机器人学导论第2章ppt课件.ppt

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1、经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用第第2 2章章 机器人位置运动学机器人位置运动学 2.1 引言引言 2.2 机器人机构机器人机构 2.3 机器人运动学的矩阵表示机器人运动学的矩阵表示 2.4 齐次变换矩阵齐次变换矩阵 2.5 变换的表示变换的表示 2.6 变换矩阵的逆变换矩阵的逆 2.7 机器人的正逆运动学机器人的正逆运动学 2.8 机器人正运动学方程的机器人正运动学方程的D-H表示法表示法经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品

2、的价款或接受服务的费用 2.9 机器人的逆运动学解机器人的逆运动学解 2.10 机器人的逆运动学编程机器人的逆运动学编程 2.11 设计项目设计项目1：SCARA机器人机器人 小结小结经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用2.1 2.1 引言引言位位置置运运动动学学正运动学正运动学 逆运动学逆运动学 关节变量关节变量位姿位姿位姿位姿关节变量关节变量经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用假设：假设：在本章中，我们假

3、设机器人末端是一个平板面，在本章中，我们假设机器人末端是一个平板面，并称其为并称其为“手手”或或“端面端面”。只有在必要时，才将。只有在必要时，才将末端执行器的长度加到机器人的末端来确定末端执末端执行器的长度加到机器人的末端来确定末端执行器的位姿。行器的位姿。说明：说明：实际上，机械手型机器人没有末端执行器，用户实际上，机械手型机器人没有末端执行器，用户可根据实际应用为其附加不同末端执行器。而末端可根据实际应用为其附加不同末端执行器。而末端执行器的大小和长短决定机器人末端位置。执行器的大小和长短决定机器人末端位置。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增

4、加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用2.2 2.2 机器人机构机器人机构 大家先来看右边这幅图大家先来看右边这幅图 从这幅图我们可以看到，从这幅图我们可以看到，当曲柄转角设定为当曲柄转角设定为120时，时，连杆与摇杆的角度也就确连杆与摇杆的角度也就确定了。这是典型的单自由定了。这是典型的单自由度闭环结构，当变量设定度闭环结构，当变量设定为特定值时，机器人的机为特定值时，机器人的机构就完全确定了，所有其构就完全确定了，所有其他变量也就随之确定。他变量也就随之确定。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受

5、服务的费用 但实际上，为了使机器人能在三维空间运动，但实际上，为了使机器人能在三维空间运动，机器人通常具有机器人通常具有多个自由度多个自由度，并且有三维，并且有三维开环开环链链式机构，二维多自由度的机器人并不常见。而对式机构，二维多自由度的机器人并不常见。而对于开环控制系统来说，由于没有反馈，如果关节于开环控制系统来说，由于没有反馈，如果关节和连杆有丝毫的偏差，该关节之后的所有关节的和连杆有丝毫的偏差，该关节之后的所有关节的位置都会改变，而且没有反馈。所以，对于一个位置都会改变，而且没有反馈。所以，对于一个实际的机器人来说，即使设定所有的关节，也不实际的机器人来说，即使设定所有的关节，也不能确

6、保机器人的手准确地处于给定的位置。只有能确保机器人的手准确地处于给定的位置。只有不断测量所有关节和连杆的参数，或者监控系统不断测量所有关节和连杆的参数，或者监控系统的末端才能知道机器人手的运动位置。的末端才能知道机器人手的运动位置。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 我们比较一下这两幅图，有谁能说出二者最本质我们比较一下这两幅图，有谁能说出二者最本质的区别？的区别？大家再来看这样两幅图大家再来看这样两幅图经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消

