概率分布函数概率密度课件.ppt

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1、第二章第二章 分子动理学理论的平衡态理论分子动理学理论的平衡态理论 2.1 分子动理学理论与统计物理学分子动理学理论与统计物理学 2.2 概率论的基本知识概率论的基本知识 2.3 麦克斯韦速率分布麦克斯韦速率分布2.4 麦克斯韦速度分布麦克斯韦速度分布2.5 玻尔兹曼分布玻尔兹曼分布2.6 能量均分定理能量均分定理（一）（一）名称：名称：2.1 分子动理学理论与统计物理学分子动理学理论与统计物理学 全国科学技术名词审定委员会审定“分子运动论”“分子动力论”等统一称为“分子动理学理论”（二）（二）分子动理学理论与统计物理学关系分子动理学理论与统计物理学关系 1、分子动理学理论分子动理学理论方法的

2、主要特点主要特点：它考虑到分子与分子间、分子与器壁间频繁的碰撞碰撞，考虑到分子间有相互作用力相互作用力，利用力学力学定律定律和概率论概率论来讨论分子运动及分子碰撞的详情讨论分子运动及分子碰撞的详情。它的最终及最高目标是描述气体由非平衡态转入平衡态的过程。（二）（二）分子动理学理论与统计物理学关系分子动理学理论与统计物理学关系 2、统计物理学统计物理学是从对物质微观结构和相互作用的认识出发，采用概率统计的方法来说明或预言由大量粒子组成的宏观物体的物理性质宏观物体的物理性质。（二）（二）分子动理学理论与统计物理学关系分子动理学理论与统计物理学关系 3、广义上，分子动理学理论归属于统计物理学的范畴。

3、狭义上，统计物理学仅指玻尔兹曼统计与吉布斯统计，是平衡态理论。热热物理学的微物理学的微观观理理论论由分子由分子动动理学理理学理论论、统统计计物理学与非平衡物理学与非平衡态统计态统计三部分三部分组组成。成。（三）学（三）学习习建建议议 重重点点掌掌握握基基本本物物理理概概念念、处处理理问问题题的的物物理理思思想想及及基基本本物物理理方方法法，熟熟悉悉物物理理理理论论的的重重要要基基础础基本实验事实。基本实验事实。暂暂不不去去追追求求理理论论的的十十分分严严密密与与结结果果的的十十分分精精确。确。A A、在在一一定定的的宏宏观观条条件件下下，大大量量偶偶然然事事件件，在在整整体体上表现出上表现出确

4、定确定的规律的规律-统计规律统计规律2.2 概率论的基本知识概率论的基本知识 B B、统计规律永远伴随着统计规律永远伴随着涨落现象涨落现象 伽尔顿板实验伽尔顿板实验（P P5454）（一）等概率性与概率的基本性（一）等概率性与概率的基本性质质 （P55）1 1、随机事件、随机事件：在一定条件下，某一事件可能发生也可能不发生。2 2、概率概率的定义：在相相同同的的条条件件下下重重复复同一实验，在总次数N足够多的情况下（即NN），计算所出现某一事件的次数NL，则这这一一事事件件出出现现的的百百分分比比就是该事件出现的概率。3、等概率性等概率性 在没有理由说明哪一事件出现的概率更大些（或更小些）情况

5、下，每一事件出现的概率都应相等。统计物理的基本假定统计物理的基本假定：（等概率原理）（等概率原理）如果对于系统的各个可能的状态没有更多的如果对于系统的各个可能的状态没有更多的知识，就可暂时假定一切状态出现的概率相等。知识，就可暂时假定一切状态出现的概率相等。3 3、概率的基本性、概率的基本性质质：(1)(1)归归一化一化（P57）：n n个个互相排斥事件互相排斥事件发发生的生的总总概率概率同同时时或依次或依次发发生的，生的，互不相关（或相互互不相关（或相互统计统计独立）独立）的事件的事件发发生的概率生的概率(2)(2)概率相加法概率相加法则则：是每个事件是每个事件发发生概率之和。生概率之和。(

