2020年高考数学后期复习策略及重难点试题评析课件.pptx

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1、高考数学全国卷高考数学全国卷（）解答解答题题概概览览解答题2019年2018年2017年17题解三角形解三角形解三角形18题线面平行，二面角面面垂直，二面角面面垂直，二面角19题抛物线椭圆概率统计20题导数极值点，零点概率统计椭圆21题概率统计与数列函数的单调性，极值点函数导数22题参数方程极坐标方程参数方程23题不等式证明绝对值不等式解法，不等式恒成立绝对值不等式解法，不等式恒成立高考数学全国高考数学全国卷理科主卷理科主观题观题得分情况得分情况题题号号二二17181920212223总总分平均分平均分分值值2012121212121010902017年年9.617.928.613.45.59

2、2.435.64.43432018年年12.938.887.256.12.353.396.686.9747.582019年年9.878.199.114.821.542.153.24.339.16高考数学全国高考数学全国卷文科主卷文科主观题观题得分情况得分情况题题号号二二17181920212223总总分平均分平均分分值值2012121212121010902017年年7.995.073.982.31.660.763.252.2324.32018年年11.325.984.226.772.662.434.394.2837.652019年年6.829.235.375.581.10.92.02.031

3、.071近三年近三年导导数解答数解答题题研究研究2近三年概率与近三年概率与统计统计解答解答题题研究研究01 近三年近三年导导数解答数解答题题研究研究三年三年导导数解答数解答题对题对比比1.关于含参数的函关于含参数的函数数的的讨论讨论含参讨论是否弱化命题时未有有意识地改变2018年年理3套含参 文3套不含参2017年年文理6套含参文 含参文理 含参 其余不含参2019年年三年三年导导数解答数解答题对题对比比2.设问发设问发生改生改变变（2017 年年全全国国卷理卷理科科第第 21 题题）已知函数 f(x)ae2 x (a 2)ex x 1讨论 f(x)的单调性；2若 f(x)有两个零点，求 a

4、的取值范围x（2018 年年全全国国卷理卷理科科第第 21 题题）已知函数 f x 1 x a ln x.（1）讨论 f x 的单调性；（2）若f x12xx 存在两个极值点，证明：1212f xf x a 2x x.三年三年导导数解答数解答题对题对比比（2019 年年全全国国 卷卷理科理科 20 题题）已知函数 f(x)2x3 ax2 b.（1）讨论 f(x)的单调性；（2）是否存在a,b，使得 f(x)在区间0,1 的最小值为1且最大值为 1？若存在，求出a,b 的所有值；若不存在，说明理由.（2019 年年全全国国 卷卷文科文科 21 题题）已知函数 f(x)(x 1)ln x x 1证

5、明：（1）f(x)存在唯一的极值点；（2）f(x)=0 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数（2019 年年全全国国 卷卷理科理科 20 题题）已知函数 f(x)ln x x 1.x 1（1）讨论 f(x)的单调性，并证明 f(x)有且仅有两个零点；000 x（2）设 x 是 f(x)的一个零点，证明曲线 y ln x 在点 A x,y处的切线也是曲线 y e 的切线.三年三年导导数解答数解答题对题对比比不不变变：注重解析式变化(即认为背景公平)改改变变：原来设问简明扼要；2019年设问开放，思路新颖，顺序前提，难度适当降低国务院办公厅印发关于新时代推进普通高中育人方式改革的指导意见 中指出：

6、从优化考试内容、创创新新试试题题形形式式、科学设置试题难度和加强命题能力 建设三方面提高命题水平，根据高校人才培养目标和专业学习基本需要，不断 完善招生专业选考科目要求，并把综合素质评价作为招生录取的重要参考。高考函数高考函数导导数零点数零点问题问题中的中的“卡根卡根”（2017 年年全全国国 卷卷理科理科 21 题题）已知函数 f(x)ae2 x (a 2)ex x 1讨论 f(x)的单调性；2若 f(x)有两个零点，求 a 的取值范围（2）0 a 1时，f(x)在,ln a 上是减函数，在 ln a,上是增函数，且 f(ln a)0.又 f(2)ae4 (a 2)e2 2 2e2 2 0，

