九年级数学垂直于弦的直径课件.ppt

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1、问题问题 ：你知道赵州桥吗：你知道赵州桥吗?它是它是13001300多年前我国隋代建造的石多年前我国隋代建造的石拱桥拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形形,它的跨度它的跨度(弧所对的弦的长弧所对的弦的长)为为37.437.4m m,拱高拱高(弧的中点到弧的中点到弦的距离弦的距离)为为7.27.2m m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？赵州桥主桥拱的半径是多少赵州桥主桥拱的半径是多少？实践探究实践探究把把一个圆沿着它的任意一条直径对折，一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到重复几

2、次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？什么结论？可以发现：可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴它的对称轴圆的对称性及圆的对称性及特性特性n圆也是中心对称图形圆也是中心对称图形,它的对称中心就是它的对称中心就是圆心圆心.n用旋转的方法可以得到用旋转的方法可以得到:n一个圆绕着它的圆心旋转任一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度意一个角度,都能与原来的图都能与原来的图形重合形重合.n这是圆特有的一个性质这是圆特有的一个性质:圆的圆的旋转不变性旋转不变性O如图，如图，AB是是 O的一条弦，做直径的一条弦，做直径CD，使，使CDAB，垂足为

3、，垂足为E（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？OBCDE活活 动动 二二（1）是轴对称图形直径）是轴对称图形直径CD所在的所在的直线是它的对称轴直线是它的对称轴（2）线段：线段：AE=BE把圆沿着直径把圆沿着直径CD折叠时，折叠时，CD两侧的两个半两侧的两个半圆重合，点圆重合，点A与点与点B重合，重合，AE与与BE重合，重合，A弧弧：AC=BC,AD=BDAC，AD分别与分别与BC,BD重合重合OABCDE垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分

4、垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧弦，并且平分弦所对的两条弧AEBE,即直径即直径CD平分弦平分弦AB，并且平分并且平分及及 AD=BD,AC=BCABACB（2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧所对的两条弧（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧弦，并且平分弦所对的另一条弧（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧垂径定理的推论垂径定理的推论 如果圆的两条弦互相平行如果圆的两条弦互相平行,那么这两条

5、弦所夹的弧相那么这两条弦所夹的弧相等吗等吗?老师提示老师提示:这两条弦在圆中位置有两种情况这两条弦在圆中位置有两种情况:OABCD1.两条弦在圆心的同侧两条弦在圆心的同侧OABCD2.两条弦在圆心的两侧两条弦在圆心的两侧垂径定理的推论垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等圆的两条平行弦所夹的弧相等.垂径定理的应用垂径定理的应用例例1 1 如图，一条公路的转变处是一段圆弧如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即即图中弧图中弧CD,CD,点点O O是弧是弧CDCD的圆心的圆心),),其中其中CD=600m,ECD=600m,E为弧为弧CDCD上的上的一点一点,且且OECDOECD垂足为垂足为F,E

6、F=90m.F,EF=90m.求求这段弯路的半径这段弯路的半径.n解解:连接连接OC.OC.OCDEF老师提示老师提示:注意闪烁注意闪烁的三角形的三角形的特点的特点.解得：解得：R279（m）BODACR解决求赵州桥拱半径的问题解决求赵州桥拱半径的问题在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得即即 R2=18.72+（R7.2）2赵州桥的主桥拱半径约为赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.OA2=AD2+OD2OD=OCCD=R7.2AB=37.4，CD=7.2，解：在图中解：在图中例例2 2：如图，用：如图，用 表示主桥拱，设表示主桥拱，设 所在圆的圆心所在圆的圆心为为O O，半径为，半

7、径为R R经过圆心经过圆心O O 作弦作弦AB AB 的垂线的垂线OCOC，D D为为垂足，垂足，OCOC与与AB AB 相交于点相交于点D D，根据前面的结论，根据前面的结论，D D 是是AB AB 的中点，的中点，C C是是 的中点，的中点，CD CD 就是拱高就是拱高ABABAB 2.已知：如图，在以已知：如图，在以O为圆心的两个同心为圆心的两个同心圆中，大圆的弦圆中，大圆的弦AB交小圆于交小圆于C，D两点。两点。你认为你认为AC和和BD有什么关系？为什么？有什么关系？为什么？证明：过证明：过O作作OEAB，垂足为垂足为E，则则AEBE，CEDE。AECEBEDE 即即 ACBD.ACD

