大数定律与中心极限定理ppt课件.ppt

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1、资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值 概率论与数理统计是研究随机现象统计规概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科律性的学科.随机现象的规律性只有在相同的随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来条件下进行大量重复试验时才会呈现出来.也也就是说，要从随机现象中去寻求必然的法则，就是说，要从随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大量随机现象应该研究大量随机现象.3.5 大数定律与中心极限定理资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这

2、部分资金就是原有资金的时间价值 研究大量的随机现象，常常采用极限研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此导致对极限定理进行研究形式，由此导致对极限定理进行研究.极极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种种:与与大数定律大数定律中心极限定理中心极限定理下面我们先介绍大数定律下面我们先介绍大数定律资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值测量一个工件时，测量具有误差，需要以测量一个工件时，测量具有误差，需要以各次的平均值来作为测量的结果。只要测各次的平均值来作为测量的结果。只要测

3、量的次数足够多，总可以达到要求的精度量的次数足够多，总可以达到要求的精度.这里反映了什么样的客观统这里反映了什么样的客观统计规律呢？计规律呢？大数定律的客观背景大数定律的客观背景资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值大量的随机现象中平均结果的稳定性大量的随机现象中平均结果的稳定性 大量抛掷硬币大量抛掷硬币正面出现频率正面出现频率字母使用频率字母使用频率生产过程中的生产过程中的废品率废品率资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值

4、n香奈儿夫人(Gabrielle Chanel)：时尚会成为过去，但风格屹立不摇时尚会成为过去，但风格屹立不摇n以统计方法来分析写作风格(literary style)，称为stylometry.Example in Practice资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值1985年11月14日，Gary Taylor在牛津大学的图书馆找到一首可能是莎士比亚的诗。就称泰勒诗，有429字。英美学者为了这首诗争论不休，大打笔战不少专家认为泰勒诗，用字遣词与韵味风格，都异于莎士比亚其它作品。十七世纪以来，莎士比亚十七

5、世纪以来，莎士比亚作品最重要的一次发现？作品最重要的一次发现？资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值1986年1月24日 Science 杂志,刊登莎士比亚的新诗向统计学礼赞(Shakeapeares new poem:an ode to statistics)，介绍Efron及Thisted，以统计的方法鉴定泰勒诗,是否为莎士比亚所作。统计学者也介入这场纷争资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值1976年:Estimati

6、ng the number of unseen species：How many words did Shakespeare know？研究动机：好玩有趣或有用一向是科学研究的动机Efron：It never possibly occurred to me that wed have a chance to use it.资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值莎士比亚总作品中 共有884,647个字,其中 有31,534个相异字。有14,376个相异字只出现1次,有4,343 个相异字只出现2次。在总作品中，

7、罕用字的使用非常普遍。Efron 与 Thisted 估计 莎士比亚尚认识11,460150个字。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值1987：Did Shakespeare write a newly-discovered poem?若泰勒诗为莎士比亚所作，估计有6.972.64个新字，实际有9个。估计曾出现1次的字有4.212.05个，实际为7。估计曾出现2次的字有3.331.83个，实际为5。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有

8、资金的时间价值一直到曾出现100 次的字，估计与实际值，吻合程度皆相当惊人。用统计术语来说：不能拒绝“此诗为莎士比亚所做”之假设。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值Efron及Thisted 也对另3位与莎士比亚同时代的诗人，各取1首诗，及另取4首莎士比亚的诗，与这首泰勒诗做比较。经过3种统计检定，发现对前3首，罕用字出现次数，与莎士比亚所的频率皆不吻合。虽然挑选的4首莎士比亚的诗偶而有不吻合处，总的来说是可接受的。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值

9、的这部分资金就是原有资金的时间价值 在大量随机现象中在大量随机现象中,不仅看到了随机事件不仅看到了随机事件的频率具有稳定性的频率具有稳定性,而且还看到大量测量值的而且还看到大量测量值的平均结果也具有稳定性。这种稳定性就是本平均结果也具有稳定性。这种稳定性就是本章所要讨论的大数定律的客观背景。即无论章所要讨论的大数定律的客观背景。即无论个别随机现象的结果如何个别随机现象的结果如何,或者它们在进行过或者它们在进行过程中的个别特征如何程中的个别特征如何,大量随机现象的平均结大量随机现象的平均结果实际上与每一个别随机现象的特征无关果实际上与每一个别随机现象的特征无关,并并且几乎不再是随机的了。且几乎不

