期权定价原理及其应用概述课件.ppt

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1、期权定价原理及其应用5.1 期权定价原理期权u期权赋予期权持有人在到期日、以执行价格（从期权出售方）买入或卖出相关资产的权利（但不是义务）。看涨期权合约中指定：相关资产、执行价格(X)、到期日(T)欧式看涨期权赋予期权持有人只能在到期日T、以执行价格X（从看涨期权出售方）买入（“看涨”）相关资产的权利（但不是义务）。美式看涨期权赋予期权持有人在到期日T前或到期日、以执行价格X（从看涨期权出售方）买入（“看涨”）相关资产的权利（但不是义务）。到期日看涨期权的价值ST 到期日T相关资产或股票的价值或价格。CT 在到期日执行价格为X的看涨期权的价值是ST的函数如果STX，则成为“实值期权”。如果ST

2、X，则成为“虚值期权”。如果ST=X，则成为“两平期权”。看跌期权指定：相关资产 执行价格(X)到期日(T)欧式看跌期权赋予期权持有人只能在到期日T、以执行价格X（向看跌期权出售方）卖出（“看跌”）相关资产的权利（但不是义务）。美式看跌期权赋予期权持有人在到期日T前或到期日、以执行价格X（向看跌期权出售方）卖出（“看跌”）相关资产的权利（但不是义务）。到期日看跌期权的价值ST 到期日T时，相关资产或股票的价值或价格。PT在到期日、执行价格为X的看跌期权的价值是ST的函数如果ST X，则成为“虚值期权”。如果ST=X，则成为“两平期权”。Black-Scholes公式欧式看涨期权的公式计算是：这

3、儿：S相关资产或股票的现价T-t剩余到期时间r连续无风险收益率e2.71828相关资产或股票连续复利报酬率的标准差（即波动）N(y)均值为0、方差为1的标准正态分布随机变量小于y的概率期权定价基本原理问题：一只股票目前价格100元，未来可能上涨到120元，也可能下跌至80元；如果现在你为了规避股票下跌的风险，买入一份看涨期权（执行价格为110元）那么，你应该支付多少钱得到这份看涨期权（对方需要多少钱才会愿意承担此风险）？期权的支付无套利原理如果不同的资产在未来带来相同的现金流，那么资产（当前）的价格应该相等，否则就会存在套利的机会；横向套利：不同市场纵向套利：不同期限二叉树期权定价二叉树期权定

4、价（Binomial option Pricing Model）由Cox,Ross,Rubinstein等人提出为期权定价模型为B-S模型提供一种比较简单和直观的方法12例：远期汇率与即期汇率抛补利率平价抛补利率平价公式(1+美元利率)=(1+英镑利率)x(美元/英镑远期汇率远期汇率)/(美元/英镑即期汇率即期汇率)所以存在平价关系：所以存在平价关系：即期汇率即期汇率=远期汇率远期汇率x(1+外币利率外币利率)/(1+本本币利率币利率)例：人民币抛补利率平价例：2010年4月 利率:中国是2.25%美国：最高1.5%汇率u 即期汇率是6.823u 远期汇率是6.647投资策略：在纽约的银行存1

5、美元，一年以后得到1.015美元 将1美元换成RMB 6.823,存入中国的银行可以获得:6.823 x1.0225=RMB 6.9765 用远期汇率换成美元，可获得：6.9765/6.647=$1.0495策略可获得有无风险的利润期权定价的基础就是无套利原理构建一种资产组合，其未来的现金流支付等于期权的支付，那么期权的价格就应该等于该资产组合的价格二叉树定价模型：A stock price is currently$20In three months it will be either$22 or$18Stock Price=$22Stock Price=$18Stock price=$20

6、18A 3-month call option on the stock has a strike price of 21.Stock Price=$22Option Price=$1Stock Price=$18Option Price=$0Stock price=$20Option Price=?19构建无风险组合Consider the Portfolio:long D sharesshort 1 call optionPortfolio is riskless when 22D 1=18D or D=0.2522 D D 118D DD股股票股股票1份期权份期权=无风险证券无风险证券1

