第五章-系统运动稳定分析课件.ppt

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1、 第第5 5章章 系统运动的稳定性系统运动的稳定性5.1 外部稳定性和内部稳定性5.2 李亚普诺夫意义下稳定的一些基本概念5.3 李亚普诺夫第二方法的主要定理5.4 连续时间线性系统的状态运动稳定判据5.5 线性定常系统稳定自由运动衰减性能估计5.1 5.1 外部稳定性和内部稳定性外部稳定性和内部稳定性 外部稳定性 内部稳定性 内部稳定性和外部稳定性的关系系统运动稳定性的分析是控制理论的一个重要组成部分。系统运动稳定性的分析是控制理论的一个重要组成部分。系统运动稳定性的分析是控制理论的一个重要组成部分。系统运动稳定性的分析是控制理论的一个重要组成部分。稳定性是系统的另一个重要特征。稳定性是系统

2、的另一个重要特征。稳定性是系统的另一个重要特征。稳定性是系统的另一个重要特征。实际系统必须是稳定的。实际系统必须是稳定的。实际系统必须是稳定的。实际系统必须是稳定的。外部稳定性外部稳定性外部稳定性外部稳定性 ：通过输入：通过输入：通过输入：通过输入输出关系来表征。输出关系来表征。输出关系来表征。输出关系来表征。内部稳定性内部稳定性内部稳定性内部稳定性 ：基于状态空间描述，零输入下状态运动：基于状态空间描述，零输入下状态运动：基于状态空间描述，零输入下状态运动：基于状态空间描述，零输入下状态运动的响应来表征。的响应来表征。的响应来表征。的响应来表征。满足一定的条件，内部稳定性和外部稳定性之间存在

3、等价满足一定的条件，内部稳定性和外部稳定性之间存在等价满足一定的条件，内部稳定性和外部稳定性之间存在等价满足一定的条件，内部稳定性和外部稳定性之间存在等价关系。关系。关系。关系。考虑一个因果系统，如果对应于任意有界的输入考虑一个因果系统，如果对应于任意有界的输入考虑一个因果系统，如果对应于任意有界的输入考虑一个因果系统，如果对应于任意有界的输入 ，稳定，简称为稳定，简称为稳定，简称为稳定，简称为 B I B O B I B O 稳定。稳定。稳定。稳定。即满足条件：即满足条件：即满足条件：即满足条件：的输入的输入的输入的输入 ，所对应的输出，所对应的输出，所对应的输出，所对应的输出 均是有界的，

4、即成立均是有界的，即成立均是有界的，即成立均是有界的，即成立则称此因果系统是外部稳定的，又称有界输入则称此因果系统是外部稳定的，又称有界输入则称此因果系统是外部稳定的，又称有界输入则称此因果系统是外部稳定的，又称有界输入有界输出有界输出有界输出有界输出 外部稳定性外部稳定性外部稳定性外部稳定性所有所有所有所有BIBOBIBO稳定判别准则稳定判别准则稳定判别准则稳定判别准则结论结论结论结论 5.1 5.1 5.1 5.1 时变系统时变系统时变系统时变系统 均满足关系式：均满足关系式：均满足关系式：均满足关系式：应矩阵，则系统为应矩阵，则系统为应矩阵，则系统为应矩阵，则系统为 B I B O B

5、I B O 稳定的充分必要条件是，存在一稳定的充分必要条件是，存在一稳定的充分必要条件是，存在一稳定的充分必要条件是，存在一个有限正数个有限正数个有限正数个有限正数 ，使对于一切，使对于一切，使对于一切，使对于一切 ，的的的的对于零初始条件的线性时变系统，表对于零初始条件的线性时变系统，表对于零初始条件的线性时变系统，表对于零初始条件的线性时变系统，表 为其脉冲响为其脉冲响为其脉冲响为其脉冲响首先，考虑首先，考虑首先，考虑首先，考虑 ，即，即，即，即单输入单输入单输入单输入单输出单输出单输出单输出的情况。的情况。的情况。的情况。证明证明证明证明 ：分成两步来证明：分成两步来证明：分成两步来证明

6、：分成两步来证明先证充分性先证充分性先证充分性先证充分性 ：已知：已知：已知：已知 成立，成立，成立，成立，且任意输入且任意输入且任意输入且任意输入 满足满足满足满足得得得得那么利用由脉冲响应函数那么利用由脉冲响应函数那么利用由脉冲响应函数那么利用由脉冲响应函数 表示输出表示输出表示输出表示输出 由定义知：系统为由定义知：系统为由定义知：系统为由定义知：系统为 B I B O B I B O 稳定。稳定。稳定。稳定。证必要性证必要性证必要性证必要性 ：采用反证法，已知系统：采用反证法，已知系统：采用反证法，已知系统：采用反证法，已知系统B I B O B I B O 稳定稳定稳定稳定使使使使

