4-3分部积分法95212.ppt

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1、分部积分法分部积分法 前面我们在复合函数微分法的基前面我们在复合函数微分法的基础上，得到了换元积分法。换元积分础上，得到了换元积分法。换元积分法是积分的一种基本方法。本节我们法是积分的一种基本方法。本节我们将介绍另一种基本积分方法将介绍另一种基本积分方法分部分部积分法，它是两个函数乘积的微分法积分法，它是两个函数乘积的微分法则的逆转。则的逆转。问题问题解决思路解决思路利用两个函数乘积的求导法则利用两个函数乘积的求导法则.分部积分公式分部积分公式一、基本内容一、基本内容注注分部积分公式的特点：等式两边分部积分公式的特点：等式两边 u,v 互换位置互换位置分部积分公式的作用：当左边的积分分部积分公

2、式的作用：当左边的积分不易求得，而右边的积分不易求得，而右边的积分容易求得容易求得利用分部积分公式利用分部积分公式化难为易化难为易例例1 1 求积分求积分解（一）解（一）令令显然，显然，选择不当选择不当，积分更难进行，积分更难进行.解（二）解（二）令令分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择u,v 一般来说，一般来说，u,v 选取的原则是：选取的原则是：（1）积分容易者选为）积分容易者选为v（2）求导简单者选为）求导简单者选为u分部积分法的分部积分法的实质实质是：将所求积分化为两个积分是：将所求积分化为两个积分之差，积分容易者先积分。之差，积分容易者先积分。

3、实际上是两次积分。实际上是两次积分。例例2 2 求积分求积分解解（再次使用分部积分法）（再次使用分部积分法）总结总结 若被积函数是幂函数和正若被积函数是幂函数和正(余余)弦函弦函数或幂函数和指数函数的乘积数或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设就考虑设幂函数为幂函数为 ,使其降幂一次使其降幂一次(假定幂指数是正假定幂指数是正整数整数)例例3 3 求积分求积分解解令令 若被积函数是幂函数和对数函数或幂若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为数或反三角函数为 .这样使用一次分部积这样使用一次分部积分公式就可使被积函数降

4、次、简化、代数化、分公式就可使被积函数降次、简化、代数化、有理化。目的、宗旨只有一个：容易积分。有理化。目的、宗旨只有一个：容易积分。例例4 4 求积分求积分解解总结总结例例5 5 求积分求积分解解注注：本题也可令：本题也可令分部积分过程中出现循环，实质上是得到待求积分分部积分过程中出现循环，实质上是得到待求积分的代数方程，移项即可求得所求积分。注意最后一的代数方程，移项即可求得所求积分。注意最后一定要加上积分常数定要加上积分常数C例例6 6 求积分求积分解解注意循环形式注意循环形式例例7解解例例8解解若设若设则则上述计算公式可表为上述计算公式可表为递推公式递推公式反复使用递推公式，最后归结为

5、求反复使用递推公式，最后归结为求的的一次幂或零次幂的不定积分一次幂或零次幂的不定积分例例9解一解一令令解二解二直接分部积分直接分部积分对对分子分母同乘以分子分母同乘以令令或或分子分母同乘以分子分母同乘以令令解三解三彻底换元彻底换元令令则则例例10分析分析需要将需要将作为整体来考虑作为整体来考虑解解分子分母同乘以分子分母同乘以令令例例1111 求积分求积分解解令令例例12解解类似地有类似地有解解两边同时对两边同时对 求导求导,得得合理选择合理选择 ，正确使用分部积，正确使用分部积分公式分公式二、小结二、小结思考题思考题 在接连几次应用分部积分公式时，在接连几次应用分部积分公式时，应注意什么？应注意什么？思考题解答思考题解答注意前后几次所选的注意前后几次所选的 应为同类型函数应为同类型函数.例例第一次时若选第一次时若选第二次时仍应选第二次时仍应选