有限长单位脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计课件.ppt

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1、本章主要内容本章主要内容线性相位线性相位FIR数字滤波器的特点数字滤波器的特点 用窗函数法设计用窗函数法设计FIR滤波器滤波器用频率采样法设计用频率采样法设计FIR滤波器滤波器第六章第六章 有限长脉冲响应有限长脉冲响应(FIR)(FIR)数字滤波器的设计数字滤波器的设计方法方法1 1：设计满足幅度指标要求的设计满足幅度指标要求的IIR滤波器滤波器，再加，再加线性相位校正网络线性相位校正网络（如全通网络）（如全通网络）；设计复杂，成本高；设计复杂，成本高；方法方法2 2：用用FIR滤波器滤波器的设计方法，幅度特性满足技术要求，又保证严的设计方法，幅度特性满足技术要求，又保证严格的格的线性相位线性

2、相位。线性相位数字滤波器的实现线性相位数字滤波器的实现h(n)是是FIR滤波器的单位脉冲响应，长度为滤波器的单位脉冲响应，长度为N，则其系统函数为：，则其系统函数为：H(z)=z-no 收敛域包括单位圆；收敛域包括单位圆；o z平面上有平面上有N-1个零点；个零点；o z=0是是N-1阶极点阶极点;特点：特点：FIR滤波器滤波器永远稳定和容易实现线性相位永远稳定和容易实现线性相位6.1 线性相位线性相位FIR数字滤波器的特点数字滤波器的特点对于长度为对于长度为N的的h(n)，传输函数为：，传输函数为：注意：注意：H()为为的实函数，可能取负值；的实函数，可能取负值；|H(ej)|称为幅度响应，

3、总是正值称为幅度响应，总是正值H()称为幅度函数，称为幅度函数，()称为相位函数称为相位函数一、线性相位条件一、线性相位条件=H()但上两种情况都满足但上两种情况都满足群时延群时延是一个常数是一个常数第一类线第一类线性相位性相位第二类线第二类线性相位性相位()=,为常数；为常数；()=0，0是起始相位是起始相位线性相位是指线性相位是指()()是是的线性函数，即：的线性函数，即：1、什么是线性相位、什么是线性相位-=h(n)是以是以(N-1)/2偶对称实序列偶对称实序列，即：，即：h(n)=h(N n 1)2 2、第一类线性相位条件、第一类线性相位条件N N为奇数的情况为奇数的情况n n 0 0

4、h(n)N N为偶数的情况为偶数的情况n n 0 0h(n)h(n)是以是以(N-1)/2奇对称实序列奇对称实序列，即：，即：h(n)=h(N n 1)3 3、第二类线性相位条件、第二类线性相位条件N N为偶数的情况为偶数的情况N N为奇数的情况为奇数的情况n n 0 0h(n)n n 0 0h(n)4、第一类线性相位特点、第一类线性相位特点令：令：m=N-n-1,则有则有 将将z=e j代入上式，得到：代入上式，得到：相位函数相位函数幅度函数幅度函数H第二类线性相位条件证明第二类线性相位条件证明将将z=e z=e jj代入上式，得到：代入上式，得到：相位函数相位函数幅度函数幅度函数m=0第一

5、类相位函数条件第一类相位函数条件:h(n)偶对称偶对称第二类相位函数条件第二类相位函数条件:h(n)奇对称奇对称1、h(n)=h(N-n-1)，N=奇数奇数 由前面推导的幅度函数由前面推导的幅度函数H()为：为：二、线性相位二、线性相位FIR滤波器幅度函数的特点滤波器幅度函数的特点特点：特点：l h(n)对对(N-1)/2偶对称，余弦项也对偶对称，余弦项也对(N-1)/2偶对称；偶对称；l 以以(N-1)/2为为中中心心，把把两两两两相相等等的的项项进进行行合合并并，因因N为为奇奇数数，余余下下中中间间项项n=(N-1)/2H()m=1令令m=(N-1)/2-nH()其中其中，幅度函数特点：幅