7、故 f(x)在,ln a 上有一个零点.00 a设正整数n 满足n ln 3 1，000000nnn则 f(n)eae a 2 n e n 0，a由于ln 3 1 ln a，因此 f(x)在 ln a,上有一个零点.高考函数高考函数导导数零点数零点问题问题中的中的“卡根卡根”思路思路2.参参变变分离分离高考函数高考函数导导数零点数零点问题问题中的中的“卡根卡根”3（2018 年年全全国国 卷卷文科文科 21 题题）已知函数 f(x)1 x3 a(x2 x 1)1若a 3，求 f(x)的单调区间；2证明：f(x)只有一个零点（2）由于 x2 x 1 0，所以 f(x)0 等价于x3x2 x 1

8、3a 0 x3x2 x 12x2 x2 2x 3设 g x 3a，则 g x x2 x 1 0，仅当 x=0 时 g x 0，所以 g x 在,单调递增故 g x 至多有一个零点，从而 f x 至多有一个零点1 1 0，故 f x 有一个零点3综上，f x 只有一个零点又f3a 1 6a2 2a 13 6 a 1 26 16 0，f3a 近三年近三年导导数解答数解答题题研究研究应应用零点存在性定理关用零点存在性定理关于于判断判断函函数符数符号号那些事那些事极限定性（好用但不严谨，慎用）;放缩到“可解”;把握方程的本质，“挪到”合适位置;怎样“知式”画图.（2019 年全国年全国 卷卷理科理科

9、20 题题）已知函数 f x sin x ln x 1，f x 为 f x 的导数.证明：1,（1）f x 在区间 2 存在唯一极大值点；（2）f x 有且仅有 2 个零点.高考函数高考函数导导数数“多元多元”问题问题中的消元中的消元（2018 年年全全国国卷卷理科理科 21 题题）题目：已知函数 f x 1 x a ln x.x（1）讨论 f x 的单调性；（2）若 f x 存在两个极值点 x1，x2，证明：f x1 f x2 x1 x2 a 2.高考函数高考函数导导数数“多元多元”问题问题中的消元中的消元导数是数学中的一个内涵十分丰富的核心概念，也是一种强有力工具，为研究函数的图象、性质，

10、探求函数的极值、最值，求曲线的切线斜率，证 明不等式等提供了新的视角和方法，相应也就成为高中数学知识的一个重要 交汇点，是“变知识立意为能力立意，在知识的交汇处设计试题”的高考命 题思想的重要载体。本题沿袭了这一传统，既考查了学生逻辑推理、数学运算、模型建构、直观想象等核心数学思想，也考查了学生灵活运用转化与化归、分类讨论、函数与方程、数形结合等数学思想方法分析问题、解决问题的能力，同时题 干简明，问题明确，入手容易，而深入则需要扎实的数学基本功，平均得分 率约为28%，不失为一道较好的压轴题。高考函数高考函数导导数数“多元多元”问题问题中的消元中的消元解解：（1）f(x)的定义域为(0,)2

11、1ax2x2ax 1，f(x)1 xx.（）当a 0 时，f(x)0，于是原函数 f(x)单调递减.（）当a 0 时，令 g(x)x2 ax 1，0，此时a 2 或a 2（舍去），此时 f(x)0，原函数单调递减.0，此时2 a 2，和 a 0 取交集，也即当0 a 2 时，f(x)0，原函数单调递减.高考函数高考函数导导数数“多元多元”问题问题中的消元中的消元 0，此时a 2 或a 2，和a 0 取交集，也即当a 2，令 f(x)0 得，x a a2 4 或 a a2 4x.222 a 2 时，a a2 4 0，222a a2 4 a a 4当 x 0,时，f(x)0，原函数单调递减；22

