高数下册总复习知识点课件.pptx

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1、高数下册总复习知识点归纳高数下册总复习知识点归纳1第八章 向量代数与空间解析几何总结各各章章节节知知识识点点归归纳纳第十张：重积分，三重积分第十一章：曲线积分与曲面积分第十二章：无穷级数第九章多元函数微分法第九章多元函数微分法2向量的分解式：向量的分解式：在三个坐标轴上的分向量：在三个坐标轴上的分向量：向量的坐标表示式：向量的坐标表示式：向量的坐标：向量的坐标：1 1、向量的坐标表示法、向量的坐标表示法（一）向量代数（一）向量代数第八章 向量代数与空间解析几何总结3向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式4向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式向量

2、方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式5它们距离为它们距离为两点间距离公式两点间距离公式:62 2、数量积、数量积(点积、内积点积、内积)数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式73 3、向量积、向量积(叉积、外积叉积、外积)向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式8方程特点方程特点:1.旋转曲面旋转曲面（二）空间解析几何（二）空间解析几何9旋转单叶双曲面旋转单叶双曲面旋转双叶双曲面旋转双叶双曲面10 xyz旋转抛物面旋转抛物面oyzx11旋旋转转椭椭球球面面ozyx12（2）圆锥面）圆锥面（1）球面）球面（3）旋转双曲面）旋转双曲面132.柱

3、面柱面定义：定义：平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线C移动的直线移动的直线L所形成的曲面称之所形成的曲面称之.这条定曲线叫柱面这条定曲线叫柱面的的准线准线，动直线叫，动直线叫柱面的柱面的母线母线.14从柱面方程从柱面方程(的特征的特征:二元方程二元方程)看柱面的看柱面的特征特征：（其他类推）（其他类推）实实 例例椭圆柱面椭圆柱面 母线母线/轴轴双曲柱面双曲柱面 母线母线/轴轴抛物柱面抛物柱面 母线母线/轴轴15抛物柱面抛物柱面xyzxyz椭圆柱面椭圆柱面双曲柱面双曲柱面xyz163.二次曲面二次曲面定义定义:三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面.（

4、1）椭球面）椭球面（2）椭圆抛物面）椭圆抛物面17特殊地：当特殊地：当 时，方程变为时，方程变为旋转抛物面旋转抛物面（由（由 面上的抛物线面上的抛物线 绕它的轴绕它的轴旋转而成的）旋转而成的）18（3）马鞍面）马鞍面（4）单叶双曲面）单叶双曲面（5）圆锥面）圆锥面194.4.空间曲线空间曲线1 空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程2 空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程20CCC关于关于 的投影柱面的投影柱面C在在 上的投影曲线上的投影曲线Oxzy设曲线设曲线 则则C关于关于xoy面的投影柱面的投影柱面方程应为消面方程应为消z后的方程后的方程：所以所以C在在xoy面上的投面上的投影曲线的方程为

5、：影曲线的方程为：3 空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影215.5.平面平面1 平面的点法式方程平面的点法式方程2 平面的一般方程平面的一般方程3 平面的截距式方程平面的截距式方程224 平面的夹角平面的夹角5 两平面位置特征：两平面位置特征：/重合重合231 1、偏导数概念、偏导数概念第九章多元函数微分法第九章多元函数微分法24252、全微分公式、全微分公式用定义证明可微与不可微的方法用定义证明可微与不可微的方法可微可微不可微不可微26多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导有极限有极限3、

6、关系、关系274 4、多元复合函数求导法则、多元复合函数求导法则定理定理1 若函数若函数在点在点 处偏导连续处偏导连续,在点在点 t 可导可导,则复合函数则复合函数且有链式法则且有链式法则中间变量均为一元函数的情形中间变量均为一元函数的情形在点在点t处可导，处可导，公式的记忆方法：连线相乘，分线相加公式的记忆方法：连线相乘，分线相加.285 5、全微分形式不变性、全微分形式不变性 无论无论 是自变量是自变量 的函数或中间变量的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的的函数，它的全微分形式是一样的.29定理定理1 1 设函数设函数单值连续函数单值连续函数 y=f(x),并有连续并有连续(隐

