(精品)1.1.2弧度制 (2).ppt

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1、吴江高级中学梁秋健吴江高级中学梁秋健苏教苏教2003课标版课标版 高高高高 中中中中 数数数数 学学学学 必必必必 修修修修 4 4 1.1.2 弧弧 度度 制制 一、问题情境一、问题情境 情境：情境：在生活中，一个量可以有几种不同的计量单位。在生活中，一个量可以有几种不同的计量单位。如质量、长度等。如质量、长度等。一、问题情境一、问题情境 思考：我们思考：我们“拿拿”圆周上其他长度的弧长圆周上其他长度的弧长 所对的圆心角作为角的单位？所对的圆心角作为角的单位？问题问题1：在初中如何定义在初中如何定义1度角？度角？规定：规定：周角的周角的 作为作为1度角，这种用度作度角，这种用度作为单位来度量

2、角的单位制为单位来度量角的单位制叫做叫做角度制角度制。古巴比伦人把圆周长分成古巴比伦人把圆周长分成360份，份，每一份弧所对的圆心角就是每一份弧所对的圆心角就是1度角。度角。本节课我们一起学习一种新的度量角的方法本节课我们一起学习一种新的度量角的方法弧弧 度度 制制 二、分组讨论，探究新知二、分组讨论，探究新知探究探究1：弧长等于半径的弧所对的圆心角的大小弧长等于半径的弧所对的圆心角的大小与所在圆的半径的大小是否有关？与所在圆的半径的大小是否有关？数学实验：数学实验：作半径不等的甲、乙两圆，在每个圆作半径不等的甲、乙两圆，在每个圆上作出等于其半径的弧长，连结圆心与弧的两个上作出等于其半径的弧长

3、，连结圆心与弧的两个端点，得到两个角，观察这两个角的大小。端点，得到两个角，观察这两个角的大小。结论交流：结论交流：当半径变化时，这两个角大小相同。当半径变化时，这两个角大小相同。OBAr探究探究 三者之间关系三者之间关系.证一证证一证回忆：回忆：角度制下的弧长公式角度制下的弧长公式 是什么是什么？证明：证明：设设 为的为的 角，角，探究探究2：在一组半径不同的同心圆中，相同的圆心角在一组半径不同的同心圆中，相同的圆心角 ，与所对的弧长，与所对的弧长 和所在圆的半径和所在圆的半径 的比值的比值 有什有什么关系？么关系？猜一猜猜一猜三、分组讨论、探索研究三、分组讨论、探索研究结论：结论：比值比值

4、 的大小，由圆心角的大小，由圆心角 的大小来确定，这样的大小来确定，这样就可以用就可以用 来度量角的大小了来度量角的大小了 猜想：猜想：圆心角圆心角 不变，不变，变化变化，比值，比值 不变不变。知识一：知识一：1弧度的角的定义：弧度的角的定义：把长度等于半径的弧所对的把长度等于半径的弧所对的圆心角叫做圆心角叫做1弧度的角弧度的角。三、知识建构三、知识建构早在1748年，欧拉主张用半径为单位度量弧长，提出弧度制的定义。记作：记作：1弧度或弧度或1 rad或或1。这种用这种用“弧度弧度”做单位来度量角的制度叫做做单位来度量角的制度叫做弧度制弧度制OBrl=rA1.角的弧度数的计算角的弧度数的计算

5、四、意义建构四、意义建构问题问题2：若圆的半径为若圆的半径为 ，则弧长为，则弧长为 的弧所对的的弧所对的 圆心角（正角）的弧度数是多少？圆心角（正角）的弧度数是多少？问题问题3：若圆的半径为若圆的半径为 ，则弧长为，则弧长为 的弧所对的的弧所对的 圆心角（正角）的弧度数是多少？圆心角（正角）的弧度数是多少？问题问题4：若圆的半径为若圆的半径为 ，则弧长为，则弧长为 的弧所对的的弧所对的 圆心角的弧度数的绝对值是多少？圆心角的弧度数的绝对值是多少？四、意义建构四、意义建构知识二：知识二：任一已知角任一已知角 的弧度数的绝对值公式的弧度数的绝对值公式：AB问题问题5：若圆心角若圆心角 表示表示一个

