余弦定理第一课时PPT课件人教A版数学高二必修5第一章.ppt

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1、本标准适用于已投入商业运行的火力发电厂纯凝式汽轮发电机组和供热汽轮发电机组的技术经济指标的统计和评价。燃机机组、余热锅炉以及联合循环机组可参照本标准执行，并增补指标。本标准适用于已投入商业运行的火力发电厂纯凝式汽轮发电机组和供热汽轮发电机组的技术经济指标的统计和评价。燃机机组、余热锅炉以及联合循环机组可参照本标准执行，并增补指标。第一章解三角形第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理1.1.2 余弦定理余弦定理1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法的向量方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题会运用余弦定理解决

2、两类基本的解三角形问题.学习目标学习目标BCA运用正弦定理能解怎运用正弦定理能解怎样样的三角形？的三角形？探究新知探究新知运用正弦定理能解怎运用正弦定理能解怎样样的三角形？的三角形？已知三角形的任意两角及其一边；已知三角形的任意两角及其一边；已知三角形的任意两边和其中一边的对角已知三角形的任意两边和其中一边的对角.那么，已知两边及其夹角，怎么求出此角那么，已知两边及其夹角，怎么求出此角的对边呢？已知三条边，又怎么求出它的三的对边呢？已知三条边，又怎么求出它的三个角？个角？如果已知三角形的两如果已知三角形的两边边及其及其夹夹角，根据三角角，根据三角形全等的判定方法，形全等的判定方法，这这个三角形

3、是大小、形状个三角形是大小、形状完全确定的三角形完全确定的三角形.从量化的角度来看，如何从已知的两从量化的角度来看，如何从已知的两边边和它和它们们的的夹夹角求三角形的另一角求三角形的另一边边和两个角呢？和两个角呢？如如图图，在，在ABC中，中，设设BC=a,AC=b,AB=c.已知已知a,b和和C，求，求边边c？已知三角形两已知三角形两边边和它和它们们的的夹夹角，求三角形的另一角，求三角形的另一边边？BCAbac联联系已系已经经学学过过的知的知识识和方法，和方法，可用什么途径来解决可用什么途径来解决这这个个问题问题？用向量来研究这一问题用向量来研究这一问题.BCAbac如如图图，在，在ABC中

4、，中，设设BC=a,AC=b,AB=c.已知已知a,b和和C，求，求边边c？余弦定理：余弦定理：三角形任何一三角形任何一边边的平方等于其他两的平方等于其他两边边平方的和平方的和减去减去这这两两边边与它与它们夹们夹角的余弦的角的余弦的积积的两倍，即的两倍，即推论：推论：余弦定理及其推论的基本作用是什么？余弦定理及其推论的基本作用是什么？作用作用:已知三角形的任意两边及它们的夹角就可已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；以求出第三边；已知三角形的三条边就可以求出其他角已知三角形的三条边就可以求出其他角.勾股定理指出了直角三角形中三勾股定理指出了直角三角形中三边边平方之平方之间间的的关系

5、，余弦定理关系，余弦定理则则指出了一般三角形中三指出了一般三角形中三边边平方平方之之间间的关系，如何看的关系，如何看这这两个定理之两个定理之间间的关系？的关系？余弦定理是勾股定理的推广，余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例勾股定理是余弦定理的特例.推推 论论:例例1：如：如图图所示，有两条直所示，有两条直线线AB和和CD相交成相交成80角，交点是角，交点是.甲、乙两人同甲、乙两人同时时从点分从点分别别沿沿OA,OC方向出方向出发发，速度分，速度分别别是是4km/h,4.5km/h.3小小时时后两人相距多后两人相距多远远（结结果精确到果精确到0.1km）?分析：分析：经过经过3 3

6、小小时时，甲到达点，甲到达点P P，OP=43=12(km),OP=43=12(km),乙到达乙到达点点Q Q，OQ=4.53=13.5(km).OQ=4.53=13.5(km).问题转问题转化化为为在在OPQOPQ中，已知中，已知OP=12kmOP=12km，OQ=13.5km,POQ=80OQ=13.5km,POQ=80，求，求PQPQ的的长长.典例剖析典例剖析解：解：经过经过3 3小小时时后，甲到达点后，甲到达点P P，OP=43=12OP=43=12（kmkm）,乙到达点乙到达点Q Q，OQ=4.53=13.5(kmOQ=4.53=13.5(km).).答：答：3 3小时后两人相距约小

7、时后两人相距约16.4km.16.4km.课堂练习：课堂练习：1.b=8,c=3,A=60,a=_2.a=,c=2,B=150,b=_77 变式变式 已知已知ABC中，中，a=8,b=,B=30 ,求边长求边长c.由正弦定理，得：由正弦定理，得：当当 时时,当当 时时,解法一：解法一：解法二：解法二：由余弦定理，得：由余弦定理，得：整理，得：整理，得：解之，得：解之，得：注注 1 解法一中，要注意解法一中，要注意C有两个结果，避免遗漏有两个结果，避免遗漏.2 解法二是利用余弦定理，直接求出解法二是利用余弦定理，直接求出c,更加简捷，更加简捷，值得提倡值得提倡.课堂练习：课堂练习：3.a=20,

8、b=29,c=21,B=_4.a=2,b=,c=，A=_5.a=9,b=10,c=15.A=_,B=_,C=_90453640104例例3 3 在在ABCABC中，已知中，已知 求求A A.解：解：由由 得得即即练习练习 在在ABCABC中中,已知已知,求角求角C.C.例4在ABC中已知a2bcosC，求证：ABC为等腰三角形 证1：由正弦定理得a 2bcosC ，即2cosCsinBsinAsin（BC）sinBcosCcosBsinC sinBcosCcosBsinC0，即sin（BC）0，BC（）B、C是三角形的内角，BC，即三角形为等腰三角形证2：根据射影定理，有abcosC ccos

9、B，又a2bcosC2bcosCbcosCccosBbcosCccosB，即 又 即tanBtanCB、C在ABC中，BCABC为等腰三角形 证3：cosC 化 简后得b2c2 bc ABC是等腰三角形 1.余弦定理是任何三角形余弦定理是任何三角形边边角之角之间间存在的共同存在的共同规规律，勾股定理是余弦定理的特例；律，勾股定理是余弦定理的特例；2.余弦定理的余弦定理的应应用范用范围围：已知三已知三边边求三角；求三角；已知两已知两边边及它及它们们的的夹夹角，求第三角，求第三边边.解三角形解三角形两角一边两边一角三条边两边及其中一边的对角两边及其夹角正弦定理余弦定理正弦定理余弦定理余弦定理提示：提示：由余弦定理得由余弦定理得提示：提示：当堂检测当堂检测解：解：三角形的三边之比为三角形的三边之比为3:5:73:5:7，所以可以设三边分，所以可以设三边分别为别为3a,5a,7a.3a,5a,7a.由正弦定理可得，由正弦定理可得，7a7a所对的角最大所对的角最大,设所对的角为设所对的角为A A，则由余弦定理可得：，则由余弦定理可得：答：这个三角形的最大角为答：这个三角形的最大角为120.120.3.ABC中，中，a=2，b=2 ，C=15，解此三角形解此三角形.解：解：ccBB135 135 A A 180180(B(BC)C)3030 8 84 4