第三章平面问题的直角坐标解答h课件.ppt

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1、第三章平面问题的直角坐标解答3-1 逆解法与半逆解法 多项式解答弹性力学平面问题应力解法的数学模型(3-1)在给定边界条件的情况下用直接积分去求解弹性力学的基本方程，确定物体内的应力、应变和位移，一般地讲是很困难的，只有对一些简单的问题才适用。所以，往往对具体问题采用逆解法或半逆解法求解，而解的唯一性定理为弹性力学问题的逆解法提供了一个理论根据。问题归结为v 一是如何构造可以作为应力一般解的双调和函数，即寻求双调和函数的一般解；v 二是对具体问题(即给定边界条件下的问题)求解。逆解法 这种解法有两种含义。一种含义是先设定各种形式的满足双调和方程的应力函数，然后按式(2-31)求出应力分量，再根

2、据应力边界条件，求出边界上对应的表面力，从而得知所设定的应力函数可以解决什么样的力学问题。另一种含义是：通过材料力学或某种分析得到某问题的可能解答，然后检查它是否满足全部方程和边界条件。半逆解法 本解法是根据具体问题中边界的几何形状和受力特征，或某些问题的解答，或通过某种分析，凑出一部或全部应力分量的函数形式或应力函数的形式，然后检查全部边界条件，以最后确定这些函数，若不满足，或出现矛盾，则需修改原来所设的函数，重新检查，一直到满足为止。半逆解法系由圣维南提出，所以又称圣维南解法，或凑合解法。多项式解答经过验证，下列函数都是满足双调和方程的，因而，它们都是可能的应力函数。只要根据物体边界上的外

3、力分布，从上列各函数中选一些双调和函数进行组合，即得(a)既然双调和方程是一个线性方程，因此，经叠加后的式(a)也仍然是一个双调和函数。不过，当式(a)中的四次项和四次以上的多项式代入双调和方程后，各系数必须满足由此而建立的关于该系数的代数方程。因为在双调和方程中有最高的四阶导数，要使得方程满足高阶项必须满足一定的条件。例3-1 选取式(a)中的一次项作为应力函数，不计体积力求在图示矩形板边界上对应的表而力。ABCDoxy解：所取一次式为不论系数a0、a1和b1取何值，总是满足双调和方程。由公式(2-31)求得应力分量不论弹性体为什么形状，也不论坐标系如何选择，由应力边界条件总能得出，可见v

4、线性应力函数总是对应于自然状态v 在任何平面问题的应力函数中，加上或减去一个线性函数并不影响求解应力例3-2 选取(a)中的二次式为应力函数，不计体积力试求在上例图中所示矩形板(单位厚度)边界上对应的表面力。解：所取二次式为ABCDoxy不论系数a2、b2和c2取何值，总是满足双调和方程。为简明起见，现分别考察 式中的每一项，即令1=a2x2，2=b2xy，3=c2 y2。这时，=1+2+3，看其每一项所能解决的问题。对于1=a2x2，代入式(2-31)，得ABCDoxy对于图示的矩形板和坐标方向，当板内发生上述应力时，由应力边界条件可知AB边CD边BC边DA边说明矩形板左右两边界上没有面力作

5、用，而上下两边分别受有向上和向下的均布面力2a2。可见，应力函数1=a2x2 能解决矩形板在y方向受均匀拉力(设a20)或均布压力(设a20)或均布压力(设c2 0)的问题，见图(c)。2c2oxy2c2图(c)2a2oxy2a2b2b22c22c2总之，对于矩形板，当受到图(d)所示的面力作用时，可用多项式=a2x2+b2xy+c2 y2作为应力函数来求解，从而得到。x=2c2，y=2a2，xy=-b2这一解答。图(d)例3-3 选取(a)中的五次式作为应力函数，在不计体积力时，求图示矩形板边界上对应的表面力。h/2h/2yxo解：将的表达式代入双调和方程得因为这方程对所有的x和y都成立，所