6、3)(3)概率相乘法概率相乘法则则：等于各个事件概率之乘等于各个事件概率之乘积积。（二）（二）平均平均值值与与涨涨落落 1 1、平均平均值值 （P56）说说明：明：应应用方便，但只适用于用方便，但只适用于N N 非常大非常大的的所有事件。所有事件。2 2、涨涨落（散度、散差）（相落（散度、散差）（相对对方均根偏差）方均根偏差）（P58）物理意物理意义义：表示随机表示随机变变量在平均量在平均值值附近散开分布的程度附近散开分布的程度 （三）概率分布函数（三）概率分布函数（概率密度概率密度）由于由于测测量量仪仪器器总总有一定的有一定的误误差（如：差（如：1 1m/sm/s），），我我们们只只能能测测

7、出分子速率从出分子速率从9999m/sm/s到到101101m/sm/s的分子数是多少，的分子数是多少，也也只能只能讲讲速率界于某一范速率界于某一范围围内的概率内的概率。描述连续描述连续变变量量概率分布情况。概率分布情况。变变量量连续变连续变化化，如：粒子的空，如：粒子的空间间位置、粒子的速度。位置、粒子的速度。黑点沿黑点沿x x方向分布的概率密度：方向分布的概率密度：表示黑点沿x方向的相对密集程度。1 1、按位置分布的概率密度按位置分布的概率密度 （P58）射击点在靶上的分布射击点在靶上的分布 （P P5959图图2.22.2）黑点沿黑点沿x x方向分布的概率密度：方向分布的概率密度：位置处

8、于位置处于x1x1到到x2x2范围内的概率范围内的概率 1 1 （归一化条件）（归一化条件）（注意：对所有的黑点求平均）（注意：对所有的黑点求平均）黑点沿黑点沿y y方向分布的概率密度：方向分布的概率密度：表示黑点沿y方向的相对密集程度。黑点沿平面位置分布的概率密度：黑点沿平面位置分布的概率密度：表示黑点在某一区域内的相对密集程度。2 2、速率分布函数、速率分布函数 （概率分布函数的一种）概率分布函数的一种）只与速率只与速率v 有关有关或说或说 只是只是v 的函数的函数=含含义义：速率在速率在附近附近单单位速率位速率间间隔内的分子数占隔内的分子数占总总分子数的分子数的百分比。百分比。或一个分子

9、的速率在速率或一个分子的速率在速率附近附近单单位速率区位速率区间间的概率的概率-概率密度。概率密度。曲线下面积恒为曲线下面积恒为1o几何意义：几何意义：2 2、速率分布函数、速率分布函数1 归一性质归一性质3 3、概率分布函数的普遍意义、概率分布函数的普遍意义 物理意义：能量在附近（-+d）单位能量间隔内的分子数占总分子数的百分比 分子按能量的概率分布函数：分子按速度的概率分布函数：物理意义：速度在 附近 单位速度间隔内的分子数占总分子数的百分比。分子按空间位置和速度的概率分布函数：物理意义：位置在 附近（x-x+dx,y-y+dy,z-z+dz）单位长度间隔内,速度在 附近（）单位速度间隔内

10、的分子数占总分子数的百分比。思考：思考：（P P9999思考题思考题2.12.1）说明下列各量的意义。说明下列各量的意义。(1)f(v)dv (2)Nf(v)dv (3)思考思考2：（P P9999思考题思考题2.22.2）速率从速率从v v1 1到到v v2 2之间分子的平均速率是否为之间分子的平均速率是否为 例题：例题：P P102 102 习题习题2.2.12.2.1（b b）2.3 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律 从从整整体体上上讲讲，分分子子的的速速度度分分布布有有没没有有规规律律？对对单单个个气气体体分分子子来来说说，任任何何时时刻刻其其速速度度的的大大小和方向受到许多偶然因

11、素的影响，不能预知。小和方向受到许多偶然因素的影响，不能预知。-1859-1859年，麦克斯韦年，麦克斯韦（MaxwellMaxwell）利用理想气体分子在三利用理想气体分子在三个方向上作独立运动的假设，用概个方向上作独立运动的假设，用概率统计的方法导出了麦克斯韦速度率统计的方法导出了麦克斯韦速度分布律，然后得到麦克斯韦速率分分布律，然后得到麦克斯韦速率分布。布。（一）麦克斯韦速率分布（一）麦克斯韦速率分布 （P P6262）1 1、无外无外场场作用，平衡作用，平衡态态下，理想气体分子下，理想气体分子按速率分布：f(v)f(v)：麦克斯麦克斯韦韦速率分布概率密度。速率分布概率密度。物理意义：速