7、费者购买商品的价款或接受服务的费用 二者的本质区别就是，左图是一个闭环机构，而二者的本质区别就是，左图是一个闭环机构，而右图是一个开环机构。让我们分别列出两个机构的右图是一个开环机构。让我们分别列出两个机构的向量方程，用来表示这种区别。向量方程，用来表示这种区别。O1A+AB=O1O2+O2B a图图O1A+AB+BC=O1C b图图 在式一中，如果连杆在式一中，如果连杆AB偏移，则偏移，则O1A也会相应移也会相应移动，但是，在等式右边，因为动，但是，在等式右边，因为O1O2是可设定的，所是可设定的，所以只需测出以只需测出AB和和O1A 的变化，的变化，O2B就可测得了。就可测得了。而在式二中

8、，如果左式中的而在式二中，如果左式中的AB变化了，显然，我变化了，显然，我们是无法预测们是无法预测O1C的变化的，除非的变化的，除非AB，O1A和和BC的变化都被测得。的变化都被测得。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用该怎样弥补开环机器人的缺陷呢？该怎样弥补开环机器人的缺陷呢？借助摄像机等装置来构成闭环系统借助摄像机等装置来构成闭环系统增加连杆和关节强度来减少偏移增加连杆和关节强度来减少偏移经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的

9、价款或接受服务的费用2.3 2.3 机器人运动学的矩阵表示机器人运动学的矩阵表示 矩阵表示的范围：点，向量，坐标系，平移，旋矩阵表示的范围：点，向量，坐标系，平移，旋转以及变换，还可以表示坐标系中的物体和其他运转以及变换，还可以表示坐标系中的物体和其他运动元件。动元件。2.3.1 空间点的表示空间点的表示大家看下面这幅图，该用什么方法表示点大家看下面这幅图，该用什么方法表示点P呢？呢？经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用我们可以这样来表示我们可以这样来表示 P=ax i+by j+cz k其中其中ax

10、,by,cz是参考坐标系中表示该点的坐标。显是参考坐标系中表示该点的坐标。显然，也可以用其他坐标来表示空间点的位置。然，也可以用其他坐标来表示空间点的位置。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用2.3.2 空间向量的表示空间向量的表示让我们再来看下面这幅图，图中的向量让我们再来看下面这幅图，图中的向量P该该怎样表示呢？怎样表示呢？经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 向量可用三个起始和终止的坐标来表示。如果一向

11、量可用三个起始和终止的坐标来表示。如果一个向量起始于个向量起始于A，终止于，终止于B，那么它可以表示为，那么它可以表示为 PAB=（Bx-Ax)i+(By-Ay)j+(Bz-Az)k 如果一个向量的起点是原点，则上式就变成了点如果一个向量的起点是原点，则上式就变成了点的表示形式，则有：的表示形式，则有：P=ax i+by j+cz k 其中其中ax,by,cz是该向量在参考坐标系中的分量。是该向量在参考坐标系中的分量。以上是我们比较熟悉的表示方法，下面我们来介绍以上是我们比较熟悉的表示方法，下面我们来介绍一种矩阵表达的形式。一种矩阵表达的形式。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者

12、的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 上述向量也可表示为上述向量也可表示为P=axbycz 这种表示法也可以稍作变化：这种表示法也可以稍作变化：我们加入一个比我们加入一个比例因子例因子w，如果，如果x、y、z各除以各除以w，则得到，则得到ax、by、cz。于是，这时向量可以写为：。于是，这时向量可以写为：P=XYZw其中，其中，ax=x,by=yww等等等等经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 随着随着w的变化，向量大小也随之发生变化，这类的变化，向量大小也

13、随之发生变化，这类似于计算机图形学中对图片的放大或缩小。让我们似于计算机图形学中对图片的放大或缩小。让我们来讨论一下来讨论一下w的取值的取值w1时，向量的所有分量都变大时，向量的所有分量都变大w=1时，各分量大小保持不变时，各分量大小保持不变w1时，向量的所有分量都变小时，向量的所有分量都变小w=0时，向量长度无穷大，方向由时，向量长度无穷大，方向由x,y,z确定确定注意：这就是矩阵表示法中方向向量注意：这就是矩阵表示法中方向向量的表示方法。的表示方法。接下来我们看这样一个例子接下来我们看这样一个例子经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为