6、以只有将e5和f5用其他的系数表示：于是上述五次多项式成为现在，式中的四个系数不论取何值，都能满足双调和方程。特别地，若a5=b5=c5=0，则对应的应力分量为在矩形板的边界上作用的表面里如下图所示。h/2h/2yxo当使用逆解法求解时，自然会产生这样一个疑问，即，这样求得的解是不是唯一的解？会不会还有其他解答?另外，是否可能找出两组不同的解，它们对应着同一个边界情况。若有这种可能，用逆解法求解的解就不一定是问题的真正的解。但可证明：在没有初应力的情况下，对应着一定的边界条件，弹性力学问题的解是唯一的。这就是解的唯一性定理注。根据这一定理，不论是用正解法(直接积分法)或从用逆解法，只要所求得的

7、解满足弹性力学的全部要求，它就是唯一的解。注 参阅王龙甫著弹性理论,6-5，科学出版社,1979序号函数形式能否作为应力函数应力分量边界上的面力1=a+bx+cy能x=y=xy=02=ax2能x=xy=0y=2a3=ay2能y=xy=0 x=2ah/2h/2yxo4=axy能x=y=0 xy=-a5=ax3能x=xy=0y=6ax6=ax2y 能x=0,xy=-2axy=2ay7=axy2能x=2ax,xy=-2ay,y=03-2 矩形梁的纯弯曲例3-4 设有矩形截面的直梁，它的厚度远小于深度和长度(近似的平面应力情况)，或者远大于深度和长度(近似的平面应变情况)，在两端受有相反的力偶而弯曲，

8、体力可以不计。为了方便，取单位厚度的梁来考察，如图示，并令每单位宽度上力偶的矩为M，M的量纲是力长度长度。试求梁的应力。解：取坐标轴如图所示。由前节知，应力函数=ay3能解决纯弯曲的问题，而相应的应力分量为x=6ay,xy=0，y=0(a)现在来考察，这些应力分量是否能满足边界条件，如果能满足，系数a应该取什么值。在下边和上边都没有面力，要求是能满足的，因为在所有各点都有xy=0，y=0。在左端和右端，没有铅直面力，分别要求这也是能满足的，因为在所有各点都有xy=0。此外，在左端或右端，水平面力应该合成为力偶，而力偶的矩为M，这就要求水平面力的主矢量为零，主矩为M，亦即将式(a)中的x代入，上

9、列二式成为前一式总能满足，而后一式要求代入式(a)，得(b)注意到梁截面的惯性矩是，上式又可以改写成这就是矩形梁受纯弯曲时的应力分量，结果与材料力学中完全相同，即梁的各纤维只受单向拉压，即所谓弯曲应力按直线分布，见图。(3-2)应当指出，组成梁端力偶的面力必须按直线分布，解答(3-2)式才是完全精确的。如果两端的面力按其他方式分布，解答(3-2)式是有误差的。但是，按圣维南原理，只在梁的两端附近有显著的误差；在离开梁端较远处，误差是可以不计的。由此可见，对于长度 l 远大于深度 h 的梁，解答(3-2)式有实用价值的；对于长度 l 与深度 h 同等大小的所谓深梁，这个解答是没有什么实用意义的。

10、例3-5 试求上例矩形截面直梁纯弯曲时的位移分量。解 假定这里是平面应力的情况。将应力分量表达式(3-2)代入平面应力问题的物理方程，得应变分量(a)再将式(a)代入Cauchy方程，得(b)前二式的积分给出(c)式中f1(y)和f2(x)为任意函数。将式(c)代入(b)中的第三式等式左边只是y的函数，而等式右边仅是x的函数。因此，只可能两边同等于同一常数，于是有将两式分别积分，得代入式(c)，得位移分量式中的任意常数、u0、v0必须由约束条件求得。由(d)中的第一式可见，不论约束情况如何(也就是不论、u0、v0取何值)，铅直线段的转角都是(见523)(d)在同一个横截面上，x是常数，因而也是