7、份期权份期权=D D股股股股票票-无风险证券无风险证券20单期二叉树期权定价模型考虑一个买权在当前时刻t，下期t=T到期，中间只有1期，=T-t假设该买权的标的股票是1个服从二项分布的随机变量。当前股票价格为st=S是已知的，到期股票价格为sT，且满足其中，其中，u为上涨因子，为上涨因子，d为下跌因子为下跌因子21sT=su=uSsT=sd=dSstq1-q问题：如何确定该期权在当前时刻问题：如何确定该期权在当前时刻t的价值的价值ct？设想：构造如下投资组合，以无风险利率设想：构造如下投资组合，以无风险利率r借入资金借入资金B（相当于无风险债券空头），并且在股票市场上购（相当于无风险债券空头）

8、，并且在股票市场上购入入N股股票（股票多头）。股股票（股票多头）。目的：在买权到期日，上述投资组合的价值特征与买目的：在买权到期日，上述投资组合的价值特征与买权完全相同。权完全相同。22在当前时刻t，已知股票的价格为s，构造上述组合的成本为在到期时刻在到期时刻T，若希望该组合的价值，若希望该组合的价值v与买权的价值完全与买权的价值完全相同则必须满足相同则必须满足由上两式得到由上两式得到23由此得到的组合 称为合成期权（synthetic option），由无套利定价原则，在当前时刻t买权的价值为例子假设有1个股票买权合约，到期日为1年，执行价格为112美元，股票当前的价格为100美元，无风险利

9、率为8（连续复利折算为单利）。在到期日股票的价格有两种可能：180美元或者60美元，求期权的价值？sT=su=us180sT=sd=ds=60stq1-qct？cT=cu=max(0,Su-112)=68cT=cd=max(0,Sd-112)=02526Dicussion:Risk-neutral probability1.p is Risk-neutral probability for all securities。stocks expected relative return is Options expected relative return is So，p is a variabl

10、e which make riskful stock and call options expected return are both only riskless interest rate.For the above reason,We call p“risk neutral probability”.27Dicussion:Risk-neutral probability2.在风险中性世界中，主观概率q没有出现。虽然个人对q的信念是不同的，但是在期权的定价过程中并没有涉及到q，也就是人们对q认识的分歧并不影响对期权的定价结果。投资者最终都一致风险中性概率p，它只取决于r，u，d这三个客观

11、因子。28Dicussion:Risk-neutral probability风险中性世界，不必考虑风险，这等价于假设投资者是风险中性的。若在期初构造如下组合：以S的价格买入N股股票，同时以c的价格卖出1个期权，则该组合的投资成本为NSc必然等于B。若sTsu若若sTSd29投资者虽然投资于有风险的股票和期权，但是由二者构成的组合NSc，即相当于投资1个无风险的证券。组合贴现率的贴现率只能是无风险利率由于是无风险证券，对于理性投资者，不论其偏好如何，其风险态度对于这样的组合是无关紧要。只要考虑收益的大小即可，由此大大简化资产的定价。基于上述的理由，只要以上述方式构建投资组合来对期权定价，就等价

12、于假设投资者是风险中性的，既然是风险中性的，则对这样的组合定价就不必考虑风险问题。30 两阶段二叉树定价模型由于标的资产市场价格是1个连续（接近连续）的随机变量，不可能只有2种情形，因此可以考虑将时间T-t分为多段处理，首先介绍两阶段模型。两阶段模型（两阶段模型（Two-step binomial tree)若把从定价日若把从定价日t至到期日至到期日T的时间区间的时间区间T-t，划分为，划分为2个个阶段，在每阶段，在每1个阶段，仍然假设标的资产价格只可能取个阶段，仍然假设标的资产价格只可能取2种状态，上涨和下跌，种状态，上涨和下跌，且上涨和下跌的幅度相等且上涨和下跌的幅度相等，则第，则第2阶段

13、结束时候（阶段结束时候（t=T），标的资产价格的取值为），标的资产价格的取值为3个，个，并且令并且令h为每个阶段的时间长度为每个阶段的时间长度31两阶段模型示意图stctsu,cuuduuddsd,cdsuu,cuusud,cudsdd,cdd其中，其中，u1/d32两阶段模型第2期本来有4种状态，为简化分析，不妨规定u=1/d，则第2、3两种状态为同一结果，故将其合并。期权到期日价值的所有可能值为33由1阶段模型可知，在风险中性条件下注意：风险中性概率注意：风险中性概率p只与只与r，h，u，d有关，当上有关，当上述值确定下来后，两个阶段的述值确定下来后，两个阶段的p就完全相同，这也就完全相同

