1.4.1 排列组合的综合问题(精品).ppt

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1、简单计数问题简单计数问题红旗中学 姚辉 分分类加法加法计数原理数原理完成一件事，可以有类办法，在第一类办法中有种方法，在第二类办法中有种方法，在第类办法中有种方法，那么，完成这件事 种方法。复复 习习分步乘法分步乘法计数原理数原理个步骤，缺一不可，做第一步有种方法，做第二步有种方法，做第步有种方法，那么完成这件事共有 种方法。1.认真审题弄清要做什么事；解决排列组合综合性问题的一般过程如下解决排列组合综合性问题的一般过程如下:2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步采取分步还是分是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类；3.确定每一步或每一类是排列问题(有序有序)还是组合(无序无序

2、)问题,元素总数是多少及取出多少个元素；4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略。一、特殊元素和特殊位置优先策略一、特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.位置分析法和元素分析法是解决排列组合位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题，最常用也是最基本的方法问题，最常用也是最基本的方法,若以元素若以元素分析为主分析为主,需先安排特殊元素需先安排特殊元素,再处理其它元再处理其它元素素.若以位置分析为主若以位置分析为主,需先满足特殊位置的需先满足特殊位置的要求要求,再处理其它位置。若有多个约束条件再处理其它位置。若

3、有多个约束条件往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件。其它条件。练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二、相邻元素捆绑策略二、相邻元素捆绑策略例2.7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.要求某几个元素必须排在一起的问题要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题可以用捆绑法来解决问题即将需要相邻的元素合并为一个元素即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列再与其它元素一起作排列同时要注意合并元素内部也必须排列。同时要注意合并元素内部也必须

4、排列。练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为_20三、不相邻问题插空策略三、不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端再把不相邻元素插入中间和两端练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为_30四、定序问题倍缩空位插入策略四、定序问题倍缩空位插入策略例4.7人排队

5、,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法倍缩法倍缩法空位法空位法定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位法定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位法练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？五、重排问题求幂策略五、重排问题求幂策略例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法？允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地 不同的元素没有不同的元素没有限制地安排在限制地安排在 个位置上的排列为个

6、位置上的排列为 种种练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为_42六、环排问题线排策略六、环排问题线排策略例6.8人围桌而坐,共有多少种坐法?一般地一般地,n个不同元素作圆形排列个不同元素作圆形排列,共有共有(n-1)!种排法种排法.如果如果从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有个元素作圆形排列共有 练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈9七、多排问题直排策略七、多排问题直排策略例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法？一般地一般地,元素分成多排的

7、排列问题元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑可归结为一排考虑,再分段研究再分段研究练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是_346八、排列组合混合问题先选后排策略八、排列组合混合问题先选后排策略例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法解决排列组合混合问题解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想先选后排是最基本的指导思想练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的

8、选法有_种192九、小集团问题先整体后局部策略九、小集团问题先整体后局部策略例9.5男生和女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有_ 种小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。进行处理。练习题：计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,幅油画,幅国画,排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为十、元素相同问题隔板策略十、元素相同问题隔板策略例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个有多少种分配方案？将将n个相同的元素分成个相同的元素分成m份（份（n，m为正整数）为正整数）,每

9、份至少一个元素每份至少一个元素可以用可以用m-1块隔板，插入块隔板，插入n个元素排成一排的个元素排成一排的n-1个空隙中，所有个空隙中，所有分法数为分法数为 练习题：10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？十一、正难则反总体淘汰策略十一、正难则反总体淘汰策略例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？有些排列组合问题有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往而它的反面往往比较简捷比较简捷,可以先求出它的反面可以先求出它的反面,再从整体中淘汰再从整体中淘汰.练习题：我们班里有43位同

10、学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?十二、平均分组问题除法策略十二、平均分组问题除法策略例12.6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？平均分成的组平均分成的组,不管它们的顺序如何不管它们的顺序如何,都是一种情况都是一种情况,所以分组后要所以分组后要一定要除以一定要除以 (n为均分的组数为均分的组数)避免重复计数。避免重复计数。练习题：将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队,有多少分法？十三、合理分类与分步策略十三、合理分类与分步策略例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选

11、派方法？解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。练习题：从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有_十四、构造模型策略十四、构造模型策略例14.马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏

12、,求满足条件的关灯方法有多少种？把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有 种。一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决十五十五、实际操作穷举策略实际操作穷举策略例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法？对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，对于条件比较

13、复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果3 3号盒号盒 4 4号盒号盒5 5号盒号盒 练习：给图中区域涂色,要求相邻区域不同色,现有4种颜料可选，共有多少不同的涂色方法？十六、分解与合成策略例16.30030能被多少个不同的偶数整除？解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决个复杂问题分解成几个小问题逐一解决,然后依据问题分解后然后依据问题分解后的结构的结构,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成用分类计数

14、原理和分步计数原理将问题合成,从而得到从而得到问题的答案问题的答案 ,每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略练习:正方体的8个顶点可连成多少对异面直线？十七、化归策略例17.25人排成55方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？处理复杂的排列组合问题时可以把一个处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题，通过解决问题退化成一个简要的问题，通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法，这个简要的问题的解决找到解题方法，从而进下一步解决原来的问题从而进下一步解决原来的问题练习题:某城市的街区由12个全等的矩形区组成其

15、 中实线表示马路，从A走到B的最短路径有多少种？十八、数字排序问题查字典策略例18由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？数字排序问题可用查字典法数字排序问题可用查字典法,查字典的法应从高位向低位查查字典的法应从高位向低位查,依依次求出其符合要求的个数次求出其符合要求的个数,根据分类计数原理求出其总数根据分类计数原理求出其总数。练习:用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第71个数是_。3140十九、树图策略例19人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过次传求后,球仍回到甲的手中,则不同的传球方式有_

16、。对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，树图会收到意想不到的结果树图会收到意想不到的结果练习:分别编有1，2，3，4，5号码的人与椅，其中 号人不坐 号椅 的不同坐法有多少种？10二十、复杂分类问题表格策略例20有红、黄、兰色的球各5只,分别标有A、B、C、D、E五个字母,现从中取5只,要求各字母均有且三色齐备,则共有多少种不同的取法？一些复杂的分类选取题一些复杂的分类选取题,要满足的条件比较多要满足的条件比较多,无从入手无从入手,经常经常出现重复遗漏的情况出现重复遗漏的情况,用表格法用表格法,则分类明确则分类明确,能保证题中须

17、满能保证题中须满足的条件足的条件,能达到好的效能达到好的效二十一、住店法策略解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解.例21.七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有 .本节课，我们对有关排列组合的几种常见的解题策本节课，我们对有关排列组合的几种常见的解题策略加以复习巩固。排列组合历来是学习中的难点，通过略加以复习巩固。排列组合历来是学习中的难点，通过我们平时做的练习题，不难发现排列组合题的特点是条我们平时做的练习题，不难发现排列组合题的特点是条件隐晦，不易挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，件隐晦，不易挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，难以验证。同学们只有对基本的解题策略熟练掌握。根难以验证。同学们只有对基本的解题策略熟练掌握。根据它们的条件据它们的条件,我们就可以选取不同的技巧来解决问题我们就可以选取不同的技巧来解决问题.对对于一些比较复杂的问题于一些比较复杂的问题,我们可以将几种策略结合起来应我们可以将几种策略结合起来应用把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁通，进而为用把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁通，进而为后续学习打下坚实的基础。后续学习打下坚实的基础。小结小结