第9章---弹性力学变分原理课件.ppt

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1、弹性力学讲义弹性力学讲义 第第 9 章章 弹性力学的变分原理弹性力学的变分原理Chen ping2008.11.18第第 9 章章 弹性力学的变分原理弹性力学的变分原理 本章主要内容本章主要内容 本章主要讨论弹性体的应应变变能能,位位移移变变分分方方程程(Lagrange变分方程),位位移移变变分分法法,应应力力变变分分方方程程(Castigliano变分方程),应应力力变变分分法法。由位移变分方程引出极极小小势势能能原原理理,虚虚功功方方程程,伽伽辽辽金金变变分分方方程程,瑞瑞次次法法。由应力变分法引出极小余能原理极小余能原理。第第 9 章章 变分原理变分原理变变分法分法变分问题变分问题,在

2、数学在数学上上是是求求泛函的极值问题泛函的极值问题。是寻求满足边界条件的一系列偏是寻求满足边界条件的一系列偏是寻求满足边界条件的一系列偏是寻求满足边界条件的一系列偏微分方程组的一种微分方程组的一种微分方程组的一种微分方程组的一种近似解法近似解法近似解法近似解法。在弹性力学中在弹性力学中在弹性力学中在弹性力学中,泛函就是能量泛函就是能量泛函就是能量泛函就是能量，变分法则是通变分法则是通变分法则是通变分法则是通过过过过对能量求极值来建立弹性力学中的能量原理对能量求极值来建立弹性力学中的能量原理对能量求极值来建立弹性力学中的能量原理对能量求极值来建立弹性力学中的能量原理,从而从而从而从而导出相应的变

3、分方程导出相应的变分方程导出相应的变分方程导出相应的变分方程,并利用这些变分方程求得弹并利用这些变分方程求得弹并利用这些变分方程求得弹并利用这些变分方程求得弹性力学问题的近似解。性力学问题的近似解。性力学问题的近似解。性力学问题的近似解。9-1 9-1 变分法的预备知识变分法的预备知识 弹性力学的弹性力学的弹性力学的弹性力学的变分原理变分原理变分原理变分原理一、函数与泛函一、函数与泛函函数的函数函数的函数函数的函数函数的函数函数函数函数函数x y 面内两点距离面内两点距离(9-1)(9-2)9-1 9-1 变分法的预备知识变分法的预备知识 一、函数与泛函一、函数与泛函曲面的表面积曲面的表面积S

4、变分原理变分原理变分原理变分原理应变能密度应变能密度弹性体单位体积的应变能弹性体单位体积的应变能(9-2a)若以广义虎克定律代入，得应力分量的应变能密度应变能密度泛函的一般形式泛函的一般形式泛函的一般形式泛函的一般形式9-1 9-1 变分法的预备知识变分法的预备知识 一、函数与泛函一、函数与泛函变分原理变分原理变分原理变分原理应变能密度应变能密度是应力分量的函数，而应力分量又是位是应力分量的函数，而应力分量又是位置置 x、y、z的函数，因此的函数，因此，应变能密度是一个泛函。应变能密度是一个泛函。9-1 9-1 变分法的预备知识变分法的预备知识 弹性力学的弹性力学的弹性力学的弹性力学的变分原理

5、变分原理变分原理变分原理二、函数的变分二、函数的变分函数的微分函数的微分函数的微分函数的微分函数的变分函数的变分函数的变分函数的变分(9-4)是增量的一阶小量！9-1 9-1 变分法的预备知识变分法的预备知识 弹性力学的弹性力学的弹性力学的弹性力学的变分原理变分原理变分原理变分原理导数的变分导数的变分 通通常常函函数数要要满满足足一一定定的的边边界界条条件件,函函数数的的变变分分应应满满足足齐齐次边界条件次边界条件 二、函数的变分二、函数的变分导数的变分等于变分的导数导数的变分等于变分的导数 9-1 9-1 变分法的预备知识变分法的预备知识 弹性力学的弹性力学的弹性力学的弹性力学的变分原理变分