14、消费者购买商品的价款或接受服务的费用 例例2.1 有一个向量有一个向量P=3i+5j+2k,按如下要求将其表按如下要求将其表示成矩阵形式：示成矩阵形式：（1）比例因子为）比例因子为2（2）将它表示为方向的单位向量）将它表示为方向的单位向量解：解：该向量可以表示为比例因子为该向量可以表示为比例因子为2的矩阵形式，当比例的矩阵形式，当比例因子为因子为0时，则可以表示为方向向量，结果如下：时，则可以表示为方向向量，结果如下：P=和和 P=610 4 23520经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 接下来我们

15、将方向向量变为单位向量。我们接下来我们将方向向量变为单位向量。我们只需把每一个分量都除以三个分量平方和的开只需把每一个分量都除以三个分量平方和的开方，最终的答案是方，最终的答案是P=0.4870.8110.3240经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用2.3.3 坐标系在固定参考坐标系原点的表示坐标系在固定参考坐标系原点的表示 在上一节中我们得知，每一个向量都可由它们所在上一节中我们得知，每一个向量都可由它们所在参考坐标系中的三个分量表示，我们不妨用三个在参考坐标系中的三个分量表示，我们不妨用三个相互垂

16、直的单位向量来表示一个中心位于参考坐标相互垂直的单位向量来表示一个中心位于参考坐标系原点的坐标系，分别为系原点的坐标系，分别为n,o,a，依次表示法线依次表示法线(normal)，指向，指向(oritentation)，和接近，和接近(approach)。这样，坐标系就可以由三个向量以矩。这样，坐标系就可以由三个向量以矩阵的形式表示为阵的形式表示为F=nx ox axny oy aynz oz az经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 2.3.4 坐标系在固定参考坐标系中的表示坐标系在固定参考坐标系中

17、的表示如果一个坐标系不在固定参考坐标系的原如果一个坐标系不在固定参考坐标系的原点，那么该坐标系的原点相对于参考坐标点，那么该坐标系的原点相对于参考坐标系该怎样表示呢？系该怎样表示呢？经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用我们可以在该坐标系的原点与参考坐标系原点之我们可以在该坐标系的原点与参考坐标系原点之间做一个向量，而这个向量由上节中提到的参考间做一个向量，而这个向量由上节中提到的参考坐标系的三个坐标向量表示。这样，这个坐标系坐标系的三个坐标向量表示。这样，这个坐标系就可以由三个表示方向的单位向量以及第

18、四个位就可以由三个表示方向的单位向量以及第四个位置向量来表示。置向量来表示。F=nx ox ax pxny oy ay pynz oz az pz0 0 0 1经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 在上式中，前三个向量是在上式中，前三个向量是w=0的方向向量，表的方向向量，表示该坐标系三个单位向量示该坐标系三个单位向量n,o,a的方向，而第四的方向，而第四个个w=1的向量表示该坐标系原点相对于参考坐标的向量表示该坐标系原点相对于参考坐标系的位置。与单位向量不同，向量系的位置。与单位向量不同，向量P的长

19、度十分的长度十分重要，因而使用比例因子为重要，因而使用比例因子为1。大家想一想大家想一想，右图中的，右图中的F坐坐标系该怎样表示呢？（它位标系该怎样表示呢？（它位于参考坐标系的于参考坐标系的3，5，7的的位置。位置。n轴与轴与x轴平行，轴平行，o轴轴相对于相对于y轴角度轴角度45，a轴相轴相对于对于z轴角度轴角度45 ）经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用F=1 0 0 320 0.707-0.707 530 0.707 0.707 740 0 0 1经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者

20、的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用2.3.5 刚体的表示刚体的表示我们该怎样对一个物体进行空间表示呢？我们该怎样对一个物体进行空间表示呢？通常的做法是：首先在它上面固连一个坐标系，通常的做法是：首先在它上面固连一个坐标系，再将该固连的坐标系在空间表示出来。因为物体再将该固连的坐标系在空间表示出来。因为物体一直和该坐标系固连在一起，所以相对于该坐标一直和该坐标系固连在一起，所以相对于该坐标系的位姿是已知的，而这个坐标系又可以通过参系的位姿是已知的，而这个坐标系又可以通过参考坐标系来表示，因此这个物体相对于参考坐标考坐标系来表示，因此这个物体相对于参考