11、常量。于是可见，同一横截面上的各铅直线段的转角相同，亦即横截面保持为平面。材料力学中的平面假设 又由(d)中的第二式可见，不论约束信况如何，梁的各纵向纤维的曲率是(e)这是材料力学里求梁的挠度时所用的基本公式。如果梁是简支梁，见图，则在铰支座O处，既没有水平位移，也没有铅直位移在连杆支座A处，没有铅直位移。因此，约束条件是(f)从而得出(g)代入式(d)，就得到简支梁的位移分量(3-3)于是由式(d)得出下列方程来决定任意常数、u0、v0梁轴的挠度方程是(h)和材料力学中的结果相同。如果梁是悬臂梁，左端自由而右端完全固定，如右图，则在梁的右端(x=l)，对于y的任何值()，都要求u=0和v=0

12、。在多项式解答中，这个条件是无法满足的。多项式的解答可以满足这样的约束条件，即在右端，某一点不移动，某一个线段不转动。现在和材料力学中一样，假定右端截面的中点不移动，该点的水平线段不转动。这样，约束条件是(i)于是由式(d)得出下列三个方程来决定、u0、v0。求解以后，得代入式(d)，得出该悬臂梁的位移分量(3-4)粱中的挠度方程是(k)(j)对于平面应变情况下的梁，须在以上的应变公式和位移公式中，把E变换为E/(1-2),把变换为了/(1-)。例如，梁的纵向纤维的曲率公式(e)，应该变换为(3-5)3-4 简支梁受均布荷载例3-11 设一矩形截面的简支梁跨度为2l，在梁的上边界受有均匀分布的

13、荷载q作用，如图。试分析梁内应力分量，并与材料力学结果相比较(自重不计)。解 简文梁受均布荷载的弯曲问题此前已为大家所熟悉。因此，面对该问题就很自然地写出下面的材料力学的解答(a)但是，它并不满足弹性力学的全部方程。因为，在梁的上表面(y=-h/2)有y并不等于零。因此，我们放弃y=0这一假定，而根据初等解答(a)，写出应力分量的普遍形式于是有(b)由式(b)的第一式积分，得(c)式中的f1(x)和f2(x)均为x的任意函数。将式(c)代入(b)的第二式则有由此得这里的E为积分常数。代入式(c)后，得到(d)通过直接的演算可以发现，上述函数并不满足双调和方程，这表明它不能取作应力函数。但只要在

14、这个函数的基础上，再添加一个任意函数(x,y)，并略去不影响应力分量的一次项Ey，于是有(e)以满足双调和方程为目标，来选择函数(x,y)。为此，将式(e)代入双调和方程，于是得到要使函数式(e)为双调和函数时,(x,y)所必须满足的方程(这里设f2(x)至多是 x 的三次函数)(f)容易得出，这个方程最简单的解答是(g)将它代入式(f)，得到(h)函数(x,y)中的项可以不计，因为在函数式(e)中已包含了相似项。这样由式(h)有因此，最后得到对应的应力分量为(i)通常，梁的跨度远大于梁的高度，即梁的上下两边界占全部边界的绝大部分，因而上下两个边界是主要的边界，其余小部分的边界，即左右两个边界

15、是次要边界。在主要的边界上，边界条件必须完全满足(亦即精确满足)；在次要的边界上，如果边界条件不能精确满足，可以应用圣维南原理，使边界条件得到近似满足，(亦即放松边界条件的精确要求)，仍然可以得出有用的解答。主要边界条件(j)次要边界条件(k)由主要边界条件得将此两式相加，得再由关于x2和x4的系数比较，又可得又因为 因为常数F=0，所以C=Bh2/4，从而解得代入式(i)，得(l)再出次要边界条件(k)中的第二式，得 即将它代入式(l)，并稍加整理，得(m)但是，在x=l的左、右端截面上，x=0。而从(m)的第一式可见，这个条件是无法满足的，即(n)根据圣维南原理，只要它满足(k)中的第一式