6、原理变分原理变分原理三、泛函的变分三、泛函的变分按照泰劳级数展开法则按照泰劳级数展开法则 函数变分函数变分函数变分函数变分9-1 9-1 变分法的预备知识变分法的预备知识 弹性力学的弹性力学的弹性力学的弹性力学的变分原理变分原理变分原理变分原理三、泛函的变分三、泛函的变分(9-5)被积函数变分被积函数变分被积函数变分被积函数变分泛函的泛函的泛函的泛函的变分变分变分变分(9-7)也是增量也是增量的一阶小的一阶小量量！服从无穷服从无穷小量的运小量的运算法则算法则！9-1 9-1 变分法的预备知识变分法的预备知识 弹性力学的弹性力学的弹性力学的弹性力学的变分原理变分原理变分原理变分原理四、泛函的极值

7、问题四、泛函的极值问题=变分问题变分问题泛函取极值泛函取极值必要的极值条件必要的极值条件取取极值极值的的曲线称为泛函的极值曲线。曲线称为泛函的极值曲线。判别判别极大值或极小值极大值或极小值(9-8)9-1 9-1 变分法的预备知识变分法的预备知识 弹性力学的弹性力学的弹性力学的弹性力学的变分原理变分原理变分原理变分原理五、欧拉方程与自然边界条件五、欧拉方程与自然边界条件五、欧拉方程与自然边界条件五、欧拉方程与自然边界条件曲线被指定通过曲线被指定通过 A,B 两两点，也点，也就是就是 y(x)具有边界条件具有边界条件典型的典型的典型的典型的变分问题变分问题变分问题变分问题由泛函的极值条件求出函数

8、由泛函的极值条件求出函数y(x)满足的方程满足的方程9-1 9-1 变分法的预备知识变分法的预备知识 弹性力学的弹性力学的弹性力学的弹性力学的变分原理变分原理变分原理变分原理五、欧拉方程与自然边界条件五、欧拉方程与自然边界条件五、欧拉方程与自然边界条件五、欧拉方程与自然边界条件(9-10)欧拉方程欧拉方程欧拉方程欧拉方程9-1 9-1 变分法的预备知识变分法的预备知识 弹性力学的弹性力学的弹性力学的弹性力学的变分原理变分原理变分原理变分原理五、欧拉方程与自然边界条件五、欧拉方程与自然边界条件求求AB曲线曲线最短时的函数最短时的函数9-2 9-2 应变能与余应变能应变能与余应变能 弹性力学的弹性

9、力学的弹性力学的弹性力学的变分原理变分原理变分原理变分原理应变能的概念应变能的概念1.单向拉伸杆单向拉伸杆单向拉伸杆单向拉伸杆外力做功外力做功外力做功外力做功弹性体应弹性体应弹性体应弹性体应变能变能变能变能单位体积应变能单位体积应变能应变能密度应变能密度应变能密度应变能密度静加载是线静加载是线性的，没有性的，没有动能与热能动能与热能的变化的变化9-2 9-2 应变能与余应变能应变能与余应变能 弹性力学的弹性力学的弹性力学的弹性力学的变分原理变分原理变分原理变分原理应变能的概念应变能的概念2.受均匀剪应力时受均匀剪应力时受均匀剪应力时受均匀剪应力时应变能密度应变能密度应变能密度应变能密度3.受复

10、杂应力状态受复杂应力状态受复杂应力状态受复杂应力状态最终弹性应变能与最终弹性应变能与变形过程变形过程无关，只取决于无关，只取决于变形的最终状态变形的最终状态可采用等比例加载得到可采用等比例加载得到 9-2 9-2 应变能与余应变能应变能与余应变能 弹性力学的弹性力学的弹性力学的弹性力学的变分原理变分原理变分原理变分原理热力学定律热力学定律导出应变能的表达式导出应变能的表达式物体在外荷载作用物体在外荷载作用物体在外荷载作用物体在外荷载作用下下下下的功能转换的功能转换的功能转换的功能转换：可逆过程可逆过程外荷载对物体所做的功全部转化为物体的外荷载对物体所做的功全部转化为物体的动能和物体因变形引起的

