第3章--3.1-3.2离散傅里叶变换(DFT)概要课件.ppt

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1、3.1 引言引言3.2 周期序列的离散傅立叶级数周期序列的离散傅立叶级数3.3 离散傅里叶变换的定义离散傅里叶变换的定义 3.4 离散傅里叶变换的基本性质离散傅里叶变换的基本性质3.5 DFT、ZT、DTFT之间的关系之间的关系3.6 频率域采样频率域采样3.7 DFT的应用举例的应用举例第第3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）2023/2/1723.1 引言引言l1.FT：非周期连续时间信号的傅立叶变换：非周期连续时间信号的傅立叶变换l 2.FS:周期连续时间信号的傅立叶变换周期连续时间信号的傅立叶变换l3.DTFT：非周期序列的

2、傅立叶变换：非周期序列的傅立叶变换l4.DFS：周期序列的离散傅立叶级数：周期序列的离散傅立叶级数l5.ZT：非周期序列的：非周期序列的Z变换变换第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）3.2 周期序列的离散傅立叶级数周期序列的离散傅立叶级数(Discrete Fourier Series,DFS)l1.定义定义l 设设 是是以以N为为周周期期的的周周期期序序列列，由由于于是是周周期性的，期性的，可以展成傅里叶级数可以展成傅里叶级数(2-1-43)式中式中ak是傅里叶级数的系数。是傅里叶级数的系数。第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）l经证明：经证明：l 上式中，上

3、式中，k和和n均取整数，均取整数，令：令：-k (2-1-47)也是一个以也是一个以N为周期的周期序列，为周期的周期序列，称称 为为 的的 离离 散散 傅傅 里里 叶叶 级级 数数，用用DFS(Discrete Fourier Series)表示。表示。第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）l(2-1-51)式式 和和(2-1-52)式式 称称 为为 一一 对对 DFS(Discrete Fourier Series:离散傅立叶级数离散傅立叶级数)。l l周期序列可以用其周期序列可以用其DFS表示它的频谱分布规律。表示它的频谱分布规律。(2-1-51)(2-1-52)第第3章章

4、离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）l例例 2.3.1设设x(n)=R4(n)，将将x(n)以以N=8为周期，为周期，进进l 行行周周期期延延拓拓，得得到到周周期期序序列列 ，周周期期为为8，求求 的的DFS。l 解：解：按照定义式按照定义式第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）l其幅度特性其幅度特性 如图如图2.3.1(b)所示所示。例2.3.1图第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）3.3 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT）的定义）的定义 l3.3.1 周期延拓与取主值运算周期延拓与取主值运算l任何周期为任何周期为N的周期序列的周期序列 可以看作长度为

5、可以看作长度为N的有的有限长序列限长序列x(n)的周期延拓序列，而的周期延拓序列，而x(n)则是则是 的一的一个周期，个周期，即：即：2023/2/178第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）2023/2/179 式式中中x(n)N表表示示x(n)以以N为为周周期期的的周周期期延延拓拓序序列列，(n)N表示表示n对对N求余，求余，即如果：即如果：n=MN+n1，0n1N-1，M为整数，为整数，则：则：(n)N=n1例如：例如：x(10)8=x(1*8+2)=x(2)x(-3)8=x(-1)*8+5)=x(5)第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）2023/2/171

6、0图 3.1.2 有限长序列及其周期延拓 第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）3.3.2 DFT的定义的定义l由于无限长周期序列由于无限长周期序列 只需要用主值序列只需要用主值序列 即可确定，并能够完全地表达出来，于是，只即可确定，并能够完全地表达出来，于是，只需要将需要将DFS中的周期序列换成其对应的主值序列，表中的周期序列换成其对应的主值序列，表达式仍然成立达式仍然成立2023/2/1711第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）2023/2/1712设设x(n)是是一一个个长长度度为为M的的有有限限长长序序列列，则则定定义义x(n)的的N点离散傅里叶变换为点离