12、a a2 4 a a2 4 当 x,时，f(x)0，原函数单调递增.综上所述，a 2 时，原函数 f(x)在(0,)上单调递减.222a 2 时，f(x)在 0,a a2 4 a a 4，,22 a a2 4 a a2 4,单调递减，在 单调递增.高考函数高考函数导导数数“多元多元”问题问题中的消元中的消元理的函数模型进行问题转化.典型解法如下：本题解题的关键是认真审题，合理进行问题转化。特别是在第 二问中，要能够根据题意，找到隐含条件：由第一问可知，存在两 个极值点，那么必须有a 2.若设两个极值点分别为 x1,x2.它们是x2ax 1 0 的根，则x1 x2 a,x1 x2 1，在此基础上

13、构造合高考函数高考函数导导数数“多元多元”问题问题中的消元中的消元解解法法一（一（分离参数）：要证 f(x1)f(x2)a 2，即要证 f(x1)f(x2)2 a.x1 x2x1 x2由第一问可知，f(x)存在两个极值点，那么a 2.设两个极值点分别为 x，x，它们是 x2 ax 1 0 的根，所以 x x a，x x 1，12121 21122x1 x a ln x 1f(x)f(x )xx1 x2x1 x2x1 x2x a ln xa ln x1a ln x1xxln x1xx1 x2x1 x2所以 12 2 12 2 2 ，即要证 2 a，需证 2 1，121 212x不妨设0 x 1

14、x，又因为 x x 1，所以 x 1，222x代入到上式中，既要证2 ln x 1 x x令 g x 2 ln x 1 x x 1，要证 g x 0，x2 x 12那么 g x 0，为单调递减函数.故 g x g 1 0，得证.分离参分离参变变挖掘条件挖掘条件代入消元代入消元高考函数高考函数导导数数“多元多元”问题问题中的消元中的消元另外，也可以对式进行如下变形：22x ln xg x x 122x2 1 2x2 1ln x x 1，证明 g x 1 即可，那么 g x x2 1，22xx2 2x2 ln x 1令 x x 1 x 1ln x，那么 x，令h x x2 2x2 ln x 1，那

15、么h x 4x ln x 0，所以函数h x 单调递减，h x h 1 0，所以函数 x 单调递减，x 1 0，所以函数 g x 单调递减，g x g 1.x1x1x1x2 1xlim g x lim 2x ln x lim ln x 1 1（洛必达法则），得证.高考函数高考函数导导数数“多元多元”问题问题中的消元中的消元f(x)f(x)x1 x2112xx x xlnx1 x2解解法法二二（代（代换换法法）：要证 12 a 2，即要证2 2 a 2，122x1xx 1 x2 1 1即证：x2ln x1 x x，令12xx1 211t t t 1，又因为 x x 1，所以 x t，x 1，t

16、1tt代入到上式，有：t 1 ln t t 1，即证ln t t 1 tt2t tt 12 2t t令 g t ln t t 1，则 gt 1 t 1 0.所以 g t 是一个单调递减函数，所以 g t g 1 0，得证.高考函数高考函数导导数数“多元多元”问题问题中的消元中的消元解法三（解法三（齐次消元）：要证 f(x1)f(x2)a 2x1 x21122a ln x11 x a ln x 1x a ln xf(x)f(x )xxx 12 2 12 2 2 x1 x2x1 x2x1 x2x1 x2即要证 a(ln x1 ln x2)af(x)a 2此背景即大家熟悉的 A-L-G 不等式，不再

17、赘述.12x x需证ln x1 ln x2 11 2x x 11 212x xx xln x1 ln x2 1导导数解答数解答题备题备考建考建议议理科理科数学数学文科文科数学数学填空10.66填空7.2417三角8.9717概率8.5918立几9.0918数列4.8519解几4.2519立几4.7620导数2.4220导数1.1421概率2.4821解几0.2222参极3.3222参极1.923不等式3.8723不等式1.92总分45.06总分30.621.夯夯实实“求求单调单调性性、极极值值、最最值值”的的基基本本题题型型导导数的考数的考查认识查认识已已经趋经趋同同：命题回归本源，略高于教材