21、坐标系的位姿也就已知了。我们可以用矩阵表示这个系的位姿也就已知了。我们可以用矩阵表示这个位姿，其中坐标原点和相对于参考坐标系的表示位姿，其中坐标原点和相对于参考坐标系的表示该坐标姿态的三个向量同样可以用该矩阵表示出该坐标姿态的三个向量同样可以用该矩阵表示出来。来。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用Fobject=nx ox ax pxny oy ay pynz oz az pz0 0 0 1大家再来想一想，一个刚体在空间有几个大家再来想一想，一个刚体在空间有几个自由度？是三个吗？自由度？是三个吗？正

22、确的答案是：六个正确的答案是：六个 因为刚体除了有沿三条参考坐标轴移动的三个自因为刚体除了有沿三条参考坐标轴移动的三个自由度外，它自身还可以绕这三个轴旋转。由度外，它自身还可以绕这三个轴旋转。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 所以如果要全面地定义一物体，就需要所以如果要全面地定义一物体，就需要6条独立条独立的信息来描述物体原点在参考坐标系中的位置，以的信息来描述物体原点在参考坐标系中的位置，以及物体关于这三个坐标轴的姿态。如下图所示及物体关于这三个坐标轴的姿态。如下图所示经营者提供商品或者服务有欺

23、诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 还记得前面列出的这个矩阵吗？大家来想一想，还记得前面列出的这个矩阵吗？大家来想一想，这个矩阵中有几条信息？这个矩阵中有几条信息？Fobject=nx ox ax pxny oy ay pynz oz az pz0 0 0 1正确的答案是：正确的答案是：12条条经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 因为最后一行的比例因子没有附加信息，所以因为最后一行的比例因子没有附加信息，所以我们将其排除。在剩下的

24、我们将其排除。在剩下的12条中，条中，9条为姿态信条为姿态信息，息，3条为位置信息。条为位置信息。如果我们利用一些约束条件，是不是可以将上如果我们利用一些约束条件，是不是可以将上述信息减少到述信息减少到6条呢？答案是肯定的。但是，这需条呢？答案是肯定的。但是，这需要利用要利用6个存在的约束条件。这些条件来自于目前个存在的约束条件。这些条件来自于目前尚未利用的已知坐标系特性。尚未利用的已知坐标系特性。谁能说一说是哪些特性？谁能说一说是哪些特性？经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 首先，三个向量首先，三

25、个向量n,o,a是相互垂直的是相互垂直的 其次，每个单位向量的长度必须为其次，每个单位向量的长度必须为1 我们可以将其转换为以下六个约束方程：我们可以将其转换为以下六个约束方程：no=0 n=1na=0 o=1ao=0 a=1 对于左边的三个方程，我们也可以这样表示对于左边的三个方程，我们也可以这样表示no=a 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用求解所缺元素的值，并用矩阵来表示这个坐标系求解所缺元素的值，并用矩阵来表示这个坐标系。F=？0？50.707？3？0 20 0 0 1经营者提供商品或者服务

26、有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 思路点拨：应用六个约束条件思路点拨：应用六个约束条件经过计算我们会得到经过计算我们会得到nx=0.707,nz=0,oy=0,oz=1,ax=0.707,ay=-0.707 大家想想为什么会出现多组解呢？大家想想为什么会出现多组解呢？这是因为利用给出的参数我们得到了两组在相反这是因为利用给出的参数我们得到了两组在相反方向相互垂直的向量。方向相互垂直的向量。除此之外，除此之外，nx与与ax必须同号，你知道为什么吗？必须同号，你知道为什么吗？最终我们得到了如下两个矩阵最终我们得到了如下两个