6、度函数特点：(1)式中式中 cos n 项对项对=0,皆为偶对称，则幅度特性对皆为偶对称，则幅度特性对=0,是偶对称是偶对称的。的。(2)可实现所有滤波特性（低通、高通、带通、带阻）。可实现所有滤波特性（低通、高通、带通、带阻）。H()=2、h(n)=h(N-n-1)，N=偶数偶数 推推导导情情况况和和前前面面N为为奇奇数数相相似似，不不同同点点是是由由于于N为为偶偶数数，Hg()中没有单独项，相等的项合并成中没有单独项，相等的项合并成N/2项。项。其中：其中：令令m=N/2-nH()幅度特点：幅度特点：(1)当当=时，时，故故H()=0，即，即H(z)在在z=1处，有一零点处，有一零点；(2

7、)由于由于cos(n)对对w=奇对称，所以奇对称，所以H()在在=呈奇对称呈奇对称；(3)用这种滤波器设计方法用这种滤波器设计方法不能实现高通、带阻滤波器不能实现高通、带阻滤波器；H()3、h(n)=-h(N-n-1)，N=奇数奇数由前面推导的幅度函数可得：由前面推导的幅度函数可得：由于由于h(n)=-h(N-n-1)，当，当n=(N-1)/2时：时：h(n)和和正弦项都对正弦项都对(N-1)/2奇对称，相同项合并，共合并奇对称，相同项合并，共合并(N-1)/2项。项。h(N-1)/2=0n0(N-3)/22h(n)Sin(-n)令令m=(N-1)/2-nH()幅度特点：幅度特点：(1)幅度函

8、数幅度函数H()在在=0,呈呈奇对称。奇对称。(2)H()在在=0、2 处值为处值为0，即，即H(z)零点在零点在z=1处处，只能，只能实现实现带通滤波器带通滤波器;H()4 h(n)=h(N-n-1)，N=偶数偶数令：令：m=N/2-n，则有：，则有：H()H()幅度特点：幅度特点：(1)由于由于sin(n-)在在=0、2 处都为处都为0，因此，因此H()在在=0，2 处处也为也为0，H(z)在在z=1处为零点；处为零点；不能实现低通、带阻滤波器不能实现低通、带阻滤波器。(2)由于由于sin(n)在在=0、2 处都呈奇对称，对处都呈奇对称，对=呈偶对称，呈偶对称，故幅度函数故幅度函数H()在

9、在=0,也呈也呈奇对称，在奇对称，在=处呈偶对称处呈偶对称。H()第一类和第二类线性相位的系统函数综合起来用下式表示：第一类和第二类线性相位的系统函数综合起来用下式表示：三、零点位置三、零点位置表明：表明：l 如果如果z=zi是是H(z)的零点的零点，则则z=zi-1也是也是H(z)的零点的零点。l 由于由于h(n)为实序列，零点必定共轭成对。则为实序列，零点必定共轭成对。则zi*和和(zi-1)*也是也是 H(z)的零点的零点；即；即H(z)的的零点必定互为倒数的共轭对。零点必定互为倒数的共轭对。01Re(z)jIm(z)Zi-1ZiZi*(Zi-1)*(1)分析：分析：(1)当当zi不在实

10、轴上，不在不在实轴上，不在|z|=1上，则上，则零点零点是互为倒数的两组共轭对；是互为倒数的两组共轭对；确定了一个零确定了一个零点，其它三个确定了。点，其它三个确定了。(2)当当zi不在实轴上，但在不在实轴上，但在|z|=1上，由于共上，由于共轭对的倒数是它们本身，故此时轭对的倒数是它们本身，故此时零点是一零点是一组共轭对组共轭对；Re(z)jIm(z)Zi01ZI*(2)(3)zi在实轴上，不在在实轴上，不在|z|=1上，则零点是上，则零点是互为倒数两个实数零点互为倒数两个实数零点；-1(4)01jIm(z)Re(z)(4)zi在实轴上，也在在实轴上，也在|z|=1上，则零点只有上，则零点只

