华东师大版九年级数学上册第24章解直角三角形课件.pptx

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1、第第2424章章 解直角三角形解直角三角形24.1 24.1 测量测量 正在观看升旗仪式的小华很正在观看升旗仪式的小华很想知道旗杆的高度，但是想知道旗杆的高度，但是旗旗杆的高度很杆的高度很难直接测量难直接测量.现有一根现有一根标杆标杆、一把一把皮尺皮尺、一个一个平面镜平面镜.你能利用你能利用所学的知识来帮所学的知识来帮他测出旗杆的高他测出旗杆的高度吗度吗?要求要求 :（1 1）画出测量图形画出测量图形 （2 2）写出需要测量的数据）写出需要测量的数据(可以用可以用字母表示需要测量的数据字母表示需要测量的数据)（3 3）根据测量数据写出计算）根据测量数据写出计算旗杆的旗杆的高度高度的比例式。的比

2、例式。工具工具:一根一根标杆标杆、一把皮尺、一把皮尺、一个平面镜一个平面镜.旗杆影长ABCDEF影长法影长法比例式比例式:人人平面镜平面镜平面镜法平面镜法比例式比例式:ABCDEFGH标杆法标杆法人人标杆标杆比例式比例式:AB=AE+EB测量角的工具测量角的工具 假如现在只有假如现在只有皮尺皮尺和和测量角的工具测量角的工具，那又该怎么，那又该怎么办呢？办呢？0303060609090使用测倾器测量倾斜角的步骤如下：使用测倾器测量倾斜角的步骤如下：1 1、把支架竖直插入地面，使支架的中心线、铅垂线和、把支架竖直插入地面，使支架的中心线、铅垂线和度盘的度盘的00刻度线重合，这时度盘的顶线刻度线重合

3、，这时度盘的顶线PQPQ在水平位置。在水平位置。PQ度盘度盘铅锤铅锤支杆支杆0303060609090PQ-简单的侧倾器由简单的侧倾器由度盘度盘、铅锤铅锤和和支杆支杆组成组成测量倾斜角可以用测量倾斜角可以用测倾器测倾器。03030606090902 2、转动转盘，使度盘的直径对准目标、转动转盘，使度盘的直径对准目标M M，记下此时铅垂，记下此时铅垂线所指的度数。线所指的度数。M30DABE1 1、在测点、在测点D D安置测倾器，测得点安置测倾器，测得点B B的仰角的仰角BAC=34BAC=34；C2 2、量出测点、量出测点D D到物体底部到物体底部E E的水平距离的水平距离DE=l0DE=l0

4、米；米；3 3、量出测倾器的高度、量出测倾器的高度AD=1.5AD=1.5米。米。34你能利用这你能利用这些数据算出些数据算出旗杆的高度旗杆的高度吗？吗？DABE1 1、在测点、在测点D D安置测倾器，测得点安置测倾器，测得点B B的仰角的仰角BAC=34BAC=34；C2 2、量出测点、量出测点D D到物体底部到物体底部E E的水平距离的水平距离DE=l0DE=l0米；米；3 3、量出测倾器的高度、量出测倾器的高度AD=1.5AD=1.5米。米。34你能按比例你能按比例将将ABC画画在纸上吗？在纸上吗？为什么为什么结果会结果会相同相同呢呢？如果仰角如果仰角为为65，BC的值的值还会相等还会相

5、等吗？吗？DABE 实际上，我们利用图中已知的数据就可以实际上，我们利用图中已知的数据就可以直接计算直接计算旗杆旗杆的高度，而这一问题的解决将涉及的高度，而这一问题的解决将涉及直角三角形中直角三角形中的的边角关系边角关系C 我们已经知道我们已经知道直角三角形直角三角形的的三条边所满足的关系三条边所满足的关系（即（即勾股定理勾股定理），那么它的），那么它的边与角边与角又有什么关系？又有什么关系？34探究探究直角三直角三角形中角形中的的边边角关系角关系学习小结学习小结 1 1、充分利用相似三角形的相关知识在测量中采、充分利用相似三角形的相关知识在测量中采、充分利用相似三角形的相关知识在测量中采、充

