得交线交线L：.投影柱面投影柱面

15、由由图例图例例例2 2:x=y=z=acos tbtasin t求螺旋线求螺旋线求螺旋线求螺旋线C:C:在在在在坐标坐标面上的投影面上的投影面上的投影面上的投影.往往往往xO Oy 面上投影面上投影面上投影面上投影:解解:x=y=z=acos t0asin t往往往往yO Oz 面上投影面上投影面上投影面上投影:y=z=x=asin tbt0往往往往zO Ox 面上投影面上投影面上投影面上投影:x=z=y=acos tbt0资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值8.5 二二 次次 曲曲 面面一一.二次方程的二

16、次方程的化简化简和和分类分类A Ax x2 2+B+By y2 2+C+Cz z2 2+2D+2Dxyxy+2E+2Eyzyz+2F+2Fzxzx+G+Gx x+H+Hy y+L+Lz z +M+M=0 0 1.1.化简化简:(1).(1).用用用用正交变换正交变换正交变换正交变换去掉混合二次项去掉混合二次项去掉混合二次项去掉混合二次项,得得得得 1 1 x x1 12 2+2 2 y y1 12 2+3 3 z z1 12 2+G+G1 1x x1 1+H+H1 1y y1 1+L+L1 1z z1 1 +M+M1 1=0 0(2).(2).用用用用平移变换平移变换平移变换平移变换(配方法配

17、方法配方法配方法)尽量去掉一次项尽量去掉一次项尽量去掉一次项尽量去掉一次项.例例3 3:f(x,y,z)=6 6x x2 2-2-2y y2 2+6+6z z2 2+4+4xzxz+8+8x x-4-4y y-8-8z z -2=-2=0.0.判断下面二次曲面为何种二次曲面判断下面二次曲面为何种二次曲面判断下面二次曲面为何种二次曲面判断下面二次曲面为何种二次曲面 解解:6 0 2 6 0 2 0 -2 0 0 -2 0 2 0 6 2 0 6 A A=,=8,4,-2,-P P=(P=(P1 1,P P2 2,P P3 3)=)=2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 2 2 2 2 2 2

18、2 2,0 0 0 0 0 0 1 1(1).(1).即即即即:x=x1+y12 22 2z=x1-y12 22 2y=z1取取取取xyzx1y1z1=P,f(x,y,z)=6 6x x2 2-2-2y y2 2+6+6z z2 2+4+4xzxz+8+8x x-4-4y y-8-8z z -2=-2=0.0.取取取取:x=x1+y12 22 2z=x1-y12 22 2y=z18 8 x x1 12 2+4 4 y y1 12 2-2-2 z z1 12 2+8+82 2y y1 1-4-4z z1 1 -2-2=0 0(2).(2).(配方配方配方配方)8 8 x x1 12 2+4 4

19、(y y1 1+2 2)2 2-2-2(z z1 1+1+1)2 2=8 8 取平移取平移取平移取平移变换变换变换变换x2y2z2x1y1+2 2z1+1+1=,8 8 x x2 22 2+4 4 y y2 22 2-2-2 z z2 22 2=8 8即即即即 x x2 22 2+-=1+-=1y y2 22 22 2z z2 22 24 4单叶双曲面单叶双曲面单叶双曲面单叶双曲面.资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值2.2.简化后的三元二次方程简化后的三元二次方程分类分类(一一)、1 1、2 2、3 3全

20、不为零全不为零 1 1 x x2 2+2 2 y y2 2+3 3 z z2 2=d=d 椭球面椭球面a=b？a=b=c？单叶单叶单叶单叶双曲面双曲面双曲面双曲面a=b？双叶双叶双叶双叶双曲面双曲面双曲面双曲面b=c？x x2 2a a2 2y y2 2b b2 2z z2 2c c2 2-=1 1 1 13 3o ox x2 2a a2 2y y2 2b b2 2z z2 2c c2 2+=1 1 1 11 1o ox x2 2a a2 2y y2 2b b2 2z z2 2c c2 2+-=1 1 1 12 2o o二次二次二次二次锥面锥面锥面锥面a=b？x x2 2a a2 2y y2

