连续习题课(精品).ppt

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1、主要内容典型问题主要内容主要内容左右连续左右连续连续的连续的充要条件充要条件间断点定义间断点定义 振振荡荡间间断断点点 无无穷穷间间断断点点 跳跳跃跃间间断断点点 可可去去间间断断点点第一类第一类 第二类第二类在区间在区间a,ba,b上连续上连续连续函数的连续函数的运算性质运算性质初等函数初等函数的连续性的连续性非初等函数非初等函数的连续性的连续性连续函数连续函数的的 性性 质质一、基本概念一、基本概念1、函数在一点连续、函数在一点连续 五个等价定义：五个等价定义：定义定义邻域邻域叙述叙述Heine Th.方法方法改变量形式改变量形式2、函数在一点左右连续、函数在一点左右连续3、函数在一个区间

2、连续、函数在一个区间连续4、函数在一个区间一致连续、函数在一个区间一致连续二、间断点及其分类二、间断点及其分类三、连续函数的性质三、连续函数的性质1、局部性质、局部性质有界性，保号性，复合运算性，四则运算性，反有界性，保号性，复合运算性，四则运算性，反函数连续性。函数连续性。2、整体性质（闭区间上连续函数的性质）、整体性质（闭区间上连续函数的性质）（1）最大最小值定理，）最大最小值定理，（2）有界性定理，）有界性定理，（3）介值性定理，）介值性定理，（4）根的存在性定理，）根的存在性定理，（5）一致连续性定理。）一致连续性定理。四、初等函数的连续性四、初等函数的连续性1、基本初等函数在其定义域

3、内连续，、基本初等函数在其定义域内连续，2、初等函数在其定义区间内连续。、初等函数在其定义区间内连续。四、连续函数作极限运算四、连续函数作极限运算连续函数的函数符号可与极限号交换次序。连续函数的函数符号可与极限号交换次序。典型问题典型问题一、连续性讨论1、用定义证明连续性见P93：1，11见P93：2，32、连续范围的确定见P94：4，5，6，83、连续的性质及易混淆问题的讨论及证明见P9495：7，10，12，13，164、连续性的延展见P95：175、一致连续问题的验证6、可升格为重要结论的习题(1)P94：4 连续 均连续，但反之未必绝对值函数的连续性绝对值函数的连续性(2)P94：12

4、 最值函数的连续性最值函数的连续性(3)P95：16 介值定理的扩张介值定理的扩张二、间断点的分类与讨论见P9495：141、间断点类型的讨论见P95：152、可去间断点的分析3、可升格为重要结论的习题(1)P95：14(9)Riemann函数的连续性函数的连续性附：特殊函数的连续性附：特殊函数的连续性(1)在定义域内每点都不连续的函数在定义域内每点都不连续的函数:D(x)(2)只在一点连续的函数只在一点连续的函数:xD(x)(3)在无理点连续，有理点间断的函数在无理点连续，有理点间断的函数:R(x)(4)在若干个点连续的函数在若干个点连续的函数:F(x)D(x)连续点为连续点为F(x)的零点。的零点。附加题：附加题：设设 在在I上满足上满足Lipschitz条件：即条件：即 则则 在在I上一致连续。上一致连续。证证故故f(x)在在I上一致连续。上一致连续。