微分方程及其分类ppt课件.ppt

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1、一、一、微分方程的概念微分方程的概念二、二阶线性偏微分方程的分类二、二阶线性偏微分方程的分类微分方程及其解法 函数是研究客观事物运动规律的一个重要工具，函数是研究客观事物运动规律的一个重要工具，因此寻求客观事物运动变化过程中的函数关系是十因此寻求客观事物运动变化过程中的函数关系是十分重要的，然而，在许多问题中，往往不能直接找分重要的，然而，在许多问题中，往往不能直接找出所需的函数关系。但根据问题所给的条件，有时出所需的函数关系。但根据问题所给的条件，有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式，这样可以列出含有要找的函数及其导数的关系式，这样的关系式就是所谓的微分方程。的关系式就是所谓的微分方程

2、。解解 为了便于阐述微分方程的有关概念，先看下面例子：为了便于阐述微分方程的有关概念，先看下面例子：例例1 1 一曲线通过点一曲线通过点，且在该曲线上任一点且在该曲线上任一点切线的斜率为切线的斜率为，求这曲线的方程求这曲线的方程。对上式两边积分有对上式两边积分有由于所求曲线通过点由于所求曲线通过点一、微分方程的概念一、微分方程的概念1.1.微分方程的定义微分方程的定义凡含有未知函数以及未知函数的导数（或微分）的方凡含有未知函数以及未知函数的导数（或微分）的方程叫微分方程。程叫微分方程。例例2.2.微分方程的分类微分方程的分类 3.3.微分方程的阶微分方程的阶微分方程中所出现的未知函数的最高阶导

3、数的阶数。微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。例例2 判断下列方程是否为微分方程？若是，是几阶判断下列方程是否为微分方程？若是，是几阶 的微分方程？的微分方程？解解（1）是，）是，1阶；阶；（2）是，）是，1阶；阶；（3）是，）是，2阶；阶；（4）是，）是，3阶；阶；（5）是，）是，1阶；阶；（6）不是。）不是。4.4.微分方程的解微分方程的解 任何代入微分方程后使微分方程恒成立的函数。任何代入微分方程后使微分方程恒成立的函数。（1）微分方）微分方 程的通解程的通解 如果在微分方程的解中，所含的独立的常数的个数与如果在微分方程的解中，所含的独立的常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的

4、解就叫微分方程的通解微分方程的阶数相同，这样的解就叫微分方程的通解（2）微分方程的特解）微分方程的特解当微分方程的通解中各任意常数都取定值时所得的解当微分方程的通解中各任意常数都取定值时所得的解（3）微分方程的初始条件微分方程的初始条件确定通解中的任意常数的附加条件。确定通解中的任意常数的附加条件。5.5.微分方程解的几何意义微分方程解的几何意义通解的图象通解的图象:积分曲线族积分曲线族.特解的图象特解的图象:微分方程的积分曲线微分方程的积分曲线.例例3 3解解 又因为这个解中含有两个独立的任意常数又因为这个解中含有两个独立的任意常数 ，而方程为二阶微分方程，所以而方程为二阶微分方程，所以因此

5、方程满足初始条件的特解为因此方程满足初始条件的特解为二阶线性偏微分方程的分类二阶线性偏微分方程的分类 本章将介绍二阶线性偏微分方程的基本概念、分类方本章将介绍二阶线性偏微分方程的基本概念、分类方法和偏微分方程的标准化法和偏微分方程的标准化.特别对于常系数的二阶线性偏微特别对于常系数的二阶线性偏微分方程的化简方法也进行了详细讨论，这对后面的偏微分分方程的化简方法也进行了详细讨论，这对后面的偏微分方程求解是十分有用的方程求解是十分有用的.在数学物理方程的建立过程中，我们主要讨论了三种类型的在数学物理方程的建立过程中，我们主要讨论了三种类型的偏微分方程：偏微分方程：波动方程；热传导方程；稳定场方程波

6、动方程；热传导方程；稳定场方程这三类方这三类方程描写了不同物理现象及其过程，后面我们将会看到它们的解程描写了不同物理现象及其过程，后面我们将会看到它们的解也表现出各自不同的特点也表现出各自不同的特点我们在解析几何中知道对于二次实曲线我们在解析几何中知道对于二次实曲线其中其中 为常数，且设为常数，且设 10.2 数学物理方程的分类数学物理方程的分类则则当当 时，上述二次曲线分别为双时，上述二次曲线分别为双曲线、抛物线和椭圆受此启发，下面我们来对二阶线性偏曲线、抛物线和椭圆受此启发，下面我们来对二阶线性偏微分方程进行分类微分方程进行分类.下面主要以含下面主要以含两个自变量的二阶线性偏微分方程两个自