8、BOE1.1.在半径为在半径为3030的的O O中，弦中，弦AB=36AB=36，则，则O O到到ABAB的距离是的距离是=，OABP24mm注意：解决有关弦的问题，过圆心作注意：解决有关弦的问题，过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也是一种常用辅助线的添法是一种常用辅助线的添法活活 动动 三三3如图，在如图，在 O中，弦中，弦AB的长为的长为8cm，圆心，圆心O到到AB的距离为的距离为3cm，求，求 O的半径的半径OABE解：解：答：答：O的半径为的半径为5cm.在RTAOE中连接连接OA4如图，在如图，在 O中，中，AB、AC为互相垂直且相等的两为互相垂直

9、且相等的两条弦，条弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求证四边形，求证四边形ADOE是正方形是正方形DOABCE证明：证明：四边形四边形ADOE为矩形，为矩形，又又AC=AB AE=AD 四边形四边形ADOE为正方形为正方形.判断下列说法的正误判断下列说法的正误 平分弧的直径必平分弧所对的弦平分弧的直径必平分弧所对的弦 平分弦的直线必垂直弦平分弦的直线必垂直弦 垂直于弦的直径平分这条弦垂直于弦的直径平分这条弦 平分弦的直径垂直于这条弦平分弦的直径垂直于这条弦 弦的垂直平分线是圆的直径弦的垂直平分线是圆的直径 平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 在圆中，如果

10、一条直线经过圆心且平分弦，在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧必平分此弦所对的弧 分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对的两条弧分别三等分的两条弧分别三等分 练习练习3:在圆在圆O中，直径中，直径CEAB于于 D，OD=4，弦，弦AC=，求圆求圆O的半径。的半径。反思：反思：在在 O中，若中，若 O的的半径半径r、圆心到弦的距离圆心到弦的距离d、弦长弦长a中，中，任意知道两个量，可根据任意知道两个量，可根据定理求出第三个量：定理求出第三个量：CDBAO例例3：如图，圆：如图，圆O的弦的弦AB8 ，DC2，直径直径CEAB于于D，求半径求

11、半径OC的长。的长。垂径垂径直径直径MNAB,垂足为垂足为E,交弦交弦CD于点于点F.例例4：如图，已知圆：如图，已知圆O的直径的直径AB与与 弦弦CD相交于相交于G，AECD于于E，BFCD于于F，且圆且圆O的半径为的半径为 10，CD=16，求，求AE-BF的长。的长。练习练习4:如图，如图，CD为圆为圆O的直径，弦的直径，弦AB交交CD于于E，CEB=30，DE=9，CE=3，求弦求弦AB的的长。长。在直径是在直径是20cm的的 O 中中AB的度数是的度数是 ,那么弦那么弦AB的弦心距是的弦心距是.弓形的弦长为弓形的弦长为6cm，弓形的高为，弓形的高为2cm，则，则这弓形所在的圆的半径为

12、这弓形所在的圆的半径为.船能过船能过拱桥吗拱桥吗1.如图如图,某地有一圆弧形拱桥某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为桥下水面宽为7.2米米,拱拱顶高出水面顶高出水面2.4米米.现有一艘宽现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形米、船舱顶部为长方形并高出水面并高出水面2米的货船要经过这里米的货船要经过这里,此货船能顺利通过此货船能顺利通过这座拱桥吗？这座拱桥吗？相信自己能独相信自己能独立完成解答立完成解答.做一做做一做小小 结结直径平分弦直径平分弦 直径垂直于弦直径垂直于弦=直径平分弦所对的弧直径平分弦所对的弧 直径垂直于弦直径垂直于弦 直径平分弦（不是直径）直径平分弦（不是直径）直径平分弦所对的弧直径平分弦所对的弧 直径平分弧所对的弦直径平分弧所对的弦 直径平分弧直径平分弧 直径垂直于弧所对的弦直径垂直于弧所对的弦=、圆的轴对称性、圆的轴对称性、垂径定理及其逆定理的图式、垂径定理及其逆定理的图式