6、分利用相似三角形的相关知识在测量中采用不同的方法或者设计不同的方案解决实际问题。用不同的方法或者设计不同的方案解决实际问题。用不同的方法或者设计不同的方案解决实际问题。用不同的方法或者设计不同的方案解决实际问题。2 2、我们也可借助直角三角形来完成测量的方案。、我们也可借助直角三角形来完成测量的方案。、我们也可借助直角三角形来完成测量的方案。、我们也可借助直角三角形来完成测量的方案。第第2424章章 解直角三角形解直角三角形24.2 24.2 直角三角形的性质直角三角形的性质矩形的判定：定理1：有三个角是直角的四边形是矩形 定理2：对角线相等的平行四边形是矩形 有一个角是直角的平行四边形是矩形

7、我们已经学习了直角三角形的哪些性质？我们已经学习了直角三角形的哪些性质？例如：例如：1、角与角的关系：、角与角的关系：直角三角形的两锐角互余。直角三角形的两锐角互余。2、边与边的关系：（勾股定理）、边与边的关系：（勾股定理）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。3、边角关系：、边角关系：这将是本章要研究的内容，在学习它之前，我们这将是本章要研究的内容，在学习它之前，我们先来探索直角三角形的先来探索直角三角形的其他性质。其他性质。其逆定理：其逆定理：如果三角形的三边长如果三角形的三边长a，b，c满足满足 a2+b2=c2，那，那么这个三角形是直角三角

8、形，且么这个三角形是直角三角形，且c边对的角是直角。边对的角是直角。已知：如图在已知：如图在RtRtABCABC中，中，ACB=ACB=90900 0,CD,CD是斜边是斜边ABAB上的中线。上的中线。求证：求证：CD=AB.CD=AB.证明：证明：延长延长CDCD到点到点E E，使，使DE=CD,DE=CD,连接连接AEAE，BEBE。CDCD是斜边是斜边ABAB上的中线，上的中线，AD=DBAD=DB又又DE=CDDE=CD，四边形四边形ACBEACBE是平行四边形。是平行四边形。又又 ACB=90ACB=900 0四边形四边形ACBEACBE是矩形，是矩形，CE=ABCE=AB直角三角形

9、斜边上的中线直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。等于斜边的一半。定理：定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半CD是斜边AB上的中线，CD=AB12CBAD几何语言：CBAD一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形几何语言：几何语言：在ABC中，CD是边AB上的中线，且ABC是直角三角形1、证明一条线段是另一条线段的 或2倍，常用的定理：“三角形的中位线定理三角形的中位线定理”和和“直角直角三角形的斜边上的三角形的斜边上的中中线线等于斜边的等于斜边的一半一半”2、添辅助线的方法：延长短的使它等于原来的，再证相延长短的使它等于原来的，再证相等；或在

10、长的上截取一段使它等于短，再证中点。等；或在长的上截取一段使它等于短，再证中点。求证：在直角三角形中，求证：在直角三角形中，30300 0角所对的直角边角所对的直角边 等于斜边的一半。等于斜边的一半。已知：在已知：在RtRtABCABC中，中，ACB=ACB=90900 0,A=30.,A=30.ABCD求证：求证：BC=ABBC=AB性质性质4：在直角三角形中，：在直角三角形中，300角所对的直角边等角所对的直角边等于斜边的一半。于斜边的一半。在直角三角形中，等于斜边一半的直角边所对的角等在直角三角形中，等于斜边一半的直角边所对的角等于于3030ABC 求证：求证：A=30A=30D已知：在

