线性代数第7章线性代数在经济学中应用课件.ppt

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1、1第七章 线性代数在经济学中的应用1莱斯利人口模型2列昂季耶夫投入产出分析 最后两次课的内容是复习内容.21 莱斯利人口模型一、莱斯利人口模型的建立 设妇女最大年龄为N,把年龄等分为n个年龄段，第i个年龄段为时间以一个年龄段为单位，从而时间离散化为 设在时段t,第i个年龄段的人口数为 第i个年龄段的生育率和存活率分别为 和 3 3 3 3 3(I)si4 4 4 4 4 L:=matrix(b1,b2,b3,b4,s1,0,0,0,0,s2,0,0,0,0,s3,0);det(lambda*diag(1,1,1,1)-L);5 5 5 5 5二、莱斯利矩阵的特征值和特征向量6证明中用到的知识：

2、1.重根 如果多项式 在 有重根,则证证2.棣莫弗(DeMoivre,A.)公式3.三角不等式如果等号成立的充分必要条件是存在 使得7部分证明n=1时等式成立.设对于n等式成立.按最后一列展开得到递推公式7(1)8即等式对于n+1也成立,根据数学归纳法,等式对于任意自然数成立.9令 ,根据条件,求和号中至少有一项非零,f(x)是单调严格下降连续函数,并且根据连续函数的中间值定理,存在唯一 ,使得 即 是唯一正特征值.是单根.1010 plot(x3-x2-x-1,x=-3.3,thickness=3);11现在求属于 的特征向量.代数重数为一，故几何重数也为一,故矩阵的行向量组线性相关,但后n

3、-1个行向量线性无关,第一个行向量必定是后n-1个行向量线性组合联邦克立安 联邦克立安价格 联邦克立安批发 13取自由未知量 xn=1,得14(2)设相邻两个bi不等于零时，我们证明莱斯利矩阵的其他特征值的绝对值都小于.141515设设 是和 不同的特征值.1616如果 设17P的第一列是17(3)设L可以对角化,即存在可逆矩阵P,使得181818181819莱斯利矩阵及其应用莱斯利矩阵及其应用佛坪大熊猫种群发展的预测研究郭瑞海郭瑞海(西南民族学院数学系)袁晓凤袁晓凤(中国科学院成都计算所数理室)第22 卷第2 期Journal of Southwest Nationalities Colle

4、geNatural Science EditionMay 1996三、莱斯利矩阵对于大熊猫种群发展的预测2021几个特殊矩阵的特征值(1)莱斯利矩阵的主特征值和特征向量.(2)是n维列向量，的特征值为(n-1)重.(3)B有特征值nb,0(n-1)重，A有特征值1+(n-1)b，1-b(n-1)重.22 重要矩阵对称 对应不同特征值的特征向量正交.正交矩阵 保持向量长度和正交性方阵的多项式A有特征值,则f(A)有特征值f().可逆矩阵A有特征值,则f(A)有特征值f().例三阶实对称矩阵有特征值1,2,3,求的行列式.23232323232列昂季耶夫投入产出分析简介国民经济各部门间存在某种连锁

5、关系.一个经济部门倚赖其他部门的产品或半成品,同时也为其他部门提供条件.如何在特定的经济形势下确定各个经济部门的产出水平以满足整个社会的经济需要是一个十分重要的问题.投入产出模型就是利用数学方法综合地描述各经济部门间产品的生产和消耗关系的一种经济数学模型.2424242424这种数学模型是由美国经济学家列昂季耶夫首先提出,多年来被各国广泛使用,在编制经济计划、经济预测以及研究污染、人口等社会问题中发挥了很大的作用.列昂季耶夫因此获得了1973年诺贝尔经济学奖.列昂季耶夫提出以下假设:一 国民经济划分为几个生产部门,每个部门生产一种产品;二 每个部门将其他部门产品加工为本部门产品,在这一过程中,

6、消耗的其他部门产品为“投入”,本部门产品为“产出”.25252525投入产出模型创始人 瓦西里瓦西里瓦西里耶维奇瓦西里耶维奇列昂季耶夫列昂季耶夫（俄语俄语：；英语英语：Wassily Leontief，1905年8月5日1999年2月5日）是一位俄裔美国经济学家经济学家，后移居美国美国任教于哈佛大学哈佛大学.他以“投入产出理论投入产出理论”对于经济学的贡献获得了1973年诺贝尔诺贝尔经济学奖经济学奖.1928年他以国民政府铁道部国民政府铁道部的顾问身份访问中国一年，往后他不时地利用在中国时的经验解释“投入产出理论投入产出理论”.2626262626他出生于德国慕尼黑，在俄罗斯的圣彼得堡成长，他