11、有一个，或位于一个，或位于z=1，或位于，或位于z=1。ZI101jIm(z)Zi(3)Re(z)例：如果系统的单位脉冲响应为例：如果系统的单位脉冲响应为(1)判断该系统是否具有线性相位，说明理由。判断该系统是否具有线性相位，说明理由。(2)求出该系统的频率响应，画出幅度、相位和群时延特性曲线。求出该系统的频率响应，画出幅度、相位和群时延特性曲线。h(n)1，0n 50，其他，其他n一、设计思想一、设计思想 设设希希望望设设计计的的滤滤波波器器传传输输函函数数为为H Hd d(e(ejj)，h hd d(n)(n)是是与与其其对对应应的的单位脉冲响应，因此单位脉冲响应，因此 ：6.2 6.2

12、用窗函数法设计用窗函数法设计FIRFIR滤波器滤波器n问问题题：一一般般情情况况下下H Hd d(e(ejj)是是逐逐段段恒恒定定的的，在在边边界界频频率率处处有有不不连连续续点，所以点，所以h hd d(n)(n)是无限时宽，且为非因果，这样的系统不能实现。是无限时宽，且为非因果，这样的系统不能实现。例例：一理想低通滤波器的传输函数：一理想低通滤波器的传输函数Hd(ej)为为相应的单位脉冲响应相应的单位脉冲响应h hd d(n)(n)为为hd(n)nhd(n)是无限时宽，非因果序列是无限时宽，非因果序列0c-c|Hd(ej)|1要求要求:(1)得到一得到一因果序列因果序列h(n)；(2)构造

13、构造一个长度为一个长度为N的线性相位滤波器的线性相位滤波器；将将hd(n)截取一段，并保证截取的一段对截取一段，并保证截取的一段对(N-1)/2对称对称(线性相位线性相位)。设截取的一段用设截取的一段用h(n)表示，即表示，即h(n)=hd(n)RN(n)RN(n)n0N-1hd(n)nh(n)na(N-1)/2矩形窗的长度为矩形窗的长度为N N，且，且a a(N-1)/2(N-1)/2时时，满足，满足上述两个要求。上述两个要求。二、加窗处理对二、加窗处理对FIR滤波器幅频特性的影响滤波器幅频特性的影响 设计过程中，加窗后的单位响应序列为设计过程中，加窗后的单位响应序列为 h(n)=hh(n)

14、=hd d(n)(n)R RN N(n)(n)。即用一个即用一个有限长的序列有限长的序列h(n)h(n)去代替一个去代替一个无限长的序列无限长的序列h hd d(n)(n)，会产会产生误差，时域中是生误差，时域中是截断处理截断处理，在频域表现出的现象就是，在频域表现出的现象就是通带和阻带通带和阻带中有波动中有波动，也称为吉布斯效应，也称为吉布斯效应(截断效应截断效应)。这样设计出来的这样设计出来的频响频响 H(e H(ejwjw)只能是尽量逼近要求的只能是尽量逼近要求的H Hd d(e(ejwjw)h(n)=hd(n)RN(n)*分析：频域卷积定理)矩形窗的幅度函数理想低通滤波器的幅度特性理想

15、低通滤波器的幅度特性*结论：结论：设计出来的滤波器的幅度特性等于理想低通滤波器的幅度设计出来的滤波器的幅度特性等于理想低通滤波器的幅度特性特性H Hd d()()与矩形窗幅度特性与矩形窗幅度特性R Rd d()()的卷积。的卷积。Hd()与与Rd()卷积形成卷积形成H()的过程的过程Wc+2/NWc2/NH(w)H(w)最大的正峰与最最大的正峰与最大的负峰对应的频率大的负峰对应的频率相差相差4/N4/NH()与原理想低通与原理想低通 Hd()差别有以下差别有以下2点：点：H()在在=C附近形成过渡带附近形成过渡带，过渡带，过渡带宽度宽度B=4/N，近似于矩，近似于矩形序列形序列幅度谱幅度谱RN