6、负角，且它所对的弧的长一个负角，且它所对的弧的长为为 ，则，则 的弧度数是的弧度数是多少？多少？一般地一般地,规定：规定：正角的弧度数是正数，负角的弧度数正角的弧度数是正数，负角的弧度数 是负数，零角的弧度数是零。是负数，零角的弧度数是零。正角的弧度数正角的弧度数正数正数负角的弧度数负角的弧度数负数负数零角的弧度数零角的弧度数零零正角正角负角负角零角零角正数正数负数负数0任意角的集合任意角的集合实数集实数集R四、意义建构四、意义建构弧度制有什么好处？弧度制有什么好处？问题问题6：半径为半径为 ，圆心角为，圆心角为 弧度的弧长为多少呢？弧度的弧长为多少呢？知识三知识三：弧长公式：弧长公式：四、意

7、义建构四、意义建构简洁2.角度制与弧度制的换算角度制与弧度制的换算四、意义建构四、意义建构算一算算一算问题问题8:半圆所对的圆心角的弧度数是多少？半圆所对的圆心角的弧度数是多少？问问题题9:9:弧弧长长为为 的的弧弧所所对对的的圆圆心心角角的的弧弧度度数数是是多少？多少？问题问题7 7：1 1 角角与与1 1rad角是否相等？角是否相等？如何换算？如何换算？OA(B)360=2 rad这是弧度制和角度制互换这是弧度制和角度制互换的根基。的根基。四、意义建构四、意义建构说明：说明：1.1.用弧度为单位表示角的大小时，用弧度为单位表示角的大小时，“弧度弧度”二字通常省略不写二字通常省略不写,但用但

8、用“度度”（）为单位不能省略。）为单位不能省略。2.2.用弧度为单位表示角时，通常写用弧度为单位表示角时，通常写 成成“多少多少 ”的形式。如无的形式。如无 特别要求，不用将特别要求，不用将 化成小数。化成小数。3.3.弧度与角度不能混用弧度与角度不能混用360=2 rad知识四：知识四：问题问题10：在角度制下，扇形面积公式如何表示？在角度制下，扇形面积公式如何表示？问题问题11：在弧度制下，扇形面积公式又如何表示？在弧度制下，扇形面积公式又如何表示？知识五：扇形面积公式知识五：扇形面积公式:四、意义建构四、意义建构简洁OBAr五、数学应用五、数学应用例例1 把下列各角从弧度化为度：把下列各

9、角从弧度化为度：（1）（2）3.5 解解（1）（2）例例2 把下列各角从度化为弧度把下列各角从度化为弧度（1）252 （2）-75 （3）11151.例题例题解解（1）（2）（3）思考：换思考：换算的通法算的通法是怎样的？是怎样的？角角度度弧弧度度练习练习1.填一填：特殊角的弧度数或角度填一填：特殊角的弧度数或角度说明：一些特殊角的弧度数，大家要熟记，免得每次遇到说明：一些特殊角的弧度数，大家要熟记，免得每次遇到都要去进行换算都要去进行换算 五、数学应用五、数学应用2.练习练习 练习练习2：用弧度制分别写出终边落在用弧度制分别写出终边落在x轴上和轴上和y轴上的角集合轴上的角集合 例例3 已知扇

10、形的周长为已知扇形的周长为8cm，圆心角为，圆心角为2rad，求该扇形的面积求该扇形的面积.解：设扇形的半径为解：设扇形的半径为 ，弧长为，弧长为 ，则有则有 解得解得 所以扇形的面积为所以扇形的面积为 五、数学应用五、数学应用变变式式：周周长长为为20cm20cm的的扇扇形形，当当圆圆心心角角为为多多少少弧弧度度时，其面积最大？时，其面积最大？六、课堂小结：六、课堂小结：2.思想方法：思想方法：1.知识与技能：知识与技能：（1）弧度制的定义（与角度制定义对比）；）弧度制的定义（与角度制定义对比）；（2）角度与弧度的换算公式及特殊角的弧度数）角度与弧度的换算公式及特殊角的弧度数；（3）弧度制下的弧长公式及扇形面积公式。）弧度制下的弧长公式及扇形面积公式。量角的制度量角的制度:角度制与弧度制；角度制与弧度制；弧度制除了使角与实数有一一对应关系外，弧度制除了使角与实数有一一对应关系外，为以后学习三角函数打下基础。为以后学习三角函数打下基础。七、作业布置七、作业布置1.完成课本完成课本 练习练习 ，习题习题1.1第第6、第、第8题。题。2.拓展作业：拓展作业：（1）上网查阅弧度制的历史及欧拉的资料：）上网查阅弧度制的历史及欧拉的资料：中学数学网网址中学数学网网址：http:/