11、应动能和物体因变形引起的应变能变能(内能内能)。不不可逆过程可逆过程外荷载对物体所做的功外荷载对物体所做的功,一部分转化为物一部分转化为物体的动能和应变能体的动能和应变能,另一部分转化为热能、声能等被耗散。另一部分转化为热能、声能等被耗散。弹性力学研究弹性力学研究可逆过程可逆过程！9-2 9-2 应变能与余应变能应变能与余应变能 弹性力学的弹性力学的弹性力学的弹性力学的变分原理变分原理变分原理变分原理热力学定律热力学定律热力学定律热力学定律导出应变能的表达式导出应变能的表达式导出应变能的表达式导出应变能的表达式弹性体在外荷载作用下的变形过程弹性体在外荷载作用下的变形过程弹性体在外荷载作用下的变

12、形过程弹性体在外荷载作用下的变形过程 等温过程等温过程 （加载极其缓慢（加载极其缓慢弹性静力学）弹性静力学）绝热过程绝热过程 （加载过程很快）（加载过程很快）弹性体变形过程弹性体变形过程弹性体变形过程弹性体变形过程近似等温过程！近似等温过程！近似等温过程！近似等温过程！(9-11)根据热力学第一定律，外载荷所做功的增量等于弹性体的应变能增量物物体在某一应变状态获得的应变能增量为微元体在某一应变状态获得的应变能增量为微元(9-12)9-2 9-2 应变能与余应变能应变能与余应变能 弹性力学的弹性力学的弹性力学的弹性力学的变分原理变分原理变分原理变分原理热力学定律热力学定律热力学定律热力学定律导出

13、应变能的表达式导出应变能的表达式导出应变能的表达式导出应变能的表达式9-2 9-2 9-2 9-2 应变能与余应变能应变能与余应变能应变能与余应变能应变能与余应变能 弹性力学的变分原理弹性力学的变分原理弹性力学的变分原理弹性力学的变分原理利用高斯公式利用高斯公式(9-12a)热力学定律热力学定律热力学定律热力学定律导出应变能的表达式导出应变能的表达式导出应变能的表达式导出应变能的表达式弹性力学的变分原理弹性力学的变分原理弹性力学的变分原理弹性力学的变分原理应力张量应力张量的对称的对称性性9-29-2 应变能与余应变能应变能与余应变能 应变能密度应变能密度增量增量(11-13)(11-14)代(

14、11-12a)热力学定律热力学定律热力学定律热力学定律导出应变能的表达式导出应变能的表达式导出应变能的表达式导出应变能的表达式弹性力学的变分原理弹性力学的变分原理弹性力学的变分原理弹性力学的变分原理9-2 9-2 应变能与余应变能应变能与余应变能 弹性应变能与弹性应变能与变形过程变形过程无关，只取决于变形的最终状态，无关，只取决于变形的最终状态，是状态函数，其增量为全微分是状态函数，其增量为全微分（能量守恒定律解释）（能量守恒定律解释）Green公式公式,适用适用一般材料，不局限一般材料，不局限线弹性材料线弹性材料(能量形式的物理方程能量形式的物理方程)增量为全微分增量为全微分(9-15)(9

15、-16)与(11-14)比较热力学定律热力学定律热力学定律热力学定律导出应变能的表达式导出应变能的表达式导出应变能的表达式导出应变能的表达式弹性力学的变分原理弹性力学的变分原理弹性力学的变分原理弹性力学的变分原理9-2 9-2 应变能与余应变能应变能与余应变能 弹性体从初始应力和应变为零的状态弹性体从初始应力和应变为零的状态0，到受荷载作用发生，到受荷载作用发生变形后的状态变形后的状态1 的应变能为的应变能为积分与路径无积分与路径无关，假设按等关，假设按等比例加载比例加载应变能密度应变能密度为为对线弹性力学热力学定律热力学定律热力学定律热力学定律导出应变能的表达式导出应变能的表达式导出应变能的

