第七章-重积分1-2课件.ppt

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1、1.二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质2.二重积分的计算二重积分的计算3.三重积分的概念与计算三重积分的概念与计算4.重积分的应用举例重积分的应用举例1 1 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质1.二重积分的概念二重积分的概念二重积分的概念 在一元函数积分学中，我们已经知道，定积在一元函数积分学中，我们已经知道，定积分是定义在某一区间上的一元函数的某种特定形分是定义在某一区间上的一元函数的某种特定形式的和式的极限，由于科学技术和生产实践的发式的和式的极限，由于科学技术和生产实践的发展，需要计算空间形体的体积、曲面的面积、空展，需要计算空间形体的体积、曲面的面积、空间物体的质量、重心、

2、转动惯量等，定积分已经间物体的质量、重心、转动惯量等，定积分已经不能解决这类问题，另一方面，从数学逻辑思维不能解决这类问题，另一方面，从数学逻辑思维的规律出发，必然会考虑定积分概念的推广，从的规律出发，必然会考虑定积分概念的推广，从而提出了多元函数的积分学问题。而提出了多元函数的积分学问题。当人们把定积分解决问题的基本思想当人们把定积分解决问题的基本思想“分分割、近似代替、求和、取极限割、近似代替、求和、取极限”用于解决这类问用于解决这类问题时发现是完全可行的。把解决的基本方法抽象题时发现是完全可行的。把解决的基本方法抽象概括出来，就得到多元函数积分学。概括出来，就得到多元函数积分学。具体地说

3、就是推广到：定义在平面区域上的二元具体地说就是推广到：定义在平面区域上的二元函数、定义在空间区域上的三元函数、定义在一段函数、定义在空间区域上的三元函数、定义在一段平面曲线弧上的二元函数、定义在空间一段曲线弧平面曲线弧上的二元函数、定义在空间一段曲线弧上的三元函数、定义在空间曲面上的三元函数，从上的三元函数、定义在空间曲面上的三元函数，从而得到二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分。而得到二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分。这就是多元函数积分学的内容。这就是多元函数积分学的内容。求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、求和、取极限分割、近似、求和、取极限”的方法，的方法，如下

4、动画演示如下动画演示步骤如下：步骤如下：用若干个小平顶柱体用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲体积之和近似表示曲顶柱体的体积，顶柱体的体积，先分割曲顶柱体的底，先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，并取典型小区域，曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积(1)区域区域D的分割的分割 D Di i(2)二重积分的定义二重积分的定义xozyD二重积分定义：二重积分定义：D(3)二重积分的几何意义二重积分的几何意义(4)可积二元函数可积二元函数 在直角坐标系下，用平行于坐标轴的直线族把在直角坐标系下，用平行于坐标轴的直线族把D分成一些小区域，这些小区域中除去靠分成一些小区域，这些小区域中除去靠D的边界的边界的一些

5、不规则小区域外，绝大部分都是小矩形，的一些不规则小区域外，绝大部分都是小矩形，紧靠紧靠D的边界的小区域的面积的边界的小区域的面积其中其中L为为D的围长的围长则面积元素为则面积元素为D D故二重积分可写为故二重积分可写为在直角坐标系下面积元素为在直角坐标系下面积元素为解解解解P4习题习题4.证明证明证明证明:反证法反证法反证法反证法1.1.直角坐标系下的计算公式直角坐标系下的计算公式2 2 二重积分的计算二重积分的计算(1).x型区域型区域 与与 y 型区域型区域x型区域：穿过型区域：穿过D内部且垂直于内部且垂直于x轴的直线轴的直线与与D的边界的交点不多于两个。的边界的交点不多于两个。D表示为：

6、axb1(x)y2(x)xoyDy=2(x)y=1(x)axb1.直角坐标系下的计算公式直角坐标系下的计算公式D：c y d 1(y)x 2(y)y型区域型区域xoycdDx=2(y)x=1(y)yyxzo(2).计算公式的推导计算公式的推导(1)设f(x,y)0,D为x型区域从几何意义考虑，求曲顶柱体体积用平面x=x0截曲顶柱体，得一截面x0aby=2(x)y=1(x)1(x0)2(x0)A(x0)yxzox0aby=2(x)y=1(x)1(x0)2(x0)A(x0)此截面面积为A(xo)，则将之投影到Oyz平面上，曲边梯形由y=1(xo),y=2(xo),z=0,z=f(xo,y)围成，故