16、()的主瓣宽度的主瓣宽度；通带内增加了通带内增加了波动波动，最大的峰值在，最大的峰值在=C 2/N 处，阻带内产生处，阻带内产生了了余振余振，最大的负峰值在，最大的负峰值在=C+2/N 处。幅度谱处。幅度谱RN()波动越快波动越快(N加大加大)，通带、阻带内波动越快，其旁瓣的大小直接影响，通带、阻带内波动越快，其旁瓣的大小直接影响H()波波动的大小。动的大小。Hd()在加窗后在频域中的现象称为吉布斯效应在加窗后在频域中的现象称为吉布斯效应影响影响:(1)(1)通带内的波动影响滤波器通带的通带内的波动影响滤波器通带的平稳性平稳性；(2)(2)阻带内波动影响阻带内波动影响阻带的衰减阻带的衰减，可使

17、最小衰减不满足技术要求；，可使最小衰减不满足技术要求；减小吉布斯效应措施减小吉布斯效应措施1、增加、增加N值值l 可减小过渡带宽度可减小过渡带宽度，由于，由于主瓣与旁瓣幅度也增加，且主瓣和旁瓣主瓣与旁瓣幅度也增加，且主瓣和旁瓣的的相对值不变相对值不变，H(w)的波动幅度没有改变。的波动幅度没有改变。l 带内最大肩峰比带内最大肩峰比H(0)高高8.95%，阻带最大负峰比零值超过，阻带最大负峰比零值超过8.95%。使阻带最小的。使阻带最小的衰减只有衰减只有21dB。l 谱间干扰未减小，波动更明显，因此谱间干扰未减小，波动更明显，因此加大加大N并不是减少吉布斯效并不是减少吉布斯效应的有效方法应的有效

18、方法；2、改善窗函数的形状、改善窗函数的形状 减少带内波动以及加大阻带的衰减只能从减少带内波动以及加大阻带的衰减只能从窗函数的形状窗函数的形状找出解找出解决方法，主要考虑以下决方法，主要考虑以下2点因素：点因素：(1)尽量尽量减小主瓣宽度减小主瓣宽度，以获得较窄的过渡带；，以获得较窄的过渡带；(2)尽量使窗函数的尽量使窗函数的最大副瓣最大副瓣相对于主瓣要小，使设计出来的滤波相对于主瓣要小，使设计出来的滤波器幅度特性中器幅度特性中肩峰和余振较小肩峰和余振较小，阻带衰减较大。，阻带衰减较大。三、几种常见的窗函数三、几种常见的窗函数1、矩形窗、矩形窗(Rectangle Window)wR(n)=R

19、N(n)其频率响应其频率响应为为 WR(ejw)主瓣宽度为主瓣宽度为4/N，第一副瓣比主瓣低，第一副瓣比主瓣低13dB。w2、三角窗、三角窗 (Bartlett Window)，巴特利特窗，巴特利特窗 W WBrBr(e(ejwjw)主瓣宽度为主瓣宽度为8 8/N/N；第一副瓣比主瓣低第一副瓣比主瓣低26dB26dB。w2 3.汉宁汉宁(Hanning)窗窗升余弦窗升余弦窗频响函数频响函数其幅度函数其幅度函数W WHnHn(e(ejwjw)主瓣宽度为主瓣宽度为8 8/N/N，第一副瓣，第一副瓣比主瓣低比主瓣低33dB33dB。w w|4哈明窗哈明窗 (Hamming Window)改进的余弦窗

20、改进的余弦窗W WHmHm(e(ejwjw)主瓣宽度为主瓣宽度为8 8/N/N，第一副瓣比，第一副瓣比主瓣低主瓣低40dB40dB。w5布莱克曼窗布莱克曼窗(Blackman Window):二阶升余弦窗二阶升余弦窗W WBlBl(e(ejwjw)主瓣宽度为主瓣宽度为1212/N/N，第，第一副瓣比主瓣低一副瓣比主瓣低57dB57dB。w6、凯塞、凯塞-贝塞尔窗贝塞尔窗(Kaiser-Basel Window)参数用以参数用以控制窗的形状控制窗的形状，影响滤波器的性能参数，影响滤波器的性能参数，加大，主瓣加大，主瓣加宽，旁瓣幅度减小，典型数据为：加宽，旁瓣幅度减小，典型数据为：44 99；当；