10、再是随机的了。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值n频率稳定性频率稳定性，肯定了，肯定了“概率概率”的客观存在性的客观存在性。n公理化体系公理化体系：用：用“概率空间概率空间”来严格刻画来严格刻画“概率概率”。n这一理论工具和模型得到的结果与很多实际这一理论工具和模型得到的结果与很多实际情况非常吻合情况非常吻合资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值n这个理论模型到底能不能很好地解释这个理论模型到底能不能很好地解释“频率稳定

11、性频率稳定性”这一客观规律呢？这一客观规律呢？n能，更进一步说明我们的理论是符合实际的n不能，或者利用我们的理论推出的结论有与“频率稳定性”这一客观规律矛盾的地方，这说明我们的理论有问题，因为“实践是检验真理的唯一标准”。n我们着手解决这一问题我们着手解决这一问题资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值 众所周知，我们是用众所周知，我们是用伯努利实验来描述大量的独立重伯努利实验来描述大量的独立重复实验的复实验的。设伯努利实验中事件。设伯努利实验中事件 发生的概率为发生的概率为 ，并，并用用 记记 次实验中次实验

12、中 出现的次数，则出现的次数，则“频率稳定性频率稳定性”就是指当实验次数就是指当实验次数 增大时，频率增大时，频率 接近于概率接近于概率 。表示在这表示在这 n 次实验中事件次实验中事件 A 出现的频率，于是出现的频率，于是资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值对“接近于接近于”，一般有下面的两种提法：（2）下式成立：）下式成立：（1）对任意的）对任意的 ，成立，成立资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值随机变量序列的三种收

13、敛性随机变量序列的三种收敛性三种收敛性：三种收敛性：i)依概率收敛：依概率收敛：用于大数定律；用于大数定律；ii)以概率以概率1 1收敛：收敛：用于大数定律；用于大数定律；iii)按分布收敛：按分布收敛：用于中心极限定理用于中心极限定理.资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值依概率收敛依概率收敛定义定义3.12 (依概率收敛依概率收敛)大数定律讨论的就是依概率收敛大数定律讨论的就是依概率收敛.若对任意的若对任意的 0，有，有则称随机变量序列则称随机变量序列Xn依概率收敛于依概率收敛于X,记为记为资金是运动的价

14、值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值依概率收敛的性质依概率收敛的性质TheoremTheorem 若则Xn与Yn的加、减、乘、除依概率收敛到 a 与 b 的加、减、乘、除.资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值定理定理:依概率收敛序列的性质依概率收敛序列的性质证明证明资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值证毕证毕资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化

15、而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值n若 几乎处处收敛于 即 则称以概率1收敛于 记为以概率以概率1 1收敛收敛资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值按分布收敛、弱收敛按分布收敛、弱收敛对分布函数列 Fn(x)而言，点点收敛要求太高.Definition Definition 若在 F(x)的连续点上都有则称Fn(x)弱收敛于弱收敛于 F(x)，记为相应记称称Xn按分布收敛于按分布收敛于X.，或资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时

16、间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值三种收敛之间的关系n反之不然.但当X为常数a时，后两者等价，即资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值几个常见的大数定律几个常见的大数定律定理定理3.9（切比雪夫大数定律）切比雪夫大数定律）设设 X1,X2,是两两不相关的是两两不相关的随机变量序列，它们都有有限的方随机变量序列，它们都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即差，并且方差有共同的上界，即 D(Xi)C，i=1,2,，切比雪夫切比雪夫则对任意的则对任意的0，资金是运动的价值，资金的价值是随时间变