7、的父亲老列昂季耶夫（WassilyW.Leontief）是一位经济学教授。他15岁就进入了父亲执教的列宁格勒大学攻读哲学，也选修了一些经济学的课程。19岁（1925年）时便获学士学位，同年移居德国进入柏林大学专攻经济学，22岁时（1928年）获经济学博士学位。他离开俄国的原因跟他公开反对共产主义有关，他甚至为此数度被逮捕和监禁。2727272727一、投入产出表设有n个生产部门，分别用1,2,，n表示，第i个部门只生产产品i，根据报告期的统计数据列表如下中间产品中间投入最初投入总投入最终产品总产出投入部门间流量产出2828282828xi 表示表示第i个部门总产出,xij表示第i个部门分配给第

8、 j个部门的产品数量，yi是第i个部门的最终产品数量，Nj是j部门的最初投入.根据每个部门总产出等于总投入的假设得平衡方程2929292929二、投入产出数学模型二、投入产出数学模型 表示j部门生产单位产品所消耗的的i部门产品数量，称为j部门对于i部门的直接消耗系数.矩阵称为直接消耗系数矩阵,显然A是非负矩阵,并且有1.直接消耗系数矩阵如果30303030302.投入产出方程由(1)和(3)得写成矩阵形式这个方程称为投入产出方程.3131313131由(2),(3)得写成矩阵形式32323232323.投入产出方程解的存在唯一性和非负性定理定理1 如果A为非负矩阵,并且则方程组 对于任意Y有唯

9、一解.33证明证明 我们要证E-A 可逆.用反证法.若E-A 不可逆,则E-AT不可逆.于是存在非零列向量X矛盾.34343434定理定理2(霍金斯-西蒙)如果A为非负矩阵,并且假设Y0,则方程组 的解 X0.证明证明 根据上一个定理,EA可逆,设其逆矩阵为我们证明B的每个元素非负.用反证法.设第k行有负元素,此行的最小元素记为 由 B(E A)=E 得注意到 我们得矛盾.35定理定理3(霍金斯-西蒙)设A为直接消耗系数矩阵.当Y0时投入产出方程(EA)X=Y有非负解的充分必要条件是EA的顺序主子式为正,即L1的x1轴上的截距对于x1轴的斜率为L2的x2轴上的截距对于x1轴的斜率为L1和L2在

10、第一象限相交，需要n=2时的几何解释.证明充分性(用初等变换法)对于n阶方程组的矩阵为设假定其顺序主子式都大于零.第i(i2)行加第一行的 倍得到以上所作的初等变换不改变主子式的值,故子矩阵 的非对角线上的元素为负,如此下去得到由初等变换的过程知 故解40必要性证明.对于 方程组 有非负解X，设 对于第i个分量为1其余分量为0的列向量Y，方程(*)有非负解X，考虑前I 个等式，并且移项得相应系数矩阵对这个矩阵进行初等行变换，由充分性的证明知道这个矩阵变为递推得41421969-2014诺贝尔经济学奖名单及其与数学的关系4344454647482006埃德蒙费尔普斯EdmundS.Phelps6

11、0（美国）在宏观经济跨期决策权衡领域所取得的研究成就美国哥伦比亚大学宏观经济学2007里奥尼德赫维茨LeonidHurwicz61（美国）为机制设计理论奠定了基本美国明尼苏达大学微观经济学埃里克马斯金EricS.Maskin62（美国）美国普林斯顿高等研究院罗杰梅尔森RogerB.Myerson63-64（美国）美国芝加哥大学2008保罗克鲁格曼PaulKrugman65-66（美国）对经济活动的贸易模式和区域的分析美国普林斯顿大学国际经济学，区域经济学2009埃莉诺奥斯特罗姆ElinorOstrom67-71（美国）经济治理，尤其是对普通民众作出的贡献和经济治理分析，尤其是企业边际领域方面的

12、贡献。美国印第安纳大学，美国亚利桑那州立大学经济治理492010彼得戴蒙德PeterA.Diamond73-75（美国）在市场搜寻理论中具有卓越贡献。美国麻省理工学院（MIT）搜寻理论，劳动经济学戴尔莫滕森DaleT.Mortensen7476（美国）丹麦奥胡斯大学，美国西北大学克里斯托弗皮萨里德斯ChristopherA.Pissarides7477（塞浦路斯）伦敦政治经济学院2011托马斯萨金特ThomasJ.Sargent78-80（美国）在宏观经济学中对成因及其影响的实证研究81美国纽约大学宏观经济计量学克里斯托弗西姆斯ChristopherSims788082（美国）美国普林斯顿大学2012埃尔文罗斯AlvinE.Roth83-89（美国）创建“稳定分配”的理论，并进行“市场设计”的实践。90美国哈佛大学，美国哈佛商学院博弈论罗伊德沙普利LloydS.Shapley84-8891（美国）美国加州大学2013尤金法玛EugeneFama（美国）对资产价格的实证分析芝加哥大学金融经济学拉尔斯彼得汉森PeterHansen（美国）芝加哥大学罗伯特希勒RobertShiller（美国）耶鲁大学2014让梯若尔JeanTirole（法国）对市场力量和管制的研究分析。法国图卢兹经济学院规制经济学92