7、定义如下有界输入定义如下有界输入定义如下有界输入定义如下有界输入从而从而从而从而表明输出无界，与表明输出无界，与表明输出无界，与表明输出无界，与 B I B O B I B O 稳定相矛盾。稳定相矛盾。稳定相矛盾。稳定相矛盾。考察由它作用下所产生的输出考察由它作用下所产生的输出考察由它作用下所产生的输出考察由它作用下所产生的输出 ，易知，易知，易知，易知设存在某个设存在某个设存在某个设存在某个 ，多输入多输入多输入多输入多输出情况多输出情况多输出情况多输出情况系统输出系统输出系统输出系统输出 的分量的分量的分量的分量 满足关系式满足关系式满足关系式满足关系式且有限个有界函数之和仍为有界，基此，

8、利用且有限个有界函数之和仍为有界，基此，利用且有限个有界函数之和仍为有界，基此，利用且有限个有界函数之和仍为有界，基此，利用SISOSISO情形，可证得此结论。情形，可证得此结论。情形，可证得此结论。情形，可证得此结论。结论结论结论结论 5.2 5.2 5.2 5.2 定常系统定常系统定常系统定常系统 则系统为则系统为则系统为则系统为 B I B O B I B O 稳定稳定稳定稳定 存在一个有限正数存在一个有限正数存在一个有限正数存在一个有限正数 ，使使使使 的每一个元的每一个元的每一个元的每一个元对于零初始条件的线性定常系统，令初始时刻对于零初始条件的线性定常系统，令初始时刻对于零初始条件

9、的线性定常系统，令初始时刻对于零初始条件的线性定常系统，令初始时刻 ，（真或严格真）（真或严格真）（真或严格真）（真或严格真）的所有极点均具有负实部的所有极点均具有负实部的所有极点均具有负实部的所有极点均具有负实部 为其脉冲响应矩阵，为其脉冲响应矩阵，为其脉冲响应矩阵，为其脉冲响应矩阵，为其传递函数矩阵，为其传递函数矩阵，为其传递函数矩阵，为其传递函数矩阵，对于线性时变系统对于线性时变系统对于线性时变系统对于线性时变系统定义定义定义定义5.25.25.25.2 内部稳定内部稳定内部稳定内部稳定 如果外输入如果外输入如果外输入如果外输入 ，由时刻，由时刻，由时刻，由时刻t t0 0任意非零初始状

10、态任意非零初始状态任意非零初始状态任意非零初始状态 引引引引起的零输入响应起的零输入响应起的零输入响应起的零输入响应 满足关系式：满足关系式：满足关系式：满足关系式：则称系统在时刻则称系统在时刻则称系统在时刻则称系统在时刻 是内部稳定的。是内部稳定的。是内部稳定的。是内部稳定的。内部稳定内部稳定内部稳定内部稳定是自治系统状态是自治系统状态是自治系统状态是自治系统状态运动的稳定性。运动的稳定性。运动的稳定性。运动的稳定性。注注:内部稳定等价于李亚普诺夫下渐近稳定。对连续时间线性内部稳定等价于李亚普诺夫下渐近稳定。对连续时间线性系统，可根据状态转移矩阵或系数矩阵来判别。系统，可根据状态转移矩阵或系

11、数矩阵来判别。结论结论5.45.4 时变系统内部稳定结论结论5.55.5 定常系统内部稳定结论结论结论结论5.65.65.65.6 线性定常系统线性定常系统线性定常系统线性定常系统 线性定常线性定常线性定常线性定常(自由自由自由自由)系统内部稳定系统内部稳定系统内部稳定系统内部稳定(渐近稳定渐近稳定渐近稳定渐近稳定)的充分必要条件是的充分必要条件是的充分必要条件是的充分必要条件是矩阵矩阵矩阵矩阵 A A 的所有特征值均具有负实部，即的所有特征值均具有负实部，即的所有特征值均具有负实部，即的所有特征值均具有负实部，即其中其中其中其中 为系统的维数。为系统的维数。为系统的维数。为系统的维数。注注注

12、注:当矩阵当矩阵当矩阵当矩阵 A A 给定后，则可导出其特征多项式给定后，则可导出其特征多项式给定后，则可导出其特征多项式给定后，则可导出其特征多项式利用劳斯利用劳斯利用劳斯利用劳斯霍尔维茨判据，直接由系数霍尔维茨判据，直接由系数霍尔维茨判据，直接由系数霍尔维茨判据，直接由系数来判断系统的渐近稳定性。来判断系统的渐近稳定性。来判断系统的渐近稳定性。来判断系统的渐近稳定性。对连续时间线性时对连续时间线性时变系统不成立。变系统不成立。内部稳定性和外部稳定性间的关系内部稳定性和外部稳定性间的关系内部稳定性和外部稳定性间的关系内部稳定性和外部稳定性间的关系结论结论结论结论 5.7 5.7 内部稳定性和

13、外部稳定性关系内部稳定性和外部稳定性关系内部稳定性和外部稳定性关系内部稳定性和外部稳定性关系：设线性定常系统是内部稳定的，则其必是设线性定常系统是内部稳定的，则其必是设线性定常系统是内部稳定的，则其必是设线性定常系统是内部稳定的，则其必是 B I B OB I B O稳定。稳定。稳定。稳定。结论结论结论结论 5.8 5.8 内部稳定性和外部稳定性关系内部稳定性和外部稳定性关系内部稳定性和外部稳定性关系内部稳定性和外部稳定性关系：线性定常系统是线性定常系统是线性定常系统是线性定常系统是 B I B O B I B O 稳定的（外部稳定），不能保证稳定的（外部稳定），不能保证稳定的（外部稳定），不