7、散傅里叶变换为X(k)的离散傅里叶逆变换为的离散傅里叶逆变换为离散傅里叶变换对式中式中 ，N称为称为DFT变换区间长度变换区间长度NM。第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）说明：说明：l1）DFT真正做到了计算机可以处理，即时域x(n)离散、有限长，频域X(k)离散、有限长;l2）旋转因子的作用l3）有限长序列的DFT与DFS的关系图示：2023/2/1713DFT主值区域周期沿拓周期沿拓主值区域IDFTIDFSDFS第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）l4）x(n)和X(k)的隐含周期性lDFT变换对公式中，由于变换对公式中，由于WNkn的周期性，的周期性，使

8、使X(k)隐含隐含周期性，周期性，且周期均为且周期均为N。l 对任意整数对任意整数m，总有：总有：2023/2/1714所以所以(3.3.6)式中，式中，X(k)满足：满足：同理可证明同理可证明(3.3.7)式中：式中：第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）2023/2/1715如如果果x(n)的的长长度度为为N，且且 ，则可写出则可写出 的离散傅里叶级数为：的离散傅里叶级数为：(3.1.8)(3.1.9)式中式中(3.1.10)X(k)反映了x(n)N的频谱特性第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）2023/2/1716例例 3.3.2 x(n)=R4(n)，求求

9、x(n)的的4点点、8点点DFT、16点点DFT。解：解：（1）设变换区间设变换区间N=4，则则第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）2023/2/1717设变换区间设变换区间N=8，则：则：第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）2023/2/1718图3.1.1 R4(n)的FT和DFT的幅度特性关系 提高谱密度提高谱密度第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）2023/2/17193.3.2 DFT和和DTFT、ZT的关系的关系l设序列x(n)的长度为N，其ZT、DTFT和DFT分别为：三式有什么关系？第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DF

10、T）2023/2/1720比较上面三式可得比较上面三式可得ZT和和DFT的关系的关系：图 3.1.1 (a)X(k)与X(z)的关系 第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）2023/2/1721图 3.1.1 (b)X(k)与X(e j)的关系 第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）2023/2/17223.3.4 用用MATLAB计算序列的计算序列的DFTMATLAB提供了用快速傅里叶变换算法FFT(算法见第4章介绍)计算DFT的函数fft，其调用格式如下:Xk=fft(xn,N)；xn为被变换的时域序列向量，N是DFT变换区间长度，一般地，N大于xn的长度。函数

11、返回xn的N点DFT变换结果向量Xk。Ifft函数计算IDFT，其调用格式与fft函数相同，可参考help文件。第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）2023/2/17233.4 离散傅里叶变换的基本性质离散傅里叶变换的基本性质3.4.1 线性性质线性性质如如果果x1(n)和和x2(n)是是两两个个有有限限长长序序列列，长长度度分分别别为为N1和和N2,且且 y(n)=ax1(n)+bx2(n)式式中中a、b为为常常数数，即即N=maxN1,N2，则则y(n)的的N点点DFT为：为：Y(k)=DFTy(n)=aX1(k)+bX2(k),0kN-1(3.2.1)其中其中X1(k)和

12、和X2(k)分别为分别为x1(n)和和x2(n)的的N点点DFT。第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）2023/2/17243.4.2 序列循环移位性质序列循环移位性质1.序列的循环移位设x(n)为有限长序列，长度为N，则x(n)的循环移位定义为：y(n)=x(n+m)NRN(n)(3.2.2)周期沿拓左移m点取主值循环移位的实质是将循环移位的实质是将x(n)左移左移m位，而移出主值区的位，而移出主值区的序列值又依次从右侧进入主值区。序列值又依次从右侧进入主值区。第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）2023/2/1725图 3.2.1 循环移位过程示意图 第第3