17、化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值 证明切比雪夫大数定律主要的数学证明切比雪夫大数定律主要的数学工具是切比雪夫不等式工具是切比雪夫不等式.设随机变量设随机变量X有期望有期望E(X)和方差和方差 ，则对于任给则对于任给 0,资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值 切比雪夫大数定律表明，独立随机变切比雪夫大数定律表明，独立随机变量序列量序列Xn，如果方差有共同的上界，则，如果方差有共同的上界，则与其数学期望与其数学期望 偏差很小的偏差很小的 概率接近于概率接近于

18、1.随机的了，取值接近于其数学期望的概率接随机的了，取值接近于其数学期望的概率接近于近于1.即当即当n充分大时，充分大时，差不多不再是差不多不再是切比雪夫大数定律给出了切比雪夫大数定律给出了平均值稳定性的科学描述平均值稳定性的科学描述资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值 作为切比雪夫大数定律的特殊情况，作为切比雪夫大数定律的特殊情况，有下面的推论有下面的推论.CorollaryCorollary（独立同分布下的大数定律独立同分布下的大数定律）设设X1,X2,是独立同分布的随机变量是独立同分布的随机变量序列，

19、且序列，且E(Xi)=，D(Xi)=，i=1,2,则对任给则对任给 0,资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值 下面给出的下面给出的Bernoulli大数定大数定律，是上推论的一种特例律，是上推论的一种特例.设设Sn是是n重重BernoulliBernoulli试验试验中事件中事件A发生发生的次数，的次数，p是事件是事件A发生的概率，则对任给发生的概率，则对任给的的 0，定理定理3.10（伯努利大数定律）（伯努利大数定律）或或资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，

20、其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值n这是历史上最早的大数定律，是伯努利在1713年建立的.n概率论的研究到现在约有300多年的历史，最终以事件的频率稳定值来定义其概率.作为概率这门学科的基础，其“定义”的合理性这一悬而未决的带根本性的问题,由伯努利于1713年发表的这个“大数定律”给予了解决，被称为概率论的第一篇论文,为概率论的公理化体系奠定了理论基础.之所以被成为“定律”,是这一规律表述了一种全人类多年的集体经验.因此，对尔后的类似定理统称为大数“定律”.资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值n在大数

21、定律中，由 可知，对充分大的n，有或n根据实际推断原理,概率论中把这两类特别的随机事件实际上当作非随机事件来处理的,也就不能引起人们的重视.但贝努利正是通过对这种所谓“非随机事件”的研究,以严谨的极限形式,揭示了这种接近于1(或0)事件的规律,由此解决了概率论与数理统计的一系列问题.这对学习和研究者来讲是一个很大的启发.资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值 贝努里大数定律表明，当重复试验次数贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件充分大时，事件A发生的频率发生的频率Sn/n与事件与事件A的概率的概

22、率p有较大偏差的概率很小有较大偏差的概率很小.贝努里大数定律提供了通过试验来确贝努里大数定律提供了通过试验来确定事件概率的方法定事件概率的方法.任给任给0，资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值蒲丰投针问题中解法的蒲丰投针问题中解法的理论依据就是大数定律理论依据就是大数定律 当投针次数当投针次数n很大时，用针与线相交的很大时，用针与线相交的频率频率m/n近似针与线相交的近似针与线相交的概率概率p，从而求得，从而求得的近的近似值似值.针长针长L线距线距a资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的

23、函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值下面给出的独立同分布下的大数定下面给出的独立同分布下的大数定律，不要求随机变量的方差存在律，不要求随机变量的方差存在.设随机变量序列设随机变量序列X1,X2,独立同独立同分布，具有有限的数学期分布，具有有限的数学期E(Xi)=,i=1,2,，则对任给则对任给 0，定理定理3.10（辛钦大数定律辛钦大数定律）辛钦辛钦资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值Kolmogorov Kolmogorov 大数定律n设相互独立且服从相同分布，且数学期望存在

24、，记 则资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值n人们积累的大量经验告诉我们，具有很接近于1的概率的随机事件在一次试验中几乎一定要发生；同样，概率很小的事件在一次试验中可以看作是实际不可能事件。n至于概率小到何种程度才能看作是实际不可能事件则要视事件的重要性来定，有百分之一可能性含有染菌的药物是应该废弃的，但含百分之一次品的纽扣则问题还不太大。大数定律的重要意义大数定律的重要意义资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值n因此在实