14、能保证稳定的（外部稳定），不能保证 系统是内部稳定即渐近稳定。系统是内部稳定即渐近稳定。系统是内部稳定即渐近稳定。系统是内部稳定即渐近稳定。结论结论结论结论 5.9 5.9 内部稳定性和外部稳定性关系内部稳定性和外部稳定性关系内部稳定性和外部稳定性关系内部稳定性和外部稳定性关系：如果线性定常系统为联合完全能控和完全能观测的，则如果线性定常系统为联合完全能控和完全能观测的，则如果线性定常系统为联合完全能控和完全能观测的，则如果线性定常系统为联合完全能控和完全能观测的，则系统内部稳定当且仅当系统外部稳定。系统内部稳定当且仅当系统外部稳定。系统内部稳定当且仅当系统外部稳定。系统内部稳定当且仅当系统外

15、部稳定。李亚普诺夫第一方法和第二方法李亚普诺夫第一方法和第二方法 自由系统、平衡点和受扰运动自由系统、平衡点和受扰运动 李亚普诺夫意义下的稳定李亚普诺夫意义下的稳定 渐近稳定渐近稳定 不稳定不稳定 5.2 5.2 5.2 5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的李亚普诺夫意义下运动稳定性的李亚普诺夫意义下运动稳定性的李亚普诺夫意义下运动稳定性的 一些基本概念一些基本概念一些基本概念一些基本概念李亚普诺夫第一方法和第二方法李亚普诺夫第一方法和第二方法李亚普诺夫第一方法和第二方法李亚普诺夫第一方法和第二方法李亚普诺夫第一方法：又称李亚普诺夫间接方法李亚普诺夫第一方法：又称李亚普诺夫间接方法李亚普诺夫第

16、一方法：又称李亚普诺夫间接方法李亚普诺夫第一方法：又称李亚普诺夫间接方法 基本思想：基本思想：基本思想：基本思想：在小范围内将非线性自治系统作一次线性化近在小范围内将非线性自治系统作一次线性化近在小范围内将非线性自治系统作一次线性化近在小范围内将非线性自治系统作一次线性化近似，根据线性化系统的稳定性推断非线性系统的稳定性似，根据线性化系统的稳定性推断非线性系统的稳定性似，根据线性化系统的稳定性推断非线性系统的稳定性似，根据线性化系统的稳定性推断非线性系统的稳定性特征特征特征特征值在复平面上的分布。值在复平面上的分布。值在复平面上的分布。值在复平面上的分布。l l特征值均具有负实部特征值均具有负

17、实部特征值均具有负实部特征值均具有负实部系统在邻域内稳定；系统在邻域内稳定；系统在邻域内稳定；系统在邻域内稳定；l l包含正实部的特征根包含正实部的特征根包含正实部的特征根包含正实部的特征根系统在邻域系统在邻域系统在邻域系统在邻域内不稳定内不稳定内不稳定内不稳定；l l除负实部特征根外还包含零实部特征根除负实部特征根外还包含零实部特征根除负实部特征根外还包含零实部特征根除负实部特征根外还包含零实部特征根进一步分析判断。进一步分析判断。进一步分析判断。进一步分析判断。l l李亚普诺夫第一方法是经典控制理论中稳定性讨论的基础。李亚普诺夫第一方法是经典控制理论中稳定性讨论的基础。李亚普诺夫第一方法是

18、经典控制理论中稳定性讨论的基础。李亚普诺夫第一方法是经典控制理论中稳定性讨论的基础。李亚普诺夫第一方法和第二方法李亚普诺夫第一方法和第二方法李亚普诺夫第一方法和第二方法李亚普诺夫第一方法和第二方法李亚普诺夫第二方法：又称李亚普诺夫直接方法李亚普诺夫第二方法：又称李亚普诺夫直接方法李亚普诺夫第二方法：又称李亚普诺夫直接方法李亚普诺夫第二方法：又称李亚普诺夫直接方法 基本思想基本思想基本思想基本思想：引入李亚普诺夫函数（广义能量函数），根据全引入李亚普诺夫函数（广义能量函数），根据全引入李亚普诺夫函数（广义能量函数），根据全引入李亚普诺夫函数（广义能量函数），根据全导数的符号判断系统的稳定性。导数

19、的符号判断系统的稳定性。导数的符号判断系统的稳定性。导数的符号判断系统的稳定性。根据系统的结构判断内部稳定的方法。根据系统的结构判断内部稳定的方法。根据系统的结构判断内部稳定的方法。根据系统的结构判断内部稳定的方法。特点：特点：特点：特点：直观、严谨，是目前分析非线性系统稳定性的主要方直观、严谨，是目前分析非线性系统稳定性的主要方直观、严谨，是目前分析非线性系统稳定性的主要方直观、严谨，是目前分析非线性系统稳定性的主要方法。法。法。法。自由系统、平衡态、受扰运动自由系统、平衡态、受扰运动自由系统、平衡态、受扰运动自由系统、平衡态、受扰运动没有外部输入作用的系统。没有外部输入作用的系统。没有外部