27、矩阵经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用F=0.707 0 0.707 50.707 0 -0.707 30 1 0 20 0 0 1或 F=-0.707 0 -0.707 50.707 0 -0.707 30 1 0 20 0 0 1 除了这种解法，我们也可以利用除了这种解法，我们也可以利用no=a来求解，大来求解，大家回去不妨试试。家回去不妨试试。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用2.4 2.4 齐次变

28、换矩阵齐次变换矩阵 变换矩阵应写成方型形式变换矩阵应写成方型形式 理由：理由：1 计算方型矩阵的逆要比计算长方形矩阵的逆容计算方型矩阵的逆要比计算长方形矩阵的逆容易的多易的多 2 为使两矩阵相乘，它们的维数必须匹配。由于为使两矩阵相乘，它们的维数必须匹配。由于要以不同顺序将许多矩阵乘在一起来得到机器人运要以不同顺序将许多矩阵乘在一起来得到机器人运动方程，因此应采用方阵进行计算。动方程，因此应采用方阵进行计算。具体做法：具体做法：1 加入比例因子使之成为加入比例因子使之成为4 x 4矩阵，既表示姿态又矩阵，既表示姿态又表示位置表示位置 2 只表示姿态，去掉比例因子得到只表示姿态，去掉比例因子得到

29、3 x 3矩阵矩阵经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用3加入第四列全为零的位置数据以保持矩阵为方阵。加入第四列全为零的位置数据以保持矩阵为方阵。这种形式的矩阵称为齐次矩阵，它们写为：这种形式的矩阵称为齐次矩阵，它们写为：F=nx ox ax pxny oy ay pynz oz az pz0 0 0 1经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用2.5 2.5 变换的表示变换的表示 变换定义为空间的一个运动。当空间的

30、一个坐标变换定义为空间的一个运动。当空间的一个坐标系（一个向量、一个物体或一个运动坐标系）相对系（一个向量、一个物体或一个运动坐标系）相对于固定的参考坐标系运动时，这一运动可以用类似于固定的参考坐标系运动时，这一运动可以用类似于表示坐标系的方式来表示。这是以因为变换本身于表示坐标系的方式来表示。这是以因为变换本身就是坐标系状态的变化（表示坐标系位姿的变化），就是坐标系状态的变化（表示坐标系位姿的变化），因此变换可以用坐标系来表示。变换可为如下几种因此变换可以用坐标系来表示。变换可为如下几种形式中的一种：形式中的一种：1 纯平移纯平移 2 绕一个轴的纯旋转绕一个轴的纯旋转 3 平移与旋转的结合平

31、移与旋转的结合 为了解它们的表示方法，我们将逐一进行探讨。为了解它们的表示方法，我们将逐一进行探讨。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用2.5.1 纯平移变换的表示纯平移变换的表示大家来看这样一幅图大家来看这样一幅图如果一坐标系（它也如果一坐标系（它也可能表示一个物体）可能表示一个物体）在空间以不变的姿态在空间以不变的姿态运动，那么该变换就运动，那么该变换就是纯平移。在这种情是纯平移。在这种情况下，它的方向单位况下，它的方向单位向量保持同一个方向向量保持同一个方向不变。所有的改变只不变。所有的改变只是

32、坐标系原点相对于是坐标系原点相对于参考坐标系的变换。参考坐标系的变换。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 相对于固定参考坐标系的新的坐标系的位置可以相对于固定参考坐标系的新的坐标系的位置可以用原来坐标系的原点位置向量加上表示位移的向量用原来坐标系的原点位置向量加上表示位移的向量求得。若用矩阵形式，新坐标系的表示可以通过坐求得。若用矩阵形式，新坐标系的表示可以通过坐标系左乘变换矩阵得到。由于在纯平移中方向向量标系左乘变换矩阵得到。由于在纯平移中方向向量不改变，变换矩阵不改变，变换矩阵T可以简单地表示为