14、，这也正是阶段平分的优点。正是阶段平分的优点。34当前时刻当前时刻t，期权的价值为，期权的价值为35定价思路：倒推定价法1.首先得到2期节点的股票价格，从而得到该期的期权价格。2.采用风险中性定价，通过贴现得到1期节点的股票价格和期权价格。3.由1期的股票价格得到期权价格，得到当前期权的价格。4.风险中性定价下，每一期的风险中性概率都是相同的。365.4 n阶段二叉树定价模型将定价日t到到期日T的时间进一步等分为n个阶段，每个阶段的长度为h标的资产在到期日的状态可能取值为标的资产在到期日的状态可能取值为n1个个.若若n，即每个，即每个阶阶段所段所对应对应的的长长度无度无穷穷小，小，则则完全完全

15、有理由用二叉有理由用二叉树树来近似表示来近似表示标标的的资产资产价格的价格的连续变连续变化化过过程。程。数学意数学意义义：根据中心极限定理，若：根据中心极限定理，若n充分大，充分大，则则二二项项分布收分布收敛敛于正于正态态分布分布思路：思路：推推导导出出n期的二期的二项项式模型，然后令式模型，然后令n趋趋于无于无穷穷。37标的股票当前价格为St=S，而在以后任意一期，股价的变化有上升和下降两个可能。这样经过n期后（到期日T），若该股票上涨j次，下跌n-j次，到期日T股价ST为由概率论可知，由概率论可知，sT服从二项分布（服从二项分布（binomial distribution)，所以，具有，所

16、以，具有j次上涨，次上涨，n-j次下降的股次下降的股票价格票价格sT的概率为的概率为38recall：binomial distribution假设在一个不透明的袋子中有N个球，其中M个是白色的，其余N-M个球是黑色的，则每次取球取到白球的概率是p=M/N。若有放回地取球n次，称之为n重贝努里试验。在贝努里试验中刚好取到j次白球的概率记为b(j;n,p)39recall：binomial distribution由于b(j;n,p)刚好是二项式例如第例如第j项就是项就是故上述分布又称为二项式分布，并且成立故上述分布又称为二项式分布，并且成立40recall：binomial distribut

17、ion由于二项式分布计算复杂，为简化计算。当n，可以用正态分布逼近（定理：独立同分布下的中心极限定理）。设随机变量Ynb(j;n,p)，则随机变量41参照参照2阶段模型的思路，从最后的阶段模型的思路，从最后的n期（期（T时刻）开始时刻）开始逐期向前推导，则期权在当前时刻逐期向前推导，则期权在当前时刻t的价格为的价格为公式意义：在公式意义：在风险中性世界里风险中性世界里，将期权到期时所有，将期权到期时所有的可能值对当前时刻贴现，并以风险中性概率加权，的可能值对当前时刻贴现，并以风险中性概率加权，得到的是期权现值的期望值。得到的是期权现值的期望值。此期望值是期权的真实值吗？此期望值是期权的真实值吗

18、？42For example:two-step binomial trees43CRR model:n-step binomial trees444546How to compute u or d?Choosing u and dOne way of matching the volatility is to setwhere s is the volatility and h is the length of the time step.This is the approach used by Cox,Ross,and Rubinstein.Neutral-risk probability

19、is 48Simplify first term=149Binomial equation 5051Simplify second term52Simplify all termsNext step,we must deduce d1 and d2 when n53deducing d1 and d2 (for m)54deducing d1 and d2 (for p)555657deducing d258Result:Black-Scholes formula59How to choose u and dBlack-scholes model assume the motion of st

20、ock price satisfies the Geometry Brown motion or logarithm normal distribution60How to choose u and dIn binomial model,we assumeq is probability of stock price up in real worlds.61How to choose u and d6263So,we find one solve of the equationIn risk-neutral world,the return of securities must be r,wh

