第七章布朗运动课件.ppt

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1、LOGO第六章第六章 布朗过程布朗过程布朗运动，有时称为维纳过程，是应用概率论中最有用的布朗运动，有时称为维纳过程，是应用概率论中最有用的随机过程之一，以发现它的英国植物学家罗伯特随机过程之一，以发现它的英国植物学家罗伯特.布朗命布朗命名，是悬浮微粒不停地做无规则运动的现象。首次解释是名，是悬浮微粒不停地做无规则运动的现象。首次解释是爱因斯坦于爱因斯坦于19051905年给出，他证明，假设浸没的粒子连续不年给出，他证明，假设浸没的粒子连续不断受到周围介质的分子的冲击，布朗运动即可解释。断受到周围介质的分子的冲击，布朗运动即可解释。19181918年，维纳给出了布朗运动的简介定义。年，维纳给出了

2、布朗运动的简介定义。自它被发现以来以来，有效的应用于一些领域，如拟合优自它被发现以来以来，有效的应用于一些领域，如拟合优度的统计检验，分析股票市场的价格水平及量子力学。度的统计检验，分析股票市场的价格水平及量子力学。迄今，普遍的观点仍认为，股票市场是随机波动的，随机迄今，普遍的观点仍认为，股票市场是随机波动的，随机波动是股票市场最根本的特性，是股票市场的常态。波动是股票市场最根本的特性，是股票市场的常态。LOGOLOGO1 1 基本概念和性质基本概念和性质对称随机游动：对称随机游动：每个单位时间等可能的向左或向右走一个单位步子。加速此过程，在越来越小的时间间隔中走越来越小的步子。若以正确的方式

3、趋于极限，得到的就是布朗运动。LOGO由式（1）和中心极限定理，得到X(t)的一些性质：（1）X(t)是正态的，均值为0，方差为（2）（3）LOGOLOGOLOGOLOGOLOGOLOGOLOGOLOGOLOGO布朗运动性质：布朗运动性质：（1 1）马尔可夫性马尔可夫性；（2 2）标准布朗运动标准布朗运动：LOGO显然，条件分布是正态分布，均值和方差为LOGO例3：在有两人比赛的自行车赛中，以Y(t)记当100t的竞赛完成时，从内道出发的竞赛者领先的时间秒数，且假设Y(t)可以有效地用方差参数为 的布朗运动建模。求：（1）如果在赛道的中点，内道竞赛者领先 秒，问他取胜的概率是多少？（2）如果内

4、道竞赛者在竞赛中领先 秒获胜，问他在竞赛中点领先概率是多少？LOGO解：（1）（2）需要计算LOGOLOGO（3）布朗运动的联合分布是多元正态的，所以布朗运动是高）布朗运动的联合分布是多元正态的，所以布朗运动是高斯过程。斯过程。由于多元正态分布完全由边际均值和协方差决定，布朗运动由于多元正态分布完全由边际均值和协方差决定，布朗运动也完全由其均值和协方差决定。也完全由其均值和协方差决定。LOGOLOGOLOGOLOGOLOGOLOGOLOGOLOGOLOGOLOGOLOGOLOGOLOGOLOGOLOGOLOGOLOGOLOGOLOGOLOGOLOGOLOGOLOGOLOGOLOGOLOGOLO

5、GOLOGOLOGOLOGOLOGOLOGOLOGOLOGOLOGOLOGOLOGOLOGO（几何布朗运动在股票相对于时间的价格的建模中（几何布朗运动在股票相对于时间的价格的建模中有用，当感觉价格百分比变化是独立同分布时。有用，当感觉价格百分比变化是独立同分布时。例如，假设例如，假设X Xn n是某个股票在时刻是某个股票在时刻n n的价格，那么的价格，那么假设假设 是独立同分布也许是合理的。是独立同分布也许是合理的。LOGOLOGOLOGOLOGOLOGOLOGOLOGOLOGO击中时刻击中时刻LOGOLOGOLOGO最大值的极限平均值最大值的极限平均值LOGOLOGO（六）积分布朗运动（六）

6、积分布朗运动LOGOLOGOLOGO1、显然，遵循普通（漂移）布朗运动的变量X是关于时间和dz的动态过程，其中第一项 为确定项，它意味着X的期望漂移率是每单位时间为 。第二项 是随机项，它表明对X的动态过程添加的影响（噪音）。这种噪音是由标准布朗运动的 倍给出的。2、在任意时间长度T后x值的变化也具有正态分布特征，其均值为 ，标准差为 ，方差为 。3、标准布朗运动的漂移率 为0,方差率为1。漂移布朗运动（普通布朗运动）漂移布朗运动（普通布朗运动）LOGO补充：补充：伊藤伊藤(Ito)(Ito)过程过程LOGO它的漂移率为方差率为LOGOLOGOLOGOBlack-Scholes定价公式期权在时刻T的期望价值为 时间t以固定价格X购买股票的期权定价为利用ST为几何布朗运动，可计算c的结果为书P498，（10.12）式。称为期权价格公式，依赖于股票初始价格，期权执行时间，期权执行价格，折扣因子和波动率。LOGO