21、当 5.445.44时，窗函时，窗函数接近哈明窗，数接近哈明窗，7.8657.865时，窗函数接近布莱克曼窗。时，窗函数接近布莱克曼窗。凯塞窗的幅度函数为：凯塞窗的幅度函数为：I0(x)取取1525项，可项，可满足精度要求满足精度要求I I0 0(x)(x)是零阶第一类修正贝塞尔函数是零阶第一类修正贝塞尔函数凯塞窗参数对滤波器的性能影响凯塞窗参数对滤波器的性能影响 六种窗函数的基本参数六种窗函数的基本参数 四、窗函数法的设计步骤四、窗函数法的设计步骤1确定希望逼近的滤波器的频响函数确定希望逼近的滤波器的频响函数Hd(ej)2 2、根据、根据Hd(ej)确定其对应的单位脉冲响应确定其对应的单位脉

22、冲响应h hd d(n)(n)IDFTRM(n)n(1)Hd(ej)可封闭求解，则：可封闭求解，则：(2)Hd(ej)不可封闭求解，对不可封闭求解，对Hd(ej)从从=0 2 采样采样M点，采样值点，采样值为为 Hd(ej2 k/M)，k=0,1,M-1，用，用2/M 代替上式中代替上式中d，则：，则：(3)如果已知通带如果已知通带(或阻带或阻带)衰减和边界截止频率衰减和边界截止频率c，选，选理想滤波器理想滤波器作作为逼近函数，对理想滤波器频响函数作为逼近函数，对理想滤波器频响函数作 IFT，求出，求出 hd(n)。2 2、选择窗函数、选择窗函数 根据根据过渡带过渡带与与阻带衰减阻带衰减的要求

23、，选择满足条件的的要求，选择满足条件的窗函数形式窗函数形式，并并估计窗口长度估计窗口长度N。原则是保证阻带衰减的前提下，尽量选主瓣窄。原则是保证阻带衰减的前提下，尽量选主瓣窄的窗函数。的窗函数。3、计算所要设计的滤波器的单位采样响应、计算所要设计的滤波器的单位采样响应h(n)计算滤波器的单位取样响应计算滤波器的单位取样响应 h(n)=hd(n)w(n)。其中。其中 w(n)是上是上面选择好的窗函数，面选择好的窗函数，hd(n)与与w(n)都应满足线性相位要求。都应满足线性相位要求。4 4、验证技术指标是否满足要求、验证技术指标是否满足要求 已设计出的滤波器的频率响应已设计出的滤波器的频率响应

24、。验算。验算H(ej)是否满足设计要求，若不满足要求，重复上面是否满足设计要求，若不满足要求，重复上面2，3，4过程。过程。窗函数法优点：窗函数法优点：从时域出发的一种设计方法，设计简单，方便，实用。从时域出发的一种设计方法，设计简单，方便，实用。缺点是：缺点是：要求用计算机实现，边界频率不易控制。要求用计算机实现，边界频率不易控制。Hd(ej)h(n)hd(n)IFT加窗截断加窗截断FT比较，满足设计要求，则设计完毕，不合格则修改窗函数比较，满足设计要求，则设计完毕，不合格则修改窗函数H(ej)例：例：用矩形窗设计法设计一个用矩形窗设计法设计一个FIR线性相位低通滤波器，已知线性相位低通滤波

25、器，已知c=0.5，N=21，(N-1)/2，画出画出h(n)和和20lg|H()/H(0)|曲线，再计曲线，再计算正、负肩峰的位置和过渡带宽带度。算正、负肩峰的位置和过渡带宽带度。单位脉冲响应单位脉冲响应h hd d(n)(n)为为:解解：理想滤波器的频响为：理想滤波器的频响为：计算得：计算得：hd(n)，0，1/9，0，1/7，0，1/5，0，1/3，0，1/，0.5，1/，0，-1/3，0，1/5，0，-1/7，0，1/9，0，n=0加矩形窗：加矩形窗：h(n)=hd(n).RN(n)h(n)0，0.0354，0，-0.0455，0，0.0637，0，-0.1061，0，0.3183，0