13、章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）2023/2/17262.时域循环移位定理时域循环移位定理设设x(n)是是长长度度为为N的的有有限限长长序序列列，y(n)为为x(n)的的循环移位，循环移位，即即 y(n)=x(n+m)NRN(n)则则 (3.2.3)其中其中X(k)=DFTx(n),0kN-1。第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）2023/2/1727证明：证明：令n+m=n，则有在一个周期内求和第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）2023/2/1728由由于于上上式式中中求求和和项项 以以N为为周周期期，所所以以对对其其在在任任一一周周期期上上的

14、的求求和和结结果果相相同同。将将上上式的求和区间改在主值区间，则得：式的求和区间改在主值区间，则得：第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）l对比记忆：l循环时移：l线性时移：2023/2/1729时域移位，频域相移时域移位，频域相移第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）2023/2/17303.频域循环移位定理如果：则：频域循环移位：频域线性移位：频域移位，时域调制频域移位，时域调制第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）2023/2/17313.2.3 循环卷积定理循环卷积定理时域循环卷积定理是时域循环卷积定理是DFT中最重要的定理，具有很中最重要的定

15、理，具有很强的实用性。已知系统输入和系统的单位脉冲响应，计强的实用性。已知系统输入和系统的单位脉冲响应，计算系统的输出，以及算系统的输出，以及FIR滤波器用滤波器用FFT实现等，都是基于实现等，都是基于该定理的。该定理的。1 两个有限长序列的循环卷积两个有限长序列的循环卷积设序列设序列h(n)和和x(n)的长度分别为的长度分别为N和和M。h(n)与与x(n)的的L点循环卷积定义为：点循环卷积定义为：第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）2023/2/1732式中，式中，L称为循环卷积区间长度，称为循环卷积区间长度，LmaxN，M。上式显然与第上式显然与第1章介绍的线性卷积不同，为

16、了区别线章介绍的线性卷积不同，为了区别线性卷积，用性卷积，用*表示线性卷积，用表示表示线性卷积，用表示L点循环卷积，点循环卷积，即即yc(n)=h(n)x(n)。观察（观察（3.2.5）式，）式，x(nm)L是以是以L为周期的周期信号，为周期的周期信号，n和和m的变化区间均是的变化区间均是0,L1，因此直接计算该式，因此直接计算该式比较麻烦。比较麻烦。计算机中采用矩阵相乘或快速傅里叶变换（计算机中采用矩阵相乘或快速傅里叶变换（FFT）的）的方法计算循环卷积。方法计算循环卷积。不进位乘法不进位乘法第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）2023/2/1733定义中，定义中，x(n)、

17、h(n)、yc(n)长度均认为是长度均认为是L，不够长，不够长的补零。的补零。1o n=0,m=0,1,L1，由式（，由式（3.2.5）中）中x(n-m)L形成形成x(n)的循环倒相序列为的循环倒相序列为序列序列x(n)进行对比，相当于将第一个序列值进行对比，相当于将第一个序列值x(0)不动，将不动，将后面的序列反转后面的序列反转180再放在再放在 x(0)的后面。的后面。循环卷积的矩阵实现：循环卷积的矩阵实现：第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）2023/2/17342o 令令n=1,m=0,1,L-1，由式（，由式（3.2.5）中）中x(n-m)L形成的序列为形成的序列为3

18、o 再令再令n=2,m=0,1,L1，此时得到的序列又，此时得到的序列又是上面的序列向右循环移是上面的序列向右循环移1位。位。依次类推，当依次类推，当n和和m均从均从0变化到变化到L-1时，得到一个关于时，得到一个关于x(nm)L的矩阵如下：的矩阵如下：第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）2023/2/1735上面矩阵称为上面矩阵称为x(n)的的L点点“循环卷积矩阵循环卷积矩阵”，其特点是，其特点是:（1）第第1行是序列行是序列x(0),x(1),x(L1)的循环的循环倒相序列。倒相序列。（2）第第1行以后的各行均是前一行向右循环移行以后的各行均是前一行向右循环移1位位形成的。