16、表达式导出应变能的表达式弹性力学的变分原理弹性力学的变分原理弹性力学的变分原理弹性力学的变分原理(9-17)应变能密度应变能密度为为弹性力学的变分原理弹性力学的变分原理弹性力学的变分原理弹性力学的变分原理9-2 9-2 应变能与余应变能应变能与余应变能 9-2 9-2 应变能与余应变能应变能与余应变能 各向同性各向同性材料材料弹性体弹性体V V的应变能的应变能(9-17)(9-18)(9-19)热力学定律热力学定律热力学定律热力学定律导出应变能的表达式导出应变能的表达式导出应变能的表达式导出应变能的表达式弹性力学的变分原理弹性力学的变分原理弹性力学的变分原理弹性力学的变分原理根据物根据物理方程

17、理方程9-2 9-2 应变能与余应变能应变能与余应变能 余余应变能应变能1.单向拉伸单向拉伸单向拉伸单向拉伸应变能密度应变能密度余余应变能密度应变能密度线弹性材料线弹性材料(9-20)(9-21)(9-22)(9-23)弹性力学的变分原理弹性力学的变分原理弹性力学的变分原理弹性力学的变分原理2.复杂应力状态复杂应力状态复杂应力状态复杂应力状态9-2 9-2 应变能与余应变能应变能与余应变能 余余应变能应变能线弹性材料线弹性材料弹性体弹性体V V的余应变的余应变能能(9-24)(9-25)弹性力学的变分原理弹性力学的变分原理弹性力学的变分原理弹性力学的变分原理弹性力学的变分原理弹性力学的变分原理

18、广义虚广义虚广义虚广义虚功功功功原理原理原理原理虚位移虚位移虚位移虚位移原理原理原理原理虚虚虚虚应力应力应力应力原理原理原理原理最小势最小势最小势最小势能原理能原理能原理能原理最小余最小余最小余最小余能原理能原理能原理能原理广义势能广义势能广义势能广义势能变分原理变分原理变分原理变分原理广义余能广义余能广义余能广义余能变分原理变分原理变分原理变分原理平衡方程平衡方程平衡方程平衡方程和和应应应应力边界条件力边界条件力边界条件力边界条件几何方程几何方程和和位位位位移边界条件移边界条件移边界条件移边界条件拉格朗日乘子拉格朗日乘子应应变变能能密密度度余余能能密密度度应力应力应变应变关系关系应力应力应变

19、应变关系关系（为自变函数）（为自变函数）广义广义广义广义虚功原理虚功原理虚功原理虚功原理变形可能的位移变形可能的位移简称为简称为容许位移容许位移容许位移容许位移变形可能的应变变形可能的应变简称为简称为容许应变容许应变容许应变容许应变 静力可能的应力静力可能的应力,简称为简称为容许应力容许应力容许应力容许应力 不一定是真实的，但真实的一定在其中！弹性力学的变分原理弹性力学的变分原理弹性力学的变分原理弹性力学的变分原理弹弹性体性体V满足连续性条件满足平衡性条件可能功原理可能功原理：外力在容许位移上做的功等于静力可能的应外力在容许位移上做的功等于静力可能的应力在容许应变上做的功。力在容许应变上做的功

20、。(9-29)证明：证明：证明：证明：广义虚功方程广义虚功方程广义虚功原理广义虚功原理 弹性力学的变分原理弹性力学的变分原理弹性力学的变分原理弹性力学的变分原理ij满足平衡方程广义广义广义广义虚功原理虚功原理虚功原理虚功原理利用高斯公式利用高斯公式 可能功原理可能功原理广义虚功广义虚功方程的特性方程的特性1.适用于任何性质的材料适用于任何性质的材料；2.广义虚功方程中的位移、应变与应力是同一弹性体的两广义虚功方程中的位移、应变与应力是同一弹性体的两种不同的变形状态和受力状态种不同的变形状态和受力状态,二者彼此独立二者彼此独立；3.对任意容许位移和容许应变对任意容许位移和容许应变,使广义虚功方程