33、：可以简单地表示为：T=10 0 dx20 1 0 dy30 0 1 dz40 0 0 1 其中其中dx,dy和和dz是纯平是纯平移向量移向量d相对于参考坐标相对于参考坐标系系x,y和和z轴的三个分量。轴的三个分量。可以看到，矩阵的前三列可以看到，矩阵的前三列表示没有旋转运动（等同表示没有旋转运动（等同于单位阵），而最后一列于单位阵），而最后一列表示平移运动。表示平移运动。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用新的坐标系位置为：新的坐标系位置为：Fnew=1 0 0 dx0 1 0 dy0 0 1 dz

34、0 0 0 1nx ox ax pxny oy ay pynz oz az pz0 0 0 1=nx ox ax px+dxny oy ay py+dynz oz az pz+dz0 0 0 1 这个方程也可以用符号写为这个方程也可以用符号写为 Fnew=Trans(dx,dy,dz)Fold两个叉乘积矩阵如果位置交两个叉乘积矩阵如果位置交换的结果？换的结果？经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 首先，如前面所看到的，新坐标系位置可通过首先，如前面所看到的，新坐标系位置可通过在坐标系矩阵前面左乘变换矩

35、阵得到，后面将看在坐标系矩阵前面左乘变换矩阵得到，后面将看到，无论以何种形式，这种方法对于所有的变换到，无论以何种形式，这种方法对于所有的变换都成立。其次可以注意到，方向向量经过纯平移都成立。其次可以注意到，方向向量经过纯平移后保持不变。但是，新的坐标系位置是后保持不变。但是，新的坐标系位置是d 和和 p向向量相加的结果，即量相加的结果，即d+p。最后应该注意到，齐次。最后应该注意到，齐次变换矩阵与矩阵乘法的关系使得到的新矩阵的维变换矩阵与矩阵乘法的关系使得到的新矩阵的维数和变换前相同。数和变换前相同。让我们来看这样一个例子让我们来看这样一个例子经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费

36、者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 例题：例题：坐标系坐标系F沿参考坐标系的沿参考坐标系的x 轴移动轴移动9个单位，个单位，沿沿z轴移动轴移动5个单位。求新的坐标系位置。个单位。求新的坐标系位置。F=0.527 -0.574 0.628 50.369 0.819 0.439 3-0.766 0 0.643 80 0 0 1思路点拨：首先根据已知条件确定思路点拨：首先根据已知条件确定dx=9,dy=0,dz=5之后代入公式之后代入公式Fnew=Trans(dx,dy,dz)Fold即可即可经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加

37、赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用2.5.2 绕轴纯旋转变换的表示绕轴纯旋转变换的表示 为简化绕轴旋转的推导，首先假设该坐标系位于参为简化绕轴旋转的推导，首先假设该坐标系位于参考坐标系的原点并且与之平行，之后将结果推广到其考坐标系的原点并且与之平行，之后将结果推广到其他的旋转以及旋转的组合。他的旋转以及旋转的组合。假设坐标系（假设坐标系（n,o,a）位于参考坐标系（）位于参考坐标系（x,y,z）的原点，坐标系（）的原点，坐标系（n,o,a）绕参考坐标系的）绕参考坐标系的x轴轴旋转一个角度旋转一个角度 ，再假设旋转坐标系（，再假设旋转坐标系（n,o,a）上有）

38、上有一点一点P相对于参考坐标系的坐标为相对于参考坐标系的坐标为Px,Py和和Pz，相对，相对于运动坐标系的坐标为于运动坐标系的坐标为Pn,Po和和Pa。当坐标系绕。当坐标系绕x轴轴旋转时，坐标系上的点旋转时，坐标系上的点P也随坐标系一起旋转。也随坐标系一起旋转。旋转前后，旋转前后，P点坐标有何变化？点坐标有何变化？经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 如图所示，在旋转之前，如图所示，在旋转之前，P点在两个坐标系中点在两个坐标系中的坐标是相同的（这时两个坐标系位置相同，并的坐标是相同的（这时两个坐标系位