25、际工作及一般理论问题中，概率接近于1或0的事件具有重大意义，概率论的基本问题之一就是要建立概率接近于1或0的规律；特别是大量独立或弱相关因素累积结果所发生的规律。大数定律就是这种概率论命题中最重要的一个。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值n观察个别现象时是连同一切个别的特性来观察的。这些个别的特性往往蒙蔽了事物的规律性。在大量观察中个别因素的影响将相互抵消而使总体稳定总体稳定。n例如，虽然每个气体分子的运动带有很大的随机性，但是作为气体平均特征的压力、温度等却是稳定的，大数定律说明了这种稳定性。n古人用“

26、定律”来称呼这类命题，可见其重视程度。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值n伯努利大数定律建立了大量重复独立试验中事件出现频率的稳定性，正因为这种稳定性，概率的概念才有客观意义。n同时，它还提供了通过试验来确定事件概率的方法。即用事件发生的频率作为它相应概率的估计。这类方法称为参数估计。它是统计中的重要研究课题。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值n你总算接受了概率空间的概念，反正数学家就是常给一些自得其乐的定义，仍可能

27、会好奇，所谓点数1出现的概率是1/6，究竟是什么意思？是每投6次，点数1恰出现1次吗？n非也！有个修过概率论的数学系毕业生，好心地对你解释如下:资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值n假设投掷 n 次，点数1出现 a 次，则相对频率 a/n 与1/6之差的绝对值，会大于一给定的正数(不管它多小)之概率，将随着 n 的趋近至无限大，而趋近至0。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值n务实的你，很可能不觉得这样的解释很实际。先提

28、出疑问“什么是趋近至无限大？”n就是一直投掷，不可停止，日出日落，春去秋来，继续投掷，即使夸父追日成功了，无限大也仍未达到，还得投掷。那位数学系毕业生，一听到问起无限大，如鱼得水，这是他在数学系四年寒窗，学到的几招独门绝活之一。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值n你不得不停止无限大这个话题，因连夸父追日，你也觉得岂有成功时？如何能接受解释概率，还得涉及无限大？但还一点你不吐不快的是“我就是不了解概率值的意义，怎么却用概率的概念来解释给我听？”资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，

29、随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值n想解释概率值的意义，将会在概率及无限大，一层又一层的打转。这有如想去定义什么叫做点，最后将如同陷在线团中，举步维艰。最后只好说，点是无定义名词。n概率值的意义，既然不能以一套可接受的逻辑来说明。那么退而求其次，可否让人略微了解概率值的意思？资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值n之前那位数学系学生的解释，这时便能派上用场。此即大数定律(Law of large numbers)之一简单的版本。数学上的意思为，事件出现的相对频率，会“概率收敛”至事件

30、发生的概率。要知随机世界中，仍有些法则要遵循，大数法则是其中很重要的一个。n当然我们已指出了，实际上并无法观测事件无限多次。那是否可说，事件出现的相对频率，当观测数够大，须接近事件发生的概率？n也非如此。事件只要概率为正，便都可能发生。所以，不论观测数再大，都不能排除很偏颇的事件发生。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值中心极限定理的客观背景中心极限定理的客观背景 在实际问题中，常常需要考虑许多随机在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生总影响因素所产生总影响.例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受例如

31、：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素的影响着许多随机因素的影响.资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值空气阻力所产生的误差，空气阻力所产生的误差，对我们来说重要的是这些对我们来说重要的是这些随机因素的总影响随机因素的总影响.如瞄准时的误差，如瞄准时的误差，炮弹或炮身结构所引起的误差等等炮弹或炮身结构所引起的误差等等.资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值 观察表明，如果一个量是由大量相互独观察表明，如果一个量是由

32、大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大素在总影响中所起的作用不大.则这种量一则这种量一般都服从或近似服从正态分布般都服从或近似服从正态分布.自从高斯指出测量误差服从正自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布态分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见在自然界中极为常见.资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值关于这一点，我们的理论模型能不关于这一点，我们的理论模型能不能也给予很好的解释呢？能也给予很好的解释呢？用概率论