7、函数求导公式隐函数求导公式)具有连续的偏导数具有连续的偏导数;的的某邻域内可唯一确定一个某邻域内可唯一确定一个的某一邻域内满足的某一邻域内满足满足条件满足条件导数导数在点在点则方程则方程在点在点6 6、隐函数的求导法则、隐函数的求导法则30定理定理2 2 的某邻域内具有连续偏导数的某邻域内具有连续偏导数 ;则方程则方程在点在点并有连续偏导数并有连续偏导数定一个单值连续函数定一个单值连续函数 z=f(x,y),满足满足 在点在点若函数若函数 满足满足:某一邻域内可唯一确某一邻域内可唯一确31定理定理3 3的某一邻域内具有连续偏的某一邻域内具有连续偏导数导数设函数设函数则方程组则方程组的单值连续函

8、数的单值连续函数计算偏导数按直接法求解计算偏导数按直接法求解.在点在点的某一邻域内可唯一确定一组满足条件的某一邻域内可唯一确定一组满足条件满足满足:在点在点327 7、微分法在几何上的应用、微分法在几何上的应用切线方程为切线方程为法平面方程为法平面方程为(1)空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面(关关键:抓住切向量抓住切向量)331）空间曲线方程为）空间曲线方程为法平面方程为法平面方程为特殊地：特殊地：(取取 为参数为参数)342）空间曲线方程为）空间曲线方程为(取取 为参数为参数)切线方程为切线方程为法平面方程为法平面方程为35()曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线 切平面方程为切

9、平面方程为法线方程为法线方程为(关键关键:抓住法向量抓住法向量)36曲面在曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为曲面在曲面在M处的法线方程为处的法线方程为令令则则（特殊情形）（特殊情形）378 8、方向导数、方向导数记为记为（1）方向导数的定义及存在的充分条件）方向导数的定义及存在的充分条件38三元函数方向导数的定义三元函数方向导数的定义方向导数的存在性及其计算方法方向导数的存在性及其计算方法:定理定理那么那么函数在函数在该点沿任一方向该点沿任一方向 的方向导数存在的方向导数存在,且有且有39说明说明:可微可微沿任一方向的方向导数存在沿任一方向的方向导数存在.反之不一定成立反之不一定成立.(

10、2)梯度的概念梯度的概念记为记为 40梯度与方向导数的关系梯度与方向导数的关系41、二重积分的几何意义、二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值当被积函数有正有负时，二重积分是柱体体积的代数和当被积函数有正有负时，二重积分是柱体体积的代数和.1 1、二重积分的定义、二重积分的定义第十张：重积分，三重积分423 3、二重积分的计算、二重积分的计算X型型 X-型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个

11、交点轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.（）直角坐标系下（）直角坐标系下43 Y型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴轴的直线与区域边界相交不多于两个交点的直线与区域边界相交不多于两个交点.Y型型44求二重积分的方法步骤求二重积分的方法步骤:1.作图求交点；作图求交点；2.选择积分次序；选择积分次序；4.计算计算.(先内积分后外积分先内积分后外积分;计算内积分时把计算内积分时把在累次积分不易积或不能积时在累次积分不易积或不能积时,应考虑交换积分次序应考虑交换积分次序.(把把D写成不等式形式写成不等式形式)；外积分变量看成常数外积分变量看成常数)3.确定积分限确定积分限

12、451、选择积分次序、选择积分次序(1)首先被积函数要易积分，能积分；首先被积函数要易积分，能积分；(2)积分区域积分区域D尽量少分块尽量少分块.2、确定积分限、确定积分限计算二重积分的两个关键：计算二重积分的两个关键：内限内限平行线穿越法平行线穿越法.外限外限 投影法；投影法；46（2）极坐标系下）极坐标系下472、定限方法、定限方法内限（内限（的限）的限）射线穿越法射线穿越法.外限（外限（的限）的限）看看 夹在那两条射线之间；夹在那两条射线之间；利用极坐标计算二重积分应注意：利用极坐标计算二重积分应注意：积分次序积分次序先先后后1、何时用极坐标？何时用极坐标？1、当积分区域为圆域或其一部分时、当积分区域为圆域或其一部分时 ；2、被积函数中含有、被积函数中含有 或或 时时.3、用直角坐标求不出的积分、用直角坐标求不出的积分.484 4、二重积分的应用、二重积分的应用(1)体积体积设设S曲面的方程为：曲面的方程为：曲面曲面S的面积为的面积为(2)曲面积曲面积设设 上连续，上连续，曲顶柱体曲顶柱体顶顶被积函数；被积函数；底底积分区域积分区域.(3)求质量求质量496、三重积分的几何意义、三重积分的几何意义7 7、三重积分的性质、三重积分的性质类似于二重积分的性质类似于二重积分的性质5 5、三重积分的定义、三重积分的定义50