39、置相同，并且相互平行）。旋转后，该点坐标且相互平行）。旋转后，该点坐标Pn,Po和和Pa在在旋转坐标系（旋转坐标系（x,y,z）中保持不变，但在参考坐）中保持不变，但在参考坐标系中标系中Pn,Po和和Pa却改变了却改变了经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用让我们从让我们从x轴来观察在二维平面上的同一点的坐标轴来观察在二维平面上的同一点的坐标 结论：可以看出，结论：可以看出，Px不随坐标系统不随坐标系统x轴的转动轴的转动而改变，而而改变，而Py和和Pz却改变了却改变了 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的

40、，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 可以证明可以证明PxPyPz1 0 020 cos -sin30 sin cos PnPoPa=可见，为了得到在参考坐标系中的坐标，旋转坐可见，为了得到在参考坐标系中的坐标，旋转坐标系中的点标系中的点P（或向量（或向量P）的坐标必须左乘旋转矩阵。）的坐标必须左乘旋转矩阵。这个旋转矩阵只适用于绕参考坐标系的这个旋转矩阵只适用于绕参考坐标系的x轴做纯旋轴做纯旋转变换的情况，它可表示为：转变换的情况，它可表示为：Pxyz=Rot(x,)Pnoa经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加

41、赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用注意注意 旋转矩阵的第一列表示相对于旋转矩阵的第一列表示相对于x轴的位置，其值轴的位置，其值为为1，0，0，它表示沿，它表示沿x轴的坐标没有改变。轴的坐标没有改变。声明声明 为简化书写，习惯用符号为简化书写，习惯用符号C 表示表示cos 以及用以及用S表示表示sin 。因此，旋转矩阵也可写为：。因此，旋转矩阵也可写为：Rot(x,)=1 0 020 c -s30 s c类似可以得到类似可以得到绕绕Y Y轴和轴和Z Z轴旋轴旋转变换公式转变换公式经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加

42、赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 也可写为习惯的形式，以便于理解不同坐标系也可写为习惯的形式，以便于理解不同坐标系间的关系，为此可将该变换表示为间的关系，为此可将该变换表示为 TR(读做坐标读做坐标系系R相对于坐标系相对于坐标系U（Universe）的变换）的变换)，将，将Pnoa表示为表示为 P(P相对于坐标系相对于坐标系R)，将，将Pxyz表示表示为为为为 P（P相对于坐标系相对于坐标系U）则上式可简化为：则上式可简化为：P=TR P 去掉去掉R便得到了便得到了P相对于坐标系相对于坐标系U的坐标。全书的坐标。全书将用同样的符号表示多重变换。将用同样的符号表示多重变换。UUR

43、UUR最后，让我们看这样一道例题最后，让我们看这样一道例题经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 例题：旋转坐标系中有一点例题：旋转坐标系中有一点P（2，3，4），此坐），此坐标系绕参考坐标系标系绕参考坐标系x轴旋转轴旋转90度。求旋转后该点相度。求旋转后该点相对于参考坐标系的坐标，并且用图解法检验结果。对于参考坐标系的坐标，并且用图解法检验结果。T解：解：由于点由于点P固连在旋转坐标系中，因此点固连在旋转坐标系中，因此点P相对于相对于旋转坐标系的坐标在旋转前后保持不变。该点相旋转坐标系的坐标在旋转前后

44、保持不变。该点相对于参考坐标系的坐标为：对于参考坐标系的坐标为：PxPyPz1 0 020 c -s30 s cPnPoPa=1 0 020 0 -130 1 0234=2-43经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用我们再用图解法解这道题我们再用图解法解这道题可以得到相对于参考坐标系的坐标为可以得到相对于参考坐标系的坐标为2，-4，3经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用2.5.3 复合变换的表示复合变换的表示