33、的语言来讲：用概率论的语言来讲：一个随机变量由一个随机变量由许多独立随机变量的和组成，组成这个和的许多独立随机变量的和组成，组成这个和的每一随机变量都非常地每一随机变量都非常地“小小”，那么，当这，那么，当这些些“小小”随机变量的个数趋向于无穷大时，随机变量的个数趋向于无穷大时，这个随机变量是否会服从正态分布？这个随机变量是否会服从正态分布？这又正是概率论中的另一大类极限定理，这又正是概率论中的另一大类极限定理，因为在长达两个世纪的时间里，这是概率论因为在长达两个世纪的时间里，这是概率论研究的中心课题，因此称之为研究的中心课题，因此称之为“中心极限定中心极限定理理”。资金是运动的价值，资金的价

34、值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值 现在我们就来研究独立随机变量之和所现在我们就来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题特有的规律性问题.当当n无限增大时，这个和的极限分布是无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？什么呢？在什么条件下极限分布会是正态的呢？在什么条件下极限分布会是正态的呢？资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值 由于无穷个随机变量之和可能趋于由于无穷个随机变量之和可能趋于，故我们不研究故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑它个随机变

35、量之和本身而考虑它的标准化的随机变量的标准化的随机变量的分布函数的极限的分布函数的极限.资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值的分布函数的极限的分布函数的极限.可以证明，满足一定的条件，上述极可以证明，满足一定的条件，上述极限分布是标准正态分布限分布是标准正态分布.考虑考虑中心极限定理中心极限定理这就是下面要介这就是下面要介绍的绍的资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值 在概率论中，习惯于把和的分布收在概率论中，习惯于把和的

36、分布收敛于正态分布这一类定理都叫做敛于正态分布这一类定理都叫做中心极中心极限定理限定理.我们只讨论几种简单情形我们只讨论几种简单情形.下面给出的独立同分布随机变量序列下面给出的独立同分布随机变量序列的中心极限定理的中心极限定理,也称也称列维一林德伯格列维一林德伯格（LevyLindberg）定理）定理.资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值Linderberg-Levy中心极限定理设 相互独立且服从相同分布，且数学期望存在，记则记做资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而

37、增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值从而知当 n 充分大时，近似服从正态分布近似服从正态分布中心极限定理说明了正态分布的重要地位，中心极限定理说明了正态分布的重要地位，它也是统计学中处理大样本时的重要工具。它也是统计学中处理大样本时的重要工具。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值中心极限定理是大数定律的精细版本在Kolmogorov大数定律的条件下，当 充分大时，可以任意小.故 而利用Linderberg-Levy中心极限定理，我们知道资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数

38、，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值De.Moivre-Laplace中心极限定理设 则即：正态分布为二项分布的极限分布.资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值Galton钉板试验GaltonGalton钉板试验模拟钉板试验模拟资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值下面的图形表明下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近正态分布是二项分布的逼近.资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间

39、的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值中心极限定理的意义 在后面的课程中，我们还将经常用到中心在后面的课程中，我们还将经常用到中心极限定理极限定理.中心极限定理是概率论中最著名的结果中心极限定理是概率论中最著名的结果之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实线这一值得注意的事实.资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，

40、其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值二项分布的近似（1）对二项分布进行近似计算时，必须要求充分大（一般来说，充分大是指）；（2）当 （或）时，用Poisson分布近似较精确；（3）当 且时，用正态分布近似较精确.资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值Example in Practice1997年12月,美国司法部发布一项禁令，反对Microsoft在其Windows 95操作系统中捆绑其Internet Explorer.（Fortune,1998.2.2）.公众意见以Microsoft是否为垄断者而划分.Fortune杂志的一项调查显示，有41的人同意对“Microsoft是垄断者”的指控.那么，在一个800人的群体中，请问：(1)预期将有多少人认为Microsoft是垄断者？(2)不超过300人认为Microsoft是垄断者的概率是多少？(3)超过450人不同意Microsoft是垄断者的概率是多少？资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值Thank you!