21、ich means64Disscusion:Choosing u and dWe have know neutral probability p for any stepud1p1-p65We can get Prove:in risk-neutral worldVarian of a stocks return in According to Geometry Brown motion66ud1p1-p67Substituting for u and d,the terms of higher than 2 power are ignored.From Cox，Ross and Rubins

22、tein(1979)68美式期权可以提前执行，提前执行从表面上看是一个非常微小的变化，但是欧式期权与美式期权（尤其是看跌期权）价值有很大的不同。We know the value of the option at the final nodesWe work back through the tree using risk-neutral valuation to calculate the value of the option at each node,testing for early exercise when appropriate美式期权没有解析解，故采用二叉树方法来逼近。5.7

23、Application:American option pricing 69American option pricing70以无收益证券的美式看跌期权为例。把该期权有效期划分成N个长度为h的小区间，令 表示在时间 时第j个结点处的美式看跌期权的价值，同时用 表示结点 处的证券价格，可得：后，假定期权不被提前执行，则在风险中性条件下：71Example:American Put Option(See Example 16.1,page 391)S=50;X =50;r =10%;s=40%;T =5 months=0.4167(year);h =1 month=0.0833(year);The

24、 parameters imply u =1.1224;d =0.8909;=1.0084;p =0.507672为了构造二叉树，我们把期权有效期分为五段，每段一个月（等于0.0833年）。可以算出：73ExampleX5074二叉树模型的程序 example：Price an American call option using a binomial model.Again,the asset price is$100.00,the exercise price is$95.00,the risk-free interest rate is 10%,and the time to matur

25、ity is 0.25 years.It computes the tree in increments of 0.01 years,so there are 0.25/0.01=25 periods in the example.The volatility is 0.50,this is a call(flag=1),the dividend rate is 0,and it pays dividend of$5.00 after three periods(an ex-dividend date).Executing the toolbox function75MATLAB financ

26、ial toolboxAssetPrice,OptionPrice=binprice(Price,Strike,Rate,Time,Increment,Volatility,Flag,DividendRate,Dividend,ExDiv)StockPrice,OptionPrice=binprice(100,95,0.10,0.25,0.05,0.50,1,0,5.0,3);76StockPrice=Columns 1 through 4 100.0000 111.2713 123.8732 137.9629 0 85.9677 100.0495 111.3211 0 0 80.9994 9

27、0.0175 0 0 0 72.9825 0 0 0 0 0 0 0 0 Columns 5 through 6 148.6915 166.2807 118.8981 132.9629 95.0744 106.3211 76.0243 85.0175 60.7913 67.9825 0 54.3608OptionPrice=Columns 1 through 4 12.1011 15.1708 25.3470 42.9629 0 5.3068 5.4081 16.3211 0 0 1.3481 2.7402 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Columns 5 through 6

28、 54.1653 71.2807 24.3719 37.9629 5.5698 11.3211 0 0 0 0 0 078Key conclusions二叉树模型的基本依据：假设资产价格的运动是由大量的小幅度二值运动构成，用离散的随机游走模型模拟资产价格的连续运动可能遵循的路径。二叉树模型与风险中性定价原理相一致，即模型中的收益率和贴现率均为无风险收益率，资产价格向上运动和向下运动的实际概率并没有进入二叉树模型，模型中隐含导出的概率是风险中性世界中的概率，从而为期权定价。当二叉树模型相继两步之间的时间长度趋于零的时候，该模型将会收敛到连续的对数正态分布模型，即Black-Scholes方程。7

29、9共同基金与对冲基金？11、人生的某些障碍，你是逃不掉的。与其费尽周折绕过去，不如勇敢地攀登，或许这会铸就你人生的高点。12、有些压力总是得自己扛过去，说出来就成了充满负能量的抱怨。寻求安慰也无济于事，还徒增了别人的烦恼。13、认识到我们的所见所闻都是假象，认识到此生都是虚幻，我们才能真正认识到佛法的真相。钱多了会压死你，你承受得了吗?带，带不走，放，放不下。时时刻刻发悲心，饶益众生为他人。14、梦想总是跑在我的前面。努力追寻它们，为了那一瞬间的同步，这就是动人的生命奇迹。15、懒惰不会让你一下子跌倒，但会在不知不觉中减少你的收获;勤奋也不会让你一夜成功，但会在不知不觉中积累你的成果。人生需要