45、复合变换是有固定参考坐标系或当前运动坐标系复合变换是有固定参考坐标系或当前运动坐标系的一系列沿轴平移和绕轴旋转变换所组成的。任何的一系列沿轴平移和绕轴旋转变换所组成的。任何变换都可以分解为按一定顺序的一组平移和旋转变变换都可以分解为按一定顺序的一组平移和旋转变换。例如，为了完成所要求的变换，可以先绕换。例如，为了完成所要求的变换，可以先绕X轴轴旋转，再沿旋转，再沿x,y,z轴平移，最后绕轴平移，最后绕y轴旋转。在后面轴旋转。在后面将会看到，这个变换顺序很重要，如果颠倒两个依将会看到，这个变换顺序很重要，如果颠倒两个依次变换的顺序，结果将会完全不同。次变换的顺序，结果将会完全不同。为了探讨如何处

46、理复合变换，假定坐标系为了探讨如何处理复合变换，假定坐标系（n,o,a）相对于参考坐标系（）相对于参考坐标系（x,y,z）依次进行了）依次进行了下面三个变换：下面三个变换：（1）绕）绕x轴旋转度轴旋转度 度度 （2）接着平移）接着平移L1,L2,L3（分别相对于（分别相对于x,y,z轴轴）（3）最后绕）最后绕y轴旋转轴旋转 度。度。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 比如点比如点Pnoa固定在旋转坐标系，开始时旋转坐固定在旋转坐标系，开始时旋转坐标系的原点与参考坐标系的原点重合。随着坐标系标系的原点

47、与参考坐标系的原点重合。随着坐标系（n,o,a）相对于参考坐标系旋转或者平移时，坐标）相对于参考坐标系旋转或者平移时，坐标系中的系中的P点相对于参考坐标系也跟着改变。如前面点相对于参考坐标系也跟着改变。如前面所看到的，第一次变换后，所看到的，第一次变换后，P点相对于参考坐标系点相对于参考坐标系的坐标可用下列方程进行计算。的坐标可用下列方程进行计算。P1,xyz=Rot(x,a)Pnoa 其中，其中，P1，xyz是第一次变换后该点相对于参考是第一次变换后该点相对于参考坐标系的坐标。第二次变换后，该点相对于参考坐坐标系的坐标。第二次变换后，该点相对于参考坐标系的坐标是：标系的坐标是：P2,xyz=

48、Trans(l1,l2,l3)P1,xyz=Trans(l1,l2,l3)Rot(x,a)Pnoa经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 同样，第三次变换后，该点相对于参考坐标系同样，第三次变换后，该点相对于参考坐标系的坐标为：的坐标为：Pxyz=P3,xyz=Rot(y,)P2,xyz=Rot(y,)Trans(l1,l2,l3)Rot(x,)Pnoa 可见，每次变换后该点相对于参考坐标系的坐可见，每次变换后该点相对于参考坐标系的坐标都是通过用每个变换矩阵左乘该点的坐标得到标都是通过用每个变换矩阵左乘

49、该点的坐标得到的。当然，矩阵的顺序不能改变。同时还应注意，的。当然，矩阵的顺序不能改变。同时还应注意，对于相对于参考坐标系的每次变换，矩阵都是左对于相对于参考坐标系的每次变换，矩阵都是左乘的。因此，矩阵书写的顺序和进行变换的顺序乘的。因此，矩阵书写的顺序和进行变换的顺序正好相反。正好相反。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例例2.6 固连在坐标系（固连在坐标系（n,o,a）上的点）上的点P（7，3，2）经历如下变换，求出变换后该点相对于参考）经历如下变换，求出变换后该点相对于参考坐标系的坐标。坐标系

50、的坐标。(1)绕绕z轴旋转轴旋转90度；度；(2)接着绕接着绕y轴旋转轴旋转90度；度；(3)接着再平移接着再平移4，-3，7。解：解：表示该变换的矩阵方程为：表示该变换的矩阵方程为：Pxyz=Trans(4,-3,7)Rot(y,90)Rot(z,90)Pnoa=经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用1 0 0 40 1 0-30 0 1 70 0 0 10 0 1 00 1 0 0-1 0 0 00 0 0 10-1 0 01 0 0 00 0 1 00 0 0 1732164101=大家来看下面这