11、已知：在RtABCRtABC中，中，ACB=90,ACB=90,BCBC=ABAB2、如图，在、如图，在A岛周围岛周围20海里的水域有暗礁，一艘轮船海里的水域有暗礁，一艘轮船由西向东航行到点由西向东航行到点O处时，发现处时，发现A岛在北偏东岛在北偏东600 的方的方向，且与轮船相距向，且与轮船相距 海里海里。该船如果不改变航向，。该船如果不改变航向，有触暗礁的危险吗？有触暗礁的危险吗？3、如图是某商店营业大厅、如图是某商店营业大厅自动自动扶梯的示意图，扶梯的示意图，自自动动扶梯扶梯AB的倾斜角为的倾斜角为30，大厅两层之间的距离大厅两层之间的距离BC为为6米，你能算出米，你能算出自动自动扶梯扶

12、梯AB的长吗？的长吗？ACB300已知：如图，在四边形已知：如图，在四边形ABCD中，中，ABC=ADC=90，M是是AC的中点，的中点，N是是BD的中点。的中点。试判断试判断MN与与BD的位置关系，的位置关系，并加以证明。并加以证明。3、如图，小明在汽车上看见前面山上有个气象站，、如图，小明在汽车上看见前面山上有个气象站，仰角为仰角为15，当汽车又笔直地向山的方向行驶，当汽车又笔直地向山的方向行驶4千千米后，小明看气象站的仰角为米后，小明看气象站的仰角为30。你能算出这个。你能算出这个气象站离地面的高度吗？气象站离地面的高度吗？第第2424章章 解直角三角形解直角三角形24.3 24.3 锐

13、角三角函数锐角三角函数 直角三角形直角三角形ABC可以简记为可以简记为RtABC，你能你能说出各条边的名称吗？说出各条边的名称吗？C斜边斜边c邻边邻边对边对边abCAB 某商场有一自动扶梯，其倾斜角为某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30，高为，高为7m，扶梯的长度是多少，扶梯的长度是多少?BAC307m实际问题实际问题 在上面的问题中，如果高为在上面的问题中，如果高为10m，扶梯的长度是多少？，扶梯的长度是多少？在等腰直角三角形在等腰直角三角形ABC中，中，C=90，计算，计算A的对的对边与斜边的比边与斜边的比 ，你能得出什么结论？，你能得出什么结论？ABC在在RtABC中中,C90当当A30时

14、时,当当A45时时,固定值固定值固定值固定值归纳归纳 在直角三角形中，对于锐角在直角三角形中，对于锐角A的每一个确定的的每一个确定的值，其对边与斜边的比值也是唯一确定的吗？值，其对边与斜边的比值也是唯一确定的吗？想一想想一想所以所以 RtAB1C1RtAB2C2RtAB3C3 所以，在直角三角形中，当锐角所以，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三的度数一定时，不管三角形的大小如何，角形的大小如何，A的对边与斜边的比都是一个固定值的对边与斜边的比都是一个固定值 观观察察右右图图中中的的RtAB1C1，RtAB2C2和和 RtAB3C3，A的对边与斜边有什么关系？的对边与斜边有什么关系？在

15、在RtABC中，中，C=90，我们把锐角，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做的对边与斜边的比叫做 A的的正弦正弦，记作，记作sinA，即，即一个角的正弦表一个角的正弦表示示定值定值、比值比值、正值正值知识要点知识要点正弦正弦 在直角三角形中，在直角三角形中，对于锐角对于锐角A的每一个确定的的每一个确定的值，其邻边与斜边、对边与邻边的比值也是唯一值，其邻边与斜边、对边与邻边的比值也是唯一确定的吗？确定的吗？想一想想一想 在直角三角形中，当锐角在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三的度数一定时，不管三角形的大小如何，角形的大小如何，A的对边与斜边的比、的对边与斜边的比、A的邻边与斜边的比、的邻