18、侧重考查单调性极值最值零点切线证明不等式恒成立破除原有备考思维中等以下学 生规避导数题或其第二问；引导学生扎实学好教材内容，以不 变应万变！导导数解答数解答题备题备考建考建议议2.注意用注意用导导数的数的观观点点重新重新包包装函装函数数和三和三角角函数函数试试题题（2018年全年全国国卷卷理理科科16题题）已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是.212 解：f x 2cosx 2cos2x 4cos x 2cosx 2 4 cosx 1cosx 设f(x)g(cos x)g(t),t cos x 1,1此时g (t)(1 t)(2t 1)133 323 由单调性易知：g

19、(t)min g(2)2 2 2 导导数解答数解答题备题备考建考建议议3.对导对导数数试题进试题进行行分分类类，深深度地度地研研究，究，形形成内成内在在规规律律，抓住抓住问问题题的的本本质质(1)导数中不含参数的单调性问题 (2)含参数的导数讨论问题确定确定单调单调区区间间：应进行分类，导数表达式分为“能因式分解型”、“不能因式分解型”、“超越型(含ex,lnx)”.(3)弄清何时“虚设零点”？“虚设零点”后，如何处理？近三年近三年导导数解答数解答题题研究研究-由由“多元多元”想到的想到的.化繁化繁为简为简的的消消 元策略元策略“一一鱼鱼三吃三吃”例例谈谈 多元最多元最值值巧妙的同构式解巧妙的

20、同构式解题题加加强强和弱化命和弱化命题题在解在解题题 中的中的应应用用由多元最由多元最值值 想到的想到的0102030402 近三年概率与近三年概率与统计统计解答解答题题研究研究数学数学应应用用视视角下的角下的统计统计与概率与概率综综合合问题问题概率概率统计统计数据分析核心素养数据分析核心素养时代赋予了新的含义，近几年全国卷出现了好多亮点经典试题，有效 地考查了考生的运算求解能力、数据处理能力及应用意识。此类试题表达 最长，对综合能力的考查越来越强，越来越具有选拔性。2017年，19题，正态分布，二项分布及数学期望，的整体运算及估值，统计推断；2018年，20题，二项分布及数学期望，利用导数求

21、最值，统计推断；2019年，21题，分布列，等比数列的概念、求和，统计推断。近三年概率近三年概率统计统计解答解答题题概概览览试题试题年份年份题题号号考考查查知知识识点点涉及涉及统计图统计图或表或表字符数字符数2017（）19正态分布3的理解，统计推 断，期望与方差表格4402018（）20二项分布、导数求最值、期 望、统计决策文字语言3332019（）21分布列，与数列结合、统计 决策文字语言4012019（）18相互独立事件的概率文字语言153概率概率统计统计解答解答题题分析分析概率概率统计统计解答解答题题分析分析（2）（i）如果生产状态正常，一个零件尺寸落在 3，3 之外的概率只有0.00

22、26，一天内抽取的 16 个零 件中，出现尺寸在 3，3 之外的概念只有 0.0408，发生的概念很小.因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的 方法是合理的.（ii）由 x 9.97,s 0.212，得 的估计值为 9.97，的估计值为 0.212，由样本数据可以看出有一个零 件的尺寸在 3,3 之外，因此需对当天的生产过程进行检查.15剔除 3,3 之外的数据 9.22，剩下数据的平均值为 9.97 16 9.22 10.02，因此 的估计值为 10.02.16222ii1x 16 0.212 16

23、 9.97 1591.134，15剔除 3,3 之外的数据 9.22，剩下数据的样本方差为 1 1591.134 9.222 1510.022 0.008，因此 的估计值为0.008 0.09.高考高考试题试题取材于取材于课课本本（2015 年高考新年高考新课标课标 卷卷理科理科 19 题题）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x（单位：千元）对年销售量 y（单位：t）和年利润 z（单位：千元）的影响，对近 8 年的年宣传费 xi 和年销售量 yi（i=1,2，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.x y w8(x x)2ii18(w w)2ii18(x

24、i x)(yi y)i18(wi w)(yi y)i146.656.36.8289.81.61469108.8表 中 wi xi，w=188wi1 i（）根据散点图判断，y=a+bx 与 y=c+d x 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（）根据（）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程；（）已知这种产品的年利率 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y-x.根据（）的结果回答下列问题：（）年宣传费 x=49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？（）年宣传费 x 为何值时，年利率的预报值最大？概率概率统计统计解答解答题题分析