20、输入作用的系统。没有外部输入作用的系统。uu 受扰运动受扰运动受扰运动受扰运动动态系统的受扰运动定义为其自由系统由初始状态引动态系统的受扰运动定义为其自由系统由初始状态引动态系统的受扰运动定义为其自由系统由初始状态引动态系统的受扰运动定义为其自由系统由初始状态引起的一类状态运动，即状态的零输入响应。起的一类状态运动，即状态的零输入响应。起的一类状态运动，即状态的零输入响应。起的一类状态运动，即状态的零输入响应。uu自由系统自由系统自由系统自由系统由初始状态由初始状态由初始状态由初始状态 所引起的运动又常记为：所引起的运动又常记为：所引起的运动又常记为：所引起的运动又常记为：注：注：注：注：1

21、1）若若若若 ，则原点为系统的一个平衡状态。，则原点为系统的一个平衡状态。，则原点为系统的一个平衡状态。，则原点为系统的一个平衡状态。则称则称则称则称 为系统的一个平衡状态（平衡点）。为系统的一个平衡状态（平衡点）。为系统的一个平衡状态（平衡点）。为系统的一个平衡状态（平衡点）。uu平衡状态平衡状态平衡状态平衡状态如果存在某个状态如果存在某个状态如果存在某个状态如果存在某个状态 ，使成立，使成立，使成立，使成立2 2）平衡点（态）可通过解方程求得：平衡点（态）可通过解方程求得：平衡点（态）可通过解方程求得：平衡点（态）可通过解方程求得：通过坐标平移可将平衡点转换为空间的原点。通过坐标平移可将平

22、衡点转换为空间的原点。通过坐标平移可将平衡点转换为空间的原点。通过坐标平移可将平衡点转换为空间的原点。3 3）平衡点不惟一，孤立平衡点（主要研究情形）平衡点不惟一，孤立平衡点（主要研究情形）平衡点不惟一，孤立平衡点（主要研究情形）平衡点不惟一，孤立平衡点（主要研究情形）都存在一个实数都存在一个实数都存在一个实数都存在一个实数 ，使得由满足不等式，使得由满足不等式，使得由满足不等式，使得由满足不等式为李亚普诺夫意义下是稳定的，如果对任给的实数为李亚普诺夫意义下是稳定的，如果对任给的实数为李亚普诺夫意义下是稳定的，如果对任给的实数为李亚普诺夫意义下是稳定的，如果对任给的实数 ，李亚普诺夫意义下的稳

23、定李亚普诺夫意义下的稳定李亚普诺夫意义下的稳定李亚普诺夫意义下的稳定 设设设设 为系统的一个孤立平衡状态，则称为系统的一个孤立平衡状态，则称为系统的一个孤立平衡状态，则称为系统的一个孤立平衡状态，则称 在在在在 时刻时刻时刻时刻的任一初态的任一初态的任一初态的任一初态 出发的受扰运动都满足不等式：出发的受扰运动都满足不等式：出发的受扰运动都满足不等式：出发的受扰运动都满足不等式：定义定义定义定义5.6 5.6 李亚普诺夫意义下的稳定李亚普诺夫意义下的稳定李亚普诺夫意义下的稳定李亚普诺夫意义下的稳定 注：注：注：注：1 1）几何含义：几何含义：几何含义：几何含义：如果如果如果如果 只依赖于只依赖

24、于只依赖于只依赖于 而和初始时刻而和初始时刻而和初始时刻而和初始时刻 无关，则称无关，则称无关，则称无关，则称 是一是一是一是一致稳定的。致稳定的。致稳定的。致稳定的。定常系统定常系统定常系统定常系统 ：稳定等价于一致稳定。：稳定等价于一致稳定。：稳定等价于一致稳定。：稳定等价于一致稳定。时变系统时变系统时变系统时变系统 ：稳定：稳定：稳定：稳定 一致稳定。一致稳定。一致稳定。一致稳定。（1 1）是李氏意义下稳定的；是李氏意义下稳定的；是李氏意义下稳定的；是李氏意义下稳定的；渐近稳定渐近稳定渐近稳定渐近稳定一个孤立平衡状态一个孤立平衡状态一个孤立平衡状态一个孤立平衡状态 称为渐近稳定的，如果：

25、称为渐近稳定的，如果：称为渐近稳定的，如果：称为渐近稳定的，如果：注：注：注：注：2 2）一致稳定：一致稳定：一致稳定：一致稳定：存在实数存在实数存在实数存在实数 ，使得满足：，使得满足：，使得满足：，使得满足：（2 2）对）对）对）对 和任意给定的实数和任意给定的实数和任意给定的实数和任意给定的实数 ，对应地，对应地，对应地，对应地的任一初态的任一初态的任一初态的任一初态 出发的受扰出发的受扰出发的受扰出发的受扰运动都同时满足不等式：运动都同时满足不等式：运动都同时满足不等式：运动都同时满足不等式：注注注注:1):1)几何意义几何意义几何意义几何意义 (随时间变化渐近性随时间变化渐近性随时间

