数学推理与证明ppt课件.pptx

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1、考情精解读 考纲解读命题趋势命题规律考情精解读1 数学 第十四章推理与证明考试大纲01 01 01 011.了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.4.了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点.5.了解间接证明的一种基本方法反证法;了解反证法的思考过程、特点考纲解读命题规律考情精解读2命题趋势 数学 第十四章推理与证明考点2016全国2015全国2014全国自主命题区域合情推理与演绎推理【5

2、%】全国,16,5分全国,14,5分2016山东,12,5分直接证明与间接证明【20%】全国,22,10分2016山东,18,12分2016浙江,20,15分2016江苏,16,14分2014山东,4,5分考纲解读命题规律考情精解读3返回目录1.热点预测合情推理一般以新定义、新规则的形式考查,题型以选择题、填空题为主,分值为5分,而演绎推理以及直接证明和间接证明常以不等式、数列、解析几何、函数等为背景来考查,题型以解答题为主,分值为12分.2.趋势分析预测2018年仍将重点考查归纳、类比推理,难度可能会提高,对直接、间接证明的考查会综合到函数、导数、不等式、数列等方面,渗透到多题之中,尤其要注

3、意不等式的放缩的应用.命题趋势 数学 第十四章推理与证明 知识全通关知识全通关1考点1合情推理与演绎推理继续学习 数学 第十四章 推理与证明1.合情推理合情推理包括归纳推理和类比推理,二者区别如下:归纳推理类比推理定义由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理特点由部分到整体,由个别到一般的推理由特殊到特殊的推理一般步骤(1)通过观察个别对象发现某些相同性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确的一般性命题(猜想)(1)找出两类对象之间

4、的相似性或一致性;(2)用一类对象的性质去推测另一类对象的性质,得出一个明确的命题(猜想)知识全通关2 数学 第十四章 推理与证明继续学习2.演绎推理演绎推理是从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论的推理方法,它是由一般到特殊的推理,演绎推理的一般模式是“三段论”,其结构和表示如下:“三段论”的结构大前提已知的条件;小前提所研究的特殊情况;结论根据一般原理,对特殊问题作出的判断“三段论”的表示大前提M是P;小前提S是M;结论S是P知识全通关3 数学 第十四章 推理与证明继续学习【注意】(1)在演绎推理中,若大前提、小前提、推理形式三者中有一个是错误的,所得的结论就是错误的.(2)若大前提

5、不明确时,可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.知识全通关4 数学 第十四章 推理与证明继续学习考点2直接证明与间接证明内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的 推理论证,最后推导出所要证明的结论 成立的方法从要 证明的结论出发,逐步寻求使它成立的 充分条件,直到最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止思维过程由因导果(顺推证法)执果索因框图表示P表示已知条件、已有的数学定义、公理、定理、性质等,Q表示所要证明的结论PQ1Q1Q2QnQQP1P1P2得到一个明显成立的条件文字语言因为,所以,或由得,或“”要证(欲证

6、),只需证,即证1.直接证明知识全通关5 数学 第十四章 推理与证明继续学习综合法与分析法各有优缺点,分析法思考起来比较简单,易找到解题的思路和方法,缺点是叙述烦琐;综合法从条件推结论,步骤简单,但不便于思考.实际应用中,通常将它们结合起来使用,先用分析法探索证明途径,再用综合法叙述出来.【辨析比较】知识全通关6 数学 第十四章 推理与证明继续学习2.间接证明反证法(1)定义假设原命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫作反证法.(2)证明步骤反设假设命题的结论不成立,即假设原结论的反面为真;归谬把“反

7、设”作为条件,经过一系列正确的推理,得出矛盾;存真由矛盾结果断定反设错误,从而肯定原结论成立.知识全通关7 数学 第十四章 推理与证明继续学习【注意】(1)反设命题时常用词语的否定详见高考帮P015一些常见词语的否定总结.(2)归谬时,常见的矛盾的情况有与已知条件、定义、公理、定理、性质矛盾,与假设矛盾,与公认的简单事实或显然成立的结论矛盾,自相矛盾等.知识全通关8 数学 第十四章 推理与证明继续学习【名师提醒】应用反证法证题时,必须先否定结论,把结论的反面作为条件,且必须根据这一条件进行推理,否则,仅否定结论,不从结论的反面出发进行推理,就不是反证法.题型全突破考法1 归纳推理继续学习 数学

8、 第十四章 推理与证明题型全突破1考法指导归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与等式或不等式相关问题.观察所给的几个等式或不等式的两边式子的特点,注意从纵向看,发现隐含的规律.(2)与数列相关问题.先求出几个特殊现象,归纳所得的结论是上述未知的一般现象,该结论超越了前提所包含的范围,从而由特殊的结论推广到一般结论.(3)与图形变化相关问题.合理利用特殊图形归纳推理得出结论,并用赋值检验法验证其真伪.数学 第十四章 推理与证明继续学习题型全突破2考法示例12015陕西高考观察下列等式据此规律,第n个等式可为.思路分析思路分析 观察等式寻找规律得结论 数学 第十四章 推理与证明继续学习题型全突破