25、分析（2018 年年全全国国 卷卷理科理科 20 题题）某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取 20 件产品 作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验，设每件产品为不合格品的概率都为 P（0P1），且各件产品是否为不合格品相互独立。1记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 f（P），求 f（P）的最大值点 P0 。2现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以（1）中确定的 P0 作为 P 的值，已知每 件产品的检验费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中

26、，则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿 费用。i.若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 X，求 EX；ii.以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？概率概率统计统计解答解答题题分析分析本题为基于现实背景的应用题，希望考生能够通过数据分析做出决 策，是一道考查数据分析素养的好题。但本题得分率却不高，仅为20%，零分率高达34.2%，相较往年有较大差异，其中原因值得深思。本题第一问的标准参考答案为：2020 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 f(p)C2 p2(1 p)18.因此 f(p)C2 2 p(1 p)18 18

27、p2(1 p)17 2C2 p(1 p)17(1 10 p).2020令 f(p)0，得 p 0.1.当 p(0,0.1)时，f(p)0；当 p(0.1,1)时，f(p)0.所以 f(p)的最大值点为 p0 0.1.概率概率统计统计解答解答题题分析分析现了困惑。不习惯运用函数实现处理概率问题，说明“随机变量思想”，“分布函数思想”远未形成，河北省考生约75%的考生得分在2分上下，大多为这种情况。事实上，很多考生在得出 后，如何求最大值点出182220fp Cp1 p概率概率统计统计解答解答题题分析分析方方法法二二：不：不等等式法式法20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为：181818220

28、9189991820190 1 pf(p)C2 p2 1 p 190 p1 p p2 1 p 20190 2 p 18190 1 20918 10 091010当且仅当1 p p 时等号成立，此时 p 1，故 p 1.概率概率统计统计解答解答题题分析分析Y025P0.90.1（2）现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以（1）中确定的 P0 作第一种：第一种：由（1）知，p 0.1件产Y B(180,0.1)X 40 25YEY 180 0.1 18 X 20 2 25YEX E(40 25Y)40 25EY 490第二种：第二种：令 Y 表示 1 件产品中的赔偿费用，则可能

29、情况如下：EY 25 0.1 2.5EX 20 2 180EY 490概率概率统计统计解答解答题题分析分析本题的命题立意可能是用一种直观具体的实际问题引领学生体会这一统计 思想，但这一考查目标基本落空。归结原因，可能还是在日常教学中发展学生 “数据分析”素养的课程目标落实的不够到位，对于随机思想和基本概念的理 解不够全面深刻，甚至错误。这一点从第二问的作答中也能表现出来，下面是两例学生的典型做法：案例1：因为p=0.1，不合格品的数量为（220-20）p=18件，所以EX=20 2+1825=490元。案例2：EX=20 2+（2000.1-2）25=490元。以上案例说明，学生并没有真正理解

30、“概率”的含义，更多的是利用“比 例”的思想（确定性思想）进行计算了。概率概率统计统计解答解答题题分析分析（2019 年全国年全国 卷卷 21 题题）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验。试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验，对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以 乙药。一轮治疗结果得出后，再进行下一轮试验。当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时，就停 止试验，并认为治愈只数多的药更有效。为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以 乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且

31、施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲 药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分。甲、乙两种药的治愈率分别记为、，一轮试验中甲药的 得分记为 X。1求 X 的分布列；2若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分，pi i 0,1,8 表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 p0 0，p8 1，pi api1 bpi cpi1 i 1,2,7，其中a p X 1，b p X 0，c p X 1。假设 0.5、0.8。（）证明：pi1 pi i 0,1,7 为等比数列；（）求 p4，并根据 p4 的值解释这种试验方案的合理性。概率概率统计统计解答解答题题分析分析X10

