最优控制（带笑脸的几道题）ppt课件.ppt

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1、经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 例例3 3：试求内接于椭圆，周长最大的矩形，即：试求内接于椭圆，周长最大的矩形，即在约束在约束 条件下，条件下，使使取最大值。取最大值。解：解：拉格朗日函数为：拉格朗日函数为：极值的必要条件为极值的必要条件为:经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用将将代入代入 得：得：经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商

2、品的价款或接受服务的费用联立求解：联立求解：正，负（取负值）正，负（取负值）确定极大值的充分条件为：确定极大值的充分条件为：其中其中经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用将将代入上式，则有代入上式，则有:经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用在驻点在驻点上，目标函数有极大值上，目标函数

3、有极大值:经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例例1：求求泛泛函函 的的变分。分。解：解：经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用由由于于泛泛函函的的变分分就就是是泛泛函函增增量量的的线性性主主部部，所所以泛函的以泛函的变分分为：当当 时，相，相应的的变分分值为：经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用泛函的泛函的变分是唯一

4、的。如果分是唯一的。如果 （3-12）其中，其中，都是关于都是关于 的高的高阶无无穷小，小，则可可证 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 （3-13）即即 （3-14）定理（定理（3-1）：如果泛函）：如果泛函 是可是可微的，微的，则泛函的泛函的变分分为 （3-15）式中，式中，为任意任意实数，数，证明如下：明如下：经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用因因为由由于于 是是关关于于 的的线性性连续泛函，根据泛

5、函，根据线性泛函性性泛函性质有有又由于又由于 是关于是关于 的高的高阶无无穷小，所以小，所以 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用因此因此 证毕同同理理，如如果果泛泛函函 是是 阶可可微微的的，则其其 阶变分分为：(3-16)如果泛函如果泛函 为多元泛函即同理多元泛函即同理 (3-17)式中式中 为泛函泛函 的宗量函数。的宗量函数。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用多元泛函的多元泛函的变分分为：经营者提供商

6、品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例例3：求求泛泛函函 满足足边界条件界条件 的极的极值曲曲线。解：解：代入欧拉方程（代入欧拉方程（3-44）代入（代入（3-44）经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 两两边积分得分得第二次第二次积分，分，其中其中 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用利利用用边界界条条件件 可解得可解得 即即

7、 注：注：,经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 因因此此泛泛函函的的极极值只只能能在在曲曲线 上上实现。即即 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例例4：最速降：最速降线问题确确立立一一条条连接接点点 和和定定点点 的的曲曲线。使使质点点在在重重力力作作用用下下从从点点 滑滑动到到点点 所需要的所需要的时间最短（忽略摩擦和阻力影响）。最短（忽略摩擦和阻力影响）。解：按解：按题意，目意，目标函数可构造函数可构

8、造为 根据力学公式，根据力学公式，质点运点运动的速度的速度为 (3-52)经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用最速降线问题最速降线问题A(0,0)yxdxdydsB(xf,yf)经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 g-为重力加速度重力加速度目目标函数函数为 因因被被积函函数数 不不是是显含含 ，故可用欧拉公式的首部，故可用欧拉公式的首部积分公式，即分公式，即经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者

9、的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用注：注：通通过通分，整理通分，整理简化得：化得：注：注：经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用式中式中 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用用参数方程法求解，引入参数用参数方程法求解，引入参数 （），），并令并令 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受

10、服务的费用积分后得分后得 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用所求曲所求曲线的参数方程的参数方程为：令令 ，并注意到，并注意到边界条件界条件 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用因此参数方程因此参数方程为 这是是滚线的参数方程，的参数方程，是是滚动圆的半径，常数的半径，常数 由由另另一一个个边界界条条件件 确确定定，称称为滚动角。角。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失

11、，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用所所以以最最速速降降线是是一一条条圆滚线，所所谓圆滚线是是指指一一圆沿沿定定直直线滚动时，圆周周上上一一定定点点所所描描绘出出的的轨迹。迹。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例例7已知受控系统的微分方程为已知受控系统的微分方程为求最优控制求最优控制 ，使目标函数，使目标函数 取最小值，给定取最小值，给定的边界条件为，的边界条件为，解：将给定的系统微分方程化成过程等式的约束形式。设解：将给定的系统微分方程化成过程等式的约束形式。设 ，系统的状态方程