16、即可，因此，将其代入得，该条件却是满足的。且(k)中的第三式也是满足的，因此式(m)即为简支梁受均布荷载q作用的问题的解答。应力分量沿任一截面的变化规律大致如下图所示。(m)矩形截面梁的宽度b=1，惯矩为，静矩是 ，而梁的任一按截面上的弯矩和剪力分别为则式(m)改写为(3-6)在式(3-6)中，虚线左边的项与材料力学的解答相同，而右边的项是弹性力学所给出的修正项。在式(3-6)中，虚线左边的项与材料力学的解答相同，而右边的项是弹性力学所给出的修正项。y 表示纵向纤维的挤压应力，而在材料力学中这一应力则被假定为零；这里的剪应力xy 与材料力学结果相同；x 的表达式中的第一项与材料力学结果相同，第

17、二项表示弹性力学提出的修正项。对于通常的长而低的梁，修正项很小，可以忽略不计。对于短而深的梁，修正项不能被忽视。(3-6)以梁的中间截面为例，梁顶与梁底的弯曲应力为当h/2l=0.10时，第二项为第一项的0.3当h/2l=0.25时，第二项为第一项的1.7当h/2l=0.50时，第二项为第一项的6.7h/2l当梁承受自身重量以代替分布荷载q时，解答必须加以这样的修正：在方程(3-6)中令q=ph(p为梁的容重)，并加上应力只须取就可由得到应力分布因而它代表由重量和边界力引起的一种可能的应力状态。在简支梁的上边(y=-h/2)，我们有y=ph，而在下边(y=h/2)有y=0，于是将应力与前面令q

18、=ph而得到的解答相叠加。这时，梁的两个水平边上的应力就成为零，而梁上的荷载只是梁的重量。（二）梁的位移分量 欲求简支梁的变形，可用与上节相同的方法得到。格式(m)代入Cauchy方程，得(n)积分前两式，求得(o)把u、v代入前面的第三式，并使用关系式G=E/2(1+)，整理后，得上式左边第一项只是y的函数，而花括号内的式子只是x的函数。为使两个函数的和等于零，令这两个函数分别等于零，即分别积分上边两式，得式中，C、E为积分常数。在梁的中央截面上，形心垂直位移(挠度)为，水平位移为零，故有(p)把式(p)代入(o)中，并使式(o)满足上面的边界条件得C=0，E=把C和E代入式(p)，再把式(

19、p)代回式(o)，得到位移u、v的表达式(q)令(q)中第二式的y=0，得简支梁的挠曲线的方程式为根据简支梁的边界条件(r)得式中，为简支梁跨中点的挠度，与材料力学的结果相比轮可见方括号前的因子就是按材料力学梁弯曲理论求得的跨度中点的挠度，而方括号中的第二项则是考虑剪切影响而作的修正。(s)按式(r)对x取两次导数，求得梁挠曲线的曲率为可见，挠曲线的曲率并不是精确地正比于横截面上的弯矩q(l2-x2)，方括号中的第二项代表对材料力学公式的修正。(t)3-5 楔形体受重力和液体压力例3-12 现有楔形体断面的坝体，如图，左面铅直，右面与铅直成角，下端作为无限长，承受自身重力及液体压力作用。楔体密

20、皮为，液体密度为，试求楔体应力分量。解：对于平面应变问题，现介绍一种用量纲分析的方法，选择应力函数。由于坝体既承受液体压力又要考虑坝身自重，所以楔形体任一点的每个应力分量就应由两部分组成，即由重力W引起的应力分量和由液体压力p引起的应力分量，它们分别与g和g成正比(g是重力加速度)。量纲分析 用量纲分析的方法选择应力函数。由题意分析可知，两部分的应力均与x、y、a有关。由于应力的量纲是力长度-2，g和g的量纲是力长度-3，a是无量纲的量，而x和y的量纲是长度，因此，如果应力分量具有多项式的解答，那末，它们的表达式只可能是Agx、Bgy、Cgx、Dgy四种项次的组合，而其中的A、B、C、D是无量