32、1P1 1 2 1 （2）（）由题意可得a 0.4，b 0.5，c 0.1，因为 0.5，0.8，因此 Pi 0.4Pi1 0.5Pi 0.1Pi1 i 1,2,7，故0.4 Pi Pi1 0.1 Pi1 Pi ，所以 Pi1 Pi 4 Pi Pi1 ，又因为 P1 P0 P1 0故数列Pi1 Pi i 0,1,7 为公比为 4、首项为 p 的等比数列。以下是官方答案：以下是官方答案：（1）X 所有可能额取值为-1，0，1，P X 1 1 ，P X 1 1 ，P X 0 1 1 .所以 X 的分布列为：概率概率统计统计解答解答题题分析分析以下是官方答案：以下是官方答案：768877610011

33、3P48 1（）由（）可得：P P P P P P P P 4 4 1 P 3由于 P8 1，所以 P1 48 1 4433221100321111325744 1故 P P P P P P P P P P 4 4 4 1 P P 41 3 44 1即 P 48 1344 1P4 表示最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为 0.5，乙药治愈率为 0.8 时，认为甲药更41257有效的概率 P 0.0039，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理.概率概率统计统计解答解答题题分析分析试验试验背景解背景解读读评评比方案比方案1.这里的试验次数是不确定的，运气好的，

34、4次就搞定，运气不好的，就要不断地试验；2.为什么是4个？如果设置为1个，则检验的随机性太大，不够可靠；如果设置的更多，虽能使得试验结果与真实结果接近，不过这样会让 试验更繁杂；3.生活中也有类似的规则，比如乒乓球、羽毛球的赛制：当达到赛点 后，如果双方比分接近，再进行若干轮比赛，直到一方率先比另一方 多2分，就判定领先的人获胜。这背后的思想与本题的思想是一致的。概率概率统计统计解答解答题题分析分析试验试验背景解背景解读读递递推关系推关系1.马马尔尔科科夫夫链链概率论中时间、状态均为离散的随机过程，描述一类重 要的随机动态系统（过程）的模型，系统在每个时期所处的状态是随机的，从 一时期到下时期

35、的状态按一定概率转移，下时期状态只取决于本时期状态和转 移概率。题目中甲药的累计分数就是这样一个随机过程的马尔科夫链，我们关心甲 药的累积分数和最后“试验表明甲药更有效”的概率之间的关系，这就是关系 到甲药在不同分数之间转移的概率，也就是题目中给出的式子：pi api1 bpi cpi1 i 1,2,7概率概率统计统计解答解答题题分析分析试验试验背景解背景解读读递递推关系推关系这个式子本质上表达了这个马尔科夫链的传递规律，Pi的定义是在累积分 数i的情况下继续试验，最后甲药获胜的概率。而当前状态Pi下最终甲药获胜的 概率，包含了三种情况，一种是通过概率a转移到Pi-1最后获胜，一种是通过概 率

36、b保持在Pi最后获胜，还有一种是通过概率c转移到Pi+1最后获胜。所以在当 前这一步Pi获胜的概率，就是这三种情况下获胜的概率乘以它们发生的概率，也就是题目中给的公式，这个递推公式是甲药在不同状态下获胜的递推公式，而不是若干次之后分数i的公式。概率概率统计统计解答解答题题分析分析试验试验背景解背景解读读递递推关系推关系下图是马尔科夫链：随机游走（Randow Walk）的示意图（状态Si表示“甲药 的累积得分为i”）马尔科夫链具有马尔科夫性，又被称为无记忆性或无后效性，即未来只取决 于现在，与过去无关，在该题中甲药在下一阶段的累积得分只与当前阶段的累计 得分有关，而与过去时刻的累计得分无关。事

37、实上这个递推关系是由题意可以推出的，只不过它用到大学的概率知识，在这里直接给出大大降低了题目的难度，体现了高等数学知识在高中阶段的下放。概率概率统计统计解答解答题题分析分析解答解答过过程分析程分析知知识识来源来源其实做第二问压根不用想太多，也不需马尔科夫链这个知识储备，按图索骥即 可！解：甲、乙两种药的治愈率分别记为 和 ，0.5，0.8（说明甲药的治愈率低），由（1）a P X 1 0.4，b P X 0 0.5，c P X 1 0.1因 Pi aPi1 bPi cPi1，所以 Pi 0.4Pi1 0.5Pi 0.1Pi1，所以5Pi 4Pi1 Pi1，所以 Pi1 Pi 4 Pi Pi1