12、为：，系统的状态方程为：经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 式中式中边界条件相应的改为：边界条件相应的改为：，目标函数改为：目标函数改为：应用拉格朗日乘子法，哈密尔顿函数为：应用拉格朗日乘子法，哈密尔顿函数为：()经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用伴随方程（协态方程）为，伴随方程（协态方程）为，积分后积分后 ()即即控制方程为控制方程为状态方程为状态方程为 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费

13、者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用利用边界条件利用边界条件 确定积分常数确定积分常数最优轨线及最优控制为，最优轨线及最优控制为，经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用如果始端条件不变，终端条件改为部分约束和部分自由，如果始端条件不变，终端条件改为部分约束和部分自由，边界条件为：边界条件为：自由。自由。根据式（根据式（399）横截条件，）横截条件，时，时，时，时，得得经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额

14、为消费者购买商品的价款或接受服务的费用此时积分常数为此时积分常数为 最优轨线及最优控制为最优轨线及最优控制为最优曲线如图所示最优曲线如图所示 ：边界条件：边界条件 自由自由经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用-1-201x(t)u(t)21-3u*(t)2x2*(t)tx1*(t)-60.52tx2*(t)u*(t)-2-10 x1*(t)2x(t)经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例例1 已知受控系统的状

15、态方程为（见线控习题已知受控系统的状态方程为（见线控习题 110-111页）页）,始端条件始端条件 终端时间终端时间 固定固定,终端状态终端状态 自由，试求控制函数自由，试求控制函数 使函数使函数 性能指标取极小值。（取负值）性能指标取极小值。（取负值）解：解：(1)（2）（3）经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用注注 将（将（3）代入（）代入（1）再求导再求导 （4）将（将（1），（），（2），（），（3）代入（）代入（4）注：注：特征方程特征方程 所以所以 利用边界条件利用边界条件 经营者提供商品

16、或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用利用边界条件后得利用边界条件后得:将边界值将边界值 代入上式得代入上式得:得得:经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用（取开方后的负值为衰减稳定系统）（取开方后的负值为衰减稳定系统）（注：（注：,）最优控制最优控制 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 例例5-2 5-2 设受控系统的状态方程为设

17、受控系统的状态方程为 不等式约束条件为不等式约束条件为:试求使系统由初始状态试求使系统由初始状态 转移到坐标原点的最短转移到坐标原点的最短时间的最优控制。时间的最优控制。解：最短时间系统的性能指标为解：最短时间系统的性能指标为:哈密尔顿函数为哈密尔顿函数为:经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 协态方程协态方程 即即:对上式求导数对上式求导数 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 解之解之 式中式中 为初始条

18、件决定的常数。为初始条件决定的常数。极值条件为极值条件为 由于由于 是一个周期函数，其周期为是一个周期函数，其周期为 ，正，正，负符号每经过负符号每经过 就要改变一次，或者说就要改变一次，或者说 每间隔每间隔 的时间就要切换一次，且在的时间就要切换一次，且在 和和 两个边界值上不断换接。两个边界值上不断换接。对应于对应于 和和 两两种情况求解状态方程。种情况求解状态方程。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 当当 时，状态方程为时，状态方程为:特征方程特征方程 对上边第一式两边求导对上边第一式两边求导

19、 ，设初始状态为设初始状态为 ，对状态方程求解为对状态方程求解为其中其中和和为常量。常量。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 将将 和和 两式合并后消去两式合并后消去 ,则得出则得出的最优相轨迹方程为的最优相轨迹方程为:以上方程是一圆方程，其相轨迹为以为圆心，半径为以上方程是一圆方程，其相轨迹为以为圆心，半径为 的一簇圆。的一簇圆。当当 时，其相应轨迹为以时，其相应轨迹为以 为圆心，为圆心，半径为半径为 的圆周，且该圆周通过坐标原点，将通过坐的圆周，且该圆周通过坐标原点，将通过坐 标原点的相轨迹称为