7、变量的二阶线性偏微分方程为例，进行为例，进行理论分析而对于更多个自变量的情形尽管要复杂一些，但讨论理论分析而对于更多个自变量的情形尽管要复杂一些，但讨论的基本方法是一样的的基本方法是一样的两个自变量两个自变量(x,y)的二阶线性偏微分方程所具有的的二阶线性偏微分方程所具有的普遍形式为普遍形式为（10.2.1）其中其中 为为的已知函数的已知函数 定理定理10.2.1 如果如果 是方程是方程(10.2.2)的一般积分，则的一般积分，则 是方程是方程(10.2.3)的一个特解的一个特解在具体求解方程在具体求解方程(10.2.10)时，需要分三种情况讨论判别式时，需要分三种情况讨论判别式 1.当判别式

8、当判别式 以求得两个以求得两个实函数解实函数解 时，从方程时，从方程(10.2.10)可可也就是说，偏微分方程也就是说，偏微分方程(10.2.1)有有两条实的特征线两条实的特征线于是，令于是，令即可使得即可使得 同时，根据同时，根据(10.2.4)式，就可以断定式，就可以断定 所以，方程所以，方程(10.2.6)即为即为 (10.2.4)或者进一步作变换或者进一步作变换于是有于是有所以所以又可以进一步将方程又可以进一步将方程(10.2.11)化为化为 这种类型的方程称为这种类型的方程称为双曲型方程双曲型方程我们前面建立的波动方我们前面建立的波动方程就属于此类型程就属于此类型2当判别式当判别式

9、时：这时方程时：这时方程(10.2.10)一定有重根一定有重根因而只能求得一个解，例如，因而只能求得一个解，例如，特征线为特征线为 一条实特征线一条实特征线作变换作变换 就可以使就可以使 由由(10.2.4)式可以得出，一定有式可以得出，一定有，故可推出，故可推出 这样就可以任意选取另一个变换，这样就可以任意选取另一个变换，只要它和只要它和 彼此独立，即雅可俾式彼此独立，即雅可俾式即可这样，方程即可这样，方程(10.2.6)就化为就化为 此类方程称为此类方程称为抛物型方程抛物型方程热传导（扩散）方程就属于热传导（扩散）方程就属于这种类型这种类型3.当判别式当判别式 面的讨论，只不过得到的面的讨

10、论，只不过得到的 时：这时，可以重复上时：这时，可以重复上和和 是一是一对共轭的复函数，或者说，偏微分方程对共轭的复函数，或者说，偏微分方程(10.2.1)的的两条特征线是两条特征线是一对共轭复函数族一对共轭复函数族于是于是是一对共轭的复变量进一步引进两个新的实变量是一对共轭的复变量进一步引进两个新的实变量于是于是所以所以 方程方程(10.2.11)又可以进一步化为又可以进一步化为 这种类型的方程称为这种类型的方程称为椭圆型方程椭圆型方程拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)方程、方程、泊松泊松(Poisson)方程和方程和Helmholtz 方程都属于这种类型方程都属于这种类型 综上所述，要判断

11、二阶线性偏微分方程属于何种类型，只综上所述，要判断二阶线性偏微分方程属于何种类型，只需讨论判别式需讨论判别式 即可即可.10.3 二阶线性偏微分方程标准化二阶线性偏微分方程标准化对于二阶线性偏微分方程对于二阶线性偏微分方程(10.3.1)若判别式为若判别式为，则二阶，则二阶线性偏微分方程分为三类：线性偏微分方程分为三类：时，方程称为双曲型时，方程称为双曲型;时，方程称为抛物型时，方程称为抛物型;时，方程称为椭圆型时，方程称为椭圆型;1.双曲型偏微分方程双曲型偏微分方程 因为双曲型方程对应的判别式因为双曲型方程对应的判别式 所以特征曲线是两族不同的实函数曲线，所以特征曲线是两族不同的实函数曲线，

12、设设特征方程的解特征方程的解为为 令令 (10.3.2)进行自变量变换，则原偏微分方程变为下列形式进行自变量变换，则原偏微分方程变为下列形式(10.3.3)上式称为上式称为双曲型偏微分方程的第一种标准形式双曲型偏微分方程的第一种标准形式，再作变量，再作变量代换，令代换，令或或 则偏微分方程又变为则偏微分方程又变为(10.3.4)上式称为双曲型偏微分方程的第二种形式上式称为双曲型偏微分方程的第二种形式 注：上式中的注：上式中的“*”号不代表共轭，仅说明是另外的函数。如号不代表共轭，仅说明是另外的函数。如 与与是两个不同的函数。是两个不同的函数。2抛物型偏微分方程抛物型偏微分方程因为抛物型偏微分方