19、形成的。（3）矩阵的各主对角线上的序列值均相等。矩阵的各主对角线上的序列值均相等。则：则：第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）2023/2/1736（3.2.7）按照上式，可以在计算机上用矩阵相乘的方法计算两个序列按照上式，可以在计算机上用矩阵相乘的方法计算两个序列的循环卷积，这里关键是先形成循环卷积矩阵。上式中如果的循环卷积，这里关键是先形成循环卷积矩阵。上式中如果h(n)的长度的长度NL，则需要在，则需要在h(n)末尾补末尾补LN个零。个零。第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）2023/2/1737【例例3.2.1】计算下面给出的两个长度为计算下面给出的两个

20、长度为4的序列的序列h(n)与与x(n)的的4点和点和8点循环卷积。点循环卷积。解解 按照式（3.2.21）写出h(n)与x(n)的4点循环卷积矩阵形式为第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）2023/2/1738h(n)与x(n)的8点循环卷积矩阵形式为第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）2023/2/1739h(n)和和x(n)及其及其4点和点和8点循环卷积结果分别如图点循环卷积结果分别如图3.2.2(a)、(b)、(c)和和(d)所示。所示。经验证本例的经验证本例的8点循环卷积结果等于点循环卷积结果等于h(n)与与x(n)的线的线性卷积结果。性卷积结果。后面

21、将证明，当循环卷积区间长度后面将证明，当循环卷积区间长度L大于等于大于等于y(n)=h(n)*x(n)的长度时，循环卷积结果就等于线性卷积。的长度时，循环卷积结果就等于线性卷积。第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）2023/2/1740 图3.2.2 序列及其循环卷积波形第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）2023/2/17412.循环卷积定理循环卷积定理 有限长序列有限长序列x1(n)和和x2(n)的长度分别为的长度分别为N1和和N2，N=maxN1,N2，x1(n)和和x2(n)的的N点循环卷积为点循环卷积为:则则x(n)的的N点点DFT为为其中其中（3.2

22、.5）N 时域卷积，频域相乘时域循环卷积定理第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）2023/2/1742证明：证明：直接对直接对(3.2.5)式两边进行式两边进行DFT，则有，则有第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）2023/2/1743令令nm=n，则有，则有因为上式中因为上式中是以是以N为周期的，所以对其为周期的，所以对其在任一个周期上求和的结果不变。因此在任一个周期上求和的结果不变。因此第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）2023/2/1744由于，因此即循环卷积亦满足交换律。即循环卷积亦满足交换律。N N 第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅

23、立叶变换（DFT）2023/2/1745作为习题请证明以下作为习题请证明以下频域循环卷积定理频域循环卷积定理:如果如果x(n)=x1(n)x2(n)，则，则(3.2.6)N 时域相乘，频域卷积第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）2023/2/1746或式中N 频域循环卷积定理第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）2023/2/17473.2.4 复共轭序列的复共轭序列的DFT 设设x*(n)是是x(n)的复共轭序列，的复共轭序列，长度为长度为N，X(k)=DFTx(n)则则 DFTx*(n)=X*(N-k),0kN-1 (3.2.7)且且 X(N)=X(0)第第3

24、章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）2023/2/1748证证明明：根根据据DFT的的唯唯一一性性，只只要要证证明明(3.2.7)式式右右边边等等于于左边即可。左边即可。又由又由X(k)的隐含周期性有的隐含周期性有X(N)=X(0)用同样的方法可以证明用同样的方法可以证明 DFTx*(N-n)=X*(k)(3.2.8)第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）2023/2/17493.2.5 DFT的共轭对称性的共轭对称性1.有限长共轭对称序列和共轭反对称序列有限长共轭对称序列和共轭反对称序列 用用xep(n)和和xop(n)分分别别表表示示有有限限长长共共轭轭对对称称序序