20、标原点的相轨迹称为“开关曲线开关曲线”。由由 ,两式可见，每当两式可见，每当 时，时，,而而 却可为任何值。（随却可为任何值。（随 的选择而定）。因此，开关曲线的选择而定）。因此，开关曲线 其余部分也将是在横轴其余部分也将是在横轴 以下的半径为以下的半径为1的各半圆组成。的各半圆组成。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用X2X1ACPBR+R-相平面相平面图如图所示。如图所示。当当 时，状态方程为时，状态方程为对状状态方程求解得方程求解得经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿

21、其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 消去消去t t后得出的最优相轨迹方程为后得出的最优相轨迹方程为 其开关曲线是在横轴上的半径为其开关曲线是在横轴上的半径为1 1的各半圆所组成。的各半圆所组成。系统从初始状态系统从初始状态 转移到坐标原点过转移到坐标原点过程如下，假定系统的初始状态在程如下，假定系统的初始状态在 点，相应的点，相应的 ，于是状态沿相轨迹，于是状态沿相轨迹 转移到转移到 点，相应的点，相应的 切换到切换到 ,随后状态沿相轨迹随后状态沿相轨迹 转转换到换到 点，点，点位于开关曲线上，此时的点位于开关曲线上，此时的 又又切换到切换到 ,最后状态沿开关曲

22、线最后状态沿开关曲线 转换到坐标原点转换到坐标原点 点。点。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例例 5-4 设二阶系统的状态方程为设二阶系统的状态方程为不等式控制约束为不等式控制约束为(1)试证明系统从初态试证明系统从初态 转移到终态转移到终态 时所消时所消耗燃料为最少时的最优控制为，耗燃料为最少时的最优控制为，经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用（2）欲要求系统从初态欲要求系统从初态 以最短时间转移到终态

23、以最短时间转移到终态 ,试确定试确定 。解：解：对于最少燃料控制系统，其性能指标为对于最少燃料控制系统，其性能指标为系统的哈密尔顿函数为系统的哈密尔顿函数为为使为使 函数全局最小，最优控制为函数全局最小，最优控制为经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 即即=当当0 当当 当当为了确定最优控制为了确定最优控制 ，必须求解，必须求解 。通过对协态方程。通过对协态方程求解，得求解，得 当当 时时 ，利用式（，利用式（5-128）并代入初始条件并代入初始条件经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的

24、要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 ；，则有，则有当当 时，时，利用式（，利用式（5-129）并代入初始）并代入初始条件条件 则有则有当当 时，时，利用式（，利用式（5-131）并代入初始条）并代入初始条件件 ，则有则有 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4tf-10+1u*(t)ttbta(a)tta-1102 2(t)=-t(t)=-t2 2（t t）tb(b)u*(t)=-t 和和 关系曲线以及最优轨线图如下图所示。关系曲线以及最优轨线图如下图所示。

25、经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用taCtbu=+1BAu=-1(1,1)x20 x1u=0(c)最最优轨线图经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用由图可见，系统初态由图可见，系统初态 位于位于 区域，故区域，故 ，系统初态由系统初态由 点点 驱动下转移到驱动下转移到 点，此时相应有点，此时相应有 ,切换到切换到 阶段，当阶段，当 时，时，其最优，其最优轨迹轨迹（线）为平行于（线）为平行于 轴的直线轴的直线,

26、或者说系统在惯性作用或者说系统在惯性作用下，其状态向坐标原点转移。当达到开关曲线上的下，其状态向坐标原点转移。当达到开关曲线上的 点时，点时，,切换到切换到 。在。在 驱动下，驱动下，状态沿开关曲线转移到坐标原点。整个状态转移过程为初状态沿开关曲线转移到坐标原点。整个状态转移过程为初态点开始沿最优轨线态点开始沿最优轨线 转移到原点。利用式（转移到原点。利用式（5-133）并代入给定条件并代入给定条件 和和 则有则有经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用由此所得最优控制为由此所得最优控制为 当当0 当当1 当当 利用式（利用式（5-135）并代入给定条件）并代入给定条件 则按最短时间控制的则按最短时间控制的最短时间为最短时间为