38、又因为 P1 P0 P1 0，所以Pi1 Pi i 0,1,2,7 为等比数列.此问完全是数列的知识。对数列的考查来说，一个超出常规方法求通项的数列问 题总是提示先证明一个辅助数列是等差或等比，此题命题者已经给出了辅助数列，用基本的累加手法即可。概率概率统计统计解答解答题题分析分析解答解答过过程分析程分析知知识识来源来源这样的二阶递推数列在课本上出现过（人教版必修5数列复习参考题B组第6题）已知数列an，a1 5，a2 2，an 2an1 3an2 n 3，对于这个数列的递推公式 作一研究，能否写出它的通项公式？概率概率统计统计解答解答题题分析分析解答解答过过程分析程分析如何求如何求P4？法法

39、1：累加法求通项1i1p p 4(p p)42 (p pi1iii1i1i2)4pii11i1i 2p p 4i1 pp p 4i 2 p 1 p1 p0 p111134iipi11)p p (1 4 4484444333111 p8 p1 1 p4 p1 48311144 1257注：注：这个递推关系求通项的基础手法就是累加。概率概率统计统计解答解答题题分析分析解答解答过过程分析程分析如何求如何求P4？法法2：解方程求通项注：注：这个二阶递推不仅隐藏着一个是等比数列的辅助数列，还蕴含则另一 个常数数列的辅助数列，通过解方程的方法就可以简单求出。5 pi 4 pi1 pi1 pi 4 pi1

40、p1 4 p0 p11i1 pi1 pi 4(pi pi1 )pi p 4i1 p 4i 1pi 844114844p3p 1p1 p4 4 1 1257 pi1 4 pi pi 4 pi1 pi1 4 pi 为常数数列概率概率统计统计解答解答题题分析分析解答解答过过程分析程分析如何求如何求P4？法法3：特征方程求通项注注：该公式就是由全概率公式推出的二阶差分方程，也是一个二阶齐次 线性递推数列，常用特征根法来求它的通项公式，这是竞赛中很基本的 知识。由递推关系5 pi 4 pi 1 pi 1x2 5x 4 0解 得 特 征 根 x 1,4i010018011044481 p c c 4i 1

41、p c c 1 0,p c c 47 1 c ,c48 1 14114414 p 43 48 148 1 1257由递推关系5Pi=4Pi-1+Pi+1知，其对应的特征方程为x2-5x+4=0，解得特征根x=1,42019年全国年全国卷 概 率 与卷 概 率 与 统 计统 计 解 答解 答 题题 命命 题题 特特 点点概率概率统计统计以以压轴题压轴题出出现现在2018年概率与解析几何的解答题实验性的交换了位置与难度后，今年又向前走了一 步，概率统计以压轴题的题目出现，令人耳目一新（惊掉下巴）。实实践性知践性知识识的考察的考察进进一步加大一步加大在数学最直接的应用模块-概率统计上，题目的设计，一

42、如既往的保持了高质量，既 耳目一新又中规中矩，问题背景考生熟悉，贴近生活，但文字阅读量比较大，这对于 考生从大量的文字阅读中提取关键信息与数据的能力要比较高。解解题题入口比入口比较宽较宽回避了刻意的挖坑埋雷回避了刻意的挖坑埋雷题目的设置上层次递进有序，难度结构合理，大部分为“新常规”题目。中低档题平和清 新，考察重点突出，高档题，不偏不怪，难得“正经”，体现了良好的区分性。同时题目 设问的呈现方式清晰明了，都以学生熟悉的方式出现，解题入口比较宽，考生上手比 较容易，但随着问题解决的深入，思维的灵活性与转化性的要求逐渐增高。概率与概率与统计统计解答解答题备题备考建考建议议1.回回归课归课本本教材