21、2b b2 2z z2 2c c2 2+-=0 0 0 04 4o o(二二)、1 1、2 2 不为零不为零,3 3=0=0 1 1 x x2 2+2 2 y y2 2=c c z z +d d 椭圆椭圆椭圆椭圆抛物面抛物面抛物面抛物面p=q？x x2 22 2p py y2 22 2q q+=z z(p p、q q同号同号同号同号)5 5o o双曲双曲双曲双曲抛物面抛物面抛物面抛物面x x2 22 2p py y2 22 2q q-=z z(p p、q q同号同号同号同号)6 6o o(马鞍面马鞍面马鞍面马鞍面)x x2 2a a2 2y y2 2b b2 2+=1 1 1 17 7o ox

22、 x2 2a a2 2y y2 2b b2 2-=1 1 1 18 8o o(三三)、1 1 不为零不为零,2 2=3 3=0=0 1 1 x x2 2=b=b y y +c c z z +d d (b(b 、c c不全为零不全为零不全为零不全为零)y y2 2=2 2pxpx9 9o o柱面柱面柱面柱面椭球面椭球面椭球面椭球面单叶单叶单叶单叶双曲面双曲面双曲面双曲面双叶双叶双叶双叶双曲面双曲面双曲面双曲面x x2 2a a2 2y y2 2b b2 2z z2 2c c2 2-=1 1 1 13 3o ox x2 2a a2 2y y2 2b b2 2z z2 2c c2 2+=1 1 1

23、11 1o ox x2 2a a2 2y y2 2b b2 2z z2 2c c2 2+-=1 1 1 12 2o o二次二次二次二次锥面锥面锥面锥面x x2 2a a2 2y y2 2b b2 2z z2 2c c2 2+-=0 0 0 04 4o o椭圆椭圆椭圆椭圆抛物面抛物面抛物面抛物面x x2 22 2p py y2 22 2q q+=z z(p p、q q同号同号同号同号)5 5o o双曲双曲双曲双曲抛物面抛物面抛物面抛物面x x2 22 2p py y2 22 2q q-=z z(p p、q q同号同号同号同号)6 6o ox x2 2a a2 2y y2 2b b2 2+=1 1

24、 1 17 7o ox x2 2a a2 2y y2 2b b2 2-=1 1 1 18 8o oy y2 2=2 2pxpx9 9o o椭圆椭圆椭圆椭圆柱面柱面柱面柱面双曲双曲双曲双曲柱面柱面柱面柱面抛物抛物抛物抛物柱面柱面柱面柱面马鞍资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值二二.描描 图图在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,对二元方程对二元方程对二元方程对二元方程f f(x,yx,y)=0)=0,用用用用“描点法描点法描点法描点法”-用平行于坐标轴的线去截曲线用平行于坐

25、标轴的线去截曲线用平行于坐标轴的线去截曲线用平行于坐标轴的线去截曲线f f(x,yx,y)=0)=0,根据根据根据根据截点截点截点截点的的的的取值和变化规律推断曲线的形状取值和变化规律推断曲线的形状取值和变化规律推断曲线的形状取值和变化规律推断曲线的形状;在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中,对三元方程对三元方程对三元方程对三元方程F F(x,y,zx,y,z)=0)=0,用用用用“截痕法截痕法截痕法截痕法”-用平行于坐标面的平面截割所研究的曲面用平行于坐标面的平面截割所研究的曲面用平行于坐标面的平面截割所研究的曲面用平行于坐标面的平面截割所研究的曲面F F