21、成立的函使广义虚功方程成立的函数必是静力可能的应数必是静力可能的应力力；4.4.如果如果对对任意静力可能的任意静力可能的应应力力,满满足广足广义义虚功方程的位移函虚功方程的位移函数和数和应变应变必是必是变变形可能的位移和形可能的位移和应变应变。弹性力学的变分原理弹性力学的变分原理弹性力学的变分原理弹性力学的变分原理变形可能变形可能广义虚功方程成立广义虚功方程成立静力可能静力可能广义广义广义广义虚功原理虚功原理虚功原理虚功原理是是静力可静力可能的应力能的应力 广义广义广义广义虚功原理虚功原理虚功原理虚功原理对对任意任意使使广义虚功方程成立的广义虚功方程成立的ij(9-29)高斯公式高斯公式广义虚

22、功方程广义虚功方程9-3 9-3 虚位移原理虚位移原理 变分原理变分原理变分原理变分原理虚位移方程虚位移方程虚位移方程虚位移方程 (虚位移虚位移虚位移虚位移原理原理原理原理)虚虚虚虚应力应力应力应力方程方程方程方程 (虚虚虚虚应力原理应力原理应力原理应力原理)功的互等定理功的互等定理功的互等定理功的互等定理 位移位移位移位移变分变分变分变分方程方程方程方程 (最小势能原理最小势能原理最小势能原理最小势能原理)应力变应力变应力变应力变分分分分方程方程方程方程 (最小余能原理最小余能原理最小余能原理最小余能原理)位移位移作为独立变量作为独立变量应力作为独立变量应力作为独立变量两组载荷两组载荷虚位移

23、原理虚位移原理:对于静力可能的应力对于静力可能的应力,外力在虚位移上所外力在虚位移上所做的功等于应力在与该虚位移相做的功等于应力在与该虚位移相应应的虚的虚应变应变上所做的功上所做的功外力虚功等于内力虚功外力虚功等于内力虚功。9-3 9-3 虚位移原理虚位移原理 变分原理变分原理变分原理变分原理(9-32)其中广义虚功方程广义虚功方程(11-29)应用应用于两组变形可能状态于两组变形可能状态，相减，相减 虚虚位移位移方程方程从广义虚功方程广义虚功方程中，中，静力可能的应力静力可能的应力sij和和可能变形可能变形可能的位移可能的位移uki 及其对应的应变及其对应的应变kij可可以是以是彼此独立而无

24、彼此独立而无任何关系的受力状态和变形状态。任何关系的受力状态和变形状态。如果取真实的应力为如果取真实的应力为静力可能的应力静力可能的应力，则可，则可导出弹性导出弹性体的虚位移原理。体的虚位移原理。设几何可能的位移为设几何可能的位移为ui为真实位移，为真实位移，ui 表示真实位移邻近的位移的微小表示真实位移邻近的位移的微小改变量，称为虚位移改变量，称为虚位移因为真实位移因为真实位移ui 满足位移边界条件，所以，要求满足位移边界条件，所以，要求uki满满足位移边界条件，必须有足位移边界条件，必须有 ui=0 （在（在Su上）上）（b b）将（将（a a）代入几何方程，有代入几何方程，有将（将（a

25、a）（）（c c）代入代入广义虚功方程广义虚功方程由于由于 ui=0 （在（在Su上）上）虚虚位移位移方程方程(9-32)9-3 9-3 虚位移原理虚位移原理 变分原理变分原理变分原理变分原理虚位移原理虚位移原理虚位移原理等价于虚位移原理等价于平衡微分方程平衡微分方程平衡微分方程平衡微分方程和和应力边界条件应力边界条件应力边界条件应力边界条件。(9-32)右端项代回(9-32)9-3 9-3 虚位移原理虚位移原理 变分原理变分原理变分原理变分原理虚位移虚位移原理原理虚位移原理等价于虚位移原理等价于平衡微分方程平衡微分方程和和应力边界条件应力边界条件。平衡微分方程平衡微分方程应力边界条件应力边界