9、3解析 观察所给等式的左右可以归纳出.数学 第十四章 推理与证明继续学习题型全突破4考法示例2某种平面分形图如图15-1所示,一级分形图是由一点出发的三条线段,长度均为1,两两夹角为120;二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的的线段,且这两条线段与原线段两两夹角为120,依此规律得到n级分形图.(1)n级分形图中共有条线段;(2)n级分形图中所有线段长度之和为.数学 第十四章 推理与证明继续学习题型全突破5解析(1)由题图知,一级分形图有3=32-3(条)线段,二级分形图有9=322-3(条)线段,三级分形图中有21=323-3(条)线段,按此规律,n级分形图中的

10、线段条数为an=32n-3(nN*).(2)从分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的的线段,n级分形图中第n级的所有线段的长度和为 (nN*),n级分形图中所有线段长度之和为.思路分析 (1)通过观察下一级分形图与上一级分形图之间线段条数的关系,归纳出n级分形图中的线段条数表达式的规律;(2)先求出n级分形图中第n级的所有线段的长度,然后再利用等比数列求和公式可求出n级分形图中所有线段长度之和.考法2 类比推理继续学习 数学 第十四章 推理与证明题型全突破6考法指导1.进行类比推理,应从具体问题出发,通过观察、分析、联想进行对比,提出猜想.从中找到合适的类比对象是解题的关键.2.类比

11、推理常见的情形有:平面与空间类比;低维与高维类比;等差数列与等比数列类比;数的运算与向量的运算类比;圆锥曲线间的类比等.数学 第十四章 推理与证明继续学习题型全突破7考法示例3 知命题:若数列an为等差数列,且am=a,an=b(mn,m,nN*),则am+n=现已知等比数列bn(b0,nN*),bm=a,bn=b(mn,m,nN*),若类比上述结论,则可得到bm+n=.思路分析 分析等差数列、等比数列的区别分析原命题特征得到新命题 数学 第十四章 推理与证明继续学习题型全突破8解析等差数列中的bn和am可以类比等比数列中的bn和am,等差数列中的bn-am可以类比等比数列中的,等差数列中的可

12、以类比等比数列中的,故bm+n=.考法3 演绎推理继续学习 数学 第十四章 推理与证明题型全突破9考法指导数学问题的解决和证明都蕴含着演绎推理,即一连串的三段论,关键是找到每一步推理的依据大前提、小前提,注意前一个推理的结论会作为下一个三段论的前提.数学 第十四章 推理与证明【考法示例4】继续学习题型全突破10如图所示,D,E,F分别是BC,CA,AB上的点,BFD=A,且DEBA.求证:ED=AF(要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论,并最终把推理过程用简略的形式表示出来).【思路分析】通过证明四边形AFDE为平行四边形来证明ED=AF.数学 第十四章 推理与证明继续学习题型全突破11【

13、解析】同位角相等,两条直线平行,(大前提)BFD与A是同位角,且BFD=A,(小前提)所以DFEA.(结论)两组对边分别平行的四边形是平行四边形,(大前提)DEBA且DFEA,(小前提)所以四边形AFDE为平行四边形.(结论)平行四边形的对边相等,(大前提)ED和AF为平行四边形的对边,(小前提)所以ED=AF.(结论)上面的证明可简略地写成:考法4 直接证明继续学习 数学 第十四章 推理与证明题型全突破12考法指导1.综合法证题的思路(1)分析条件,选择方向.分析题目的已知条件及已知与结论之间的联系,选择相关的定理、公式等,确定恰当的解题方法.(2)转化条件,组织过程.把已知条件转化成解题所

14、需要的语言,主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化.(3)适当调整,回顾反思.回顾解题过程,可对部分步骤进行调整,并对一些语言进行适当的修饰,反思总结解题方法的选取.继续学习 数学 第十四章 推理与证明题型全突破132.分析法证题的思路逆向思考是用分析法证题的主要思想,通过反推,逐步寻找使结论成立的充分条件,正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键.在解决实际问题时,常把分析法和综合法综合起来运用,通常用分析法探索证明途径,然后用综合法加以证明,对于较复杂的问题,可以采用两头凑的办法,即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论,然后通过综合法由条件证明这个中间结论,从而使原命题得证.数

