高等数学2.3-连续型随机变量及其概率密度ppt课件.ppt

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1、在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么2.3 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布一一、定义、定义2.8:使对任意实数使对任意实数 a,b(ab),有有Pa Xb则称则称X是是连续型随机变量连续型随机变量,f(x)称为称为概率密度函数概率密度函数,abxf(x)O简称简称概率密度函数概率密度函数,下图为其几何解释下图为其几何解释 A阴影面积阴影面积A =PaXb二、密度函数性质二、密度函数性质:设设X是随机变量是随机变量,若存在一个非负可积函数若存在一个非负可

2、积函数 f(x),(1)f(x)0 是可积的是可积的;在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么注注 (1)若一个函数满足上述两条性质，则它一定是某若一个函数满足上述两条性质，则它一定是某个随机变量的密度函数个随机变量的密度函数.(2)连续性随机变量与离散型随机变量的一个重要连续性随机变量与离散型随机变量的一个重要区别是区别是:连续型随机变量取连续型随机变量取单个值的概率单个值的概率为为0 ,于是有于是有 P a X b=P aX b=P a X b=P aXb 三、定理三、定理2.4:若随机变量若随机变量X是连续型的是连续型的,其

3、密度函数为其密度函数为 f(x),则有则有 其中其中 G 表示一个区域表示一个区域,且设且设 f(x)在在G上可积上可积.在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么xf(x)O阴影面积为阴影面积为F(x)x四、连续型随机变量的分布函数：四、连续型随机变量的分布函数：F(x)=P X x 对于连续型随机变量对于连续型随机变量 X，其密度，其密度函数为函数为 f(x),则则 X 的分布函数为的分布函数为注注 (1)F(x)与密度函数与密度函数 f(x)关系的几何解释如图所示关系的几何解释如图所示:(2)由积分上限函数的由积分上限函数的性

4、质可知性质可知在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例2.9设随机变量设随机变量 X X 的密度函数为的密度函数为(1)确定常数确定常数 k;f(x)=kx ,0 x 33 x 4 0 ,其它其它(2)求求 X 的分布函数的分布函数 F(x);(3)求求 P 1 X 7/2 .在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么F(x)=1 ,x 40 x 3 0 ,x 0(2)X 的分布函数为的分布函数为3 x 4在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到

5、自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么即即 F(x)=1 ,x 40 x 3 0 ,x 03 x 4在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么五、几种常见的连续型随机变量五、几种常见的连续型随机变量:(1)定义定义2.9:1、均匀分布、均匀分布:若随机变量若随机变量 X 的密度函数为的密度函数为则称随机变量则称随机变量 X 在区间在区间 a,b 上服从均匀分布上服从均匀分布,记为记为 X U a,b ,其中其中 a,b 为参数为参数,a b .在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪

6、费这一点点算不了什么注注 若随机变量若随机变量 X 服从服从 a,b 上的均匀分布上的均匀分布,则则 X 落入落入 a,b 的任何子区间的概率仅与该区间的长的任何子区间的概率仅与该区间的长度有关度有关,而与子区间的位置无关而与子区间的位置无关,这是均匀分布的这是均匀分布的一个特点一个特点.(2)均匀分布的分布函数均匀分布的分布函数:在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例2.10设电阻设电阻(单位单位)值值R 是一个随机变量是一个随机变量,均匀分布均匀分布在在9001100.求求R 的概率密度函数及的概率密度函数及R 落在落在

7、 9501050 的概率的概率.解解 由题意知由题意知,R 的概率密度为的概率密度为在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么(1)定义定义2.9:2、指数分布、指数分布:设连续型随机变量设连续型随机变量 X 的密度函数为的密度函数为(2)分布函数分布函数:在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么(3)服从服从指数分布的随机变量的特点指数分布的随机变量的特点:“无记忆性无记忆性”事实上，有事实上，有在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，

8、也许你认为浪费这一点点算不了什么(1)定义定义2.11:3、正态分布、正态分布:若随机变量若随机变量 X 的密度函数为的密度函数为xf(x)O在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么(2)正态分布的分布函数正态分布的分布函数:xF(x)O在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么(2)定义定义2.12:在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么(3)定理定理2.5:设设XN(0,1),则有则有注注 可用可用

9、(x)的定义证明定理的定义证明定理.在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么(4)定理定理2.6:在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么(5)相关结论相关结论:在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例2.11设随机变量设随机变量 XN(108,32),试求试求解解 (1)P 102 X 117(1)P 102 X 117 ;(2)求常数求常数a,使使 P X a=0.95.在日常生活中，随处都可以看

10、到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么由正态分布表反查得由正态分布表反查得在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例2.12设随机变量设随机变量 XN(0,1),则则解解 (1)直接查表知直接查表知(1)求求 P X 1.96 ;P X-1.96 ;P|X|1.96 ;P-1 X 2 .(2)已知已知 P X a=0.7019;P|X|b =0.9242P X c=0.2981,求求 a ,b ,c .P X 1.96=(1.96)=0.975 ,利用利用(x)的对称性知的对称性知P X-

11、1.96=(-1.96)=1-(1.96)=0.025 ;在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么P|X|1.96=P-1.96 X 1.96=(1.96)-(-1.96)=P X 1.96 -P X -1.96=(1.96)-1+(1.96)=2(1.96)-1=0.95 ;P-1 X 2 =P X 2 -P X -1 =(2)-(-1)=(2)-1+(1)=0.97725+0.8413-1=0.81855在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么(2)由于由于 P

12、X a=(a)=0.7019查表知查表知 a=0.53由由 P|X|b=P-b X b=0.9242有有 (b)-(-b)=2(b)-1=0.9242故故 (b)=0.9621查表知查表知 b 1.78由由 P X c=0.2981 ,而而 (0)=0.51 ,故知故知 c 0 .在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么由于由于 (c)=0.2981所以所以 (-c)=1-(c)查表知查表知 -c =0.53 ,=1-0.2981=0.7019即即 c =-0.53 在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己

13、在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例2.13已知已知 XN(8,0.5 2),求求(1)P X 9 ;(2)P 7.5 X 10 ;(3)P|X-8|1 =0.9242(4)P|X-9|0.5 在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么=(4)-(-1)=(4)-1+(1)0.8413 ;在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例2.14某型号电池寿命某型号电池寿命 X 近似正态分布近似正态分布 N(,2),已知其寿命在已知其寿命在250 h的概率均为的概率均

14、为92.36%,为使其寿命在为使其寿命在 -x 和和 +x 之间的概率不小于之间的概率不小于 0.9,x 至少为多大至少为多大?由正态分布的密度函数关于由正态分布的密度函数关于 x=对称知对称知,在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么故故 XN(300,35 2).在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 0.001 0.005 0.010 0.025 0.05 0.10z 3.090 2.576 2.327 1.960 1.645 1.282在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么作作 业业 P 34:7,8,12(2)(3),13,14,22习习 题题 二二