21、纲的数量，只与a有关。这就是说，各应力分量的表达式只可能是x和y的纯一次式，而应力函数对坐标的二阶偏导数给出应力分量，所以，应该是x和y的纯三次式(a)应力分量 按题意，体力分量：X=0，Yg。为了求得应力分量表达式，由式(a)，得经验证，这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。(b)边界条件在左面，即在x=0边界上：将式(b)代入上式，得因而式(b)成为(c)在右面,即x=y tan的边界上，。所以，应力边界条件是将式(c)代入，得(d)但由图可见代入式(d)，求解b和a即得解答与分析v将系数a、b的值代入式(c)，得李维(Lvy)解答。(3-7)v各应力分量沿水平方向的变化如图示。可见

22、，x沿水平方向没有变化，该结果由材料力学公式是得不到的。vy沿水平方向按直线变化，在左面和右面，它分别为 这与用材料力学里的偏心受压公式算得的结果相同。v应力分量xy也按直线变化，在左面和右面分别为按照材料力学的分析，xy按抛物线变化，与弹性力学解答不同。量纲分析(dimensional analysis)自然科学中一种重要的研究方法，它根据一切量所必须具有的形式来分析判断事物间数量关系所遵循的一般规律。通过量纲分析可以检查反映物理现象规律的方程在计量方面是否正确，甚至可提供寻找物理现象某些规律的线索。概述 各种物理量之间存在着关系，说明它们的结构必然由若干统一的基础成分所组成，并按各成分的多

23、寡形成量与量间的干差万别，正如世间万物仅由百余种化学元素所构成。物理量的这种基本构成成分统称为量纲。由于物理学研究物质在时空中的演化和运动，所以一切定量问题最终离不开质量、时间和长度这三种基本量。因而最适宜于选取M、T、L做为这三种基本量的量纲。一切其他导出量的量纲可按定义或客观规律表成这三种基本量的量纲组合。基本量有多种取法，在力学中通常取质量、长度和时间为基本量，其他量(例如速度、力等)可按一定规则出基本量导出。任何其他三类量纲互相独立的导出量也可作为基本量。性质上完全不同的两种物理量可具有相同的量纲，例如功和力矩就是如此。任何正确反映物理现象规律的方程，其两任何正确反映物理现象规律的方程

24、，其两端各项都必须具有相同的量纲端各项都必须具有相同的量纲。物理量的大小，除按个数计的外，通常由一个或几个实数连同所采用的单位表示。这种数一般称为“名数”，意为不标明单位名称就没有意义的数。名数的实数值可以随不同的对象处于不同的时间或空间而不同。这是由于对象不同或本身发生变动而引起的实质变化。但名数值还会随所采用的单位大小而改变，而且是单位大小的连续函数。因为单位的大小可以任选，所以名数值的上述改变不是客观的实质变化。实质变化的规律是学科本身的研究得出的各种各样的物理定律被表成数学方程的形式，控制着有关量本身的消长。非实质变化则不牵涉实质客观过程，只反映单位的主观选择。客观规律当然不涉及依赖于主观，这就要求数值的非实质变化必须保证事物客观大小的绝对性。具体说，任何两个一定大小的同类量，不论测量的单位如何，它们的相对大小永远不变，即它们的比值对任何单位都必须是个定值。同类量相对大小对于单位的不变性是度量的根本原则。违反这一原则，量度将没有任何意义。根据这个原则，可以导出以下的重要结论：在确定的单位制中，所有物理量的量纲都具有基本量纲的幂次积形式(证明从略)，即它们的形式可写成 a b c，其中、为基本量的量纲；幂次a、b、c为常数，但不一定是整数。