26、.50，0.3183，0，-0.1061，0，0.0637，0，-0.0455，0，0.0345，0 h(n)0，1/9，0，1/7，0，1/5，0，1/3，0，1/，0.5，1/，0，-1/3，0，1/5，0，-1/7，0，1/9，0 20lg|H()/H(0)|曲线如下：曲线如下：正肩峰正肩峰A点：点：c-2/N0.5-2/21 20lg(1.0895)=0.74dB临界频率临界频率B点：点：c0.5 20lg(0.5)=-6dB负肩峰负肩峰C点：点：c2/N0.52/21 20lg(0.0895)=-21dB过渡带过渡带AC宽度为：宽度为：c2/N(c-2/N)=4/N=0.19 一、频

27、率采样法基本原理一、频率采样法基本原理设设 Hd(ej)为所要设计的数字滤波器的频率响应，则为所要设计的数字滤波器的频率响应，则:1、在、在=范围内对范围内对 Hd(ej)进行进行N点等间隔采样，得到点等间隔采样，得到Hd(k)6.3 用频率采样法设计用频率采样法设计FIR滤波器滤波器2、对、对N点点Hd(K)进行进行IDFT，得所设计的滤波器的单位脉冲响应，得所设计的滤波器的单位脉冲响应h(n)3对求出的对求出的h(n)进行进行z变换，得到滤波器的系统函数变换，得到滤波器的系统函数H(z)或利用频域内插公式（或利用频域内插公式（P88P88）Hd(ej)Hd(k)h(n)H(ej)等间隔采样

28、等间隔采样IDFT内插函数内插函数是否满足指标是否满足指标二、线性相位的约束二、线性相位的约束(1)第一类线性相位：第一类线性相位：h(n)偶对称，偶对称，N为奇数为奇数特点：特点：幅度函数幅度函数H()关于关于=0，2偶对称，偶对称，H()=H(2)采样值：采样值：Hk关于关于N/2偶对称，即：偶对称，即：Hk=HN-k 相位采样值：相位采样值：(2)第一类线性相位：第一类线性相位：h(n)偶对称，偶对称，N为偶数为偶数特点：特点：幅度函数幅度函数H()关于关于=奇对称，奇对称，H()=-H(2)采样值：采样值：Hk关于关于N/2奇对称，即：奇对称，即：Hk=-HN-k，且，且HN/2=0

29、相位采样值：相位采样值：(3)第二类线性相位：第二类线性相位：h(n)奇对称，奇对称，N为奇数为奇数特点：特点：幅度函数幅度函数H()关于关于=0，2奇对称，奇对称，H()=-H(2)采样值：采样值：Hk奇对称，即：奇对称，即：Hk=-HN-k 相位采样值：相位采样值：(4)第二类线性相位：第二类线性相位：h(n)奇对称，奇对称，N为偶数为偶数特点：特点：幅度函数幅度函数H()关于关于=偶对称，偶对称，H()=H(2)采样值：采样值：Hk偶对称，即：偶对称，即：Hk=HN-k 相位采样值：相位采样值：（2）h(n)偶对称，偶对称，N为偶数时：为偶数时：设计方法：设计方法：用用理理想想滤滤波波器

30、器作作为为逼逼近近滤滤波波器器，截截止止频频率率为为c，采采样样点点数数为为N，则，则Hk和和k的计算公式为：的计算公式为：（1）h(n)偶对称，偶对称，N为奇数时：为奇数时：Hk=HN-k=1，k=0，1，kc；Hk=0，k=kc+1，kc+2，N-kc-1；k=0，1，N-1；Hk=1，k=0，1，kc；Hk=0，k=kc+1，kc+2，N-kc-1；k=0，1，N-1；HN-k=-1，k=0，1，kc；kc取小于等于取小于等于 cN/2 的的最大整数最大整数对对 H(k)进行进行 IDFT变换，求出变换，求出 h(n)；由由 h(n)可求出所设计滤波器的频响可求出所设计滤波器的频响 H(