12、率在附近单位速率间隔内的分子数占总分子数的百分比。（2 2）麦麦克克斯斯韦韦速速率率分分布布规规律律是是统统计计规规律律，只只适适用用于于大量分子组成的集体。大量分子组成的集体。也有涨落，也有涨落，非常小非常小。注意：注意：（1 1）仅是分子质量及气体温度的函数）仅是分子质量及气体温度的函数2、麦克斯韦速率分布曲线：、麦克斯韦速率分布曲线：f()T o p 1 2 d 思考：（思考：（1 1）竖线意义）竖线意义？（2 2）窄面积意义？）窄面积意义？f()T o p 1 2 d f()T o p 1 2 d 思考：（思考：（3 3）宽面积意义？）宽面积意义？（4 4）速速率率很很小小和和速速率率

13、很很大大的的分分子子数数所所占占的的比重？比重？（二）三种速率（二）三种速率 （P P6565）（1）最概然速率）最概然速率 最大最大OO思考：思考：p p 的物理意义？的物理意义？有人认为最概然速率就是速率分布中的最大速率，有人认为最概然速率就是速率分布中的最大速率，对不对？对不对？f f(p p)最大。即：分子以速率 p p出现的几率最大。或：若把整个速率范围分成许多相等的小区间，则 p p所在区间内的分子数占分子总数的百分比最大。O思考：思考：温温度度T T升升高高，p p ，f()f()曲曲线线，f(f(p p)如如何何变变化？为什么？化？为什么？N2 分子在不同分子在不同温度下的速率

14、分布温度下的速率分布O思考：思考：在在相相同同的的温温度度下下，氢氢气气和和氧氧气气分分子子的的速速率率分分布布是是否否一一样样？请请在在同同一一图图中中定定性性地地画画出出两两种种气气体体各各自自的的麦麦克斯韦速率分布曲线。克斯韦速率分布曲线。同一温度下不同气体同一温度下不同气体的速率分布的速率分布O（P P100100思考题思考题2.42.4）恒恒温温器器中中放放有有氢氢气气瓶瓶，现现将将氧氧气气通通入入瓶瓶内内，某某些些速速度度大大的的氢氢分分子子具具备备与与氧氧分分子子复复合合的的条条件件而而复复合合成成水水，同同时时放放出出热热量量。问问瓶瓶内内剩剩余余的的氢氢分分子子的速率分布应该

15、改变吗？的速率分布应该改变吗？若氢气瓶为一绝热容器，情况又如何？若氢气瓶为一绝热容器，情况又如何？（2）平均速率）平均速率（3）方均根速率）方均根速率（4）三种速率的比较）三种速率的比较 适用条件：适用条件：大小大小:理想气体分子理想气体分子它们都 应用应用:p-用于讨论速率分布 -用于讨论分子碰撞 -用于计算分子的平均平动动能 思考：思考：（P P100100思考题思考题2.52.5）例题例题1 1：如如图图所所示示为为氢氢分分子子和和氧氧分分子子在在相相同同温温度度下下的的麦麦克克斯斯韦韦速速率率分分布布曲曲线线，则则氢氢分分子子的的最最可可几几速速率率为为_，氧分子的最可几速率为，氧分子

16、的最可几速率为_。f(v)(m/s)01000例题例题2 2：P P102 102 习题习题2.3.1 2.3.1 例题例题3 3：3.3.导体中自由电子的运动可以看作类似气体分子导体中自由电子的运动可以看作类似气体分子的运动，故称为电子气。设导体中共有个自由的运动，故称为电子气。设导体中共有个自由电子，这些电子的最大速率为电子，这些电子的最大速率为v vF F，称为费米速率。称为费米速率。导体中的自由电子速率分布函数导体中的自由电子速率分布函数()满足以下满足以下关系式关系式(式中式中A A为常数为常数)：(1)(1)作速率分布曲线；作速率分布曲线；(2)(2)由和由和v vF F求常数求常