26、变化渐近性随时间变化渐近性:x-t):x-t)注注注注 2)2)一致渐近稳定一致渐近稳定一致渐近稳定一致渐近稳定若在定义中若在定义中若在定义中若在定义中,均与初始时刻均与初始时刻均与初始时刻均与初始时刻 无关无关无关无关则称平衡点则称平衡点则称平衡点则称平衡点 一致渐近稳定。一致渐近稳定。一致渐近稳定。一致渐近稳定。李氏意义下的渐近稳定李氏意义下的渐近稳定李氏意义下的渐近稳定李氏意义下的渐近稳定=工程意义下的稳定工程意义下的稳定工程意义下的稳定工程意义下的稳定对于定常系统对于定常系统对于定常系统对于定常系统(线性、非线性线性、非线性线性、非线性线性、非线性)：一致渐近稳定一致渐近稳定一致渐近稳

27、定一致渐近稳定 等价于等价于等价于等价于 渐近稳定渐近稳定渐近稳定渐近稳定 注注注注 3)3)渐近稳定工程意义渐近稳定工程意义渐近稳定工程意义渐近稳定工程意义运动都是渐近稳定的，则称其平衡点大范围稳定。运动都是渐近稳定的，则称其平衡点大范围稳定。运动都是渐近稳定的，则称其平衡点大范围稳定。运动都是渐近稳定的，则称其平衡点大范围稳定。uu大范围渐近稳定大范围渐近稳定大范围渐近稳定大范围渐近稳定 如果以状态空间的任一非零点为初始状态如果以状态空间的任一非零点为初始状态如果以状态空间的任一非零点为初始状态如果以状态空间的任一非零点为初始状态 的受扰的受扰的受扰的受扰 大范围渐近稳定，除了原点平衡状态

28、外，不存在其它大范围渐近稳定，除了原点平衡状态外，不存在其它大范围渐近稳定，除了原点平衡状态外，不存在其它大范围渐近稳定，除了原点平衡状态外，不存在其它大范围渐近稳定又称为全局渐近稳定。大范围渐近稳定又称为全局渐近稳定。大范围渐近稳定又称为全局渐近稳定。大范围渐近稳定又称为全局渐近稳定。孤立平衡点。孤立平衡点。孤立平衡点。孤立平衡点。小范围渐近稳定为局部渐近稳定小范围渐近稳定为局部渐近稳定小范围渐近稳定为局部渐近稳定小范围渐近稳定为局部渐近稳定 （其最大区域（其最大区域（其最大区域（其最大区域 线性系统渐近稳定线性系统渐近稳定线性系统渐近稳定线性系统渐近稳定=大范围渐近稳定。大范围渐近稳定。大

29、范围渐近稳定。大范围渐近稳定。称为平衡状态称为平衡状态称为平衡状态称为平衡状态 的吸引域的吸引域的吸引域的吸引域(区区区区)）相应的实数相应的实数相应的实数相应的实数 ，使得由满足不等式：，使得由满足不等式：，使得由满足不等式：，使得由满足不等式：不稳定不稳定不稳定不稳定如果对于不管取多么大的有限实数如果对于不管取多么大的有限实数如果对于不管取多么大的有限实数如果对于不管取多么大的有限实数 ，都不可能找到，都不可能找到，都不可能找到，都不可能找到的任一初态的任一初态的任一初态的任一初态 出发的运动满足不等式出发的运动满足不等式出发的运动满足不等式出发的运动满足不等式则称平衡状态则称平衡状态则称

30、平衡状态则称平衡状态 在时刻在时刻在时刻在时刻 是不稳定的。是不稳定的。是不稳定的。是不稳定的。取得多么大，取得多么大，取得多么大，取得多么大，取得如何小，必存在一个非零取得如何小，必存在一个非零取得如何小，必存在一个非零取得如何小，必存在一个非零点点点点 使得由使得由使得由使得由 出发的运动轨线越出出发的运动轨线越出出发的运动轨线越出出发的运动轨线越出 5.3 5.3 李亚普诺夫第二方法的主要定理李亚普诺夫第二方法的主要定理 大范围渐近稳定的判别定理大范围渐近稳定的判别定理大范围渐近稳定的判别定理大范围渐近稳定的判别定理 小范围渐近稳定的判别定理小范围渐近稳定的判别定理小范围渐近稳定的判别定