7、yxzox0aby=2(x)y=1(x)1(x0)2(x0)A(x0)yxzox0aby=2(x)y=1(x)1(x0)2(x0)A(x0)故体积为记为yxzox0aby=2(x)y=1(x)1(x0)2(x0)A(x0)二重积分化为累次积分的几何解释二重积分化为累次积分的几何解释yxzox0aby=2(x)y=1(x)1(x0)2(x0)A(x0)二重积分化为累次积分的几何解释二重积分化为累次积分的几何解释yxzox0aby=2(x)y=1(x)1(x0)2(x0)A(x0)二重积分化为累次积分的几何解释二重积分化为累次积分的几何解释yxzox0aby=2(x)y=1(x)1(x0)2(x0

8、)A(x0)二重积分化为累次积分的几何解释二重积分化为累次积分的几何解释所以，二重积分的计算公式为(f(x,y)任意符号)(1)(2)同理，对y型区域D：c y d,1(y)x 2(y)(2)(3)当D既是x型区域：axb,1(x)y 2(x)(3)又是 y型区域：cyd,1(y)x 2(y)有xoyy=2(x)y=1(x)axbydcx=2(y)x=1(y)(4)当D是任意区域时，用直线将D先分割为x型区域和y型区域，D1,D2,Dn，再利用积分在区域上的可加性xoyD1D2D3xoyD1D2D3D4关于积分区域关于积分区域D D定理1：设函数f(x,y)在闭区域D上连续，D是由两直线x=a

9、,x=b(ab)及两连续曲线围成，则有公式例例1.计算，其中D是由直线y=1,x=2及 y=x 所围成的区域.解法解法1:由图,D可表示为x型区域：于是得x0y1D21y=xx0y1D21y=x解法解法2:由图，区域D可表示为y型区域：于是得x0y1D21y=x结论：结论：则例例2.计算解解:例例2 计算计算D解一解一D：X型型D11解二解二DY型型D例例2 计算计算D11解解例题例题4.求D由y=0,x=1,y=x 围成.解解:思考：前一个不定积分如何求出来的？思考：前一个不定积分如何求出来的？xoy1y=x例例5.计算,其中D是由抛物线y2=x与直线y=x 2所围成的区域。解解:联立方程组

10、解此方程组得D的两条边界线的交点为A(1,1),B(4,2).0 xyA(1,1)B(4,2)y2=xy=x2由图56可知，应将D视为y型区域，选择先对x 后对y的积分顺序.得0 xyA(1,1)B(4,2)y2=xy=x2此题若选择先对y后对x的积分顺序，则必须对D进行划分.则用x=1将D分成两个区域D1和D2：0 xyA(1,1)B(4,2)y2=xy=x2解解DY型型I =若先若先 y 后后 x 由于由于D的下边界曲线在的下边界曲线在 x 的不同范围的不同范围内有不同的表达式，内有不同的表达式，须分片积分，计算较麻烦。须分片积分，计算较麻烦。例例6 计算计算2121例例7 计算计算解解D

11、是是X型区域型区域要分部积分，不易计算要分部积分，不易计算若先若先 x 后后 y 则须分片则须分片易见尽管须分片积分易见尽管须分片积分,但但由于被积函数的特点由于被积函数的特点,积积分相对而言也较方便。分相对而言也较方便。D21021解解解解积分区域如图积分区域如图解解积分区域如图积分区域如图例例1.求由曲线所围成的平面图形的面积A.解解:由故所求面积为图中的阴影部分D.x0y2y=2x345联立方程组，求交点：x0y2y=2x交点为交点为(2,4),(3,2),(5,10).345故所求面积x0y2y=2x345解解原式原式解解解解曲面围成的立体如图曲面围成的立体如图.例例4.交换下列积分的