30、挑战，更需要坚持和勤奋!16、人生在世：可以缺钱，但不能缺德;可以失言，但不能失信;可以倒下，但不能跪下;可以求名，但不能盗名;可以低落，但不能堕落;可以放松，但不能放纵;可以虚荣，但不能虚伪;可以平凡，但不能平庸;可以浪漫，但不能浪荡;可以生气，但不能生事。17、人生没有笔直路，当你感到迷茫、失落时，找几部这种充满正能量的电影，坐下来静静欣赏，去发现生命中真正重要的东西。18、在人生的舞台上，当有人愿意在台下陪你度过无数个没有未来的夜时，你就更想展现精彩绝伦的自己。但愿每个被努力支撑的灵魂能吸引更多的人同行。19、积极的人在每一次忧患中都看到一个机会，而消极的人则在每个机会中看到了某种忧患。

31、莫找借口失败，只找理由成功。20、每一个成就和长进，都蕴含着曾经受过的寂寞、洒过的汗水、流过的眼泪。许多时候不是看到希望才去坚持，而是坚持了才能看到希望。1、有时候，我们活得累，并非生活过于刻薄，而是我们太容易被外界的氛围所感染，被他人的情绪所左右。2、身材不好就去锻炼，没钱就努力去赚。别把窘境迁怒于别人，唯一可以抱怨的，只是不够努力的自己。3、大概是没有了当初那种毫无顾虑的勇气，才变成现在所谓成熟稳重的样子。4、世界上只有想不通的人，没有走不通的路。将帅的坚强意志，就像城市主要街道汇集点上的方尖碑一样，在军事艺术中占有十分突出的地位。5、世上最美好的事是：我已经长大，父母还未老;我有能力报答

32、，父母仍然健康。6、没什么可怕的，大家都一样，在试探中不断前行。7、时间就像一张网，你撒在哪里，你的收获就在哪里。纽扣第一颗就扣错了，可你扣到最后一颗才发现。有些事一开始就是错的，可只有到最后才不得不承认。8、世上的事，只要肯用心去学，没有一件是太晚的。要始终保持敬畏之心，对阳光，对美，对痛楚。9、别再去抱怨身边人善变，多懂一些道理，明白一些事理，毕竟每个人都是越活越现实。10、山有封顶，还有彼岸，慢慢长途，终有回转，余味苦涩，终有回甘。11、失败不可怕，可怕的是从来没有努力过，还怡然自得地安慰自己，连一点点的懊悔都被麻木所掩盖下去。不能怕，没什么比自己背叛自己更可怕。12、跌倒了，一定要爬起

33、来。不爬起来，别人会看不起你，你自己也会失去机会。在人前微笑，在人后落泪，可这是每个人都要学会的成长。13、要相信，这个世界上永远能够依靠的只有你自己。所以，管别人怎么看，坚持自己的坚持，直到坚持不下去为止。14、也许你想要的未来在别人眼里不值一提，也许你已经很努力了可还是有人不满意，也许你的理想离你的距离从来没有拉近过.但请你继续向前走，因为别人看不到你的努力，你却始终看得见自己。15、所有的辉煌和伟大，一定伴随着挫折和跌倒；所有的风光背后，一定都是一串串揉和着泪水和汗水的脚印。16、成功的反义词不是失败，而是从未行动。有一天你总会明白，遗憾比失败更让你难以面对。17、没有一件事情可以一下子把你打垮，也不会有一件事情可以让你一步登天，慢慢走，慢慢看，生命是一个慢慢累积的过程。18、努力也许不等于成功，可是那段追逐梦想的努力，会让你找到一个更好的自己，一个沉默努力充实安静的自己。19、你相信梦想，梦想才会相信你。有一种落差是，你配不上自己的野心，也辜负了所受的苦难。20、生活不会按你想要的方式进行，它会给你一段时间，让你孤独、迷茫又沉默忧郁。但如果靠这段时间跟自己独处，多看一本书，去做可以做的事，放下过去的人，等你度过低潮，那些独处的时光必定能照亮你的路，也是这些不堪陪你成熟。所以，现在没那么糟，看似生活对你的亏欠，其实都是祝愿。