16、边与斜边的比、A的对边与邻边的比都是一个固定值的对边与邻边的比都是一个固定值归纳归纳 在在RtABC中，中，C=90，我们把锐，我们把锐角角A的邻边与斜边的比叫做的邻边与斜边的比叫做 A的的余弦余弦，记，记作作cosA，即，即一个角的余弦表一个角的余弦表示示定值定值、比值比值、正值正值知识要点知识要点余弦余弦 在在RtABC中，中，C=90，我们把锐角，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做的对边与邻边的比叫做 A的的正切正切，记作，记作tanA，即，即一个角的余切表一个角的余切表示示定值、比值、定值、比值、正值正值知识要点知识要点正切正切 锐角三角函数锐角三角函数 锐角锐角A的正弦、余弦、正切叫做

17、的正弦、余弦、正切叫做A的的锐角三角函数锐角三角函数（trigonometric function of acute angle）知识要点知识要点 1sinA，cosA，tanA 是在是在直角三角形直角三角形中定义的，中定义的，A是是锐角锐角(注意注意数形结合数形结合，构造直角三角形，构造直角三角形)2sinA，cosA，tanA 是一个是一个比值比值（数值数值）3sinA，cosA，tanA 的大小只与的大小只与A的大小的大小有有关，而与关，而与直角三角形的边长直角三角形的边长无关无关提示提示1、如图、如图1，在，在RtMNP中，中，N90.P的对边是的对边是_,P的邻边是的邻边是_;M的对

18、边是的对边是_,M的邻边是的邻边是_;2、设、设RtABC，C90，A，B，C的对边分别为的对边分别为a，b，c，根据下列所给条件求根据下列所给条件求B的三个三的三个三角函数值：角函数值：a=5，c=13.小练习小练习小练习小练习在在在在直角直角直角直角三角形中共有三角形中共有三角形中共有三角形中共有五五五五个元素个元素个元素个元素：边：边：边：边a a,b b,c c,锐角锐角锐角锐角A A,B B.这这这这五个元素之间有如下等量关系：五个元素之间有如下等量关系：五个元素之间有如下等量关系：五个元素之间有如下等量关系：ABCcab(1)(1)(1)(1)三边之的间关系：三边之的间关系：三边之

19、的间关系：三边之的间关系：a a2 2 +b b2 2 =c c2 2(勾股定理勾股定理勾股定理勾股定理)(2)(2)(2)(2)锐角之间的关系：锐角之间的关系：锐角之间的关系：锐角之间的关系：A A+B B=90=90(3)(3)(3)(3)边角之间的关系边角之间的关系边角之间的关系边角之间的关系：第第2424章章 解直角三角形解直角三角形24.4 24.4 解直角三角形解直角三角形本节课研究的问题是：如何将实际问题转化为解直角三角形的问题？实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间的关系解直角三角形.解直角三角形的依据是什么？（1）三边之间的关系：勾股定理（2）锐角之间的关系：两个锐角

20、互余（3）边角之间的关系：三角函数 引入引入 什么是仰角、俯角？如何将实际问题转化为解直角三角形的问题？什么是坡度、坡比？什么是坡度、坡比？如何将实际问题转化为解直角三角形的问如何将实际问题转化为解直角三角形的问题？题？进行测量时，从下向进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；角叫做仰角；从上往下看，视线与从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角水平线的夹角叫做俯角.修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度坡的倾斜程度 如图，坡面的铅垂高度如图，坡面的铅垂高度(h)和水平长度和水平长度(l)的比叫做

21、坡的比叫做坡面的坡度面的坡度(或坡比或坡比)，记作，记作i，即，即 坡度通常写成坡度通常写成1:m的形式，如的形式，如 i1:6坡面与水平面的坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作夹角叫做坡角，记作，有，有 显然，坡度越大，坡角显然，坡度越大，坡角就就越大，坡面就越陡越大，坡面就越陡 tantan 1、学生探究：在、学生探究：在RtABC中，若中，若C=90，问题问题1：两锐角：两锐角A，B有什么关系？有什么关系？问题问题2：三边：三边a，b，c的关系如何？的关系如何？问题问题3：A与边的关系是什么？与边的关系是什么？2、数学知识、数学运用、数学知识、数学运用解直角三角形有下面两种情况：解直角三角形