12、积分顺序：解解:由积分可知，积分区域D为它是由直线 y=0,y=1及曲线x0yy=11D2D3D1解方程组得交点：联立方程组x0yy=11D2D3D1利用直线将区域D分成D1，D2和D3三个部分：x0yy=11D2D3D1于是x0yy=11D2D3D1(5)(5)对称区域的二重积分对称区域的二重积分(5)(5)对称区域的二重积分对称区域的二重积分(5)(5)对称区域的二重积分对称区域的二重积分例例12 计算计算解解根据积分区域的特点根据积分区域的特点14-12应先对应先对 x 后对后对 y 积分积分但由于但由于 对对 x 的积分求不出，无法计算，须改变积分次序。的积分求不出，无法计算，须改变积

13、分次序。先先 x后后y有有关于关于y是奇函数，积分区域关于是奇函数，积分区域关于x轴对称轴对称14-12两个直交圆柱体所围立体两个直交圆柱体所围立体计算圆柱面计算圆柱面 被圆柱面被圆柱面解解由对称性可知由对称性可知V=8V1 曲面曲面A1 的方程的方程例例5所截的部分的体积。所截的部分的体积。xy0三个直交圆柱体所围立体三个直交圆柱体所围立体解解P48xy0解解P48xy0设设D为有界闭区域，为有界闭区域，z=f(x,y)在在D连续。连续。2.极坐标下的计算公式极坐标下的计算公式(1)极坐标下分割区域极坐标下分割区域D(2)D的面积的面积(3)极坐标下的二重积分设直角坐标系下二重积分的积分区域

14、 Dxy 经变换变成极坐标系下的区域 3.利用极坐标计算二重积分利用极坐标计算二重积分因为故得利用极坐标计算二重积分的公式其中r,的累次积分上下限的确定不外乎下列诸情形之一.(4)积分区域的几种特殊情况(i)D为环形域为环形域R1R2roA(ii)D为关于极点的星形域为关于极点的星形域Orr=r()or(iii)极点在极点在D的边界曲线的边界曲线r=r()上上r=r()oA例例1.计算解解:令解解例例3.计算解解:该曲线即令是圆心为xy0由对称性，有xy0例例4.求位于圆r=a以外及圆r=2acos以内的平面部分的面积 A.解解:联立方程组得两圆的交点xoMDN设所求平面部分为D：故所求面积x

15、oMDN例例5.计算解解:令故即即 P23习题习题26证明证证:令则化重积分为累次积分得注意到夹在以原点为中心,半径分别为a 和的两个圆域之间，xy0其中故xy0运用极坐标计算上述不等式左、右两端的二重积分：从而有即解解例例7 计算计算解解例例.求双纽线解解:oTAoTA解解解解思考题思考题小结小结二重积分在极坐标下的计算公式二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用（在积分中注意使用对称性对称性）1.曲线之间的变换与区域之间的变换曲线之间的变换与区域之间的变换3.二重积分的一般变量替换公式二重积分的一般变量替换公式将xy面上的区域变换成uv面上的区域.将xy面上线变换成uv面上的线xoy

16、uovMDxyMDuv在一定条件下通过变换将xy面上点变换成uv面上的点 例如，u=xy,v=y/x点(1,1)(1,1)xoy(1,1)xy=1xy=2D(1/2,2)(1,4)线xy=1 u=1区域 D D uov(1,1)(2,1)(2,4)(1,4)D xy=2 u=2y=x v=1y=4x v=4做变换做变换：u=xy,v=y/x2.定理定理2(换元法换元法)注注1：注注2：一定要将有界区域变为有界区域.如将但将例例1:计算解解:作变换即,故例例2.计算解解:积分区域D如图所示.则作变换Tx+y=1 x+y=1x+y=1x y=1xy0而故=0例例3.求由曲线所围成的平面图形D的面积A.解解:令在变换T下,由曲线所围成的平面区域D变成区域D：得所求面积例题例题4.求椭圆所围成的区域的面积.解解:所求面积将题中椭园变为uv面上圆:u2+v2=1=ab 4.广义极坐标变换广义极坐标变换