17、数A A；(3)(3)求出这个自由电子的求出这个自由电子的 （三）麦克斯韦速率分布律的实验证明三）麦克斯韦速率分布律的实验证明 （P P6060）历史：最早：法国物理学家史特恩（o.stern）1920年；我国物理学家葛正权1934年，铋（Bi）蒸气；1955年，美国哥伦比亚大学的密勒(R.C.Miller)和库什（P.Kusch）测定了钾（K）和铊（Tl）的蒸气分子的速率分布。其实验结果都与麦克斯韦分布率大致相符。真空技真空技术术的的发发展展，验证才有了可能。1、朗朗缪缪尔尔实验装置实验装置（P61图图2.4）金属蒸汽金属蒸汽显显示示屏屏狭缝狭缝接抽气泵接抽气泵2、实验原理、实验原理金属蒸汽

18、金属蒸汽显显示示屏屏狭狭缝缝接抽气泵接抽气泵思考：思考：穿过第一凹槽的分子的穿过第一凹槽的分子的速率满足什么条件，才速率满足什么条件，才能穿过第二凹槽？能穿过第二凹槽？金属蒸气的分子速率分布金属蒸气的分子速率分布与分子束中的分子速率分布与分子束中的分子速率分布 改改变变，从分子束中从分子束中选择选择出不同速率的分子，出不同速率的分子，测测定其定其强强度。度。凹槽有一定凹槽有一定宽宽度，度，实际实际上上选选出的是出的是某一速率范某一速率范围围 内的分子数。内的分子数。并非一回事并非一回事（一）速度空间一）速度空间 （P P6666-6767）2.4 麦克斯韦速度分布麦克斯韦速度分布 1、直角坐标

19、表示的速度空间、直角坐标表示的速度空间 坐坐标轴标轴：速度分量：速度分量v vx x 、v vy y 、v vz zvxvyvzov从原点向代表点所引矢量：从原点向代表点所引矢量：表示分子速度方向和大小。表示分子速度方向和大小。2、代表点在速度空间中的分布、代表点在速度空间中的分布（P66图图2.9（a）速度分布概率密度速度分布概率密度：vxvyvzovdvxdvydvzvxvyvzovdvxdvydvzA A、表示速度空间中体积为dvx dvy dvz的小体积元中代表点的相对密集程度。B、速度 在附近（）单位速度间隔内的分子数占总分子数的百分比。物理意物理意义义：思考：思考：（P P1001

20、00思考题思考题2.112.11）f f(v vx x)d dv vx x表示什么？表示什么？f f(v vx x)d dv vx xf f(v vy y)d dv vy y表示什么？表示什么？试用速度空间形象化表示。试用速度空间形象化表示。f(vx)dvx物理意物理意义义：A、任一分子处在速度空间垂直于vx 轴的无穷大平板中的概率。（P P6666图图2.92.9（b b）B、分子速度的x分量在vxvx+dvx的分子数占总分子数的百分比。（二）麦克斯韦速度分布二）麦克斯韦速度分布 （P P6969）无外场作用，平衡态下，理想气无外场作用，平衡态下，理想气体分子体分子速度分布：速度分布：vxv

21、yvzovdvxdvydvz物理意物理意义义：A A、任一分子处在速度空间中任一体积为dvx dvy dvz的小立方体中的概率。B B、速度在 附近的分子数占总分子数的百分比。（二）麦克斯韦速度分布二）麦克斯韦速度分布 （P P6969）（三）从麦克斯韦速度分布导出速率分布三）从麦克斯韦速度分布导出速率分布（P P7272）思考：思考：（P P100100思考题思考题2.152.15）麦克斯韦速度分布与速率分布分别表示分子处麦克斯韦速度分布与速率分布分别表示分子处于速度空间中什么范围内的概率于速度空间中什么范围内的概率？ovxvyvzvdvvxvyvzovdvxdvydvz（一）等温大气压强公

22、式一）等温大气压强公式 （P P8484）2.5 玻耳兹曼分布玻耳兹曼分布 思考：思考：假假设设大大气气是是等等温温的的且且处处于于平平衡衡态态，则大气压强随高度变化是怎样的？则大气压强随高度变化是怎样的？大大气气是是等等温温的的，并并处处于于平平衡衡态态。则大气压强随高度变化：各量含各量含义义：P(z)P(z)：高度为z处的大气压强P(0)P(0)：海平面处的大气压强M Mm m：大气分子的摩尔质量说说明：明：高度不超过2Km时，结果比较符合实际。应用：应用：高度计高度计 高度每升高10米，大气压强约降133Pa(1mmHg)（二）二）重力场中粒子按位置的分布重力场中粒子按位置的分布 （分子