26、(x,y,zx,y,z)=0)=0,根据根据根据根据截截截截痕痕痕痕(线线线线)的形状和变化规律推断曲面的形状的形状和变化规律推断曲面的形状的形状和变化规律推断曲面的形状的形状和变化规律推断曲面的形状.用用用用 z=h z=h 截曲面截曲面截曲面截曲面:abcyx zox x2 2a a2 2y y2 2b b2 2z z2 2c c2 2+=1 1 1 1特点特点特点特点:关于坐标面对称关于坐标面对称关于坐标面对称关于坐标面对称;1.1.椭球面椭球面:|x|a,|y|b,|z|c|x|a,|y|b,|z|c;x x2 2a a2 2y y2 2b b2 2h h2 2c c2 2+-=1 1

27、 1 1z=h2.2.单叶单叶双曲面双曲面x x2 2a a2 2y y2 2b b2 2z z2 2c c2 2+-=1 1 1 1 用用用用 z=h z=h 截曲面截曲面截曲面截曲面椭圆椭圆 用用用用 y=h y=h 截曲面截曲面截曲面截曲面x x2 2a a2 2z z2 2c c2 2h h2 2b b2 2-=1 1 1 1y=h|h|h|b b:双曲线双曲线双曲线双曲线-实轴实轴实轴实轴z z轴轴轴轴 用用用用 x=h x=h 截曲面截曲面截曲面截曲面3.3.双叶双叶双曲面双曲面x x2 2a a2 2y y2 2b b2 2z z2 2c c2 2-=1 1 1 14.4.二次锥

28、面二次锥面x x2 2a a2 2y y2 2b b2 2z z2 2c c2 2+-=0 0 0 05.5.椭圆椭圆抛物面抛物面x x2 22 2p py y2 22 2q q+=z z(p p、q q同号同号同号同号)6.6.双曲双曲抛物面抛物面x x2 22 2p py y2 22 2q q-=z z(p p、q q同号同号同号同号)用用用用 z=h z=h 截曲面截曲面截曲面截曲面hp hp 0 0 :双曲线双曲线双曲线双曲线-实轴实轴实轴实轴x x 轴轴轴轴h=h=0 0 :-两相交直线两相交直线两相交直线两相交直线hp hp 0 0 :双曲线双曲线双曲线双曲线-实轴实轴实轴实轴y

29、y 轴轴轴轴z=hx x2 22 2p py y2 22 2q q-=h h 用用用用 y=h y=h 截曲面截曲面截曲面截曲面 抛物线抛物线 用用用用 x=h x=h 截曲面截曲面截曲面截曲面 抛物线抛物线(马鞍面马鞍面)用用z=a 截曲面截曲面用用y=0 截曲面截曲面用用x=b 截曲面截曲面xzy0.xzy0用用z=a 截曲面截曲面用用y=0 截曲面截曲面用用x=b 截曲面截曲面.xzy0用用用用z=a z=a 截曲面截曲面截曲面截曲面用用用用y=y=0 0 截曲面截曲面截曲面截曲面用用用用x=b x=b 截曲面截曲面截曲面截曲面练习练习:判断下列方程代表的几何图形判断下列方程代表的几何图

30、形判断下列方程代表的几何图形判断下列方程代表的几何图形.x x2 2+y y2 2+z z2 2+2 2 x+x+4 4y y=0 0 x x2 2+y y2 2=z z (z z 0)0)x x2 2+4 4y y2 2-z z2 2=0 0 x x =(y y+1)+1)2 2+z z2 24 4 x x2 2+4 4y y2 2-z z2 2+4 4 =0 0 x x2 2+4 4y y2 2-z z2 2-4 4 =0 0 z z=xyxy z z2 2-3 3 x x +4 4y y =0 0球面球面球面球面圆锥面圆锥面圆锥面圆锥面二次锥面二次锥面二次锥面二次锥面椭圆抛物面椭圆抛物面双叶双曲面双叶双曲面单叶双曲面单叶双曲面马鞍面马鞍面抛物柱面抛物柱面资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值二次曲面空间曲面空间曲线9种螺旋线投影曲线