15、学 第十四章 推理与证明继续学习题型全突破14考法示例5 已知x+y+z=1,求证:x2+y2+z21/3.思路分析 利用基本不等式进行整理变形,然后利用x+y+z=1得证.数学 第十四章 推理与证明继续学习题型全突破15解析x2+y22xy,x2+z22xz,y2+z22yz,2x2+2y2+2z22xy+2xz+2yz,3x2+3y2+3z2x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz,即3(x2+y2+z2)(x+y+z)2,x+y+z=1,(x+y+z)2=1,3(x2+y2+z2)1,即x2+y2+z21/3.点评 利用综合法证明不等式是不等式证明的常用方法之一,即充分利用已知条件经过推

16、理论证推导出正确结论,是顺推法和由因导果法.其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法,这就需保证前提正确,推理合乎规律,这样才能保证结论的正确.数学 第十四章 推理与证明继续学习题型全突破14 数学 第十四章 推理与证明继续学习题型全突破15考法5间接证明继续学习 数学 第十四章 推理与证明题型全突破16考法指导反证法是解决某些“疑难”问题的有力工具,它的适用范围为:(1)否定性命题;(2)命题的结论中出现“至少”“至多”“唯一”等词语;(3)命题成立非常明显,直接证明所用的理论太少,且不容易证明,而其逆否命题非常容易证明;(4)要讨论的情况很复杂,而反面情况很简单.应用反证法时,当原命题的结论的反

17、面有多种情况时,要对结论的反面的每一种情况都进行讨论,从而达到否定结论的目的.数学 第十四章 推理与证明【考法示例7】继续学习题型全突破17等差数列an的前n项和为(1)求数列an的通项an与前n项和Sn;(2)设bn=(nN*),求证:数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列.数学 第十四章 推理与证明继续学习题型全突破18(2)由(1),得bn=，假设数列bn中存在三项bp,bq,br(p,q,r互不相等)成等比数列,则=bpbr,即所以(q2-pr)+(2q-p-r)=0.因为p,q,rN*,所以所以所以p=r,这与pr矛盾,所以数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列.【点评点

18、评】：对于从正面入手较困难的证明问题，一般优先考虑间接证明，即“正难 则反”.本题第（2）问中含有“任意”，要直接证明显然有难度，因此我们考虑用反证法证明。例析类比推理命题的特点继续学习 数学 第十四章推理与证明能力大提升1类比推理是由特殊到特殊的推理,借助类比推理可以推测未知、发现新结论、探索和提供解决问题的思路和方法.这正像著名数学家波利亚所说的:“类比是一个伟大的引路人.”因此,在解决某些数学问题时,若能合理地运用类比,可为问题的解决开辟一条便捷之路.在近年各类考试中,类比推理题频频亮相.下面就通过介绍类比推理的一些命题特点,揭示求解规律,希望对同学们求解此类问题有所帮助.继续学习 数学

19、 第十四章推理与证明能力大提升21.类比定义示例8等和数列的定义是:若数列an(nN*)从第二项起,以后每一项与前一项的和都是同一常数,则此数列叫作等和数列,这个常数叫作等和数列的公和.如果数列an是等和数列,且a1=1,a2=3,则数列an的一个通项公式是.解析由定义知公和为4,且an+an-1=4(n2,nN*),那么an-2=-(an-1-2),依次类推,于是有an-2=(-1)n-1(a1-2).因为a1=1,所以an=2+(-1)n.继续学习 数学 第十四章推理与证明能力大提升32.类比性质示例9我们知道:圆的任意一弦(非直径)的中点和圆心的连线与该弦垂直,那么,若椭圆b2x2+a2

20、y2=a2b2的一弦(非过原点的弦)的中点与原点连线及弦所在直线的斜率均存在,你能得到什么结论?请予以证明.解析假设在圆中,弦(非直径)所在直线的斜率与弦的中点和圆心连线的斜率都存在,由两线垂直,我们可以知道两斜率之积为-1.对于方程b2x2+a2y2=a2b2,若a=b,则方程为圆的方程,由此可以猜测两斜率之积为-或-.于是,设椭圆的弦AB的两端点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),中继续学习 数学 第十四章推理与证明能力大提升43.类比方法示例10我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量,在平面直角坐标系中,利用求动点轨迹方程的方法,可以求出过点A(-3,4),且法向量为n=(1,-2)的直线(点法式)方程为1(x+3)+(-2)(y-4)=0,化简得x-2y+11=0.类比以上方法,在空间直角坐标系中,经过点A(1,2,3),且法向量为n=(-1,-2,1)的平面(点法式)方程为.解析类比可得:(-1)(x-1)+(-2)(y-2)+1(z-3)=0,即x+2y-z-2=0.返回目录 数学 第十四章推理与证明能力大提升5返回目录 数学 第十四章推理与证明能力大提升5温馨提示：借助类比推理进行命题是高考改革中的一种新思路,从前面的例题可以看出,命题的方式很多,可涉及的命题点也很多.面对这些试题,我们要分清问题的类型,对不同的类型采用不同的求解思路.