23、数密度随高度按指数规律减小）玻尔兹曼对粒子按能量的分布进行了推广。（三）三）玻耳兹曼分布律玻耳兹曼分布律 （P P8585）在温度为T的平衡态平衡态下，任何系统的微观粒子按状态的分布，即在某一状态区间的粒子数粒子数与该该状态区间状态区间的一个粒子的能量的一个粒子的能量有关有关，且与 成正比。B B、玻尔兹曼分布律是统计物理中适适用用于于任任何何系系统统的基本定律。（平衡态）(在在 越大的状态区间内的分子数越少越大的状态区间内的分子数越少)如：重力场中，分子位置分布下密上疏，不再均匀。在量子理论中，处于基态的原子最多，处于激发态的极少。说明：说明：A A、玻尔兹曼分布仅是一种描述粒子处于不同能量

24、的玻尔兹曼分布仅是一种描述粒子处于不同能量的（单（单个）状态个）状态上有不同概率的一种分布。上有不同概率的一种分布。（一）一）热容热容 （P P8787）6.6 能量均分定理能量均分定理 1 1、热热容：容：物体升高或降低单位温度所吸收或放出的热量物体升高或降低单位温度所吸收或放出的热量。摩尔热容：1mol物体升高或降低单位温度所吸收或放出的热量。比热（容）：1Kg物体升高或降低单位温度所吸收或放出的热量。定体热容CV、定压热容CP、摩尔定体热容CV,m、摩尔定压热容CP,m、定体比热容cV、定压比热容cP 不仅与物体性质有关，也不仅与物体性质有关，也与具体过程有关与具体过程有关 2 2、理想

25、气体内能与、理想气体内能与热热容容单原子理想气体内能：单原子理想气体摩尔定体热容：（P P8787表表2.22.2）（二）自由度与自由度数二）自由度与自由度数 （1）机械运动的基本运动形式）机械运动的基本运动形式任一直线形成一组平行线任一直线形成一组平行线A、平动平动 B、转动转动C、振动振动质点质点如如 自行车轮子的运动自行车轮子的运动(刚体刚体)一般运动一般运动:看成基本运动看成基本运动（平动平动 转动转动 振动振动）形式的叠加形式的叠加CPP2、自由度与自由度数、自由度与自由度数 自由度：自由度：描述物体空间位置所需要的独立坐标独立坐标。自由度数：自由度数：确定物体空间位置所需要的独立坐

26、标独立坐标的数目。t+r+s(t：平动自由度；r：转动自由度；s：振动自由度)t 3 r=0 s=0 三维空间，t=3若受到限制，自由度降低平面上t=2直线上t=1质点质点刚体刚体 (如：手榴弹，陀螺如：手榴弹，陀螺)t+r 6 s=0 xzy 每一点绕过每一点绕过c 点的轴转动点的轴转动 定质心位置定质心位置先定转轴先定转轴 2个自由度个自由度再定每个再定每个质量元质量元在在垂垂直轴的平面内直轴的平面内绕轴旋绕轴旋的角度的角度1个自由度个自由度共有共有 3个转动自由度个转动自由度需需3个平动自由度个平动自由度非刚体非刚体（由（由 N 个独立的粒子组成的质点系：包括气体、个独立的粒子组成的质点

27、系：包括气体、液体）液体）t+r +s 3N一般说来，这一般说来，这3N个自由度中，有三个平动、三个转动及个自由度中，有三个平动、三个转动及3N-6个振动自由度个振动自由度3、气体分子的自由度、气体分子的自由度（P89）v 单原子分子单原子分子v N个原子组成的多原子分子个原子组成的多原子分子v 刚性刚性双原子双原子分子分子以及其它以及其它刚性的线型刚性的线型分子分子，一般都有一般都有3个平动自由度和个平动自由度和2个转动自由度，其个转动自由度，其自由度数为自由度数为5。可看作质点，自由度数可看作质点，自由度数为为 t=3 可看作质点系可看作质点系（非刚体）非刚体），自由度数最多为，自由度数最

