第五章-大数定律及中心极限定理课件.ppt

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1、2023/2/241第五章第五章 大数定律及中心极限大数定律及中心极限定理定理1.1.大数定律大数定律(1)频率具有稳定性频率具有稳定性2023/2/242(2)平均值具有稳定性平均值具有稳定性2023/2/243定义定义1：设：设Xn(n=1,2,)是一随机变量序列，若是一随机变量序列，若存在随机变量存在随机变量X，使得对任意的正数，使得对任意的正数，恒有，恒有则称随机变量序列则称随机变量序列Xn依概率收敛于随机变依概率收敛于随机变量量X记作记作解释解释:记记An=|Xn-X|,pn=P(An)1,当当n时时.特别地特别地,X为常数为常数a,则则2023/2/244一、切比雪夫大数定律一、切

2、比雪夫大数定律:设设X1,X2,Xn,是由相互独立的是由相互独立的 r.v.所构成的序列所构成的序列,E(Xk)=k,并且它们的并且它们的方差有公共的上界方差有公共的上界.2023/2/245由契比雪夫不等式可得由契比雪夫不等式可得2023/2/246 设设nA是是n次独立重复试验中次独立重复试验中A发生的次数发生的次数,p是事件是事件A在每次试验中发生的概率在每次试验中发生的概率,则则伯努利定理伯努利定理说明说明,事件事件A发生的频率发生的频率nA/n依概率依概率收敛到事件收敛到事件A发生的概率发生的概率p,这就以严格的数学形这就以严格的数学形式表达了频率的稳定性式表达了频率的稳定性,就是说

3、就是说,当当n很大时很大时,事事件件A发生的频率与概率有较大差别的可能性很小发生的频率与概率有较大差别的可能性很小,因而在实际中便可以用频率来代替概率因而在实际中便可以用频率来代替概率.二二.伯努利大数定理伯努利大数定理:2023/2/247证明：证明：由切比雪夫大数定理有由切比雪夫大数定理有2023/2/248三三.辛钦大数定理辛钦大数定理:设设 r.v.X1,X2,Xn,相互独立相互独立,服从同服从同一分布一分布,且具数学期望且具数学期望2023/2/2492.中心极限定理中心极限定理 一一.独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理:设设 r.v.Xk(k=1,2,)相互独立相互独

4、立,服从同一分布服从同一分布(i.i.d.)且具有有限的数学期望和方差且具有有限的数学期望和方差:2023/2/24102023/2/2411二二.李雅普诺夫（李雅普诺夫（Liapunov)定理定理2023/2/24122023/2/2413三三.棣莫佛棣莫佛-拉普拉斯定理拉普拉斯定理:2023/2/24142023/2/2415三三 林德贝格中心极限定理林德贝格中心极限定理(1)（林德贝格条件）设随机变量（林德贝格条件）设随机变量X1,X2,Xn,相互独立，具有有限的数学期望及方差：相互独立，具有有限的数学期望及方差：2023/2/2416(2)(林德贝格定理）林德贝格定理）对任意实数x,有

5、2023/2/24172023/2/24182023/2/24192023/2/24202023/2/2421例例2.一船舶在某海区航行一船舶在某海区航行,已知每遭受一次波浪已知每遭受一次波浪的冲击的冲击,纵摇角大于纵摇角大于30的概率的概率p=1/3,若船舶遭受若船舶遭受了了90000次波浪冲击次波浪冲击,问其中有问其中有2950030500次纵次纵摇角大于摇角大于30概率是多少概率是多少?解解:我们将船舶每遭受一次波浪冲击看成是一我们将船舶每遭受一次波浪冲击看成是一次试验次试验,并假定每次试验是独立的并假定每次试验是独立的,在在90000次次波浪冲击中纵摇角度大于波浪冲击中纵摇角度大于30

6、的次数记为的次数记为X,则则X是一个是一个r.v.且且Xb(90000,1/3)其分布律其分布律2023/2/2422所求概率为所求概率为P29500X30500显然显然,直接计算十分麻烦直接计算十分麻烦,我们利用棣莫佛我们利用棣莫佛-拉拉普拉斯定理来近似求解普拉斯定理来近似求解:即有即有:2023/2/24232023/2/2424例例3 有有240台电话分机，独立使用，每台话机约台电话分机，独立使用，每台话机约有有5%的时间使用外线。问总机至少需要多少外的时间使用外线。问总机至少需要多少外线才能线才能90%以上的概率保证各分机用外线不必等候。以上的概率保证各分机用外线不必等候。解：设解：设

7、X为为240台分机中同时需用外线的台台分机中同时需用外线的台数，显然数，显然Xb(240,0.05).即求最小的即求最小的N,使得使得由于由于n=240很大，而很大，而2023/2/24252023/2/24262023/2/24272023/2/24282023/2/2429例例5 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、数是一个随机变量，设一个学生无家长、1名家长、名家长、2名家长来参加会议的概率分别为名家长来参加会议的概率分别为0.05,0.8,0.15.若学校共有若学校共有400名学生，设各学生参加会议名学生，设各学生参加会议的家长数相互独立，且服从同一分布。（的家长数相互独立，且服从同一分布。（1）求参）求参加会议的家长数加会议的家长数X超过超过450人的概率；（人的概率；（2）求恰）求恰有有1名家长来参加会议的学生数不多于名家长来参加会议的学生数不多于340的概率。的概率。Xk 0 1 2pk 0.05 0.8 0.152023/2/24302023/2/2431由棣莫弗由棣莫弗-拉普拉斯定理得拉普拉斯定理得