25、列列和和共共轭轭反对称序列，反对称序列，则二者满足如下定义式：则二者满足如下定义式：xep(n)=x*ep(N-n),0nN-1 (3.2.9)xop(n)=-x*op(N-n),0nN-1 (3.2.10)当当N为偶数时，为偶数时，将上式中的将上式中的n换成换成N/2-n可得到可得到:第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）2023/2/1750图 3.2.3 共轭对称与共轭反对称序列示意图（N为偶数）注意：注意：DTFT的对称性的对称性-x(n)无限长无限长-关于原点对称关于原点对称 DFT的对称性的对称性-x(n)有限长有限长-关于关于N/2点对称点对称第第3章章 离散傅立叶

26、变换（离散傅立叶变换（DFT）2023/2/1751(3.2.14)任何有限长序列任何有限长序列x(n)都可以表示成其共轭对称分都可以表示成其共轭对称分量和共轭反对称分量之和，即量和共轭反对称分量之和，即:其中，其中，第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）2023/2/17522 DFT的共轭对称性的共轭对称性 (1)如果将如果将x(n)表示为表示为x(n)=xr(n)+jxi(n)(3.2.17)其中其中那么，由那么，由(3.2.11)式和式和(3.2.16a)式可得式可得第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）2023/2/1753第第3章章 离散傅立叶变换（离散

27、傅立叶变换（DFT）2023/2/1754(2)如果将如果将x(n)表示为表示为综上，可总结出综上，可总结出DFT的共轭对称性质：如果序列的共轭对称性质：如果序列x(n)的的DFT为为X(k)，则，则x(n)的实部和虚部（包括的实部和虚部（包括j）的）的DFT分别为分别为X(k)的共轭对称分量和共轭反对称分量；的共轭对称分量和共轭反对称分量；而而x(n)的共轭对称分量和共轭反对称分量的的共轭对称分量和共轭反对称分量的DFT分别为分别为X(k)的实部和虚部乘以的实部和虚部乘以j。则：则：第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）2023/2/1755有限长实序列的共轭对称性有限长实序列

28、的共轭对称性：设设x(n)是长度为是长度为N的实序列，的实序列，且且X(k)=DFTx(n)，则：则：(1)X(k)=X*(N-k),0kN-1 (3.2.19)(2)如果如果 x(n)=x(N-n)则则X(k)实偶对称，实偶对称，即：即：X(k)=X(N-k)(3.2.20)(3)如果如果x(n)=-x(N-n)，则则X(k)纯虚奇对称，纯虚奇对称，即：即：X(k)=-X(N-k)(3.2.21)复序列纯虚序列DFTx*(n)=X*(N-k),DFTx*(N-n)=X*(k)第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）2023/2/1756实际中经常需要对实序列进行实际中经常需要对实

29、序列进行DFT，利用上述对称性，利用上述对称性质，可减少质，可减少DFT的运算量，提高运算效率。例如，计算实的运算量，提高运算效率。例如，计算实序列的序列的N点点DFT时，当时，当N=偶数时，只需计算偶数时，只需计算X(k)的前面的前面N/2+1点，而点，而N=奇数时，只需计算奇数时，只需计算X(k)的前面的前面(N+1)/2点，点，其他点按照其他点按照(3.2.19)式即可求得。例如，式即可求得。例如，X(N1)=X*(1),X(N2)=X*(2),这样可以减少近一半运算量。这样可以减少近一半运算量。【例例3.2.2】利用利用DFT的共轭对称性，设计一种高效的共轭对称性，设计一种高效算法，通过计算一个算法，通过计算一个N点点DFT，就可以计算出两个实序列，就可以计算出两个实序列x1(n)和和x2(n)的的N点点DFT。解构造新序列解构造新序列x(n)=x1(n)+jx2(n)，对，对x(n)进行进行DFT，得到：得到：第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）2023/2/1757由(3.2.17)、(3.2.18)和(3.2.19)式得到：所以，由所以，由X(k)可以求得两个实序列可以求得两个实序列x1(n)和和x2(n)的的N点点DFT：第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）2023/2/1758