26、条件变分原理变分原理变分原理变分原理虚虚位移位移方程方程(9-37)(9-32)位移变分方程位移变分方程位移变分方程位移变分方程弹性体应变能的变分等于外力虚功弹性体应变能的变分等于外力虚功。设：设：VP 为外力势能为外力势能9-4 9-4 9-4 9-4 最小势能原理位移变分方程最小势能原理位移变分方程最小势能原理位移变分方程最小势能原理位移变分方程变分原理变分原理变分原理变分原理(a)(9-38)(9-39)为已知外力函数，在虚位移过程中为不变量为已知外力函数，在虚位移过程中为不变量弹性体的总势能等于应变能与外力势能之和弹性体的总势能等于应变能与外力势能之和9-4 9-4 9-4 9-4 最

27、小势能原理位移变分方程最小势能原理位移变分方程最小势能原理位移变分方程最小势能原理位移变分方程极小势能原理极小势能原理 在所有变形可能的在所有变形可能的位位移中移中,实际存在的位移使总实际存在的位移使总势能取极小值。势能取极小值。(9-40)J(ui)是是ui的的泛函泛函变分原理变分原理变分原理变分原理极小极小势能原理等价于势能原理等价于平衡微分方程平衡微分方程平衡微分方程平衡微分方程和和应力边界条件应力边界条件应力边界条件应力边界条件。最小势能原理最小势能原理变分原理变分原理变分原理变分原理证明：证明：证明：证明：最小势能原理最小势能原理变分原理变分原理变分原理变分原理(9-41)上述变分问

28、题是极小值，可证明如下：上述变分问题是极小值，可证明如下：对线对线弹性弹性材料材料最小势能原理最小势能原理变分原理变分原理变分原理变分原理是是极小值，解的唯一性，是最小值极小值，解的唯一性，是最小值最小势能原理最小势能原理为正为正最小势能原理最小势能原理变分原理变分原理变分原理变分原理 总之总之，以位移作为基本未知函数求解弹性力学问题以位移作为基本未知函数求解弹性力学问题时，按时，按过去的方法过去的方法过去的方法过去的方法是要求解以位移表示的平衡方程，是要求解以位移表示的平衡方程，使所求的位移分量，在使所求的位移分量，在S Su u上满足位移边界条件，在上满足位移边界条件，在S S 上满足以位

29、移表示的静力边界条件。上满足以位移表示的静力边界条件。而现在可归结为而现在可归结为求解位移变分方程求解位移变分方程，或者去，或者去求总势求总势能的极值能的极值。求解方法：求解方法：最初所设的位移毋需事先满足静力边界最初所设的位移毋需事先满足静力边界条件，而只要满足位移边界条件就可以，因静力边界条件，而只要满足位移边界条件就可以，因静力边界条件会自动满足的。条件会自动满足的。最小势能原理最小势能原理变分原理变分原理变分原理变分原理例题：例题：例题：例题：悬臂梁原长悬臂梁原长l，承受集中载荷承受集中载荷P，图示，已知梁的图示，已知梁的抗弯刚度为抗弯刚度为EI，设，设曲线为曲线为 试用最小势能原理求

30、梁自由端处的挠度。试用最小势能原理求梁自由端处的挠度。解：解：由梁的边界条件解得又由即即而而弯弯曲应曲应变能变能 v是梁的挠度，1/表示梁轴线挠曲后的曲率，则梁的应变能为：由于在小变形情况下小变形情况下，故故由最小势由最小势能原理能原理故故与与精确解相同！精确解相同！变分原理变分原理变分原理变分原理虚应力虚应力原理原理对对于于变变形形可可能能的的应应变变，虚虚应应力力的的外外余余虚虚功功等等于于内内余余虚虚功。功。(9-33)应应力力变分应变分应满足的条件：满足的条件：（9-31）虚应力原理等价于虚应力原理等价于几何方程几何方程和和位移边界条件位移边界条件。证明证明证明证明：由虚应由虚应力条件