31、ejw)由前面计算出的由前面计算出的Hk和和k的值可构造出的值可构造出H(k)等效于在等效于在0，2 上的上的N个采样值个采样值k=0，1，N-1；三、误差分析与改进措施三、误差分析与改进措施 设待设计的滤波器为设待设计的滤波器为Hd(ej)，对应的单位取样响应为，对应的单位取样响应为hd(n)1、从时域分析误差、从时域分析误差 频域采样定理：在频域频域采样定理：在频域02之间等间隔采样之间等间隔采样N点，利用点，利用IDFT得到的得到的h(n)。分分析析：如如果果Hd(ej)有有间间断断点点，则则hd(n)是是无无限限长长的的，这这样样得得到到的的h(n)产产生生时时域域的的混迭，无法逼近混

32、迭，无法逼近hd(n)。改进措施：改进措施：增大增大N值，使设计出的滤波器愈逼近待设计值，使设计出的滤波器愈逼近待设计Hd(ej)。2、从频域分析误差、从频域分析误差 频率域等间隔采样得到频率域等间隔采样得到N个采样值个采样值H(k)，频响函数和，频响函数和H(k)的关系为的关系为内插函数内插公式 在采样点在采样点=2 k/N，k=0,1,N-1处，处，(-2 k/N)=1，因此采样点因此采样点H(ejk)与与H(k)相等，逼近误差为相等，逼近误差为0。在采样点间，在采样点间，H(ej)由有限项由有限项H(k)与与(-2 k/N)之乘积和形成，其误差与之乘积和形成，其误差与Hd(ej)平滑度有

33、关，越平滑，误差越小。平滑度有关，越平滑，误差越小。特性曲线特性曲线间断点处，误差最大间断点处，误差最大，表现形式为间断点用斜线取代，且间断点附，表现形式为间断点用斜线取代，且间断点附近形成振荡特性，使阻带衰减减小，有可能满足不了技术要求。近形成振荡特性，使阻带衰减减小，有可能满足不了技术要求。误差分析误差分析：(1)(1)增大增大N N值，值，但间断点仍无法弥补，带来体积增大，成本增加。但间断点仍无法弥补，带来体积增大，成本增加。(2)(2)在频响在频响间断点间断点附近区间附近区间内插一个或几个过渡采样点内插一个或几个过渡采样点，使不连，使不连续点变成缓慢过渡，虽然续点变成缓慢过渡，虽然增加

34、了过渡带带宽增加了过渡带带宽(代价）代价），但，但增加了阻增加了阻带衰减带衰减(收获收获)。过渡带的优化要借助于计算机优化设计。过渡带的优化要借助于计算机优化设计。减小误差措施减小误差措施总结：频率采样法设计线性相位总结：频率采样法设计线性相位FIR滤波器步骤滤波器步骤1、根据、根据c 及及N的奇偶性，确定滤波器的奇偶性，确定滤波器 Hk和和 k及及kC值；值；2、由、由H(k)=Hkej k，求出，求出 H(k)；3、对、对 H(k)进行进行 IDFT变换，求出变换，求出 h(n)；4、由、由 h(n)求出所设计的滤波器的频率响应求出所设计的滤波器的频率响应 H(ejw)，并分析误差，并分析

35、误差，优化设计。优化设计。例：例：试用频率采样设计法设计一个试用频率采样设计法设计一个FIR线性相位低通滤波器，已知：线性相位低通滤波器，已知：c=0.5，N=51。画出。画出|Hd(ejw)|，|H(k)|,20lg|H(ejw)|曲线。曲线。解：解：在在00.5和和1.52处的幅度函数为处的幅度函数为1，其余为，其余为0。采样频率。采样频率为：为：2/N 2/51，c51/212.7，所以，所以kc 取值取值12。Hk10k12和和 39k5013k380(k)=k(N-1)/N50 k/51由幅度和相位特性，得到由幅度和相位特性，得到FIR DF的采样值为的采样值为H(k)Hkej k