43、是学习数学基础知识，形成基本技能的“源泉”，是高考试题的重要知 识载体.纵观高考试题中的统计与概率试题，大多数试题来源于教材，特别是大多 数客观题是从课本的练习题或习题改编的，即使是解答题，也是由教材例题、习 题的组合、加工和拓展而成，充分表现出教材的基础作用.复习阶段应该按考试 说明对本部分内容的要求，以课本的例题、习题为素材，深入浅出、举一反三 地加以类比、延伸和拓展，在“变式”上下功夫，力求对教材内容融会贯通，只 有这样，才能“以不变应万变”，达到事半功倍的效果.当然，如果再做一些经典 的高考试题，对考生的复习也很有效。例如：2015年19题，就是源于课本的很好 的典范.概率与概率与统计

44、统计解答解答题备题备考建考建议议1.回回归课归课本本概率与概率与统计统计解答解答题备题备考建考建议议2.切切实实重重视阅读视阅读能力，培养能力，培养应应用意用意识识文理关文理关即把文字语言转化为数学语言数理关数理关即构建相应的数学模型，构建之后还需要扎实的基础知识和较强的数理能力计计算关算关01事理关事理关即需要较强的计算能力即读懂题意，需要一定的阅读理解能力04四关四关0203概率与概率与统计统计解答解答题备题备考建考建议议3.强强化方法的化方法的选择选择由于这部分知识多而复杂，因此要对它们进行整理，使它们在大脑中构建良 好的数学认知结构，形成条理化、有序化、网络化的有机体系.几个重要结论要

45、记好：1在频率直方图中，最高矩形的中点对应值是众数；中位数的左右两边的 直方图面积相等；平均数则是每组频率的中间值乘频数再相加.2均值与方差的求法 离散型随机变量 若XB(n，p)，直接利用公式 利用公式求E(aX+b)，D(aX+b).3线性回归方程一定过样本点中心.概率与概率与统计统计解答解答题备题备考建考建议议收集数据收集数据整整理理数数据据 描描述述数数据据 分析数据分析数据概率与概率与统计统计解答解答题备题备考建考建议议概率概率统计统计两两类问题类问题研究分布研究分布单变量问题离散型变量连续型变量分布列超几何分布二项分布正态分布研究关系研究关系双变量问题数值变量分类变量回归分析独立性

46、检验概率与概率与统计统计解答解答题备题备考建考建议议4.注意与其它板注意与其它板块间块间的的结结合（数列，合（数列，导导数，函数）数，函数）概率统计应用题多以实际生活中的生产控制、风险与决策为背景，注重阅读 理解、抽象概括、数据加工处理和数据应用能力，因此培养学生的应用意识、提 高学生的应用能力显得尤为重要，以全国高考试题为抓手，提高分析和解决问题 的能力.概率与概率与统计统计解答解答题备题备考建考建议议5.重重视视数学思想方法的渗透数学思想方法的渗透数学思想方法作为数学的精髓，历来是高考数学考查的重中之重.它蕴涵在数 学知识发生、发展和应用的全过程.在概率统计的内容中蕴涵着丰富的数学思想方

47、法，如分类讨论、函数与方程、转化与化归等.概率统计为人们处理现实数据信息，分析、把握随机事件，提供了强有力的工具（计算随机事件发生的概率、求随机 变量的数学期望与方差），也更加丰富、完善了中学数学思想方法，进一步拓宽 了知识的应用空间.因此，合理选择解题方法是快速解答概率习题的有效手段.概率与概率与统计统计解答解答题备题备考建考建议议在统计与概率的审题教学中，要引导学生审清概念、审清图表，审清符号，并善于对文字语言、图表语言、符号语言三者进行灵活的转化.统计与概率问题的 解答题离不开数据的分析、整理与计算，要注意引导学生提高分析能力，加强运 算能力，养成检验习惯.在高考题中常将统计概率解答题当作应用题对待，因此在 复习教学时要引导学生加强解答过程的规范训练.高考中对统计与概率的考查，除了常用的策略外，还着意考查偶然与必然的 思想、分类与整合的思想以及数据处理能力、运算求解能力.复习中只有牢牢抓住 这些重点，才能把统计与概率的知识、思想和方法落到实处.谢谢谢谢！