31、力条件 虚应力虚应力原理原理(9-34)变分原理变分原理变分原理变分原理(11-34)-(11-33)虚应力虚应力原理原理即：即：功的互等定理功的互等定理功的互等定理功的互等定理 第一组外力在第二组位移上所做的功第一组外力在第二组位移上所做的功,等于第二组外力等于第二组外力在第一组位移上所做的功。这便是功的互等定理。在第一组位移上所做的功。这便是功的互等定理。仅适用于线弹性问题！(9-36)虚应力虚应力原理原理功的互等定理功的互等定理功的互等定理功的互等定理 广义虚广义虚功方程功方程交叉代入，然后相减(9-29)9-5 9-5 最小余能原理最小余能原理 应力变分方程应力变分方程变分原理变分原理

32、变分原理变分原理变分变分证明：证明：(9-43)9-2已证已证9-5 9-5 最小余能原理最小余能原理 变分原理变分原理变分原理变分原理应力变分方程应力变分方程应力变分方程应力变分方程移项移项得证得证代虚应力方程代虚应力方程9-5 9-5 最小余能原理最小余能原理 变分原理变分原理变分原理变分原理柔度柔度系数系数是是 的的逆逆张量张量最小余能最小余能原理等价于原理等价于几何方程几何方程和和位移边界条件位移边界条件。9-5 9-5 最小余能原理最小余能原理 变分原理变分原理变分原理变分原理证明：证明：增加一零项9-5 9-5 最小余能原理最小余能原理 变分原理变分原理变分原理变分原理有：有：9-

33、6 9-6 9-6 9-6 基于最小势能原理的近似计算基于最小势能原理的近似计算基于最小势能原理的近似计算基于最小势能原理的近似计算变分原理变分原理变分原理变分原理 根据最小势能原理,弹性体中产生的真实位移应该是所有变形可能位移中能使总势能最小值者。所谓变形可能位移,是指那些在物体内部连续、在边界上满足给定的几何边界条件的位移。显然,能够满足这两个要求的位移可能有无限多组。要利用极值条件中选出使总势能取极小值的那一组,实际上又回到拉梅方程的边值问题,在数学上将遇到很大的困难。为了实用的目的,我们退而求它的近似解。具体方法是缩小极值函数的寻找范围，在较小范围的变形可能位移中,选出一组使总势能取极

34、小值的位移。当然一般地说,该组位移并不是真正的,但却是在所有参加挑选的那些位移中最接近真实位移的一组,因此可以作为问题的近似解。9-6 9-6 9-6 9-6 基于最小势能原理的近基于最小势能原理的近基于最小势能原理的近基于最小势能原理的近似计算似计算似计算似计算9-6 9-6 基于最小势能原理的近似计算基于最小势能原理的近似计算假设假设变形变形可可能位移能位移的的形形式式表示为表示为：(9-57)1.瑞利瑞利李兹法李兹法 Am，Bm，Cm为相互独立的为相互独立的3m个系数个系数，u0，v0，w0为设定的函数，它们的边界值等于给定的位移，设定的函数，它们的边界值等于给定的位移，um，vm，wm

35、为在边界上其值等于边界上其值为零的设为在边界上其值等于边界上其值为零的设定函数。定函数。不论系数如何取值，总能满足位移边界条件。不论系数如何取值，总能满足位移边界条件。是变形可能的位移族是变形可能的位移族。(a)9-6 9-6 基于最小势能原理的近似计算基于最小势能原理的近似计算应变能应变能变分变分总总势能势能变分变分(b)9-6 9-6 基于最小势能原理的近似计算基于最小势能原理的近似计算(9-58)m=1,2,3应变能是系数的应变能是系数的 Am，Bm，Cm 二次函数二次函数上述方程是各个系数的线性代数方程组上述方程是各个系数的线性代数方程组!9-6 9-6 基于最小势能原理的近似计算基于