36、ej50 K/510k12和和 39k5013k380画出画出|Hd(ejw)|，|Hd(k)|的曲线如下图所示的曲线如下图所示 20lg|H(ejw)|曲线如下图所示曲线如下图所示-频率采样法特点：频率采样法特点：优点：优点：(1)可以在频域直接进行设计，并且适合于最优化设计；可以在频域直接进行设计，并且适合于最优化设计；(2)特别适合于设计窄选频滤波器，因为只有少数几个非零值的特别适合于设计窄选频滤波器，因为只有少数几个非零值的H(k)，因而设计计算量小。，因而设计计算量小。缺点：缺点：采样频率只能等于采样频率只能等于2/N的整数倍，因而不能确保制止频率的自的整数倍，因而不能确保制止频率的

37、自由取值，要想实现自由地选择截止频率，必须增加采样点数由取值，要想实现自由地选择截止频率，必须增加采样点数N，但，但这又使计算量加大。这又使计算量加大。1性能方面：性能方面：IIR滤波器滤波器：传输极点可位于单位圆内任何地方。：传输极点可位于单位圆内任何地方。优点：优点：较低阶数滤波器实现，存储单元少，所以经济且效率高；较低阶数滤波器实现，存储单元少，所以经济且效率高；缺点：缺点：相位是非线性的，往往可选择性越好，相位非线性越严重。相位是非线性的，往往可选择性越好，相位非线性越严重。FIR滤波器滤波器优点优点：可以得到严格的线性相位。：可以得到严格的线性相位。缺点：缺点：由于滤波器传输函数的极

38、点固定在原点，所以只能用较高阶由于滤波器传输函数的极点固定在原点，所以只能用较高阶数的滤波器达到性能指标。数的滤波器达到性能指标。6.5 IIR和和FIR数字滤波器的比较数字滤波器的比较 2 2结构方面：结构方面：l IIR滤波器采用滤波器采用递归型结构递归型结构，极点要控制在单位圆内，系统才确，极点要控制在单位圆内，系统才确保稳定，缺点是有限字长效应时，有保稳定，缺点是有限字长效应时，有寄生振荡寄生振荡；l FIR采用采用非递归型结构非递归型结构，由于，由于FIR的单位冲激响应的单位冲激响应h(n)有限长，有限长，可采用可采用FFT运算，其运算速度快，误差小；运算，其运算速度快，误差小；3.

39、3.设计工具方面：设计工具方面：l IIR滤波器的设计可借助于模拟滤波器的成果滤波器的设计可借助于模拟滤波器的成果,由于有有效的封闭由于有有效的封闭设计公式和图表供选择，计算工作量小设计公式和图表供选择，计算工作量小,计算工具要求不高计算工具要求不高；l FIR滤波器设计没有封闭形式的公式和图表，一般滤波器设计没有封闭形式的公式和图表，一般FIR设计只有设计只有按照计算程序进行，故对按照计算程序进行，故对计算工具要求较高计算工具要求较高。4.4.应用方面：应用方面：l IIR设计较简单，主要应用于设计具有设计较简单，主要应用于设计具有片断常数片断常数特性的滤波器，特性的滤波器，如低通、高通、带通及带阻等滤波器；如低通、高通、带通及带阻等滤波器；l FIR滤波器能适应某些特殊的应用，如构成微分器或积分器，滤波器能适应某些特殊的应用，如构成微分器或积分器，因而适应性更大，范围更广。因而适应性更大，范围更广。在语音通信中，对相位线性特性要求不高，可以选用经济高效在语音通信中，对相位线性特性要求不高，可以选用经济高效的的IIR滤波器实现滤波器实现；而在图像通信中，对相位的线性特性要求较高，；而在图像通信中，对相位的线性特性要求较高，则要用稍为复杂的则要用稍为复杂的FIR滤波器来实现滤波器来实现。作业作业P322 6.6P322 6.6P323 6.12P323 6.12