31、理小范围渐近稳定的判别定理 李亚普诺夫意义下稳定的判别定理李亚普诺夫意义下稳定的判别定理李亚普诺夫意义下稳定的判别定理李亚普诺夫意义下稳定的判别定理 不稳定的判别定理不稳定的判别定理不稳定的判别定理不稳定的判别定理 分析稳定性分析稳定性分析稳定性分析稳定性 原非线性系统的稳定性。原非线性系统的稳定性。原非线性系统的稳定性。原非线性系统的稳定性。第一法，间接法第一法，间接法第一法，间接法第一法，间接法 ：运动方程：运动方程：运动方程：运动方程 一次近似的线性化方程一次近似的线性化方程一次近似的线性化方程一次近似的线性化方程 其一次导数的定号性其一次导数的定号性其一次导数的定号性其一次导数的定号性

32、 分析稳定性。分析稳定性。分析稳定性。分析稳定性。第二法，直接法第二法，直接法第二法，直接法第二法，直接法 ：运动方程：运动方程：运动方程：运动方程 构造函数构造函数构造函数构造函数 分析它和分析它和分析它和分析它和其中，对一切其中，对一切其中，对一切其中，对一切 成立成立成立成立 ，即状态空间的原点，即状态空间的原点，即状态空间的原点，即状态空间的原点 大范围渐近稳定的判别定理大范围渐近稳定的判别定理大范围渐近稳定的判别定理大范围渐近稳定的判别定理连续非线性时变自治系统连续非线性时变自治系统连续非线性时变自治系统连续非线性时变自治系统为系统的平衡状态。为系统的平衡状态。为系统的平衡状态。为系

33、统的平衡状态。结论结论结论结论 5.105.10 大范围一致渐近稳定判别定理大范围一致渐近稳定判别定理大范围一致渐近稳定判别定理大范围一致渐近稳定判别定理主稳定性定理主稳定性定理主稳定性定理主稳定性定理 如果存在一个对如果存在一个对如果存在一个对如果存在一个对 和和和和 具有连续一阶偏导数的标量函数具有连续一阶偏导数的标量函数具有连续一阶偏导数的标量函数具有连续一阶偏导数的标量函数且满足如下的条件：且满足如下的条件：且满足如下的条件：且满足如下的条件：（1 1）正定且有界，即两个连续的非减标量函数正定且有界，即两个连续的非减标量函数正定且有界，即两个连续的非减标量函数正定且有界，即两个连续的非

34、减标量函数 和和和和 ，其中，其中，其中，其中 和和和和 ，使对一切使对一切使对一切使对一切 和一切和一切和一切和一切 成立成立成立成立:（2 2）对时间对时间对时间对时间 的导数的导数的导数的导数 负定且有界，负定且有界，负定且有界，负定且有界，即存在一个连续的非减标量函数即存在一个连续的非减标量函数即存在一个连续的非减标量函数即存在一个连续的非减标量函数 ，其中，其中，其中，其中使对一切使对一切使对一切使对一切 和一切和一切和一切和一切 成立成立成立成立:（3 3）当）当）当）当 时，有时，有时，有时，有 即，即，即，即，则系统原点平衡状态为大范围一致渐近稳定。则系统原点平衡状态为大范围一

35、致渐近稳定。则系统原点平衡状态为大范围一致渐近稳定。则系统原点平衡状态为大范围一致渐近稳定。注注注注1 1）：）：）：）：定理可适用于线性和非线性系统、时变和定常。定理可适用于线性和非线性系统、时变和定常。定理可适用于线性和非线性系统、时变和定常。定理可适用于线性和非线性系统、时变和定常。注注注注2 2）:直观含义直观含义直观含义直观含义：为正定有界，将其看成是一种为正定有界，将其看成是一种为正定有界，将其看成是一种为正定有界，将其看成是一种“广义能量广义能量广义能量广义能量”，而而而而 为能量随时间的变化率，而变化率是负的，为能量随时间的变化率，而变化率是负的，为能量随时间的变化率，而变化率

36、是负的，为能量随时间的变化率，而变化率是负的，则运动必是有界的，并最终返回到原点平衡状态则运动必是有界的，并最终返回到原点平衡状态则运动必是有界的，并最终返回到原点平衡状态则运动必是有界的，并最终返回到原点平衡状态.注注注注3 3）：）：）：）：满足定理条件的满足定理条件的满足定理条件的满足定理条件的 ，称为李亚普诺夫函数。，称为李亚普诺夫函数。，称为李亚普诺夫函数。，称为李亚普诺夫函数。注4）：判断系统的渐进稳定性，就归结为对给定系统构判断系统的渐进稳定性，就归结为对给定系统构判断系统的渐进稳定性，就归结为对给定系统构判断系统的渐进稳定性，就归结为对给定系统构造李亚普诺夫函数；造李亚普诺夫函

37、数；造李亚普诺夫函数；造李亚普诺夫函数；注5）：此判据只是保证自治系统为大范围一致渐进稳定此判据只是保证自治系统为大范围一致渐进稳定此判据只是保证自治系统为大范围一致渐进稳定此判据只是保证自治系统为大范围一致渐进稳定的一个充分条件。的一个充分条件。的一个充分条件。的一个充分条件。结论结论结论结论 5.11 5.11 5.11 5.11 定常系统的大范围渐近稳定判别定理定常系统的大范围渐近稳定判别定理定常系统的大范围渐近稳定判别定理定常系统的大范围渐近稳定判别定理 考虑上述定常系统，如果存在一个具有连续一阶偏导的标量考虑上述定常系统，如果存在一个具有连续一阶偏导的标量考虑上述定常系统，如果存在一