13、程的判别式因为抛物型偏微分方程的判别式 线是线是一族实函数曲线一族实函数曲线，所以特征曲，所以特征曲其其特征方程的解特征方程的解为为 (10.3.5)因此令因此令 进行自变量变换，则原偏微分方程变为进行自变量变换，则原偏微分方程变为(10.3.6)上式称为抛物型偏微分方程的标准形式上式称为抛物型偏微分方程的标准形式3.椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程的判别式椭圆型偏微分方程的判别式，所以特征曲线是，所以特征曲线是一组共轭复变函数族其一组共轭复变函数族其特征方程的解为特征方程的解为(10.3.7)若令若令(10.3.8)作自变量变换，则偏微分方程变为作自变量变换，则偏微分方程变为

14、(10.3.9)上式称为上式称为椭圆型偏微分方程的标准形式椭圆型偏微分方程的标准形式10.4 二阶线性常系数偏微分方程的进一步二阶线性常系数偏微分方程的进一步化简化简 如果二阶偏微分方程的系数是常数，则标准形式的方程还可如果二阶偏微分方程的系数是常数，则标准形式的方程还可以进一步化简下面按三种类型分别介绍化简的方法以进一步化简下面按三种类型分别介绍化简的方法1.双曲型双曲型 对于下列含常系数的第一种标准形式的双曲型标准方程还对于下列含常系数的第一种标准形式的双曲型标准方程还可进一步化简可进一步化简注：上式中用小写字母注：上式中用小写字母代表常系数，以便与代表常系数，以便与我我们们不妨令不妨令

15、大写字母代表某函数区别开来大写字母代表某函数区别开来,例如例如为了化简，为了化简，从而有从而有(10.4.2)其中其中 由第二种标准形式的双曲型偏微分方程（含常系数）可以进由第二种标准形式的双曲型偏微分方程（含常系数）可以进一步化简一步化简(10.4.3)式中式中 均为常系数若令均为常系数若令 则有则有(10.4.4)(10.4.5)其中其中 对于对于含常系数的抛物型偏微分标准方程含常系数的抛物型偏微分标准方程（含常系数）（含常系数）（10.4.6）还可以进一步化简上式中小写字母还可以进一步化简上式中小写字母 均为常系数均为常系数 为了化简，不妨令为了化简，不妨令 从而有从而有 (10.4.7

16、)2.抛物型抛物型3.椭圆型椭圆型 对于下列第一种标准形式的椭圆型标准方程对于下列第一种标准形式的椭圆型标准方程(含常系数含常系数)(10.4.8)还可以进一步进行化简上式中小写字母的还可以进一步进行化简上式中小写字母的 为常系数为常系数为了化简，不妨令为了化简，不妨令 从而有从而有 (10.4.9)其中其中 含有两个自变量的线性偏微分方程的一般形式也可以写成下含有两个自变量的线性偏微分方程的一般形式也可以写成下面的形式：面的形式：其中其中 L 是二阶线性偏微分算符，是二阶线性偏微分算符，G是是x,y的函数的函数线性偏微分算符有以下两个基本特征：线性偏微分算符有以下两个基本特征：10.5 线性

17、偏微分方程解的特征线性偏微分方程解的特征其中其中 均为常数进一步有如下结论：均为常数进一步有如下结论：1.齐次的线性偏微分方程的解有以下特性：齐次的线性偏微分方程的解有以下特性：为为方程的解方程的解时时，则则也也为为方程的解；方程的解；(1).当当为为方程的解，方程的解，则则也是方程的解；也是方程的解；(2)若若2.非齐次的线性偏微分方程的解具有如下特性：非齐次的线性偏微分方程的解具有如下特性：为为非非齐齐次方程的特解，次方程的特解，为齐为齐次方程的通解，次方程的通解，则则为为非非齐齐次方程的通解；次方程的通解；(1)若若(2)若若 则则3线性偏微分方程的叠加原理线性偏微分方程的叠加原理需要指出需要指出:线性偏微分方程具有一个非常重要的特性，称为叠线性偏微分方程具有一个非常重要的特性，称为叠 加原理，即若加原理，即若是方程是方程（其中（其中 L 是二是二阶线阶线性偏微分算符）的解性偏微分算符）的解.如果如果级级数数 收敛，且二阶偏导数存在（其中收敛，且二阶偏导数存在（其中 为任意常数），则为任意常数），则 一定是方程一定是方程 的解的解 程右端的级数是收敛的）程右端的级数是收敛的）（当然要假定这个方（当然要假定这个方