22、有下面两种情况：（1）已知两条边求直角三角形中的其他元素；）已知两条边求直角三角形中的其他元素；（2）已知一边及一角求直角三角形中的其）已知一边及一角求直角三角形中的其他他元素元素.例例1 如图，一如图，一 棵大树在一次强烈的地震中于离地面棵大树在一次强烈的地震中于离地面 5米处折断倒下，树顶落在离树根米处折断倒下，树顶落在离树根12米处，大树在折断米处，大树在折断之前高多少？之前高多少？解：利用勾股定理可以求出折断解：利用勾股定理可以求出折断后倒下部分的长度为后倒下部分的长度为13+5=18（米）（米）答：大树在折断之前高为答：大树在折断之前高为18米米.5m12m例例2 如图，在相距如图，

23、在相距2 000米的米的东、西两座炮台东、西两座炮台A，B处处同时同时发现入侵敌舰发现入侵敌舰C，炮台，炮台A测得敌舰测得敌舰C在它的南偏东在它的南偏东400的方的方向，炮台向，炮台B测得敌舰测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离的距离.（精确到（精确到1米）米）ADCB4002000例例3 如图，为了测量旗杆的高度如图，为了测量旗杆的高度BC，在离旗杆底部，在离旗杆底部10米的米的A处，处，用高用高1.50米的测角仪米的测角仪DA侧得旗杆顶端侧得旗杆顶端C的仰角的仰角=52.求旗杆求旗杆BC的高的高.解：在解：在RtCDE中，中，CE=DEtan=ABt

24、an=10tan5212.80（米）（米）.BC=BE+CE=DA+CE 1.50+12.80=14.3（米米）.答：旗杆答：旗杆BC的高度约为的高度约为14.3米米.(1)如图，一辆消防车的梯子长为18m，与水平面间 的夹角为60，如果这辆消防车的高度为2m，求梯子可达到的高度(2)我军某部在一次野外训练中，有一辆坦克准备通过一座小山，已知山脚和山顶的水平距离为100米，山高为100米，如果这辆坦克能够爬30 的斜坡，试问：它能不能通过这座小山？AC100米米100米米B2.2.（1 1）某货船沿正北方向航行，在点A A处测得灯塔C C在北偏西3030，船以每小时2020海里的速度航行2 2

25、小时，到达点B B后，测得灯塔C C在北偏西6060，请问：当这艘货船到达CC的正东方向时，船距灯塔C C有多远？（2 2）如图，某电信部门计划修建一条连接B B，C C两地的电缆，测量人员在山脚A A点测得B B，C C两地的仰角分别为3030，4545，在B B地测得C C地的仰角为6060已知C C地比A A地高200200米，电缆BCBC至少长多少米？3.(1)3.(1)植植树树节节，某某班班同同学学决决定定去去坡坡度度为为1 12 2的的山山坡坡上上种种树树，若若株株距距（相相邻邻两两树树间间的的水水平平距距离离）是是6m6m，则则斜斜坡坡上上相相邻邻两两树树间间的坡面距离为的坡面距

26、离为 .（2）若某人沿着坡角为）若某人沿着坡角为45 的斜坡走了的斜坡走了310 m，则此人的垂直，则此人的垂直高度增加了高度增加了_m.小结小结解直角三角形有下面两种情况：解直角三角形有下面两种情况：(1)已知两条边求直角三角形中的其他元素；已知两条边求直角三角形中的其他元素；(2)已知一边及一角求直角三角形中的其已知一边及一角求直角三角形中的其他他元素。元素。(3)理解仰角、俯角的定义，能将实际问题转化为解理解仰角、俯角的定义，能将实际问题转化为解直角三角形的问题。直角三角形的问题。(4)知道坡度、坡角的概念，能利用解直角三角形的知道坡度、坡角的概念，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、坡角有关的实际问题。知识，解决与坡度、坡角有关的实际问题。