38、个具有连续一阶偏导的标量考虑上述定常系统，如果存在一个具有连续一阶偏导的标量函数函数函数函数 ，并且对状态空间中的一切非零状态点，并且对状态空间中的一切非零状态点，并且对状态空间中的一切非零状态点，并且对状态空间中的一切非零状态点 满足如下的条件：满足如下的条件：满足如下的条件：满足如下的条件：（1 1）为正定；为正定；为正定；为正定；（2 2）为负定；为负定；为负定；为负定；（3 3）当）当）当）当 时，有时，有时，有时，有 则系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定。则系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定。则系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定。则系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定。例例例例 ：给定

39、连续时间的定常系统：给定连续时间的定常系统：给定连续时间的定常系统：给定连续时间的定常系统：易知，易知，易知，易知，和和和和 为其唯一的平衡状态。为其唯一的平衡状态。为其唯一的平衡状态。为其唯一的平衡状态。现取现取现取现取 为状态的一个二次型函数为状态的一个二次型函数为状态的一个二次型函数为状态的一个二次型函数即即即即 为正定。为正定。为正定。为正定。且当且当且当且当 时，时，时，时，此系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。此系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。此系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。此系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。为负定。为负定。为负定。为负定。结论结论结论结论 5

40、.12 5.12 定常系统的大范围渐近稳定判别定理定常系统的大范围渐近稳定判别定理定常系统的大范围渐近稳定判别定理定常系统的大范围渐近稳定判别定理 定常系统，如果存在一个具有连续一阶偏导的标量函数定常系统，如果存在一个具有连续一阶偏导的标量函数定常系统，如果存在一个具有连续一阶偏导的标量函数定常系统，如果存在一个具有连续一阶偏导的标量函数 ，并且对状态空间中，并且对状态空间中，并且对状态空间中，并且对状态空间中 的一切非的一切非的一切非的一切非零状态点零状态点零状态点零状态点 满足如下的条件：满足如下的条件：满足如下的条件：满足如下的条件：（1 1）为正定；为正定；为正定；为正定；（2 2）为

41、负半定；为负半定；为负半定；为负半定；（4 4）当）当）当）当 时，有时，有时，有时，有 则系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定。则系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定。则系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定。则系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定。放宽条件：全导数负定放宽条件：全导数负定放宽条件：全导数负定放宽条件：全导数负定全导数半负定全导数半负定全导数半负定全导数半负定（3 3）对任意）对任意）对任意）对任意 例例5.25.2：小范围内渐近稳定的判别定理小范围内渐近稳定的判别定理小范围内渐近稳定的判别定理小范围内渐近稳定的判别定理结论结论5.13 5.13 小范围渐近稳定小范围渐近稳定 结论结论

42、5.14 5.14 小范围渐近稳定小范围渐近稳定 结论结论5.15 小范围渐近稳定小范围渐近稳定李亚普诺夫意义下稳定的判别定理李亚普诺夫意义下稳定的判别定理李亚普诺夫意义下稳定的判别定理李亚普诺夫意义下稳定的判别定理结论结论结论结论5.16 5.16 5.16 5.16 时变系统稳定的判别定理时变系统稳定的判别定理时变系统稳定的判别定理时变系统稳定的判别定理 一个吸引区一个吸引区一个吸引区一个吸引区 ，使对一切，使对一切，使对一切，使对一切 和一切和一切和一切和一切 ，满足，满足，满足，满足对于对于对于对于时变时变时变时变系统，如果存在一个对系统，如果存在一个对系统，如果存在一个对系统，如果存

43、在一个对 和和和和 具有连续一阶偏具有连续一阶偏具有连续一阶偏具有连续一阶偏导数的标量函数导数的标量函数导数的标量函数导数的标量函数 和围绕原点的和围绕原点的和围绕原点的和围绕原点的（1 1）正定且有界；正定且有界；正定且有界；正定且有界；如下的条件：如下的条件：如下的条件：如下的条件：（2 2）为负半定且有界为负半定且有界为负半定且有界为负半定且有界,则系统原点平衡状态则系统原点平衡状态则系统原点平衡状态则系统原点平衡状态x=0 x=0为为为为 内一致稳定。内一致稳定。内一致稳定。内一致稳定。结论结论结论结论 5.17 5.17 定常系统稳定的判别定理定常系统稳定的判别定理定常系统稳定的判别

44、定理定常系统稳定的判别定理 对一切对一切对一切对一切 和一切和一切和一切和一切 ，满足如下的条件：，满足如下的条件：，满足如下的条件：，满足如下的条件：对于对于对于对于定常定常定常定常系统，如果存在一个具有连续一阶偏导的标量函数系统，如果存在一个具有连续一阶偏导的标量函数系统，如果存在一个具有连续一阶偏导的标量函数系统，如果存在一个具有连续一阶偏导的标量函数 ，和围绕原点的一个吸引区，和围绕原点的一个吸引区，和围绕原点的一个吸引区，和围绕原点的一个吸引区 ，使，使，使，使（1 1）为正定；为正定；为正定；为正定；（2 2）为负半定，为负半定，为负半定，为负半定，则系统原点平衡状态为则系统原点平