28、多为3N个。个。（三）能量（按自由度）均分原理三）能量（按自由度）均分原理 1、能量均分定理、能量均分定理：（P90）在温度为在温度为T 的的平衡态平衡态下，下，物质物质(气、液、固气、液、固)分分子热运动动能子热运动动能平均分配平均分配到到每一个分子的每一个自每一个分子的每一个自由度由度上，每一个分子的每一个自由度的上，每一个分子的每一个自由度的平均动能平均动能都是都是 u振动能量的计算：简谐振动，u能量均分定理仅限于均分平均动能仅限于均分平均动能平均动能与平均势能相等，每一振动自由度均分每一振动自由度均分kTkT的能量的能量。若某种分子有t个平动自由度，r个转动自由度，s个振动自由度，则每

29、一分子的总的平均能量为式中各种振动、转动自由度都应是式中各种振动、转动自由度都应是确实确实对能量均分定理对能量均分定理作作全部全部贡献贡献的自由度的自由度，因为，因为自由度会发生冻结。自由度会发生冻结。注意：注意：思考思考1 1：（P P101101思考题思考题2.282.28）既然理想气体是忽略分子间互作用势能的，既然理想气体是忽略分子间互作用势能的，为什么上式中还有势能为什么上式中还有势能？2、能量按自由度均分的微观解释：、能量按自由度均分的微观解释：（P92）A A、对于气体，由于对于气体，由于分子间频繁的无规则碰撞分子间频繁的无规则碰撞，能量从一，能量从一个分子转移到另一个分子，从这一

30、个自由度转移到另一个个分子转移到另一个分子，从这一个自由度转移到另一个自由度，从这种形式的自由度（如：平动）转移到另一种自由度，从这种形式的自由度（如：平动）转移到另一种形式的自由度（如：转动）。形式的自由度（如：转动）。B、液体和固体，能量均分是通过液体和固体，能量均分是通过分子间很强的相互作分子间很强的相互作用用来实现的。来实现的。3、常温下理想气体的内能的计算、常温下理想气体的内能的计算 常温下常温下理想气体理想气体振动自由度冻结振动自由度冻结，分子可看作刚，分子可看作刚性的。性的。常温下常温下 mol mol单原子分子理想气体：单原子分子理想气体：常温下常温下 molmol双原子分子理

31、想气体：双原子分子理想气体：常温下常温下 molmol多原子分子理想气体：多原子分子理想气体：常温下常温下 mol mol单原子分子理想气体：单原子分子理想气体：常温下常温下 molmol双原子分子理想气体：双原子分子理想气体：常温下常温下 molmol多原子分子理想气体：多原子分子理想气体：常温下常温下 mol mol单原子分子理想气体：单原子分子理想气体：常温下常温下 molmol双原子分子理想气体：双原子分子理想气体：常温下常温下 molmol多原子分子理想气体：多原子分子理想气体：常温下常温下 mol mol单原子分子理想气体：单原子分子理想气体：常温下常温下 molmol双原子分子理

32、想气体：双原子分子理想气体：常温下常温下 molmol多原子分子理想气体：多原子分子理想气体：思考思考2 2：（P P101101思考题思考题2.262.26）为什么温度不太高时为什么温度不太高时O2、N2、CO及室温下及室温下的的H2等常见双原子分子理想气体，其摩尔内能等常见双原子分子理想气体，其摩尔内能是是 ，而不是，而不是？思考思考3 3：判断正误。判断正误。有两种理想气体，温度相等，则：有两种理想气体，温度相等，则：（1 1）内能必然相等）内能必然相等（2 2）分子的平均能量必然相等）分子的平均能量必然相等（3 3）分子的平均动能必然相等）分子的平均动能必然相等 （4 4）分子的平均平动动能必然相等）分子的平均平动动能必然相等 例题：例题：P P105105 习题习题2.7.32.7.3 习题习题2.7.12.7.1 作业：作业：P P102102 习题习题2.3.4 2.3.4 （麦克斯韦速率分布）P P102102 习题习题2.3.5 2.3.5（理想气体三种速率）P P104104 习题习题2.6.62.6.6 （等温气压公式）