36、最小势能原理的近似计算1.伽辽金伽辽金法法基本思想基本思想对于选择的位移，不仅满足位移边界条件，而对于选择的位移，不仅满足位移边界条件，而且还满足应力边界条件且还满足应力边界条件(9-37)位移变分位移变分方程方程代回9-6 9-6 基于最小势能原理的近似计算基于最小势能原理的近似计算满足应力边界条件，该项为零得伽辽金伽辽金变分方程变分方程(9-59)假设位移函数的形式同瑞利瑞利李兹法李兹法(9-57)代入上式得另一种近似方法伽辽金伽辽金法法9-6 9-6 基于最小势能原理的近似计算基于最小势能原理的近似计算伽辽金伽辽金法法上述方程是各个系数上述方程是各个系数 的线性代数方程组。的线性代数方程

37、组。(9-60)例例题：题：平面矩形薄板平面矩形薄板,如图所示如图所示,不不计体力计体力,试求薄板的位移。试求薄板的位移。设该问题为平面应力问题设该问题为平面应力问题,这时这时,弹性弹性体的应变能为体的应变能为 9-6 9-6 基于最小势能原理的近似计算基于最小势能原理的近似计算采用瑞利瑞利李兹法李兹法(f)(e)9-6 9-6 基于最小势能原理的近似计算基于最小势能原理的近似计算例例题解题解(f)式满足位移边界条件(f)式取第一项代(e)式(h)(g)9-6 9-6 基于最小势能原理的近似计算基于最小势能原理的近似计算例例题解题解代（9-58）式(i)(h)代入(i)9-7 9-7 基于最小

38、余能原理的近似计算基于最小余能原理的近似计算假设应力分量的形式表示为：(9-61)帕普考维奇帕普考维奇建议：建议：9-8 9-8 广义变分原理广义变分原理前前面面介介绍绍的的是是单单变变量量变变分分原原理理，如如果果为为了了使使变变分分原原理理包包含含更更多多的的等等价价条条件件,引引进进两两种种变变量量,如如应应力力和和应应变变,或或引引进进三三种种变变量量,如如位位移移、应应力力、应应变变,作作为为独独立立的的自自变变函函数数,那那么么,称称这这样样的的变变分分原原理理为为广广义义变变分原理。分原理。“广义变分原理在实质上就是把广义变分原理在实质上就是把有有条件的变分泛函用条件的变分泛函用

39、拉格朗日乘子转化为无条件的泛函的变分原理拉格朗日乘子转化为无条件的泛函的变分原理”钱伟长钱伟长“所谓广义是指变分原理所反映的客观规律比较多所谓广义是指变分原理所反映的客观规律比较多,某某变分原理所反映的客观规律越多变分原理所反映的客观规律越多,它就越广义它就越广义”胡胡海昌海昌 9-8 9-8 广义变分原理广义变分原理一、赖斯纳赖斯纳(Reissner)变分变分变分变分原理 赖斯纳变分原理是把有条件的最小余能原理推广为无条件赖斯纳变分原理是把有条件的最小余能原理推广为无条件的的,并以位移和应力向为自变函数的二变量广义变分原理。并以位移和应力向为自变函数的二变量广义变分原理。它的泛函定义为它的泛函定义为(9-48)独立变量广义余能原理广义余能原理广义余能原理广义余能原理9-8 9-8 广义变分原理广义变分原理一、赖斯纳(Reissner)变分变分变分变分原理 等价条件等价条件(9-50)(9-49)9-8 9-8 广义变分原理广义变分原理二、胡-鹫 变分变分变分变分原理(Hu-Wshizu原理)三变量广义势能原理广义势能原理广义势能原理广义势能原理9-8 9-8 广义变分原理广义变分原理二、胡-鹫 变分变分变分变分原理(Hu-Wshizu原理)(9-51)