45、衡状态为则系统原点平衡状态为则系统原点平衡状态为 内稳定。内稳定。内稳定。内稳定。不稳定的判别定理不稳定的判别定理不稳定的判别定理不稳定的判别定理满足如下的条件：满足如下的条件：满足如下的条件：满足如下的条件：对上述对上述对上述对上述时变时变时变时变非线性系统，如果存在一个具有连续一阶偏非线性系统，如果存在一个具有连续一阶偏非线性系统，如果存在一个具有连续一阶偏非线性系统，如果存在一个具有连续一阶偏导的标量函数导的标量函数导的标量函数导的标量函数 和围绕原点的一个吸引和围绕原点的一个吸引和围绕原点的一个吸引和围绕原点的一个吸引区区区区 ，使得对一切，使得对一切，使得对一切，使得对一切 和一切和

46、一切和一切和一切 结论结论结论结论 5.185.185.185.18不稳定判别定理（充分条件）不稳定判别定理（充分条件）不稳定判别定理（充分条件）不稳定判别定理（充分条件）（1 1）正定且有界；正定且有界；正定且有界；正定且有界；（2 2）也为正定且有界，也为正定且有界，也为正定且有界，也为正定且有界，则系统平衡状态为不稳定。则系统平衡状态为不稳定。则系统平衡状态为不稳定。则系统平衡状态为不稳定。和和和和 为同号时，系统的受扰运动轨线为同号时，系统的受扰运动轨线为同号时，系统的受扰运动轨线为同号时，系统的受扰运动轨线将发散。将发散。将发散。将发散。满足条件：满足条件：满足条件：满足条件：对上述

47、对上述对上述对上述时不变时不变时不变时不变非线性系统，如果存在一个具有连续一阶偏非线性系统，如果存在一个具有连续一阶偏非线性系统，如果存在一个具有连续一阶偏非线性系统，如果存在一个具有连续一阶偏导的标量函数导的标量函数导的标量函数导的标量函数 和围绕原点的一个吸引域和围绕原点的一个吸引域和围绕原点的一个吸引域和围绕原点的一个吸引域使得对一切使得对一切使得对一切使得对一切 和一切和一切和一切和一切 结论结论结论结论 5.195.195.195.19不稳定判别定理（充分条件）不稳定判别定理（充分条件）不稳定判别定理（充分条件）不稳定判别定理（充分条件）（1 1）正定；正定；正定；正定；（2 2）也

48、为正定也为正定也为正定也为正定,则系统的平衡状态为不稳定。则系统的平衡状态为不稳定。则系统的平衡状态为不稳定。则系统的平衡状态为不稳定。线性时不变系统的稳定判据 线性时变系统的稳定判据5.4 连续时间线性系统的状态运动稳定性判据连续时间线性系统的状态运动稳定性判据结论结论结论结论 5.225.22：特征值判据特征值判据特征值判据特征值判据 条件为条件为条件为条件为 ：A A 的所有特征值均具有非正（负或零）实部，的所有特征值均具有非正（负或零）实部，的所有特征值均具有非正（负或零）实部，的所有特征值均具有非正（负或零）实部，且具有零实部的特征值为且具有零实部的特征值为且具有零实部的特征值为且具

49、有零实部的特征值为 A A 的最小多项式的单根。的最小多项式的单根。的最小多项式的单根。的最小多项式的单根。系统的平衡点系统的平衡点系统的平衡点系统的平衡点 x=0 x=0 是在李亚普诺夫意义稳定的充分必要是在李亚普诺夫意义稳定的充分必要是在李亚普诺夫意义稳定的充分必要是在李亚普诺夫意义稳定的充分必要 线性时不变系统的稳定判据线性时不变系统的稳定判据线性时不变系统的稳定判据线性时不变系统的稳定判据若若若若 是是是是 矩阵矩阵矩阵矩阵 A A 的特征多项式，则的特征多项式，则的特征多项式，则的特征多项式，则即即即即 也是也是也是也是 A A 的化零多项式。的化零多项式。的化零多项式。的化零多项式

50、。在在在在 矩阵矩阵矩阵矩阵 A A 的所有化零多项式中，首项系数为的所有化零多项式中，首项系数为的所有化零多项式中，首项系数为的所有化零多项式中，首项系数为 1 1，且次，且次，且次，且次数最低的称为数最低的称为数最低的称为数最低的称为 A A 的最小多项式。的最小多项式。的最小多项式。的最小多项式。注：注：注：注：结论结论结论结论 5.235.23：特征值判据特征值判据特征值判据特征值判据 系统平衡态系统平衡态系统平衡态系统平衡态 x=0 x=0 是渐近稳定的充分必要条件为是渐近稳定的充分必要条件为是渐近稳定的充分必要条件为是渐近稳定的充分必要条件为A A 的所有特征值均具有负实部。的所有